Folha02 Electroestatica V2

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Física Geral II - 2012/13
2 - Electroestática
Problemas:
1 - Os relâmpagos ocorrem quando há um fluxo grande de cargas eléctricas (principalmente electrões) 
entre as nuvens e o chão. O fluxo máximo num relâmpago (corrente eléctrica) é da ordem de 
20 000 Cs-1 e costuma durar 100 µs ou menos. Quanta carga eléctrica é transferida entre o chão e a 
nuvem neste intervalo de tempo? Quantos electrões são transferidos?
2 - Duas pequenas esferas de plástico são carregadas positivamente. Quando estão afastadas 15,0 cm, a 
força repulsiva entre elas é de 0,220 N. Qual é a carga em cada esfera se
a) as duas cargas são iguais;
b) uma das esferas tem uma carga 4x maior que a da outra?
3 - Num átomo de hidrogénio afasta-se o electrão do núcleo. A que distância do núcleo é que a força 
eléctrica atractiva é igual ao peso do electrão à superfície da Terra?
4 - Três cargas pontuais estão dispostas numa linha. A carga q
2
 = -3,0 nC está na posição x = +4,0 cm. A 
carga q
3
 = +5,0 nC está na origem. A carga q
1
 está na posição x = +2,0 cm. Qual é o valor da carga q
1
 se 
a força total em q
3
 for zero?
5 - Duas cargas pontuais estão colocadas num eixo vertical da seguinte maneira: a carga q
1
 = -1,5 nC está 
na posição y = -0,6 m, e a carga q
2
 = +3,2 nC está na origem (y=0). Qual é a força total (grandeza, 
direcção e sentido) que estas duas cargas exercem numa terceira carga q
3
 = +5,0 nC localizada em 
y = -0,4 m?
6 - Calcular, e comparar, a grandeza das forças eléctricas e gravítica entre:
a) dois protões a 1 fm de distância;
b) dois protões a 1 m de distância;
c) um protão e um electrão a 10 nm de distância;
d) um protão e um electrão a 1 m de distância;
7 - Uma partícula tem uma carga de -3,0 nC:
a) Determinar a grandeza, direcção e sentido do campo eléctrico devido a esta partícula num 
ponto 0,25 m directamente por cima dela.
b) A que distância desta partícula é que o seu campo tem uma grandeza de 12,0 N C-1? 
8 - a) Qual deve ser a grandeza e o sinal da carga numa partícula de 1,45 g para que permaneça 
estacionária quando colocada num campo eléctrico uniforme, dirigido para baixo, com a 
intensidade de 650 N C-1?
b) Qual é a intensidade de um campo eléctrico no qual a força eléctrica num protão é igual, em 
grandeza, ao seu peso?
9 - Uma pequena partícula, com uma carga eléctrica de -55,0 µC, sofre uma força, para baixo, de 
6,2x10-9 N quando colocada num certo ponto de um campo eléctrico:
a) qual é a grandeza e direcção do campo eléctrico neste ponto? (desprezar a massa da partícula)
b) qual seria a grandeza e direcção da força que actua num núcleo de cobre (número atómico 
Z = 29 e massa atómica A = 63,5 g mol-1) colocado no mesmo ponto do campo eléctrico?
10 - A Terra tem uma carga eléctrica que dá origem a um campo eléctrico à sua superfície dirigido para 
o o seu centro e com uma grandeza de 150 N C-1:
a) Qual a grandeza, e sinal, da carga que uma pessoa de 60 kg teria que adquirir para que a força 
eléctrica equilibrasse o seu peso?
 Folha 2 - Electroestática! pg. 1! FG2 - 2012/13
b) Qual seria a força de repulsão entre duas pessoas cada uma com uma carga igual à calculada em 
(a) e separadas de uma distância de 100 m? Será realizável o voo de pessoas graças ao campo 
