Unidade III - Apostila de Estatística - Profª Jailma - UFERSA-2013

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO-UFERSA 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS VEGETAIS-DCV 
DISCIPLINA: ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UFERSA 
MOSSORÓ-RN 
2013 
 2
 
 
 
3.1 Variáveis aleatórias (conceitos) 
3.2 Distribuições Discretas de probabilidade 
3.3 Funções de Distribuição Variáveis Aleatórias Discretas 
3.4 Distribuições de probabilidades contínuas 
3.5 Funções de Distribuição para Variáveis Aleatórias contínuas 
3.6 Esperança Matemática 
 
 
3. INTRODUÇÃO 
3.1 Conceitos 
1-Variável Aleatória Discreta - É aquela cujos valores são obtidos através de contagem. 
 
2-Variável Aleatória Contínua - É aquela cujos valores são obtidos através de 
mensuração (medidas). 
 
 
3.2 Distribuição Discreta de Probabilidade (D.D.P) 
O conjunto de duas variáveis, uma que representa os acontecimentos, chamada variável 
aleatória, casual e a outra que representa as respectivas probabilidades. 
Se uma v.a. puder assumir um conjunto discreto de valor x1, x2,..., xn com as 
probabilidades p1, p2, ..., pn, respectivamente sendo ∑ = 1)(xiP , dizemos que está definida uma 
D.D.P. 
 
3.3 Funções de Distribuição para Variáveis Aleatórias Discreta 
É a função f(x) que associa a cada valor x da variável aleatória a sua respectiva 
probabilidade. f(x) precisa satisfazer duas condições: 
1. 0 ≤ f(xi) ≤ 1 ou f(x) ≥ 0; 
2. ∑ = 1)(xif 
 
3.3.1. Parâmetros de posição da d.d.p. 
• ∑== )()( xixiPxEµ 
 3
 
3.3.2. Parâmetros de dispersão da d.d.p. 
• [ ] ( )[ ]²)(²)( 222 µσσ −=⇔−= xExExE 
• ²σσ = 
• 100*
µ
σ
=cv 
 
 Atividade em classe - Variáveis aleatórias e Distribuição de probabilidade 
 
1) O espaço amostral relativo ao lançamento simultâneo de duas moedas é: 
S={(ca,ca),(ca,co), (co,ca), (co,co)} e se xi representa o número de caras que aparecem, a cada 
ponto amostral podemos associar um número para x, de acordo com a tabela abaixo. 
Ponto amostral X P(X) 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de Probabilidade 
Número de caras P(xi) 
 
 
 
Σ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
2) Suponha-se que uma loja tenha compilado os seguintes dados sobre vendas de refrigeradores: 
Xi P(xi) 
Número vendido Freqüência relativa 
0 0,20 
1 0,30 
2 0,30 
3 0,15 
4 0,05 
Σ 1,00 
Calcule a esperança de venda dos refrigeradores. 
Resposta: E(X) = 
 
3) Se jogarmos um dado equilibrado, qual o valor esperado numa jogada? 
S={1, 2, 3, 4, 5, 6} E(x)=ΣxiP(xi)=? 
Lados dos dados P(xi) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
Σ 1,00 
 
Resposta: E(X)= 
 
4) Um investidor julga que tem 0,40 de probabilidade de ganhar R$25000 e 0,60 de 
probabilidade de perder R$15000 num investimento. Seu ganho esperado é: 
Resposta: E(X) = 
 
5) Um empreiteiro faz as seguintes estimativas. 
Prazo de execução Probabilidade 
10 dias 0,30 
15 dias 0,20 
20 dias 0,50 
Σ 1,00 
Calcule o prazo esperado para a execução da obra, de acordo com essas estimativas. 
Resposta: E(X) = 
 
