Regra-da-Cadeia (1)

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Faculdade de 
Tecnologia
UERJ - Resende
Professora Gabriela Coutinho
Regra da Cadeia, Derivada Impĺıcita, Máximos e
Mı́nimos
1 Regra da cadeia
Vamos estender o que aprendemos com diferenciais para estudar a Regra da Cadeia
para funções duas ou mais variáveis. Existem dois tipo de regra da cadeia: um que
envolve x e y como função de uma única variável e outro que envolve x e y como função
de outras duas variáveis.
Em cálculo 1 vimos a regra da cadeia para uma função de uma variável, onde apren-
demos a derivar uma função composta do tipo f(x), tal que x = g(t), da seguinte forma
df
dt
=
df
dx
dx
dt
.
Regra da Cadeia (uma variável independente): Seja w = f(x, y), onde f é
uma função diferenciável de x e y. Se x = g(t) e y = h(t), então w é uma
função diferenciável de t, e
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
Prova: Aprendemos na aula passada que uma função de duas variáveis w =
f(x, y) era derivável se pudéssemos escrever o incremento como
∆w =
∂w
∂x
∆x+
∂w
∂y
∆y + "1∆x+ "2∆y
onde "1, "2 → 0 quando (∆x,∆y) → (0, 0). Dividindo ambos os lados da
equação acima por ∆t, temos
∆w
∆t
=
∂w
∂x
∆x
∆t
+
∂w
∂y
∆y
∆t
+ "1
∆x
∆t
+ "2
∆y
∆t
.
Fazendo o ∆t → 0, implica que (∆x,∆y) → (0, 0), pois
∆x = g(t+∆t)− g(t) → 0 ∆y = h(t+∆t)− h(t) → 0
1
e, consequentemente, "1, "2 → 0. Aplicando o limite, encontramos
lim
∆t→0
∆w
∆t
=
∂w
∂x
lim
∆t→0
∆x
∆t
+
∂w
∂y
lim
∆t→0
∆y
∆t
+ lim
∆t→0
"1 lim
∆t→0
∆x
∆t
+ lim
∆t→0
"2 lim
∆t→0
∆y
∆t
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
+ 0 · dx
dt
+ 0 · lim
∆t→0
dy
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
Regra da Cadeia
t
yx
w f (x, y)
w
y
w
x
dy
dt
dx
dt
dw
dt
w
x
dx
dt
w
y
dy
dt
Variáveis 
Intermediárias
Variável 
Dependente
Variável 
Independente
Figure 1: Figura retirada de [3].
Na figura 2 podemos ver o diagrama da árvore em que mostra w como a variável
dependente, x e y como variáveis intermediárias e t como variável independente. Na
verdade, podemos ver que w = f(x(t), y(t)) depende, no final das contas, somente de
t e que x e y são apenas variáveis intermediárias, por isso nós tratamos a dw/dt como
derivada total e não parcial.
Exemplo Seja w = x2y − y2, onde x = sent e y = et. Encontre dw/dt quando t = 0.
Pela regra da cadeia envolvendo uma única variável independente, temos
dw
dt
=
∂w
∂x
dx
dt
+
∂w
∂y
dy
dt
= 2xy(cos t) + (x2 − 2y)et
= 2( sent)(et)(cos t) + ( sen2t− 2et)et
= 2et sent cos t+ et sen2t− 2e2t.
Quando t = 0, segue que
dw
dt
!!!!
t=0
= −2
2
A regra da cadeia pode ser estendida para qualquer número de variáveis. Por exemplo,
se cada xi é uma função diferenciável de uma única variável t e w = f(x1, x2, · · · , xn),
temos que
dw
dt
=
∂w
∂x1
dx1
dt
+
∂w
∂x1
dx2
dt
+ · · ·+ ∂w
∂xn
dxn
dt
Agora vamos ver o caso em que as variáveis intermediárias são funções de outras duas
variáveis
Regra da Cadeia (duas variáveis independente): Seja w = f(x, y), onde f é
uma função diferenciável de x e y. Se x = g(r, s) e y = h(r, s), então w é
uma função diferenciável de r e s, tal que
∂w
∂r
=
∂w
∂x
∂x
∂r
+
∂w
∂y
∂y
∂r
∂w
∂s
=
∂w
∂x
∂x
∂s
+
∂w
∂y
∂y
∂s
No caso em que w é função de 3 variáveis intermediárias, x, y e z, i.e., w = f(x, y, z),
tal que x = g(r, s), y = h(r, s) e z = k(r, s), temos
∂w
∂r
=
∂w
∂x
∂x
∂r
+
∂w
∂y
∂y
∂r
+
∂w
∂z
∂z
∂r
∂w
∂s
=
∂w
∂x
∂x
∂s
+
∂w
∂y
∂y
∂s
+
∂w
∂z
∂z
∂s
w
(a)
g h k
f
x y z
r, s
Variável 
Dependente
Variáveis 
Independentes
Variáveis 
Intermediárias
w f ( g(r, s), h (r, s), k (r, s))
(b)
r
zx y
w f (x, y, z)
w
x w
y
y
rx
r
w
z
z
r
w
r
w
x
x
r
w
y
y
r
w
z
z
r
s
zx y
(c)
w
x w
y
y
sx
s
w
z
z
s
w
s
w
x
x
s
w
y
y
s
w
z
z
s
w f (x, y, z)
Figure 2: Figura retirada de [3].
