Aula 5 Flexão Tensões normais e cisalhantes

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Resistência dos Materiais II
Aula 5 - Flexão: tensões normais e cisalhantes
INTRODUÇÃO
Esta aula dá continuidade ao tema �exão de vigas isostáticas retas, iniciando com a apresentação e a análise das
con�gurações deformadas, que nos levará ao modelo adotado para especi�cação da forma e da quanti�cação das
tensões atuantes nas seções transversais (normais e cisalhantes).
OBJETIVOS
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Descrever a con�guração deformada de vigas isostáticas;
Distinguir o modelo que avalia a intensidade e a forma das tensões normais nas seções transversais de vigas retas;
Examinar o modelo que avalia a intensidade e a forma das tensões de cisalhamento nas seções transversais de vigas
retas.
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DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
Nós vamos nos limitar a analisar vigas isostáticas retas, como já foi combinado anteriormente. 
Para entender como é a con�guração deformada de uma viga, precisamos entender os apoios que são os elementos
que impedem os deslocamentos em pontos estratégicos. 
A essência se reduz a duas situações relevantes, o apoio simples, que permite o giro e impede o deslocamento vertical,
e o engaste, que, além de impedir os deslocamentos, impede o giro. 
A seguir é apresentado um conjunto de situações em que podemos perceber a diferença entre o apoio simples e o
engaste.
Fonte da Imagem:
A linha inferior descreve a con�guração deformada de cada caso. 
Uma viga jamais poderia ter uma con�guração deformada como as da �gura porque ela não estaria cumprindo seu
papel, que seria, além de promover a condução das cargas aos apoios com segurança, passar a sensação de
segurança. 
Isso somente seria possível com deformações imperceptíveis. Por isso, obviamente essas con�gurações deformadas
estão exageradas para que possamos estudá-las. 
Uma forma interessante de estudo da con�guração deformada das vigas é utilizar material deformável, como neoprene
ou espuma. 
Um modelo de viga com uma malha ortogonal desenhada conforme a �gura permite que possamos observar que, após
carregada, as linhas horizontais se curvam e as verticais permanecem retas, mas sofrem rotação.
MODELO MATEMÁTICO PARA REPRESENTAR ESSE COMPORTAMENTO
Após essas observações, podemos tomar algumas decisões no sentido de construir um modelo matemático que
possa representar esse comportamento: 
• O eixo longitudinal da viga que passa pelo centroide da seção transversal não sofre alteração de comprimento e
passa a ser denominado eixo neutro, embora se curve; 
• As seções transversais permanecem planas e perpendiculares ao eixo neutro. Portanto, sofrem rotação; 
• As deformações da seção transversal no seu próprio plano serão desprezadas por não serem relevantes no contexto
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das pequenas deformações. 
Agora vamos isolar um pequeno trecho de uma viga com seção transversal genérica, de comprimento Δx.
GRANDEZAS NO ELEMENTO INDEFORMADO
Vamos de�nir algumas grandezas no elemento indeformado: 
• Largura original Δx constante em toda altura; 
• Altura y medida a partir do eixo neutro; 
• Largura Δs medida em y vale Δx antes da deformação.
ELEMENTO DEFORMADO
Agora vamos analisar o elemento após a deformação.
Temos que destacar algumas grandezas novas: 
• Centro de rotação O’; 
• Raio ρ de O´até o eixo neutro; 
• Nova largura do elemento em y vale Δs; 
• Ângulo referente à porção analisada é Δθ.
Veja a situação da porção deformada: 
• A espessura do elemento acima do eixo neutro é inferior a Δx; 
• A espessura do elemento abaixo do eixo neutro é superior a Δx; 
• O encurtamento que ocorre acima do eixo neutro só pode ser proveniente de tensões normais de compressão; 
• O alongamento que ocorre abaixo do eixo neutro só pode ser proveniente de tensões normais de tração.
Antes da deformação, a espessura do elemento em uma posição y era Δs e passou a ser Δs´ após a deformação.
