Limites de Funções de Duas Variáveis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
MTM- CÁLCULO B – PARA COMPUTAÇÃO 
LIMITES E CONTINUIDADE 
 
Quando trabalhamos com funções de uma variável, os domínios eram, em geral 
intervalos. Para funções de duas ou três variáveis, a situação é diferente. Assim iremos 
apresentar alguns conceitos para facilitar a interpretação de limites destas funções. 
Definição 1: Bola Aberta: Dados P0 ( x0, y0 ) ∈ R
2 
 e um número positivo r, a bola aberta 
B(P0,r), de centro em P0 e raio r, é definida como o conjunto de todos os pontos P(x,y) 
∈ R2 cuja distância até P0 é menor que r, isto é, pelos pontos P(x,y) que satisfazem 
| P – P0 | < r. 
Geometricamente, B (P0, r) é o conjunto de todos os pontos internos à circunferência 
de centro em P0 e raio r. 
 
Podemos escrever: 
})()(|),{(),( 20
2
0
2
0 ryyxxRyxrPB <−+−∈= 
 
Definição 2: Ponto Interior: 
Seja A um conjunto de pontos do R
2
. 
Dizemos que um ponto P ∈ A é um 
ponto interior de A se existir uma bola aberta 
centrada em P e contida em A. 
Se todos os pontos P ∈ A são pontos interiores de A então A é aberto. 
Definição 3: Ponto de Fronteira: 
Seja A um conjunto de pontos do R
2 
. 
Dizemos que um ponto P ∈ A é um ponto de fronteira de A 
se toda bola aberta centrada em P contiver pontos de A e pontos que estão fora de A. 
O conjunto de todos os pontos de fronteira do conjunto A é chamado de fronteira de 
A. 
Analogamente podemos definir ponto interior, ponto de fronteira, fronteira e conjunto 
fechado para conjuntos A ⊂ R n 
P0 
x0 
r y0 
Ponto 
Interior 
Ponto de 
Fronteira 
Ponto de 
Fronteira 
Ponto 
Interior 
Exemplo: 
 
1) Seja A o conjunto de todos os pontos do plano xy que estão dentro ou sobre o 
círculo de raio 1 centrado na origem. Escreva, na notação de conjuntos, e 
represente geometricamente o conjunto A, seu interior I e sua fronteira B. 
2) Seja A = { ( x, y, z ) ∈ R3 / x > 0, y > 0, z > 0 }, verifique se A é aberto, e 
determine a fronteira de A. 
3) Seja D = {( x, y ) ∈ R2 / y ≥ 2x + 1} ∪ { ( 0, 0 )}, verifique se D é aberto. 
 
 
Definição 4: Conjuntos Limitados e Ilimitados: Seja A um conjunto de pontos do R2 . 
Dizemos que A é limitado se o 
conjunto inteiro couber dentro 
de algum retângulo, e é ilimitado 
se não houver retângulo que 
contenha todos os pontos de A. 
 
Analogamente, um conjunto de pontos 
no R
3
 é limitado se o conjunto couber 
dentro de alguma caixa; e é ilimitado, caso contrário. 
 
Definição 5: Ponto de acumulação: Seja A um conjunto de pontos do R2 . 
Dizemos que um ponto P´ ∈ R2 é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta de 
centro em P´ conter uma infinidade de pontos de A. 
Intuitivamente, podemos dizer que P´ é um ponto de acumulação de A quando 
existirem pontos de A diferentes de P´, que estejam tão próximos de P´ quanto 
desejarmos. 
Exemplos: 
1) Seja }1)()(0|),{(
2
0
2
0
2 <−+−<∈= yyxxRyxA 
 2) Seja A = { (x,y) ∈ R2 / y > x2 } 
 
x 
x 
y y 
Conjunto 
Limitado no R
2
 
Conjunto Ilimitado 
no R
2
 
 
LIMITES DE UMA FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS 
 
Sejam f: A ⊂ R2 → R e (x0,y0) um ponto de acumulação de A. Dizemos que o limite de 
f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (x0,y0) é um número real L se, para todo ε > 0, existir 
um δ > 0 tal que | f(x,y) – L | < ε sempre que (x,y) ∈ A e 0 < | (x,y) – (x0,y0) | < δ. E 
denota-se: 
lim
( x,y)→( x0 ,y0 )
f ( x, y) = L ou lim
x→x0
y→y0
f ( x, y) = L 
As propriedades dos limites de funções de uma variável podem ser estendidas para os 
limites de funções de várias variáveis. 
Exemplos: 1) Calcular os seguintes limites: 
a) lim
x→2
y→−1
( x 3y + x 2y 3 − 2xy + 4) = b) lim
x→0
y→2
x + y = c) lim
x→−1
y→1
x 3y + 4
x + y − 2
 
 
 
 
 
 = 
LIMITES AO LONGO DE CURVAS 
 
Para uma função de uma variável, há limites laterais em ponto x0, mas agora não 
temos mais apenas dois sentidos dos quais x pode se aproximar de x0. Para funções de 
duas ou mais variáveis, a situação é mais complicada, pois há uma infinidade de curvas 
diferentes ao longo das quais o ponto pode ser aproximado. 
 