eléctrico da Terra?
11 - Com as cargas indicadas na figura ao lado:
a) Marque as forças em cada carga e calcule as suas intensidades.
b) Calcule o campo eléctrico no ponto A (ponto médio do segmento que une 
as cargas q
2
 e q
3
).
12 - Duas cargas pontuais negativas q
1 
= q
2 
= -2 x 10-6 C ocupam os vértices de um 
triângulo rectângulo isósceles, cujos lados iguais medem 1 cm.
a) Calcule o campo eléctrico no outro vértice do triângulo (ponto P).
b) Determine as coordenadas do ponto S, sobre a bissectriz do ângulo recto, 
onde deve ser colocada Q = 1,68 x 10-6 C para que o campo seja nulo no 
ponto P.
13 - Duas cargas pontuais positivas q
1 
= q
2 
= 2 x 10-6 C estão separadas por uma 
distância de 6 cm.
a) Calcule o campo eléctrico no ponto médio do segmento que une as cargas 
(origem das coordenadas).
b) Calcule a força eléctrica exercida sobre uma carga negativa 
Q = -1 x 10-6 C colocada no ponto 
r = 1iˆ (mm) (1mm para a direita da 
origem).
c) Calcule a força eléctrica exercida sobre a carga Q quando colocada no 
ponto 
r = 1 jˆ (mm) (1mm acima da origem).
d) Usando os resultados das alíneas anteriores, justifique a seguinte 
afirmação:
“A origem é um ponto de equilíbrio estável quando se afasta a carga Q na direcção do eixo dos yy, 
e instável quando se afasta a carga na direcção dos eixos dos xx.”
14 - a) Qual é o campo eléctrico no centro de um quadrado de 5 cm de lado com cargas pontuais de 
valor +1 µC colocadas nos seus vértices?
b) Se substituir uma dessas cargas por outra de magnitude -1 µC, qual é o valor do campo eléctrico 
no seu centro?
c) Se, neste último caso, uma carga livre for colocada, com velocidade zero, no centro do quadrado, 
poderia embater com alguma das cargas fixas? Justifique.
15 - Considere os pontos A e B, situados sobre uma linha de força do campo eléctrico criado pela carga 
Q = 4 µC (ver figura)
a) Determine o valor do potencial em A e em B, considerando zero o 
potencial a uma distância infinita da carga Q.
b) Calcule o trabalho realizado pela força eléctrica para deslocar a 
carga q = 10-8 C de A para B.
c) Qual a velocidade como que deve ser lançada de B, ao longo da 
referida linha de força e em direcção a Q, uma partícula de carga 
q = 10-8 C e massa m = 40g para que atinja a posição A com velocidade nula? Suponha que o 
meio é o vácuo e despreze a interacção gravitacional.
16 -Calcule a energia despendida para trazer do infinito as cargas da figura ao 
lado.
 Folha 2 - Electroestática! pg. 2! FG2 - 2012/13
17 - Determine o trabalho que é necessário realizar para agrupar três cargas pontuais positivas de valor 
q = 5 nC nos vértices de um triângulo equilátero de lado l = 2 cm.
18 - Qual o trabalho realizado pelo campo eléctrico produzido por uma 
carga q
1
 = +1 µC sobre outra carga q
2
, de igual magnitude mas de sinal 
oposto, quando esta última se desloca radialmente de A para B? E 
quando se desloca de B para C na direcção azimutal? E, finalmente, 
qual é o trabalho realizado pelo campo quando se desloca a carga de A 
para C através de um caminho que passe pelo infinito um número n de 
vezes antes de chegar a C?
19 - Uma carga pontual de +3 µC é largada na origem das coordenadas a 
partir do repouso. A carga fica sujeita a um campo eléctrico uniforme 
 