6) Dez por cento dos carros num parque de carros usados têm bateria defeituosa. Se há 82 carros 
no lote, qual o número esperado de carros com bateria defeituosa? 
Resposta: E(X) = 
 5
7) Uma confeitaria estabeleceu um registro de vendas para certo tipo de bolo. Determine o 
número esperado de bolos encomendados. Determine a variância, desvio padrão e coeficiente de 
variação. 
Número de bolos/dia Fr 
0 0,02 
1 0,07 
2 0,09 
3 0,12 
4 0,20 
5 0,20 
6 0,18 
7 0,10 
8 0,01 
9 0,01 
Σ 1,00 
Resposta: E(X) = 
 
 
8) O número de acidentes no trecho X da Rodoviária Y no período da noite, em dias de chuva, é 
uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade: 
Nº de acidentes Freqüência 
0 22 
1 5 
2 2 
3 1 
Σ 30 
Pede-se: 
- Em um dia, a probabilidade de: 
a) não ocorrer acidente. 
b) ocorrer um acidente. 
c) ocorrer dois acidentes 
d) ocorrer três acidentes 
- A média dos acidentes 
- A variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação dos acidentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
3.4 Distribuições de Probabilidades Contínuas 
 
Se x é uma variável aleatória contínua, a probabilidade de “x” tomar um 
determinado valor é zero. 
Se para uma variável aleatória contínua “x” se conhece a probabilidade de que assuma 
valores em cada um dos intervalos de seu campo de variação, de tal maneira que a soma das 
probabilidades seja igual a 1, dizemos que está definida uma distribuição de probabilidade x. 
 
 
3.5 Funções de Distribuição para Variáveis Aleatórias contínuas ou função densidade de 
probabilidade 
 
Uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é uma 
função definida no campo de variação da variável, sendo sempre positiva ou nula dentro desse 
campo, devendo representar a expressão matemática de uma curva, de área igual a 1. 
Para que uma função da variável contínua possa ser considerada como uma função 
densidade de probabilidade ela deve satisfazer as seguintes condições: 
1. f(x)≥ 0 Rx ∈∀ 
 2. ∫
+
−
α
α
f(x)dx
 =1 
 
A probabilidade de que a variável “x” assuma um valor dentro do intervalo a≤x≤b, será 
dada pela integral: 
P(a≤x≤b)= ∫
b
a
f(x)dx
 
 
• Gráfico de f(x) 
P(a≤x≤b)= ∫
b
a
f(x)dx = área hachurada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
3.5.1. Parâmetros de posição da d.p.c. 
• =µ E(x) = ∫
+
−
α
α
f(x)dxx 
 
 
3.5.2. Parâmetros de dispersão da d.p.c. 
• [ ] ( )∫
+
−
−=⇔−=
α
α
µσσ dxxfxxExE )(²)(²)( 22 
 E(X²)= ∫
+
−
α
α
f(x)dx x²
 
• σ = ²σ 
• CV= 100*
µ
σ
 
 Atividade de fixação - Variáveis aleatórias e Distribuição de probabilidade. 
1) O tempo gasto, em minutos, para a realização de uma reação química é uma variável aleatória 
contínua com função dada por: 
 f(x) x/4 para 1≤x≤3 
 0 para outros valores 
Pergunta-se: 
a) A função f(x) é uma densidade legítima? 
b) Qual a percentagem da reação que ocorre no intervalo de 2 a 3 minutos? 
c) Calcule a média da reação química. 
d) Calcule a variância e o desvio padrão da reação 
 
2) O tempo de corrosão de determinada peça em contato com uma solução é uma variável 
contínua com função densidade de probabilidade dada por: 


 ≤≤
=
contráriocaso
xxkx
xf
,0
,60²,)( centenas de horas 
 
a) Determine k; 
b) Uma peça é escolhida ao acaso de um lote e colocada em contato com a solução. Qual a 
probabilidade de que dure menos de 400 horas; 
c) Qual a percentagem de pacas com vida útil entre 100 e 400 horas. 
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 Exercício Geral da Unidade III - Estatística Descritiva- Data de entrega: 
____/____/___ 
 
Questão 1. 
 Defina variável aleatória (V.A), variável aleatória discreta (V.A.D.), variável aleatória 
contínua (V.A.C.) e descreve diversos exemplos na sua área de estudo (Administração, Ciências 
Contábeis e Bacharelado em ciência e tecnologia). 
 
