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3a Prova de A´lgebra Linear — Turma A — 10/10/2012 Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso Prova A 1. Para que 〈(x, y), (u, v)〉 = xu+ 2xv + Ayu+ 6yv seja um produto interno devemos ter (a) A = 0 (b) A = 1 (c) A = 2 (d) A = 3 (e) A = 4 2. Seja 〈, 〉 um produto interno em R2 tal que 〈(1, 0), (1, 0)〉 = 1, 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 e 〈(0, 1), (0, 1)〉 = 2. Enta˜o, 〈(3, 4), (2, 1)〉 e´ igual a: (a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 20 (e) 25 3. Seja B = {v1, v2, . . . , v8} uma base de R8 com v1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1), v3 = (1, 1,−1,−1, 0, 0, 0, 0), v4 = (0, 0, 0, 0, 1, 1,−1,−1), v5 = (1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), v6 = (0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0), v7 = (0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0), v8 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1). Se (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) = a1v1 + a2v2 + . . .+ a8v8, enta˜o a3 e´ igual a: (a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2 4. Seja S = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; x+y+z = 0, w = 0} com o produto interno usual. O complemento ortogonal de S e´ dado por (a) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y} (b) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = z} (c) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z = 0} (d) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z, w = 0} (e) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z} 5. Seja T : R3 → R3 um operador linear dado por T (x, y, z) = ( − x√ 2 + y√ 6 + z√ 3 ,− 2y√ 6 + z√ 3 , x√ 2 + y√ 6 + z√ 3 ) . Se T−1(1, 2, 3) = (a, b, c), enta˜o c e´ igual a (a) 0 (b) 1 (c) √ 2 (d) 2 √ 3 (e) 2√ 6 + √ 3 + 1√ 2 6. Seja T : R4 → R4 um operador linear dado por T (x, y, z, w) = (x+ y + z − w, ax+ 3y + bz + w, x+ 2y + 3z − w,−x+ y + cz + w) . Para que T seja um operador sime´trico e´ necessa´rio que a+ b+ c seja igual a (a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2 7. Determine uma base ortogonal do subespac¸o S = {(x, y, z, w, v) ∈ R5 ; x+ z + v = 0, 2x+ z − v = 0, x+ y − w = 0}. 8. Determine uma matriz P que diagonaliza A = 0 0 20 −1 0 2 0 0 ortogonalmente e exiba P−1AP . Gabarito 1. (a) Primeira soluc¸a˜o: Para que seja um produto interno devemos ter 〈(x, y), (u, v)〉 = 〈(u, v), (x, y)〉 para todos (x, y), (u, v) ∈ R2. Isto e´, xu+ 2xv + Ayu+ 6yv = ux+ 2uy + Avx+ 6vy para todos x, y, u, v reais. Isto acontece se, e so´ se, A = 2. (b) Segunda soluc¸a˜o: Para que seja um produto interno devemos ter 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 〈(0, 1), (1, 0)〉 , isto e´, A = 2. Resposta: (c) 2. 