E = 2000iˆ (N /C) . Determine:
a) a diferença de potencial eléctrico entre os pontos x = 4 m e x = 0 m;
b) a variação da energia potencial da carga quando passa de x = 0 m e x = 4 m;
c) a energia cinética da carga ao chegar a x = 4 m;
d) a função potencial eléctrico, arbitrando:
 • V(x = 0 m) = 0 V;
 • V(x = 0 m) = 4000 V;
 • V(x = 1 m) = 0 V;
Verifique que todas as funções potenciais correspondem ao mesmo campo eléctrico.
20 - Um feixe de electrões, que se move na direcção do eixo dos xx, passa na origem (x = 0) com 
velocidade v0 = 3,6 ×106 m / s .Verificando-se que, quando as partículas passam em x = 2 cm, a 
velocidade diminuiu para v0 = 1,5 ×105 m s−1 , determine a diferença de potencial entre os pontos 
x = 0 e x = 2 cm. Qual dos pontos está a potencial mais elevado?
Se a diminuição de velocidade tiver sido causada por um campo eléctrico uniforme, caracterize 
esse campo.
21 - A distância entre os dois iões de K+ e Cl- no cloreto de potássio é de 2,8 Å. Determine a energia 
necessária para separar os dois iões , supostos pontuais, para uma distância infinita. Exprima o 
resultado em eV.
22 - O potencial a uma certa distância de uma carga pontual é 600 V e o campo eléctrico produzido pela 
mesma carga é 200 N C-1. Qual é ovalor da carga?
23 - Colocam-se 4 protões nos vértices de um quadrado com 2x10-9 m de lado. Um quinto protão está 
colocado inicialmente num ponto do eixo perpendicular ao quadrado e que passa pelo seu centro, e 
a uma distância de 2x10-9 m do centro do quadrado. Calcular:
a) A velocidade inicial mínima que este quinto protão deve ter para chegar ao centro do quadrado.
b) A sua aceleração inicial e final.
c) Fazer um gráfico da energia potencial do quinto protão em função da sua distância ao centro do 
quadrado. Descrever o seu movimento se a sua energia inicial for menor ou maior que o valor 
encontrado em (a).
24 - Um acelerador linear tem uma diferença de potencial de 800 kV produz um feixe de protões com 
uma corrente total de 1 mA. Calcular:
a) O número de protões que atingem o alvo, por segundo.
b) A potência necessária para manter aquela corrente de protões.
c) A velocidade dos protões quando atingem o alvo.
d) Se os protões perderem 80% da sua energia no alvo, calcular a taxa a que deve ser retirada energia 
do alvo para manter a sua temperatura constante.
 Folha 2 - Electroestática! pg. 3! FG2 - 2012/13
25 - Uma carga Q está distribuída uniformemente num anel de 
raio a (figura). Determinar o campo eléctrico num ponto P do 
eixo do anel e a uma distância x do seu centro.
26 - A figura representa um fio de comprimento l, carregado com 
uma densidade de carga λ > 0 ; o ponto P está a uma distância a 
do fio; a distância de P às extremidades do fio é determinada 
pelos ângulos θ
1
 e θ
2
.
a) Calcule o campo eléctrico criado pelo fio no ponto P. Analise o 
resultado para o caso particular do ponto P estar equidistante das extremidades do fio.
b) Generalize para o caso em que l→∞ .
c) Confirme o resultado da alínea anterior aplicando a lei de Gauss.
d) Calcule o potencial no pontoP no caso do fio infinito.
27 - Um disco isolante de raio a tem uma densidade superficial de carga positiva σ.
 a) Determinar o campo eléctrico 