Portanto, podemos nos organizar matematicamente e dizer que:
Observando o elemento deformado, também podemos a�rmar que, como Δs é igual a Δx e Δx pode ser escrito como
ρΔθ, é possível reescrever a expressão da deformação assim:
Isso não nos ajudou muito, mas Δ𝑠´ é a espessura da seção em y e, portanto, podemos dizer que vale (ρ−y)Δθ. 
Assim, podemos novamente reescrever a expressão da deformação:
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Cortando os Δθ:
Um valor interessante é a deformação máxima. Como y é a distância medida a partir do eixo neutro, se consideramos c
a distância máxima para chegarmos à superfície do elemento partindo do eixo neutro. 
Então, a deformação máxima será:
DEFORMAÇÃO EM RELAÇÃO À DEFORMAÇÃO MÁXIMA
As coisas podem até estar indo bem, mas ainda não temos ideia do valor de ρ. Logo, vamos trabalhar com a
deformação em relação à deformação máxima para ver o que acontece. 
Se ε for a deformação em qualquer ponto da seção e εmáx for a deformação na superfície (máxima), podemos montar
a seguinte relação:
TENSÕES NORMAIS
Analisando a Lei de Hooke, é fácil perceber que as tensões são proporcionais às deformações (a constante é o módulo
de elasticidade), tornando possível a�rmar que:
Como a seção está em equilíbrio, o eixo neutro pode ser localizado a partir da premissa de que a resultante das
tensões na seção deve ser nula, pois não há esforço normal.
Como temos certeza de que -σmáx / c é diferente de zero, então, obrigatoriamente ∫ ydA = 0. Isso signi�ca que o
momento estático deve ser nulo, fato que nos leva a �rmar que: o eixo neutro passa pelo centroide da seção
transversal.
INDICAÇÃO DE LINK
Clique aqui (glossário) para algumas questões vistas na aula anterior.
DEFORMAÇÕES RELACIONADAS ÀS TENSÕES
Relacionando as deformações com as tensões, podemos a�rmar que em uma seção sujeita a um momento M:
• As tensões variam linearmente (de forma análoga às deformações); 
• A tensão no eixo neutro é nula; 
• A tensão máxima ocorre no ponto mais afastado do eixo neutro (c).
Como a ideia é dispor de um modelo que avalie as tensões na seção transversal, temos que relacionar o momento M
com as tensões. 
A resultante de um diagrama de tensões é uma força, que já sabemos que é nula. No entanto, podemos dividir o
diagrama de tensões em duas porções. 
Uma acima do eixo neutro, também conhecido como linha neutra, que nos dará uma resultante de compressão, e outra
porção abaixo da linha neutra, que nos dará uma resultante de tração. 
A
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Como já vimos que a resultante é nula, a resultante de compressão (porção acima da linha neutra) deve ser igual em
intensidade à resultante de tração (abaixo da linha neutra). 
Esse par de forças constrói um binário cujo efeito é exatamente igual ao momento �etor na seção.
Vamos reconsiderar determinar o momento a partir das tensões.
Como conhecemos o valor de M do diagrama de momentos, podemos reescrever a expressão assim:
Genericamente (para qualquer y), podemos dizer que:
Fonte: Shutterstock
Assim conseguimos um modelo baseado nas observações e hipóteses assumidas que nos permite avaliar o valor das
tensõesnormais em uma seção transversal de uma viga, conhecendo o momento �etor e suas características
geométricas.
INDICAÇÃO DE LINK
Clique aqui (glossário) para entender na prática.
TENSÕES DE CISALHAMENTO
Uma visão exagerada das deformações causadas em uma viga em balanço por uma carga concentrada na sua
extremidade nos mostra que as seções transversais não permanecem planas como havíamos admitido no estudo
anterior.
No entanto, como em projeto de estruturas, lidamos com pequenas deformações (imperceptíveis). Proporcionalmente,
as deformações por cisalhamento não são relevantes podendo ser desprezadas. Dessa forma, as hipóteses admitidas
anteriormente permanecem válidas.
ISOLAMENTO DE UM PEQUENO TRECHO DE UMA VIGA COM
COMPRIMENTO DX
Vamos iniciar isolando um pequeno trecho de uma viga com comprimento dx. 