Exemplo: Se u = x4y + y2z3, onde x = rset, y = rs2e−t e z = r2s sent, determine o
valor de ∂u/∂s quando r = 2, s = 1 e t = 0.
3
Temos que
∂u
∂s
=
∂u
∂x
∂x
∂s
+
∂u
∂y
∂y
∂s
+
∂u
∂z
∂z
∂s
= (4x3y)(ret) + (x4 + 2yz3)(2rse−t) + (3y2z2)(r2 sent).
Quando r = 2, s = 1 e t = 0, temos x = 2, y = 2 e z = 0, portanto
∂u
∂s
= (64)(2) + 16(4) + (0)(0) = 192
2 Derivada Impĺıcita
Vamos agora utilizar a regra da cadeia para obter a derivada de uma função definida
implicitamente. Suponha que F (x, y) = 0, onde assumimos que y = f(x) é uma função
diferenciável de x. Se considerarmos que
w = F (x, y) = F (x, f(x)),
temos que
dw
dx
= Fx(x, y)
dx
dx
+ Fy(x, y)
dy
dx
.
Como w = F (x, y) = 0 isso implica que dw/dx = 0, ou seja,
0 = Fx(x, y)
dx
dx
+ Fy(x, y)
dy
dx
.
Se Fy(x, y) ∕= 0 e levando em conta que dx/dx = 1, podemos escrever
dy
dx
= −Fx(x, y)
Fy(x, y)
.
Um procedimento similar pode ser realizado para derivadas parciais de funções definidas
implicitamente envolvendo mais variáveis.
Derivação Impĺıcita: Se a equação F (x, y) = 0 define implicitamente y como
uma função de x, então
dy
dx
= −Fx(x, y)
Fy(x, y)
, Fy(x, y) ∕= 0
Se a equação F (x, y, z) = 0 define implicitamente z como uma função de x e
y, então
∂z
∂x
= −Fx(x, y)
Fz(x, y)
,
∂z
∂y
= −Fy(x, y)
Fz(x, y)
Fz(x, y) ∕= 0.
4
Exemplo: Encontre dy/dx dada por y3 + y2 − 5y − x2 + 4 = 0
Vamos começar definindo F (x, y) como
F (x, y) = y3 + y2 − 5y − x2 + 4.
Sabendo que Fx = −2x e Fy = 3y2 + 2y − 5, segue que
dy
dx
= −Fx(x, y)
Fy(x, y)
=
2x
3y2 + 2y − 5 .
3 Extremos de uma Função de Duas Variáveis
Funções cont́ınuas de duas variáveis assumem valores extremos em domı́nios fechados
e limitados. Veremos nesta seção que podemos obter os valores extremos examinando
as primeiras derivadas parciais das funções. Uma função de duas variáveis pode assumir
valores extremos apenas nos pontos de fronteira do domı́nio ou em pontos onde domı́nio
interno (sem considerar as fronteiras) têm as primeiras derivadas parciais iguais à zero
ou onde uma ou ambas das primeiras derivadas parciais não existem. No entanto, a
derivadas parciais iguais a zero em um ponto interno (a, b) nem sempre sinaliza a presença
de um valor extremo, podemos estar considerando uma função representada por um
gráfico no formato de uma sela.
z
y
x
 
z
y
x
Figure 3: Figura retirada de [3].
Na figura 3 temos 3 situações: o gráfico da esquerda tem um mı́nimo z = 0 localizado
no (0, 0) e máximo na fronteira; o gráfico do centro tem um máximo z = 0 localizado em
(0, 0) e mı́nimo na fronteira; o gráfico da esquerda mostra um ponto de sela em (0, 0).
No caso de uma função f de uma variável, o Teorema do Valor Extremo diz que, se
f é cont́ınua em um intervalo fechado [a, b], então f tem um valor mı́nimo absoluto e
um valor máximo absoluto. Assim como no cálculo envolvendo uma variável, existe uma
distinção entre máximos e mı́nimos relativos (locais) e absolutos. Isso vai depender se
estamos considerando uma região aberta ou fechada. Do mesmo modo que os intervalos
fechados contêm suas extremidades, um conjunto fechado de R2 contém todos os seus
pontos da fronteira.