〈(3, 4), (2, 1)〉 = 〈3(1, 0) + 4(0, 1), 2(1, 0) + 1(0, 1)〉 = 〈3(1, 0), 2(1, 0)〉+ 〈3(1, 0), 1(0, 1)〉+ 〈4(0, 1), 2(1, 0)〉+ 〈4(0, 1), 1(0, 1)〉 = 6 〈(1, 0), (1, 0)〉+ 3 〈(1, 0), (0, 1)〉+ 8 〈(0, 1), (1, 0)〉+ 4 〈(0, 1), (0, 1)〉 = 25. Resposta: (e) 3. B e´ uma base ortogonal de R8. Enta˜o, se v = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), temos a3 = 〈v, v3〉 〈v3, v3〉 = −1. Resposta: (b) 4. Uma base de S e´ B = {v1, v2}, onde v1 = (1,−1, 0, 0) e v2 = (1, 0,−1, 0). Sabemos que v = (x, y, z, w) ∈ S⊥ ⇔ 〈v, v1〉 = 0 e 〈v, v2〉 = 0, isto e´, se, e somente se, (x, y, z, w) e´ soluc¸a˜o do sistema { x− y = 0 x− z = 0 . Logo, S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z}. Resposta: (e) 5. A matriz de T na base canoˆnica de R3 e´ [T ] = − 1√ 2 1√ 6 1√ 3 0 − 2√ 6 1√ 3 1√ 2 1√ 6 1√ 3 que e´ ortogonal. Logo, [T−1(1, 2, 3)] = [T ]−1 12 3 = [T ]t 12 3 = √20 2 √ 3 . Portanto, c = 2 √ 3. Resposta: (d) 6. A matriz de T na base canoˆnica de R4 e´ [T ] = 1 1 1 −1 a 3 b 1 1 2 3 −1 −1 1 c 1 . T e´ sime´trico se, e so´ se, [T ] e´ sime´trica, isto e´, se, e so´ se, a = 1, b = 2 e c = −1. Assim, se T e´ sime´trico, enta˜o a+ b+ c = 2. Resposta: (e) 7. Atenc¸a˜o: esta questa˜o possui infinitas respostas, dependendo da base B escolhida. Um exemplo de resposta e´ dado a seguir. S e´ o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo x + z + v = 0 2x + z − v = 0 x + y − w = 0 . Isto e´, S = {(2v, w − 2v,−3v, w, v) ; w, v ∈ R}. Uma base de S e´ B = {(0, 1, 0, 1, 0), (2,−2,−3, 0, 1)}. Aplicando o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt obtemos a base ortogonal B′ = {(0, 1, 0, 1, 0), (2,−1,−3, 1, 1)}. 8. Atenc¸a˜o: Esta questa˜o possui mais de uma soluc¸a˜o. Um exemplo de resposta e´ dado a seguir. A equac¸a˜o caracter´ıstica de A e´ p(λ) = −(λ− 2)(λ+ 1)(λ+ 2) = 0, com ra´ızes λ1 = −2, λ2 = −1 e λ3 = 2. B1 = {(1, 0,−1)}, B2 = {(0, 1, 0)} e B3 = {(1, 0, 1)} sa˜o bases dos autoespac¸os associados a λ1, λ2 e λ3, respectivamente. Como cada vetor de B = {(1, 0,−1), (0, 1, 0), (1, 0, 1)} e´ associado a um autovalor distinto e A e´ sime´trica, segue que B e´ ortogonal. Normalizando os vetores de B, obtemos uma base B′ = {( 1√ 2 , 0,− 1√ 2 ) , (0, 1, 0) , ( 1√ 2 , 0, 1√ 2 )} que e´ ortonormal. Tomamos, enta˜o, P = 1√2 0 1√20 1 0 − 1√ 2 0 1√ 2 . Como P e´ ortogonal, P−1 = P t. Logo, D = P tAP = −2 0 00 −1 0 0 0 2 . 3a Prova de A´lgebra Linear — Turma A — 10/10/2012 Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso Prova B 1. Para que 〈(x, y), (u, v)〉 = 2xu+ 3xv + Ayu+ 6yv seja um produto interno devemos ter (a) A = 0 (b) A = 1 (c) A = 2 (d) A = 3 (e) A = 4 2. Seja 〈, 〉 um produto interno em R2 tal que 〈(1, 0), (1, 0)〉 = 1, 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 1 e 〈(0, 1), (0, 1)〉 = 2. Enta˜o, 〈(4, 2), (−1, 2)〉 e´ igual a: (a) 5 (b) 10 (c) 15 (d) 20 (e) 25 3. Seja B = {v1, v2, . . . , v8} uma base de R8 com v1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), v2 = (1, 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1), v3 = (1, 1,−1,−1, 0, 0, 0, 0), v4 = (0, 0, 0, 0, 1, 1,−1,−1), v5 = (1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), v6 = (0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0), v7 = (0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0), v8 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1,−1). Se (1, 2, 6, 7, 2, 4, 6, 8) = a1v1 + a2v2 + . . .