Questão 2. 
 Identifique as seguintes variáveis aleatórias como discreta ou contínuas: 
a) O número de acidentes de automóveis em cada ano de uma cidade; 
b) A quantidade de leite produzida por vaca; 
c) O número de ovos postos por mês por uma galinha; 
d) Quantidade de dinheiro (roubado) aguardando reclamação, em uma delegacia; 
e) Número de pacientes esperando atendimento em uma sala de emergência de um hospital 
público; 
f) Total de gols feitos em um jogo de futebol; 
g) Total de reclamações recebidaspor uma companhia de seguros durante, durante um dia; 
h) Sua pressão sanguínea. 
i) A resistência de um determinado tipo de concreto 
j) O comprimento de 100 peixes Tilápias capturados em um açude. 
 
Questão 3. 
 Suponha que 2% dos itens produzidos por uma fábrica sejam defeituosos. Encontre a 
probabilidade P e de existirem 3 defeituosos em uma amostra de 100. 
 
Questão 4. 
Seja X o número de pontos que aparece na jogada de um dado não-viciado. 
a) Encontre a distribuição de probabilidade de x; 
b) Calcule P(1 ≤ x ≤ 4) 
 
 
 
 9
Questão 5. 
O número de acidentes no trecho X da Rodoviária Y no período da noite, em dias de 
chuva, é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade: 
 P(X=x) = k. (3-x). (4-x), x= 0, 1, 2, 3 (k constante) 
a) Encontre o valor de k; 
b) Qual a probabilidade de nenhum acidente naquele trecho e naquele período?; 
c) Qual a probabilidade de pelo menos um acidente; 
d) Qual a probabilidade de uma acidente no máximo. 
 
Questão 6. 
 O quadro a seguir fornece o número de avarias apresentadas por 28 computadores antes 
de completar seis meses de trabalho e as probabilidades respectivas. Encontre o valor esperado 
(média de avarias por máquina durante o período analisado), a variância e o desvio padrão. 
 
X=x 0 1 2 3 4 5 6 
P(X=x) 
28
2
 
28
4
 
28
6
 
28
10
 
28
3
 
28
2
 
28
1
 
 
 
Questão 7. 
 Seja X a variável aleatória da questão 6 (número de avarias apresentadas por 28 
computadores) e defina-se Y=2X, como sendo o custo para concerto de X avarias. Pede-se: 
a) Custo médio 
b) P(Y ≤ 4). 
 
Questão 8. 
 A função de densidade de probabilidade de uma V.A. X é dada por: 
 




<
≤≤
=
0,0
60,)(
2
x
xkx
xf
 
Encontre: 
a) O valor de K 
b) P(X ≥ 2) 
c) P(0 ≤ X ≤ 4). 
 
 
 
 
 10
Questão 9. 
 O tempo de espera por caminhoneiro para desembarque de carga do produto Z em uma 
indústria é uma variável aleatória com f.d.p. dada por: 


 <<
=
contráriocaso
horasemmedidaxkx
xf
,0
,40,)( 
a) Calcule o tempo médio que cada caminhoneiro fica na fila de espera. 
b) Calcule a variância e o desvio padrão. 
 
Questão 10. 
 Seja, 




≤≤+
=
casooutroqualquerem
xsekx
xf
,0
30,
6
1
)(
 
Pede-se: 
a) Encontre o valor de “k” na função para que f(x) seja uma função de densidade de 
probabilidade (F.D.P.); 
b) Encontre P(1 ≤ x ≤ 2) 
c) P( ≥ 2) 
 
 
Questão 11. 
 O tempo de reação de um determinado elemento químico é uma variável aleatória x com 
a seguinte função de densidade de probabilidade: 







≤≤
≤≤
=
contráriocaso
xcx
xcx
xf
,0
32²,
21²,
)(
 
Determine: 
a) A constante c; 
b) P(x ≥ 2) 
c) P(1 ≤ x ≤
2
3 )