2 - Geometria Analítica - O espaço

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Geometria Analítica
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O Espaço
Sistema de Coordenadas
y
Py
P
x’
y’
No Plano.....
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A
A’
O
1
1
xPx
O Espaço
Sistema de Coordenadas
z
Pz
P(x, y, z)
Os eixos x, y e z são
perpendiculares entre
si.
Cada par de eixo forma
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x
y
Px
Py
P0
O
Cada par de eixo forma
um plano:
•Plano XY
•Plano XZ
•Plano YZ
O Espaço
Distância entre Dois Pontos
• Sejam P(x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2) dois pontos do 
espaço
• A distância entre eles é dada por:
� d(P, Q) = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2
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� d(P, Q) = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2
• Exemplo: P(2, -1, 0), Q(-3, 4, 2)
� d(P, Q) = √(-3 – 2)2 + (4 + 1)2 + (2 – 0)2 = √54
O Espaço
Vetores no Espaço
• Semelhante ao vetor no plano, definimos um vetor 
no espaço como sendo uma terna ordenada de 
números reais (x, y, z) e interpretamos a seta OP 
como sendo sua representação gráfica
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como sendo sua representação gráfica
• R3 = conjunto de vetores no espaço
P
O Espaço
Vetores no Espaço
• O vetor O = (0, 0, 0) é o vetor nulo no espaço
• Como antes, um vetor pode partir de qualquer ponto 
do espaço não necessariamente da origem
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A
B
O Espaço
Vetores no Espaço
• No caso abaixo, o número √x2+y2+z2 é chamado o 
módulo do vetor v = (x, y, z) e é indicado por ||v||
� O módulo é igual ao comprimento da seta que o 
representa
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representa
v
O Espaço
Vetores no Espaço
• Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) vetores e k um 
número real
• Então
� u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
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� u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
� ku = (kx1, ky1, kz1)
� u.v = x1x2 + y1y2 + z1z2
• são, respectivamente, a soma de vetores, o produto 
de um escalar por um vetor e o produto escalar de 
dois vetores
O Espaço
Vetores no Espaço
• A desigualdade de Cauchy-Schwarz continua válida: 
|u.v| ≤ ||u|| ||v||
• O ângulo entre os vetores u e v, θ, é tal que:
� 0 ≤ θ ≤ π
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� 0 ≤ θ ≤ π
� cos θ = (u.v) / (||u|| ||v||)
• Se u e v são perpendiculares entre si, então u.v = 0
O Espaço
Produto Vetorial
• Nosso objetivo é determinar um vetor w = (x,y,z) que 
seja simultaneamente perpendicular a dois vetores 
dados, u = (a, b, c) e v = (a1, b1, c1)
• Devemos ter
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• Devemos ter
� u.w = 0 ax + by + cz = 0
� v.w = 0 a1x + b1y + c1z = 0
• Esse sistema admite infinitas soluções, como:
� x = bc1 – b1c; y = a1c – ac1; z = ab1 – a1b
O Espaço
Produto Vetorial
• Assim, o vetor w = (bc1 – b1c, a1c – ac1, ab1 – a1b) é 
simultaneamente perpendicular a u e v
• O vetor w é chamado produto vetorial de u por v, 
indicado por u x v
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indicado por u x v
v
u
w
O Espaço
Produto Vetorial
• Como calcular o produto vetorial:
� Sejam:
• i = (1, 0, 0)
• j = (0, 1, 0) Versores
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• k = (0, 0, 1)
� O produto vetorial é dado pelo cálculo do determinante da 
matriz:
i j k
a b c
a1 b1 c1
O Espaço
Produto Vetorial
• Exemplo:
� Sejam: u = (-1, 2, 4) e v = (1, 3, 5). Então u x v é:
i j k
= 10i – 12i + 4j + 5j – 3k -2k
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� Assim, u x v é: (-2, 9, -5)
i j k
-1 2 4
1 3 5
= 10i – 12i + 4j + 5j – 3k -2k
= -2i +9j -5k = (-2, 9, -5)
O Espaço
Produto Vetorial
• OBS: O produto vetorial não é comutativo
� No exemplo anterior:
i j k
= 12i – 10i - 5j - 4j + 2k + 3k
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� Assim, v x u é: (2, -9, 5) = -(u x v)
i j k
1 3 5
-1 2 4
= 12i – 10i - 5j - 4j + 2k + 3k
= (2, -9, 5)
Observe a mudança de sinais!!