+ a8v8, enta˜o a4 e´ igual a: (a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2 4. Seja S = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; x + y + z = 0} com o produto interno usual. O complemento ortogonal de S e´ dado por (a) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y} (b) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = z} (c) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z = 0} (d) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z, w = 0} (e) S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z} 5. Seja T : R3 → R3 um operador linear dado por T (x, y, z) = ( − x√ 2 + y√ 6 + z√ 3 ,− 2y√ 6 + z√ 3 , x√ 2 + y√ 6 + z√ 3 ) . Se T−1(1, 2, 3) = (a, b, c), enta˜o a e´ igual a (a) 0 (b) 1 (c) √ 2 (d) 2 √ 3 (e) 2√ 6 + √ 3− 1√ 2 6. Seja T : R4 → R4 um operador linear dado por T (x, y, z, w) = (x− y + z − w, ax+ 3y + bz + w, x+ 2y + 3z − w,−x+ y + cz + w) . Para que T seja um operador sime´trico e´ necessa´rio que a+ b+ c seja igual a (a) -2 (b) -1 (c) 0 (d) 1 (e) 2 7. Determine uma base ortogonal do subespac¸o S = {(x, y, z, w, v) ∈ R5 ; x+ z + v = 0, 2x+ z − v = 0, x+ y − w = 0}. 8. Determine uma matriz P que diagonaliza A = 0 0 20 −1 0 2 0 0 ortogonalmente e exiba P−1AP . Gabarito 1. (a) Primeira soluc¸a˜o: Para que seja um produto interno devemos ter 〈(x, y), (u, v)〉 = 〈(u, v), (x, y)〉 para todos (x, y), (u, v) ∈ R2. Isto e´, 2xu+ 3xv + Ayu+ 6yv = 2ux+ 3uy + Avx+ 6vy para todos x, y, u, v reais. Isto acontece se, e so´ se, A = 3. (b) Segunda soluc¸a˜o: Para que seja um produto interno devemos ter 〈(1, 0), (0, 1)〉 = 〈(0, 1), (1, 0)〉 , isto e´, A = 3. Resposta: (d) 2. 〈(4, 2), (−1, 2)〉 = 〈4(1, 0) + 2(0, 1),−1(1, 0) + 2(0, 1)〉 = 〈4(1, 0),−1(1, 0)〉+ 〈4(1, 0), 2(0, 1)〉+ 〈2(0, 1),−1(1, 0)〉+ 〈2(0, 1), 2(0, 1)〉 = −4 〈(1, 0), (1, 0)〉+ 8 〈(1, 0), (0, 1)〉 − 2 〈(0, 1), (1, 0)〉+ 4 〈(0, 1), (0, 1)〉 = 10. Resposta: (b) 3. B e´ uma base ortogonal de R8. Enta˜o, se v = (1, 2, 6, 7, 2, 4, 6, 8), temos a4 = 〈v, v4〉 〈v4, v4〉 = −2. Resposta: (a) 4. Uma base de S e´ B = {v1, v2, v3}, onde v1 = (1,−1, 0, 0), v2 = (1, 0,−1, 0) e v3 = (0, 0, 0, 1). Sabemos que v = (x, y, z, w) ∈ S⊥ ⇔ 〈v, v1〉 = 0, 〈v, v2〉 = 0 e 〈v, v3〉 = 0, isto e´, se, e somente se, (x, y, z, w) e´ soluc¸a˜o do sistema x− y = 0 x− z = 0 w = 0 . Logo, S⊥ = {(x, y, z, w) ; x = y = z, w = 0}. Resposta: (d) 5. A matriz de T na base canoˆnica de R3 e´ [T ] = − 1√ 2 1√ 6 1√ 3 0 − 2√ 6 1√ 3 1√ 2 1√ 6 1√ 3 que e´ ortogonal. Logo, [T−1(1, 2, 3)] = [T ]−1 12 3 = [T ]t 12 3 = √20 2 √ 3 . Portanto, a = √ 2. Resposta: (c) 6. A matriz de T na base canoˆnica de R4 e´ [T ] = 1 −1 1 −1 a 3 b 1 1 2 3 −1 −1 1 c 1 . T e´ sime´trico se, e so´ se, [T ] e´ sime´trica,isto e´, se, e so´ se, a = −1, b = 2 e c = −1. Assim, se T e´ sime´trico, enta˜o a+ b+ c = 0. Resposta: (c) 7. Veja a resposta da Prova A. 8. Veja a resposta da Prova A.
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