02 GEOM ANALITICA EQUAÇÃO DA RETA R2

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PROF. NILO
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Quantos pontos determinam uma reta?
Imagine dois pontos conhecidos fixos A(xA, yA) e B(xB, yB). Esses pontos então determinam uma reta.
2
Pense agora num terceiro ponto móvel P(x, y) qualquer que pertença à essa reta. 
Então esses 3 pontos são colineares e será válido aplicar a condição de alinhamento de três pontos.
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Aplicando a Regra de Sarrus, obtemos:
Equação da Reta na Forma Geral
Colocando x e depois y em evidência e denominando A, B e C, chegamos à equação da reta.
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A Forma Geral da Reta que obtivemos é:
Chegamos até ela através da equação abaixo, onde A = yA  yB; B = xB  xA e C = xA.yB  xB.yA :
Veja que se A = 0, temos que yA = yB. Assim teremos uma reta horizontal (de inclinação 0) e sob a ótica das funções, teremos uma Função Constante.
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Partindo da mesma Forma Geral da Reta citada, temos:
Onde A = yA  yB; B = xB  xA e C = xA.yB  xB.yA .
Veja que se B = 0, temos que xB = xA. Assim teremos uma reta vertical (de inclinação 90°) e sob a ótica dos gráficos cartesianos, não será o de uma Função.
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Imagine agora um ponto conhecido fixo P0(x0, y0) e um ponto móvel P(x, y) ambos pertencentes a uma reta r cuja declividade m também é conhecida. Dessa forma também se pode chegar à equação da reta r.
Como  é agudo, temos um arco do 1º quadrante, onde tg = m > 0 e uma função crescente.
Como  é obtuso, temos um arco do 2º quadrante, onde tg = m < 0 e uma função decrescente.
ou
Chamando y0  m.x0 = b, chegamos à Forma Reduzida da Reta.
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Até aqui, vimos algumas formas distintas de chegar na equação da reta r, conforme abaixo.
ou
Equação da Reta na Forma Geral
Equação da Família de Retas que passam num ponto (ou do Feixe de Retas)
Equação Reduzida da Reta
O Coeficiente Angular também pode ser chamado de Declividade ou Taxa de Variação!
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A Forma Geral da Reta sabe-se que é:
Vamos providenciar o isolamento da variável y.
Comparando esse resultado com a Forma Reduzida y = m. x + b, concluímos que:
Confirmada por outra via, a dedução anterior.
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A Forma Reduzida da Reta é:
Quando a reta corta o eixo x, temos y = 0. Então:
Quando a reta corta o eixo y, temos x = 0. Então:
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Corte no eixo x:
b/m = 0   b = 0
Corte no eixo y:
b/m = 0   b = 0
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Só poderá ser utilizada quando a reta não passar na origem e não for nem horizontal nem vertical!
Imagine uma reta que atenda aos requisitos citados passando nos pontos de corte nos eixos (a, 0) e (0, b). Lembrando que a  0 e b  0. 
Dividindo toda a equação por a.b, temos:
Chegamos então a:
Desenvolvendo o Determinante, aplicando a Regra de Sarrus, temos:
Equação da Reta na Forma Segmentária
Sendo a e b não nulos.
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Pode-se calcular a área do triângulo formado pela reta com os eixos coordenados. 
Não será preciso utilizar determinantes!
Nesse caso, todos os triângulos são retângulos, portanto é só aplicar a fórmula abaixo.
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Uma forma também utilizada na Geometria Analítica no IR2 é a Paramétrica, que mostraremos a seguir!
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EXEMPLO 01
Esboce os gráficos cartesianos das retas abaixo. 
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Resp: 
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EXEMPLO 02
Dadas as equações de reta abaixo, esboce seus gráficos cartesianos. 
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Resp: 
d)3x 2y + 6 = 0
a)2x + 3y 12 = 0
c)x + 4y + 16 = 0
b)4x 6 y + 8 = 0
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Resp: 
f)2x  y = 0
e)5x  y = 0
g)x  y = 0
h)x + y = 0
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EXEMPLO 03
Certa reta passa pelos pontos A(3, 2) e B(1, 4). Faça o que se pede.
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EXEMPLO 04
Obtenha uma reta que passe pelo ponto P(1, 1) e defina com os eixos coordenados um triângulo de área 2 no 1° quadrante.
Resp: x + y 2 = 0
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EXEMPLO 05
Resp:
a) AB: y = x  3; AC: y = 0; BC: y = x + 5;
b) x = 4; c) x = 4; d) Nesse triângulo em particular, a bissetriz interna do ângulo B se confunde com a mediana do lado AC.
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EXEMPLO 06
Dada a reta r de equação (m + 3).x  2.y + 6 = 0, obtenha m em cada um dos casos abaixo.
Resp:
a) m > 3
b) m < 3
c) m = 3
d) impossível
e) m = 9
f) m = 9
g) impossível
h) m = 0 ou m = 6
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EXEMPLO 07
Determine a equação da reta em cada caso abaixo.
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EXEMPLO 08
Uma barra de ferro foi aquecida até a temperatura de 30°C e a seguir foi resfriada até a temperatura de 6°C. O gráfico abaixo mostra a temperatura da barra em função do tempo (em minutos).
a)Depois de quanto tempo, após o início do resfriamento, a temperatura da barra atingiu 0°C? 
Resp:
a)5min; b)5min; c)1min; d)2min
b)De 0 a 6min, em que intervalo de tempo a temperatura da barra esteve positiva?
c)De 0 a 6min, em que intervalo de tempo a temperatura da barra esteve negativa?
d)Quanto tempo se passou após o início do resfriamento até que a temperatura chegasse até 18°C?
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EXEMPLO 09
As escalas de temperaturas Celsius(C) e Fahrenheit(F) estão relacionadas pelo gráfico cartesiano abaixo.
a)Obtenha F em função de C; 
b)Uma temperatura de 40°C equivale a que temperatura em °F?
c)Uma temperatura de 10°F equivale a que temperatura em °C?
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EXEMPLO 10
A figura abaixo mostra o gráfico posição x tempo de um móvel em Movimento Retilíneo Uniforme.
a) Obtenha a equação da função horária S(t);
b) Qual é a velocidade do móvel?
c) No instante t = 6s, qual é a posição do móvel?
d) Em que instante o móvel ocupa a posição 50m?
e) Esboce o gráfico da velocidade média em função do tempo;
f) Quanto mede a aceleração? 
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EXEMPLO 11
O gráfico abaixo mostra como o dinheiro gasto y(em R$), por uma empresa, na produção de óleo varia com a quantidade de óleo produzida x(em litros).
a)Quando a empresa não produz nada, quanto ela gasta?
b)Para produzir 1 litro de óleo, quanto a empresa gasta?
c)Se a empresa gasta R$ 156,00, quantos litros de óleo ela produz?
Resp:
a) 20 reais;
b) 54 reais;
c) 4 litros.
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EXEMPLO 12
O preço unitário y, em reais, de um produto diminui de acordo com a quantidade x de unidades compradas. Para 1  x  50, os pontos (x, y) pertencem à reta ao lado.
Comprando-se 40 unidades desse produto, qual será o preço unitário?
Resp: R$ 60,00
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Uma curva é o Lugar Geométrico seguido por um ponto que se move de acordo com certas leis. 
A interseção de 2 curvas pode ser obtida algebricamente pela resolução do sistema formado pelas equações dessas curvas ou geometricamente pela observação dos gráficos cartesianos.
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EXEMPLO 13
Dadas as curvas y = 2x e y = x2 + 4x, faça o que se pede. 
b)Com a ajuda de um “software”, trace os gráficos das duas curvas no mesmo plano cartesiano, mostrando os pontos de corte nos eixos e a interseção entre elas. 
a)Obtenha as coordenadasdo(s) ponto(s) de interseção; 
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EXEMPLO 14
Resp: a)3x  2y = 0; 6° dia e 9cm de altura
Determine:
a)A equação da reta;
b)O dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura?
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Dadas duas retas, na Forma Reduzida, o que deve ocorrer com os seus Coeficientes Angulares e com os seus Coeficientes Lineares se o sistema for Indeterminado? 
Vejamos então que as equações seriam:
Resolvendo o sistema por comparação, chegamos a:
Isolando o x, obtemos:
Para que fique caracterizado um sistema indeterminado, o numerador e o denominador devem ser iguais a zero. 
Resposta: Coeficientes Angulares iguais e Coeficientes Lineares iguais! 
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Dadas duas retas, na Forma Reduzida, o que deve ocorrer com os seus Coeficientes Angulares e com os seus Coeficientes Lineares se o sistema for Impossível? 
Como vimos anteriormente, as equações são:
Aproveitando o resultado anterior, temos que:
Para que fique caracterizado um sistema impossível, o denominador deve ser igual a zero e numerador diferente de zero.
Resposta: Coeficientes Angulares iguais e Coeficientes Lineares distintos! 
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Dadas duas retas, na Forma Reduzida, o que deve ocorrer com os seus Coeficientes Angulares e com os seus Coeficientes Lineares se o sistema for Determinado? 
Para que fique caracterizado um sistema determinado, basta que ele não seja nem indeterminado e nem impossível. Portanto:
Resposta: Coeficientes Angulares distintos! 
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No caso de duas retas, podem ocorrer as situações abaixo:
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EXEMPLO 15
Resolva os sistemas abaixo, classificando-os.
Resp: (2, 1), sistema possível e determinado.
Resp: (3, 2), sistema possível e determinado.
Resp: sistema possível e indeterminado.
Resp: sistema impossível.
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EXEMPLO 16
Certo triângulo é obtido traçando-se as retas (r) x + 5y 8 = 0, (s) 5x + y + 8 = 0 e (t) y = x  2 no mesmo plano cartesiano. Faça o que se pede.
a) Num mesmo plano cartesiano, trace as retas r, s e t, mostrando os pontos de interseção com os eixos coordenados e os pontos de interseção entre elas.
b) Quanto medem as áreas dos triângulos formados por cada reta com os eixos coordenados?
c) Quanto mede a área do triângulo formado pelas três retas?
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EXEMPLO 17
Discuta a posição relativa entre os pares de retas abaixo.
Resp: 
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EXEMPLO 18
Dada a reta r de equação x  2y + 2 = 0, obtenha a equação da reta s, simétrica à reta r em relação ao eixo das abscissas.
Resp: x + 2y + 2 = 0
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EXEMPLO 19
Determine a reta simétrica da reta x 8y + 16 = 0 em relação ao eixo y. 
Resp: x + 8y  16 = 0
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EXEMPLO 20
Uma das diagonais de um quadrado está contida na reta x + y = 4. Determine seus vértices sabendo que um deles é o ponto (1, 1).
Resp: (3, 3), (1, 3) e (3, 1)
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EXEMPLO 21
Na figura abaixo temos no mesmo plano cartesiano duas retas concorrentes. Faça o que se pede. 
a) Obtenha a equação da reta r na forma segmentária;
b) Obtenha a equação da reta s na forma geral;
c) Obtenha as coordenadas do ponto de interseção entre r e s;
d) Obtenha a área do triângulo limitado pela reta r com os com a reta s e o eixo x;
e) Obtenha a área do triângulo limitado pela reta s com a reta r e o eixo y;
f) Obtenha a área do quadrilátero “hachuriado”.
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Resp: 
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EXEMPLO 22
Para transformar graus Fahrenheit em graus Celsius é preciso utilizar funções do 1º grau. Sabe-se que 32 graus Fahrenheit equivale a 0 graus Celsius e que 100 graus Celsius equivalem a 212 graus Fahrenheit.
a)Considerando F a temperatura em Fahrenheit e C a temperatura em graus Celsius, obtenha F em função de C;
b)Transforme 35 graus Celsius em Fahrenheit;
c)Qual é a temperatura em graus Celsius em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus Celsius? Esboce um gráfico cartesiano que resolva essa questão.