O Espaço
Produto Vetorial
• Proposição: Quaisquer que sejam os vetores não-
nulos u e v de R3, tem-se:
� ||u X v|| = ||u|| ||v|| sen θ
• onde θ é o ângulo entre u e v.
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• onde θ é o ângulo entre u e v.
O Espaço
Produto Vetorial
• Considere, por exemplo, os vetores da figura abaixo e 
o paralelogramo que eles formam:
θ
h
v
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• A área do paralelogramo é dada pela base x altura
� Base = ||u||
� Altura = h = ||v|| sen θ
θ
u
Logo:
Área = ||u|| ||v|| sen θ
Área = ||u X v||
O Espaço
Produto Misto
• O número
� (u X v).w
• onde u, v e w pertencem ao R3, é chamado de 
produto misto dos vetores u, v e w
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produto misto dos vetores u, v e w
• Se u = (a1,b1,c1), v=(a2,b2,c2) e w=(a3,b3,c3):
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 b3 c3
(u X v).w = det 
O Espaço
Produto Misto
• Propriedades:
� (u X v).w = (v X w).u
� (u X v).w = u.(v X w)
• O módulo do produto misto dos vetores u, v e w é 
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• O módulo do produto misto dos vetores u, v e w é 
igual ao volume do paralelepípedo definido por esses 
vetores
O Espaço
Produto Misto
• Exemplo 1: u=(3, 5, 7), v=(2, 0, -1) e w=(0, 1, 3)
3 5 7
2 0 -1
0 1 3
(u X v).w = det = -13 
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• Obs: O volume do paralelepípedo é 13.
0 1 3
O Espaço
Produto Misto
• Exemplo 2 (4.21): Sejam u = (1, 1,0), v = (2, 0, 
1), w1 = 3u – 2v, w2 = u + 3v e w3 = i + j – 2k. 
Determine o volume do paralelepípedo 
definido por w , w e w .
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definido por w1, w2 e w3.
O Espaço
Produto Misto
• Exemplo 2 (4.21):
• Solução:
� w1 = 3u – 2v = (-1, 3, -2)
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� w2 = u + 3v = (7, 1, 3)
� w3 = i + j – 2k = (1,0,0) + (0,1,0) – 2(0,0,1)
� w3 = (1, 1, -2)
-1 3 -2
7 1 3
1 1 -2
Volume = (u X v).w = det = 44 
O Espaço
Produto Misto
• Exemplo 3 (4.31): Seja u um vetor 
perpendicular a v e w. Sabendo que v e w
formam um ângulo de 30°e que ||u|| = 6, 
||v|| = 3 e ||w|| = 3, calcule u.(v X w).
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||v|| = 3 e ||w|| = 3, calcule u.(v X w).
O Espaço
Produto Misto
• Exemplo 3 (4.31):
� Primeiro, vamos analisar a situação que temos:
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30º 
v
w
v X w
Como v x w é perpendicular 
a v e w, e u é perpendicular 
a v e w também, u pode 
fazer um ângulo de 0o ou de 
180º com v X w.