5
(a) Região fechadas
(b) Regiões Abertas
Figure 4: Figura retirada de [3].
3.1 Extremos Locais
Para encontrar os valores extremos locais de uma função de uma única variável,
procuramos pontos onde o gráfico possui uma linha tangente horizontal. Em tais pontos,
podemos ter máximos locais, mı́nimos locais ou pontos de inflexão. Para uma função
f(x, y) de duas variáveis, os máximos e mı́nimos locais podem ocorrer onde a superf́ıcie
z = f(x, y) tem um plano tangente horizontal tal que fx = fy = 0 (veja figura 4). Nesses
pontos em que o plano tangente é horizontal podemos ter máximos locais, mı́nimos locais
ou pontos de sela.
Máximos Locais 
Mínimo Local
 
Figure 5: Figura retirada de [3].
Extremos Relativos (Locais): Seja f uma função cont́ınua de duas variáveis
x e y definida na região R que contém o ponto (a, b).
1. A função tem um mı́nimo relativo (local) em (a, b) se
f(x, y) ≥ f(a, b)
para todos (x,y) no disco aberto contendo(a, b).
6
2. A função tem um máximo relativo (local) em (a, b) se
f(x, y) ≤ f(a, b)
para todos (x, y) no disco aberto contendo (a, b).
Teorema: Se f tem um máximo ou um mı́nimo local em (a, b) e as derivadas
de primeira ordem existem nesses pontos, então fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0.
Um ponto (a, b) é chamado de ponto cŕıtico (ou ponto estacionário) de f se fx(a, b) e
fy(a, b) = 0, ou se uma das derivadas parciais não existirem. Assim como no cálculo de
única variável, nem todos cŕıticos originam máximos ou mı́nimos. Um ponto cŕıtico pode
ser um máximo ou mı́nimo local, mas também pode não ser nenhum dos dois. Um ponto
de sela, por exemplo, não é um ponto de máximo ou mı́nimo e tem derivadas parciais
iguais a zero por ter um plano tangente de inclinação zero e que cruza a superf́ıcie. Na
verdade, o que ocorre no ponto de sela é que o ponto corresponde a um mı́nimo em uma
direção e a um máximo em outra direção, apresentando um formato de sela.
Teste da Segunda Derivada: Suponha que as segundas derivadas parciais de
f sejam cont́ınuas em uma região aberta com centro (a, b), e suponha que
fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0 (ou seja, (a, b) é um ponto cŕıtico de f). Seja
D = D(a, b) = fxx(a, b)fyy(a, b)− [fxy(a, b)]2
1. Se a D > 0 e fxx(a, b) > 0, então f(a, b) é um mı́nimo local.
2. Se a D > 0 e fxx(a, b) < 0, então f(a, b) é um mı́nimo local.
3. Se a D < 0, então f(a, b) não é mı́nimo local nem máximo local, é um
ponto de sela.
4. Se D = 0, o teste é inconclusivo.
Note que se D > 0 as derivadas parciais fxx(a, b) efyy(a, b) tem o mesmo sinal. Isso
significa que podemos substituir fxx(a, b) efyy(a, b) nas duas primeiras partes do teste.
Para relembrar a fórmula do D, chamado de Hessiano, é conveniente escrevê-lo na forma
de determinante
D =
!!!!
fxx(a, b) fxy(a, b)
fyx(a, b) fyy(a, b)
!!!! .
onde fxy(a, b) = fyx(a, b).
7
Exemplo: Ache os extremos relativos (locais) da função f(x, y) = xy
Fazendo as derivadas parciais iguais a zero para obter os pontos cŕıticos
fx = y = 0 fy = x = 0.
Temos que (0, 0) é um ponto cŕıtico, agora vamos ver se ele corresponde a um máximo,
mı́nimo ou ponto de sela. Para isso vamos precisar das segundas derivadas
fxx = 0, fyy = 0 fxy = fyx = 1.
Fazendo o teste da segunda derivada, temos que
D(0, 0) = fxx(0, 0)fyy(0, 0)− [fxy(0, 0)]2 = 0− (1)2 = −1 < 0
então (0, 0) é um ponto de sela
Exemplo: Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m2 de papelão.
Determine o volume máximo dessa caixa.
Vamos tratar x, y e z como o comprimento, a largura e a altura da caixa em metros.
Assim o volume da caixa é dado por
V = xyz
e a área dos quatro lado mais a área da base deve corresponder
2xy + 2yz + xy = 12.