E num ponto ao longo do eixo do disco e a 
uma distância z do seu centro (considerar z positivo).
 b) Mostre que o valor limite de 

E quando z a tende para o campo de uma 
carga pontual.
c) Obtenha o campo eléctrico criado por um plano infinito com uma densidade 
superficial de carga σ,
 i) a partir dos resultados anteriores, quando z→ 0 ;
 ii) usando a lei de Gauss.
28 - Considere uma lâmina plana infinita com uma densidade superficial de carga σ. Verifique que a lei 
de Gauss é satisfeita no caso particular de uma superfície esférica de raio R, quer esta atravesse a 
lâmina ou não.
29 - Uma esfera isoladora sólida, de raio a, tem uma carga Q uniformemente 
distribuída no seu volume. Uma camada esférica, condutora, de raio interno b 
e raio externo c e concêntrica com a esfera anterior, tem uma carga total -2Q 
(ver figura). Usando a lei de Gauss determinar o campo eléctrico em todo o 
espaço e a distribuição de carga na camada esférica condutora quando o 
sistema está em equilíbrio.
30 - Considere uma esfera de raio R que tem no seu interior uma cavidade esférica 
de raio a. A distância entre o centro da esfera e o centro da cavidade é c. A 
esfera tem uma distribuição uniforme de carga de densidade ρ, excepto no 
interior da cavidade, onde não há cargas. Determine o campo no interior da 
cavidade. (Sugestão: usar o princípio de sobreposição)
 Folha 2 - Electroestática! pg. 4! FG2 - 2012/13
31 - Do ponto de vista eléctrico, a superfície da Terra pode ser considerada um bom condutor. Possui 
uma carga total Q
0
 e uma densidade superficial de carga σ
0
.
a) Numa situação de boas condições meteorológicas, existe um campo eléctrico E
0
 à superfície da 
Terra de valor aproximadamente igual a 150 V m-1. Obtenha o valor da densidade de carga 
superficial e a carga total na superfície da Terra.
b) De acordo com o exposto na alínea anterior existe uma diferença de potencial de cerca de 250 V 
entre o nível do solo e o da cabeça de uma pessoa. Porque não sentimos um efeito semelhante 
ao que sentiríamos se nos ligássemos a uma fonte de tensão de 250  V? (Sugestão: uma pessoa 
comporta-se como um condutor ligado à terra).
c) Faça um esboço das superfícies equipotenciais do campo eléctrico atmosférico na vizinhança de 
uma pessoa. Que alterações ocorrem quando a pessoa muda de uma posição vertical para 
horizontal?
d) A intensidade do campo eléctrico diminui com a distância ao solo, sendo de cerca de 100 V m-1 a 
uma altura de 100  m. Calcule o valor médio da carga por m3 na camada atmosférica 
compreendida entre a superfície da Terra e a altitude de 100 m.
32 - Uma esfera de raio R tem a carga +Q, distribuída de acordo com a densidade ρ(r) = A(R − r) , para 
R ≥ r ≥ 0 , com A constante. A esfera está no interior de outra esfera, oca, concêntrica com a primeira, 
condutora, de raio 2R e espessura fina.
a) Determine a constante A em função de R e Q.
b) Calcule o campo eléctrico e o potencial em todo o espaço, no caso da esfera condutora estar 
electricamente neutra e isolada.
c) Suponha agora que a esfera condutora é ligada à terra. Neste cenário, determine:
 i) as alterações no campo eléctrico e no potencial na região entre as duas esferas e fora delas.
 ii) as alterações nas distribuições de carga.
d) A esfera condutora comporta-se como uma gaiola de Faraday, protegendo um corpo no seu 
interior da influência de campos exteriores. Discuta a possibilidade de proteger um corpo 
exterior da influência de campos gerados no interior da gaiola.
 Massa do electrão: me = 9,1091×10−31kg Massa do protão: mp = 1,6725 ×10−27 kg
 Carga elementar: e = 1,6 ×10−19C Massa do neutrão: mn = 1,6748 ×10−27 kg
 Folha 2 - Electroestática! pg. 5! FG2 - 2012/13
Física Geral II - 2012/13
2 - Electroestática - resultados
1 - Q = 2 µC; N
e
 = 1,25x1019
2 - (a) q = 0,74 µC; (b) q = 0,37 µC
3 - d = 5,1 m
4 - q
1
 = -0,75 nC
5 - (↑y→x ) 

F = −1,58 ×10−7 ˆj N
6 - (a) F
e
 = 101,5 N, F
g
 = 1,9x10-34 N; (b) F
e
 = 1,015x10-28 N, F
g
 = 1,9x10-64 N; (c) F
e
 = 2,31x10-12 N, 
F
g
 = 1,01x10-51 N; (d) F
e
 = 2,31x10-28 N, F
g
 = 1,01x10-67 N
7 - ↑y→x (a) 

E = −432 ˆj N C−1 ; (b) d = 1,5 m
8 - (a) q = 22 µC; (b) E = 1,02x10-7 N C-1
9 - ↑y→x (a) 

E = 1,13×10−4 ˆj N C−1 ; (b) 