Se consultarmos o diagrama de momentos �etores, teremos um valor de momento na posição x e outro na posição
x+dx.
Agora vamos visualizar como seriam as tensões normais em x e em x+dx.
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Apesar das forças resultantes do lado direito (dF´) serem diferentes das resultantes do lado esquerdo (dF), o somatório
é nulo, pois os pares se compensam. 
No entanto, se considerarmos apenas uma porção desse elemento (do topo até uma posição y´, contada a partir da
linha neutra), não teremos a mesma condição de equilíbrio. 
Como as tensões do lado direito são diferentes das tensões do lado esquerdo, o equilíbrio somente é possível pela
tensão tangencial que surge na face inferior da porção estudada.
CONSTRUÇÃO DE UMA VIGA ATRAVÉS DO EMPILHAMENTO DE
VÁRIAS TÁBUAS
Para visualizar essa tensão tangencial longitudinal, vamos imaginar a construção de uma viga através do
empilhamento de várias tábuas, inicialmente soltas e posteriormente coladas. 
Veja o que ocorre ao carregarmos as vigas nas 2 situações:
As tábuas, quando soltas, deslizam umas sobre as outras. Já, quando estão coladas, sofrem deformação, pois estão
impossibilitadas de deslizar, gerando a tensão tangencial longitudinal que detectamos no modelo que estávamos
desenvolvendo.
DESENVOLVIMENTO MATEMÁTICO DAS EXPRESSÕES
Voltando ao nosso modelo, vamos promover o desenvolvimento matemático das expressões que vão avaliar a forma e
a intensidade das tensões de cisalhamento na seção transversal, avaliando a área A´ em destaque.
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TENSÕES TANGENCIAIS LONGITUDINAIS
Não podemos deixar de lembrar que estamos avaliando as tensões tangenciais longitudinais. 
No entanto, elas também são válidas para a seção transversal porque elas são complementares e, portanto, possuem o
mesmo valor. 
Para entender isso basta isolar um elemento tridimensional in�nitesimal e veri�car que essa condição deve ser
observada para que seja possível seu equilíbrio.
DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO
Vamos avaliar as tensões de cisalhamento em uma seção transversal retangular de uma viga.
Diante disso vamos analisar o termo Q:
A análise dessa expressão nos leva a perceber que as grandezas V, b e h são constantes e que apenas y nos dá a
distância em relação ao centroide da seção.
Também é possível observar tratar-se de uma função parabólica (2º grau), com valor nulo para y = ± h/2 e valor
máximo para y=0 (centroide).
INDICAÇÃO DE LINK
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Clique aqui (glossário) para entender na prática.
1 – A viga da �gura suporta dois pilares circulares com 30cm de diâmetro e tensão de compressão de 12MPa. 
Sabendo que a viga possui seção retangular com base de 60cm, altura de 90cm e peso especí�co de 25kN/m ,
especi�que o valor da tensão máxima de tração imposta nas suas seções transversais:
25,1MPa
20,9MPa
23,0MPa
2,1MPa
17,3Mpa
Justi�cativa
2 - Supondo uma limitação de tensão máxima de compressão para a viga da �gura de 10MPA, determine a altura
máxima para a parede suportada para a viga. 
Dados: 
Viga: seção de 0,6 (base) x 1m(altura) e peso especí�co de 25kN/m3. 
Parede: peso especí�co de 20kN/m3 e largura de 0,6m.
1,15 m
3
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1, 55 m
1, 90 m
2,15 m
2,80 m
Justi�cativa
3- Sabendo que o mármore é um material linear elástico com ruptura frágil a uma tensão de 1,38MPa (tração) e com
peso especí�co de 24kN/m , vamos analisar as suas condições de armazenamento. 
Quando você passa por uma marmoraria, como as placas estão armazenadas? 
Calcule a máxima tensão em cada caso e especi�que quantas vezes uma é maior do que a outra (considere 2cm de
espessura).
São iguais
5
10
15
20
Justi�cativa
3
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Glossário