Isolando o z, encontramos que z = (12− xy)/(2(x+ y)) e V fica
V = xy
12− xy
2(x+ y)
=
12xy − x2y2
2(x+ y)
.
Calculando as derivadas parciais
∂V
∂x
=
12− 2xy − x2
2(x+ y)2
∂V
∂y
=
x2(12− 2xy − y2)
2(x+ y)
.
O volume V é máximo ∂V/∂x = ∂V/∂y = 0, mas x = 0 ou y = 0 dá V = 0, de modo
que precisamos resolver as equações
12− 2xy − x2 = 0 12− 2xy − y2 = 0
Isso implica que x2 = y2 e, consequentemente, x = y. Colocando a igualdade nas
equações acima obtemos 12− 3x2 = 0 o que fornece x = 2, y = 2 e z = 1.
Podemos utilizar o teste da segunda derivada ou argumentar que o problema corresponde
a um problema de natureza f́ısica em que um máximo certamente existe. Neste caso, o
máximo corresponde à V = 2 · 2 · 1 = 4m3.
8
3.2 Extremos Absolutos
Considere uma função f cont́ınua de duas variáveis definida numa região fechada R.
Os valores f(a, b) e f(c, d), tal que
f(a, b) ≤ f(x, y) ≤ f(c, d)
para todo (x, y) em R são chamado de máximos e mı́nimo de f na região R. Lembre-se
que uma região fechada contém os pontos das sua fronteira.
Teorema dos Extremos: Seja f uma função cont́ınua de duas variáveis x e y
definida na região fechada R no plano xy.
1. Existe pelo menos um ponto em R tal que f tem um valor mı́nimo
absoluto.
2. Existe pelo menos um ponto em R tal que f tem um valor máximo
absoluto.
Os valores absolutos de f(x, y) podem ocorrer somente:
(i) Nos pontos da fronteira do domı́nio da função.
(ii) Nos pontos cŕıticos (pontos no interior da região limitada em que fx = fy = 0
ou pontos em que fx e fy não existem).
Então para encontrar os valores máximos e mı́nimos absolutos você precisa primeiro obter
o valor da função nos pontos cŕıticos, depois obter os valores da função na fronteira da
região fechada e, por fim, comparar os valores. O valor de máximo absoluto corresponde
ao maior valor obtido entre o ponto cŕıtico e os pontos da fronteira. Enquanto o valor
mı́nimo absoluto corresponde ao menor valor obtido entre o ponto cŕıtico e os pontos da
fronteira.
Exemplo: Determine os valores máximo e mı́nimo da função f(x, y) = x2 − 2xy+ 2y
no retângulo D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2}.
Figure 6: Figura retirada de [3].
9
Como f se trata de um polinômio, ela é cont́ınua no retângulo fechado e limitado D,
portanto, existe um máximo absoluto e um mı́nimo absoluto. Primeiro vamos investigar
os pontos cŕıticos obtidos através de
fx = 2x− 2y = 0 fy = −2x+ 2 = 0.
Resolvendo o sistema de duas equações e duas incógnitas encontramos ponto cŕıtico dado
por (1, 1). O valor da função nesse ponto é dado por f(1, 1) = 1.
Agora vamos obter os valores da função na fronteira de f . Observe os lados da figura 6
que em L1, temos y = 0 e
f(x, 0) = x2 0 ≤ x ≤ 3.
Nos extremos desse trecho, temos f(0, 0) = 0 e f(3, 0) = 9. Já em L2, temos x = 3 e
f(3, y) = 9− 4y 0 ≤ y ≤ 2.
Nos extremos desse trecho, temos f(3, 0) = 9 e f(3, 2) = 1. Já em L3, temos y = 2 e
f(x, 2) = x2 − 4x+ 4 0 ≤ x ≤ 3.
Nos extremos desse trecho, temos f(0, 2) = 4 e f(3, 2) = 1. Finalmente, em L4, temos
x = 0 e
f(0, y) = 2y 0 ≤ y ≤ 2.
Nos extremos desse trecho, temos f(0, 0) = 0 e f(0, 2) = 4.
Observe que, entre os valores da f obtidos na fronteira do retângulo D e para o ponto
cŕıtico, o que tem menor valor é o f(0, 0) = f(2, 2) = 0, então o valor é um mı́nimo
absoluto e o que tem maior valor é o f(3, 0) = 9 correspondendo a um máximo absoluto.
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References
[1] J. Stewart, Cálculo, vol.2. 7a. ed., Cengage Learning.
[2] R. Larson e B. H. Edwards, Multivariable Calculus, Brooks Cole.
[3] M. D. Weir, J. Hass e G. B. Thomas, Thomas Calculus, Pearson India.
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