F = 5,24 ×10−22 ˆj N
10 - (a) q = -3,92 C; (b) F
e
 = 1,38x107 N
11 - a) Sist. eixos: Orig. em q
3
 (↑y→x ): 
 

Fq1 = 180iˆ −180 jˆ N (Fq1  254,6 N); 

Fq2 = −148iˆ + 32 jˆ N (Fq2  151,4 N); 

Fq3 = −32iˆ +148 jˆ N (Fq3  151,4 N);
b) Direcção: linha que une q
1
 a A; sentido: para fora triângulo; E = 3,6 ×108 N C−1
12 - a) 
 

E = 18 ×107 iˆ+ˆj( )N C−1 ; E = 18 2 ×107 N C−1
b) SP = 0,77 cm ; Sx = Sy = 0,54 cm
13 - a) 0; (b) 

F = 2,7 iˆ N ; (c) 

F = −1,33 ˆj N ;
14 - (a) 0; (b) E = 1,44 ×107 N C−1 , dir. diagonal, sent. carga + para carga -; (c) sim
15 - (a) VA = 3,6 ×105 V , VB = 1,8 ×105 V ; (b) W Fe = 1,8 ×10
−3 J ; (c) vB = 0,3 m s−1
16 - U = −0,66 J
17 - U = 33,75 ×10−6 J
18 - WA→B = −0,375 J , WB→C = 0 J , WA→C =WA→B +WB→C = −0,375 J
19 - (a) V4 −V0 = −8000 V ; (b) ΔU = −24 ×10−3 J ; (c) Ecinf = 24 ×10−3 J ; (d) V (x) = −2000x /
V (x) = −2000x + 4000 /V (x) = −2000x + 2000
20 - V (0cm) −V (2cm) = 36,79 V ; 

E  1840 iˆ V m−1
21 - U = 8,23×10−19 J = 5,14 eV
22 - q = 0,2 µC
23 - (a) vi = 1,28 ×104 m s−1 ; (b) ai = 7,5 ×1016 m s−2 ; af = 0 ; (c) Ep (r) = 8K
q2
r2 + l2 2( )1 2
24 - (a) N = 6,2 ×1015 s-1 ; (b) P = 794 W ; (c) valvo = 1,2 ×10
7 m s−1  4% de c ; P = 635,2 W
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25 - 
 

E = KQ x
x2 + a2( )3 2
iˆ
26 - Sist. eixos: (↑
y→x ): (a) Ex = K
λ
a cosθ2 − cosθ1( ) ; Ey = K
λ
a sinθ2 − sinθ1( ) (θ2 > 0 e θ1 < 0 )
27 - (a) 

E= Ezkˆ ; Ez =
σ
2ε0
1− 1
a z( )2 +1⎡⎣ ⎤⎦
1 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
z > 0
σ
2ε0
−1+ 1
a z( )2 +1⎡⎣ ⎤⎦
1 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
z < 0
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
28 - ...
29 - 

E = Eirˆ ; E1 = K
Q
a3 r (r < a) , E2 = K
Q
r2 (a < r < b) ,E3 = 0 (b < r < c) , E4 = −K
Q
r2 (r > c) ; 
q3int = −Q , q3ext = −Q
30 - 
 

E = ρc3ε0
cˆ
31 - (a) σ = −1,3 nC m−2 ; (b) ... (c) ... (d) ρ  4,4 ×10
−12 C m−3
32 - (a) A = 3Q
πR4 C m
−4 ; 
(b) 
 

E = Q
πε0
r
R3 1−
3
4
r
R
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
rˆ, 0 < r < R ; 
 

E = Q4πε0
1
r2 rˆ, R < r < 2R e r > 2R ; 

E = 0, dentro cond.
 V = Q
πε0
1
R 2 − 2
r2
R2 +
r3
R3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
, 0 ≤ r ≤ R ; V = Q4πε0
1
r , r ≥ 2R (excepto dentro conductor, V=const.)
(c) 

E = igual (b), 0 < r < R ; 

E = igual (b), R < r < 2R ; 

E = 0, r ≥ 2R
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