O Espaço
Produto Misto
• Exemplo 3 (4.31):
� Logo:
• ||v X w|| = ||v||.||w||.sen 30°= 3.3.½ = 9/2
• Lembrando que, pela equação do ângulo entre vetores 
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• Lembrando que, pela equação do ângulo entre vetores 
é dado por cos α = a.b/(||a||.||b||):
• a.b = ||a||.||b||.cos α
• Ou seja:
• u.(v X w) = ||u||.||v X w||.cos α = 6.(9/2).(+1 ou -1)
• ⇒ u.(v X w) = ± 27
O Espaço
Equação do Plano
• Sejam A(x0, y0, z0) um ponto do espaço e v = (a, b, c) 
um vetor não-nulo
• Passandopor A, existe um único plano α
perpendicular ao vetor v
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perpendicular ao vetor v
• Isso significa que qualquer que seja o ponto P(x,y,z) 
de α, o vetor AP é perpendicular a v
• Ou seja, o ponto P pertence a α se, e somente se, 
AP.v = 0
O Espaço
Equação do Plano
• Como AP = (x – x0, y – y0, z – z0), temos:
� a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0
• que é a equação cartesiana do plano α
v
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A
v
v
P
α
O Espaço
Equação do Plano
• Exemplo 1: Equação do Plano que contém o ponto 
A(3, 0, -4) e é perpendicular ao vetor v=(5,6,2)
� Sendo v perpendicular ao plano: v.AP = 0, qualquer que 
seja o ponto P(x, y, z) do plano
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seja o ponto P(x, y, z) do plano
� Logo:
• (5, 6, 2).(x – 3, y – 0, z + 4) = 0
• 5x – 15 + 6y + 2z + 8 = 0
• 5x + 6y + 2z = 7
• É a equação do Plano
O Espaço
Equação do Plano
• Exemplo 2:Encontre a interseção do plano α de 
equação
� 2x + 3y + z = 6
com os eixos do sistema de coordenadas.
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com os eixos do sistema de coordenadas.
� Todo ponto do eixo x é da forma (x, 0, 0), logo, na equação 
dada, fazemos y=z= 0 ⇒ x = 3; ponto (3,0,0)
� Da mesma forma, x = z = 0 ⇒ y = 2; ponto (0, 2, 0)
� e x = y = 0 ⇒ z = 6; ponto (0, 0, 6)
O Espaço
Equação do Plano
• Observações:
� i) Em geral, equações da forma ax + by = d são equações 
de planos paralelos ao eixo z;
� ii) Os planos paralelos ao eixo y têm equações da forma ax 
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� ii) Os planos paralelos ao eixo y têm equações da forma ax 
+ cz = d;
� iii) Os planos paralelos ao eixo x têm equações da forma by 
+ cz = d;
� iv) Os planos cujas equações são da forma y = k são 
paralelos a xz; x = k e z = k são equações de planos 
paralelos aos planos yz e xy, respectivamente.
O Espaço
Equação do Plano
• Exemplo:
� 2x + 4y = 8 ⇒ 2x + 4y + 0z = 8
� Ou seja, a equação é válida para quaisquer valores de z 
contanto que a relação entre x e y seja satisfeita
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contanto que a relação entre x e y seja satisfeita
y
x
y
x
O Espaço
Equações Paramétricas do Plano
• Sejam u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) vetores com 
direções diferentes
• Seja A (x0, y0, z0) um ponto do Plano α paralelo aos 
vetores u e v
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vetores u e v
• As equações paramétricas do Plano são:
� x = x0 + a1s + a2t
� y = y0 + b1s + b2t
� z = z0 + c1s + c2t
• s e t são os parâmetros
O Espaço
Equações Paramétricas do Plano
• Exemplo: Equações paramétricas e cartesiana do 
plano que contém o ponto A(2, 3, -1) e é paralelo aos 
vetores u = (3, 4, 2) e v = (2, -2, 6)
� Equações Paramétricas:
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� Equações Paramétricas:
• x = 2 + 3s + 2t
• y = 3 + 4s – 2t
• z = -1 + 2s + 6t
� Equação Cartesiana
• u X v = (28, -14, -14)
• Equação: 28.(x – 2) – 14.(y – 3) – 14.(z + 1) = 0 ⇒ 2x – y – z = 2
O Espaço
Equações Paramétricas da Reta
• Similar ao que vimos anteriormente, seja r a reta que 
contém o ponto A(x0, y0, z0) e é paralela ao vetor v = 
(a, b, c)
• Equações paramétricas da reta r:
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• Equações paramétricas da reta r:
� x = x0 + at
� y = y0 + bt
� z = z0 + ct
� t = número real
O Espaço
Equações Paramétricas da Reta
• Exemplo 1: As equações paramétricas da reta que 
contém o ponto A(2, 1, -3) e é paralela ao vetor v = 
(3, -2, 2) são
� x = 2 + 3t
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� x = 2 + 3t
� y = 1 – 2t
� z = -3 + 2t
� Por exemplo: para t = 1, temos o ponto (5, -1, -1) que faz 
parte da reta
O Espaço
Equações Paramétricas da Reta
• Exemplo 2: As equações paramétricas da reta que 
contém os pontos A(1, 1, 0) e B(2, 3, 5):
� Um vetor paralelo é o vetor AB = (1, 2, 5)
• Se A(1, 1, 0) é a nova origem; o ponto B passa a estar na posição 
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Se A(1, 1, 0) é a nova origem; o ponto B passa a estar na posição 
(2 – 1, 3 – 1, 5 – 0) = (1, 2, 5)
� Escolhendo o ponto A da reta, as equações são:
• x = 1 + t; y = 1 + 2t; z = 0 + 5t (I)
� Escolhendo o ponto B da reta, temos:
• x = 2 + t; y = 3 + 2t; z = 5 + 5t (II)
� Os sistemas (I) e (II) são equivalentes
O Espaço
Interseção de Planos
• Exemplo: Interseção dos planos
� 2x + 3y + z = 1 (1)
� x – 2y + 3z = 0 (2)
� Sabemos que a interseção entre dois planos é uma reta
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� Sabemos que a interseção entre dois planos é uma reta
� Para escrevermos a equação paramétrica dessa reta, 
precisamos de um ponto dela e um vetor paralelo a ela
� Um ponto da interseção é um ponto que satisfaz 
simultaneamente as equações dos planos
O Espaço
Interseção de Planos
• Exemplo: Interseção dos planos
� Ou seja, precisamos de um valor de (x, y, z) que satisfaz ao 
mesmo tempo:
• 2x + 3y + z = 1 (1)
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• x – 2y + 3z = 0 (2)
� De (1):
• y = (1 – z – 2x)/3 (3)
� De (2):
• x = 2y – 3z (4)
• Substituindo (4) em (3): y = 1/7 + 5z/7 (5)
• De (5) em (3): x = 2/7 – 11z/7
O Espaço
Interseção de Planos
• Exemplo: Interseção dos planos
� Logo, os pontos da interseção são da forma:
• (x, y, z) = (2/7 – 11z/7, 1/7 + 5z/7, z)
• Atribuindo valores a z, temos os pontos da interseção dos planos 
dados
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dados
� z = 0: P0(x, y, z) = (2/7, 1/7, 0)
� z = 1: P1(x, y, z) = (-9/7, 6/7, 1)
� Assim, a interseção é a reta definida por P0 e P1
� Suas equações paramétricas são:
x = 2/7 – 11t/7
y = 1/7 + 5t/7
z = 0 + t
O Espaço
Interseção de Retas e Planos
• Exemplo: Determine a interseção da reta
� x = 3 – 2t (1)
� y = 1 + t (2)
� z = 2 + 3t (3)
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• Com o plano
• x – 4y + z = -2 (4)
� Nesse caso, a interseção de uma reta com um plano é um 
ponto
� Precisamos encontrar um valor de (x, y, z) que satisfaz (1), 
(2), (3) e (4) ao mesmo tempo
O Espaço
Interseção de Retas e Planos
• Exemplo: 
� Substituindo (1), (2) e (3) em (4):
• (3 – 2t) – 4(1 + t) + (2 + 3t) = -2
• -3t = -3 ⇒ t = 1
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� Logo:
• x = 1
• y = 2
• z = 5
� Se não houver solução para t, a reta será paralela ao plano, 
não tocando nele
O Espaço
Interseção de Retas
• Duas retas podem ser:
� Concorrentes
� Reversas
� Paralelas
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� Paralelas
• Exemplo: As retas:
� r: x = 1 + 2t y = -1 + t z = 5 – 3t
� s: x = 4s y = 2 + 2s z = 8 – 6s
• São paralelas porque ambas são paralelas ao vetor (2, 1, -3)
� r: (2, 1, -3)
� s: (4, 2, -6)
O Espaço
Interseção de Retas
• Exemplo: Já as retas
� r’: x = 3 + t y = 2 – t z = 1 + 4t
� s’: x = 2 + s y = -3 + 2s z = 1 + 2s
• Não são paralelas já que os vetores (1, -1, 4) e 
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• Não são paralelas já que os vetores (1, -1, 4) e 
(1, 2, 2) não têm a mesma direção
• Logo, são concorrentes ou reversas
� Elas serão concorrentes se o sistema formado por suas 
equações tiver solução (indicando que elas se tocam)
� Caso contrário,são reversas
O Espaço
Distância de um Ponto a um Plano
• Seja r a reta que é perpendicular ao plano α e 
contém o ponto P
• I é a interseção de r com α
• O ponto I é a projeção ortogonal de P sobre α
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• O ponto I é a projeção ortogonal de P sobre α
r
P
I
α
O Espaço
Distância de um Ponto a um Plano
• A distância de P a I, d(P, I) é a distância de P a α, d(P, α)
• Se ax + by + cz + d = 0 é a equação de α, então a 
distância de P(x0, y0, z0) a α é dada por:
� d(P, α) = |ax0 + by0 + cz0 + d|
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� d(P, α) = |ax0 + by0 + cz0 + d|
√a2 + b2 + c2
O Espaço
Distância de um Ponto a um Plano
• Exemplo:A distância do ponto P(2, 4, 1) ao plano α
de equação x + 5y + 3z – 13 = 0 é:
� d(P, α) = |1.2 + 5.4 + 3.1 -13| = 12/√35
√12 + 52 + 32
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√12 + 52 + 32
O Espaço
Distância de um Ponto a uma Reta
• A distância de um ponto P a uma reta r pode ser 
calculada da seguinte forma:
� Primeiro, traça-se por P um plano perpendicular a r
� Em seguida, determinamos o ponto I de interseção deste 
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� Em seguida, determinamos o ponto I de interseção deste 
plano com r
� d(P, I) é a menor distância do ponto P à reta r
r
P
I
α
O Espaço
Distância de um Ponto a uma Reta
• Exemplo: Calcular a distância do ponto P(1,2,-1) à 
reta:
� r: x = 1 + 2t y = 5 – t z = -2 + 3t
� A equação do plano que contém o ponto P(1, 2, -1) e é 
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� A equação do plano que contém o ponto P(1, 2, -1) e é 
perpendicular à reta r é dada por:
• 2(x -1) -1(y – 2) +3(z + 1) = 0
• 2x – y + 3z + 3 = 0
� Já que (2, -1, 3) é um vetor perpendicular ao plano, por ser 
paralelo à reta r
• A interseção desse plano com r é o ponto: I(13/7, 32/7, -5/7)
O Espaço
Distância de um Ponto a uma Reta
• Exemplo: Calcular a distância do ponto P(1,2,-1) à 
reta:
� Logo, d(P, r) = D(P, I) = 2√91 / 7
• Simplesmente, a distância entre dois pontos
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Simplesmente, a distância entre dois pontos
Exercícios Sugeridos
� 4.17, 4.18, 4.22, 4.25, 4.36, 4.37, 4.42, 4.52, 4.53, 
4.55, 4.56, 4.58, 4.60
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A Seguir...
Á L G E
B R A -
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L I N E
A R - -