Aula 2 Engrenagem - Nomenclatura de Dentes [Modo de Compatibilidade]

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Engrenagens – Cilíndricas de Dentes retos
2
ELEMENTOS DE MÁQUINAS - Engrenagens
Engrenagens são rodas com dentes padronizados que servem
para transmitir movimento e força entre dois eixos. Muitas
vezes, as engrenagens são usadas para variar o número de
rotações e o sentido da rotação de um eixo para o outro.
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Para produzir o movimento de rotação as rodas devem estar
engrenadas. As rodas se engrenam quando dentes de uma
engrenagem se encaixam nos vãos dos dentes da outra
engrenagem. As engrenagens trabalham em conjunto. As
engrenagens de um mesmo conjunto podem ter tamanhos
diferentes, Quando um par de engrenagens tem rodas de
tamanhos diferentes, a engrenagem maior chama-se coroa e a
menos chama-se pinhão.
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Introdução
Primeiras Engrenagens
– Provavelmente de madeira
– Dentes meramente Pedaços de Madeira inseridos em
um disco ou roda
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Teoria do Dente de 
Engrenagem
Forma Simples de tranferir movimento de
rotação:
– Rodas de Atrito
–Limitação de Torque
6
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Lei Fundamental do 
Engrenamento
A razão de velocidade angular das
engrenagens de um par de engrenagens deve
manter-se constante durante o engrenamento.
7
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Lei Fundamental do 
Engrenamento
A razão de velocidade angular das
engrenagens de um par de engrenagens deve
manter-se constante durante o engrenamento.
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
A Forma Involuta
-A linha está sempre tangente ao círculo de
base
-O centro de curvatura da involuta está
sempre em um ponto de tangência da linha
com o círculo de base.
-Uma Tangente à involuta é sempre normal a
linha, que é o raio instantâneo de curvatura da
curva involuta.
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Geometria de Contato e 
Ângulo de Pressão
10
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Geometria de Contato e 
Ângulo de Pressão
11
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Geometria de Contato e 
Ângulo de Pressão
12
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Geometria de Contato e 
Ângulo de Pressão
13
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Geometria de Contato e 
Ângulo de Pressão
14
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Geometria de Contato e 
Ângulo de Pressão
ADENDO = ALTURA DE CABEÇA DO DENTE
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Geometria do Engrenamento
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Geometria do Engrenamento
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Geometria do Engrenamento
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Mudança da Distância entre 
Centros
19
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Mudança da Distância entre 
Centros
20
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Mudança da Distância entre 
Centros
21
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem
22
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem
23
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem
24
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem Polegadas ou Milímetros
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem Polegadas ou Milímetros
Conceito usado na 
Especificação de 
Engrenagens nos Estados 
Unidos:
PASSO DIAMETRAL
pd = N/D
N – Número de Dentes
D – Diâmetro Primitivo
pd – Número de dentes por 
polegada
pd = π/ pc
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem
Conceito usado na 
Especificação de 
Engrenagens nos Estados 
Unidos:
PASSO DIAMETRAL
pd = N/d
N – Número de Dentes
D – Diâmetro Primitivo
pd – Número de dentes por 
polegada
pd = π/ pc
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem
28
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem
29
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Nomenclatura do Dente de 
Engrenagem
31
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Interferência
32
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Interferência
33
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Interferência
34
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Adelgaçamento(Significado: 
redução ou corte)
35
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Razão de Contato
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício
Encontre a razão de engrenamento, passo circular de referência, passo de base,
diâmetros de referência, raios de referência, distância entre centros, adendo,
dedendo, a profundidade completa, folga, diâmetros externos e razão de contato de
um engrenamento com os parâmetros dados. Se a distância entre centros for
aumentada em 2%, qual será o novo ângulo de pressão?
DADOS: Uma engrenagem 6 pd , ângulo de pressão de 20°, pinhão 19 dentes e
engrenagem de 37 dentes.
HIPÓTESES: As formas dos dentes são perfis de involuta de profundidade completa
padronizadas pela AGMA.
37
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício
38
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício
39
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício
40
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Mudança de Distância entre 
Centros
Ângulo de 
Pressão ϕ:
cosϕ = CA/HIP
cosϕ = Rb/Rp
41
ELEMENTOS DE 
MÁQUINAS
Mudança de 
Distância entre 
Centros
Ângulo ϕ Modificado :
cosϕ = CA/HIP
cosϕ = Rb/(RpXFator)
42
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Qualquer coleção de Duas ou mais engrenagens
OBS.: Um par de engrenagens é a forma mais 
simples de um TREM DE ENGRENAGENS. 
Usualmente a razão de transmissão está limitada a 
cerca de 10:1
Além dessa razão, o par se tornará maior e mais 
difícil de empacotar.
43
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
44
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
45
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
Engrenagens 
“Vazias ou Sem 
Carga”. Nenhuma 
potência é tirada 
dos seus 
eixos.Usada para 
mudar de direção 
movimento(Ímpar)
46
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
47
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
Não Concêntrico 
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
Concêntrico 
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
RAZÃO DE VELOCIDADES
50
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
mv Máximo = 1/10
RAZÃO DE VELOCIDADES
51
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
mv Máximo = 1/10
RAZÃO DE VELOCIDADES
52
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
53
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
54
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
55
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
56
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
57
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
58
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
2-GDL(DOF) – Duas 
entradas para obter 1 
saída
59
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
2-GDL(DOF) –
Duas entradas 
para obter 1 saída
60
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
2-GDL(DOF) – Duas 
entradas para obter 1 
saída
61
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
2-GDL(DOF) – Duas 
entradas para obter 1 
saída
62
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
2-GDL(DOF) – Duas 
entradas para obter 1 
saída
63
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
Vantagens:
- Razões maiores em pacotes menores
- Reversões e saídas simultâneas, 
concêntricas e bidirecionais a partir 
de uma entrada única unidirecional
- Muito conhecida como transmissões 
automática de automóveis e 
caminhões
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
65
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
Difícil obter saída útil 
da engrenagem 
planeta, porque seu 
pino está em 
movimento
66
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
67
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
TREM DE ENGRENAGENS
Podem ser:
SIMPLES
COMPOSTOS 
EPICÍCLICOS
68
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
QUALIDADE
CARREGAMENTOS
MODOS DE FALHA
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA DE CONTATO
69
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
ENGRENAGENS
QUALIDADE
RELACIONADO AO PROCESSO 
DE FABRICAÇÃO
70
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
ENGRENAGENS
QUALIDADE
RELACIONADO AO PROCESSO 
DE FABRICAