Para encontrar a equação vetorial da reta \( r \) que passa pelo ponto \( A(3, 5, 9) \) e é ortogonal ao plano \( \alpha \), precisamos primeiro determinar o vetor normal do plano. A equação do plano \( \alpha \) é dada na forma paramétrica: \[ (x, y, z) = (1, 4, 2) + t_1(5, 1, 1) + t_2(2, 1, 0) \] Os vetores \( (5, 1, 1) \) e \( (2, 1, 0) \) são vetores que estão contidos no plano. Para encontrar o vetor normal ao plano, podemos calcular o produto vetorial desses dois vetores. Vamos calcular o produto vetorial: \[ \vec{v_1} = (5, 1, 1) \quad \text{e} \quad \vec{v_2} = (2, 1, 0) \] \[ \vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \vec{n} = \hat{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \hat{j}(5 \cdot 0 - 1 \cdot 2) + \hat{k}(5 \cdot 1 - 1 \cdot 2) \] \[ \vec{n} = \hat{i}(-1) - \hat{j}(-2) + \hat{k}(5 - 2) \] \[ \vec{n} = (-1, 2, 3) \] Agora, a reta \( r \) que passa pelo ponto \( A(3, 5, 9) \) e é ortogonal ao plano terá a seguinte equação vetorial: \[ r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(-1, 2, 3) \] Analisando as alternativas: A) \( r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(-1, 2, 3) \) - Correta. B) \( r: (x, y, z) = (1, 4, 2) + t(5, 1, 1) \) - Incorreta. C) \( r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(5, 1, 1) \) - Incorreta. D) \( r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(2, 1, 0) \) - Incorreta. Portanto, a alternativa correta é a) \( r: (x, y, z) = (3, 5, 9) + t(-1, 2, 3) \).