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EXEMPLO 23
O sistema de cobrança de dois pesque-pague particulares combinam uma taxa de ingresso, fixa e individual, com o preço do quilo de peixe que o pescador leva para casa. Num deles, o pescador paga um valor equivalente a uma taxa de ingresso de R$ 8,00 e mais R$ 6,00 por quilo de peixe que levar. No outro, paga um valor equivalente a uma taxa de ingresso de R$ 2,00 e mais R$ 8,00 por quilo de peixe que levar.
a)Obtenha as equações das leis que descrevem os dois sistemas de cobrança e esboce esses gráficos num mesmo plano cartesiano, colocando o peso no eixo x e o valor total a pagar no eixo y;
b)Discuta os intervalos de peso em que um pesque-pague é mais vantajoso que o outro.
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EXEMPLO 24
No plano cartesiano ao lado, são representadas as posições de dois pontos materiais A e B que percorrem uma mesma trajetória retilínea. 
a)Calcule a velocidade escalar de cada um deles;
b)Calcule a distância que os separa no instante t = 5s;
c)Esboce num mesmo diagrama horário, o gráfico de suas velocidades escalares em função do tempo;
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EXEMPLO 25
Uma fábrica produz óleo de soja sob encomenda, de modo que toda produção é comercializada. O custo de produção é composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, independente do volume produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutenção de equipamentos, salários etc; a outra parcela é variável, dependente da quantidade de óleo fabricado. 
No gráfico ao lado, r1 representa o custo de produção e r2 descreve o faturamento da empresa, ambos em função do número de litros comercializados. A escala é tal que uma unidade representa R$ 1000,00 no eixo y e 1000 litros no eixo x.
a)Qual é o custo, em reais, da parcela fixa?
b)Qual é o volume mínimo de óleo a ser produzido para que a empresa não tenha prejuízo?
Resp: a)R$ 10000,00; b) 10000 litros
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EXEMPLO 26
A empresas ALFA e BETA alugam televisores do mesmo tipo. A empresa ALFA cobra R$ 35,00 fixos pelos primeiros 30 dias de uso e R$ 1,00 por dia extra. A empresa BETA cobra R$ 15,00 pelos primeiros 20 dias de uso e R$ 1,50 por dia extra. Após n dias o valor cobrado pela empresa BETA passa a ser maior do que o cobrado pela empresa ALFA. Obtenha n. 
Resp:n = 40
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EXEMPLO 27
Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo.
Resp:a) Plano C; b) a partir de 50 minutos.
a)Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utiliza 25 minutos por mês?
b)A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é mais vantajoso que os outros dois?
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EXEMPLO 28
Observe o triângulo da figura abaixo. Faça o que se pede. 
a)Obtenha as equações das três medianas do triângulo;
b)Obtenha as coordenadas do Baricentro pela interseção das retas do item a);
c)Obtenha as comprimentos das três medianas;
Resp:
a) 
b)
c)
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EXEMPLO 29
Observe o triângulo da figura abaixo. Faça o que sepede. 
a)Obtenha as equações das três bissetrizes internas do triângulo;
b)Obtenha as coordenadas do Incentro pela interseção das retas do item a);
c)Obtenha a medida do raio do círculo inscrito.
Resp:
a) 
b)
c)
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Ok?
Agora vocês são Pós-Doutores em Equações da Reta no IR2 !
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D. Kléténic, Problemas de Geometria Analítica, Livraria Cultura Brasileira Editora, 2ª Edição, 1984.
J. N. Pompeo, O. Dolce, Fundamentos de Matemática Elementar, Geometria Plana, Editora Atual, 2005.
G. Iezzi, Fundamentos de Matemática Elementar, Geometria Analítica, Editora Atual, 2005.
J.R. Bonjorno, J.R. Giovanni, Matemática Completa, volume 3, Editora FTD, 2005.
C.H. Lehmann, Geometria Analítica, Editora Globo, 1974.
J.H. Kindle, Geometria Analítica, Coleção Schaum, Editora Mc Graw-Hill do Brasil, 1974.
N.J. Machado, Matemática por Assunto, volume 7, Editora Scipione, 1990.
J.L. Boldrini, S. I. R. Costa, V. L. F. F. Ribeiro, H. G. Wetzler, Álgebra Linear, Editora Harbra, 1980.
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