 
 
Intuitivamente o limite ),(lim
),(),( 00
yxf
yxyx →
existe se por qualquer um dos caminhos 
escolhido ele tender sempre para o mesmo L. 
 
A proposição a seguir auxilia essa interpretação. 
 
x0 
(x0,y0) 
 y0 
x 
 y 
(x,y) 
Proposição: Sejam D1 e D2 dois subconjuntos do domínio de f, D(f), ambos 
tendo(x0,y0) como ponto de acumulação. Se f(x,y) tem limites diferentes quando (x,y) 
tende a ( x0, y0) através de D1 e de D2, respectivamente, então lim
x→x0
y→y0
f ( x, y) = L não 
existe. 
Com isso vemos que certos limites de Funções de duas variáveis não existem. 
Para isso, tomamos conjuntos particulares convenientes, dados, por exemplo, por 
pontos de curvas que passem em (x0, y0). Nesse caso, o limite se transforma no limite 
de uma função de uma variável. 
Exemplos: 
1) Se D1 é o conjunto dos pontos do eixo dos x, o limite de 
f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) através dos pontos de 
D1 é dado por: 
 
lim
x→0
y=0
( x, y) = lim
x→0
( x,0) 
2) Se D2 é o conjunto dos pontos da reta y = 2x, o limite de 
f(x,y) quando (x,y) tende a (0,0) através dos pontos de D2 é 
dado por: 
 
lim
x→0
y= 2x
(x, y) = lim
x→0
(x,2x) 
3) Se D3 é o conjunto dos pontos de eixo positivo dos y, o 
limite de f(x,y) quando (x,y) tende a (0,0) através dos pontos 
de D3 é dado por: 
lim
y→0+
x=0
( x, y) = lim
y→0+
(0, y) 
4) Verifique o limite das seguintes funções nos conjuntos indicados: 
lim
( x,y )→(0,0 )
2xy
x 2 + y 2
 
 
 
 
 
 = 
D1: Pelo eixo dos x 
D2: Pelo eixo dos y 
D3: Através de pontos da reta y = x. 
LIMITES GERAIS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS 
 
A interpretação acima é importante para afirmar que um determinado limite não 
existe, mas insuficiente para afirmar sua existência, pois o número de caminhos é 
infinito. Assim, a afirmativa 
 ),(lim
),(),( 00
Lyxf
yxyx
=
→
 
Significa que os valores de f(x,y) podem ser tomados tão perto quanto quisermos de L 
(dentro de ε unidades de L) restringindo (x,y) a ficar dentro ( mas não no centro) de 
uma bola aberta suficientemente pequena centrada em (x0,y0), ou seja: 
Definição: Seja f uma função de duas variáveis, escrevemos 
 ),(lim
),(),( 00
Lyxf
yxyx
=
→
 
Se dado um numero ε>0, podemos encontrar um numero δ>0 de modo que f(x,y) 
satisfaça |f(x,y)-L|<ε sempre que (x,y) estiver no domínio de f a distância entre 
(x,y) e (x0,y0) satisfizer 
δ<−+−< 20
2
0 )()(0 yyxx . 
Graficamente: 
 
 
CÁLCULO DE LIMITES ENVOLVENDO INDETERMINAÇÕES 
 
Em algumas situações será necessário realizar algebrismos para calcular 
determinados limites: 
Exemplo: 
1) Calcular lim
x→2
y→1
x 3 + x 2y − 2xy − 2x 2 − 2x + 4
xy + x − 2y − 2
 
2) Calcular lim
x→0 +
y→1−
x + y − 1
x − 1− y
 
 
CONTINUIDADE 
 
Definição: Sejam f: A ⊂ R2 → R e ( x0, y0) um ponto de acumulação de A. Dizemos que 
f é contínua em ( x0, y0) se: 
lim
(x ,y)→(x0 ,y0 )
f (x,y) = f (x0 ,y0 ) 
Além disso, se f for contínua em cada ponto de uma região R no plano cartesiano, 
então dizemos que f é contínua sobre R. Ainda, dizemos que é uma função contínua se 
ela for continua em cada ponto do seu domínio. 
Exemplos: 1) Discutir a continuidade da função: 
f ( x, y) =
x 2 + y 2 + 1, se x 2 + y 2 ≤ 4
0, se x 2 + y 2 > 4
 
 
 
 
Proposições: 
1. Sejam f e g duas funções contínuas no ponto ( x0,
y0) então: 
 
a) f+g é contínua em ( x0, y0); 
b) f-g é contínua em ( x0, y0); 
c) f.g é contínua em ( x0, y0); 
d) f/g é contínua em ( x0, y0) 
e) fog é contínua em ( x0, y0); 
 
2. Uma função polinomial de duas variáveis é contínua no R
2
. 
3.Uma função racional de duas variáveis é contínua em todos os pontos do seu 
domínio. 
Exemplos: Discuta a continuidade das seguintes funções: 
 
 
 
 
)4ln(),()
2233
1
),()
252),()
22
22
22
+=
++−−+
−+
=
−+=
yxyxhc
yxxyxyx
yx
yxgb
xyyxyxfa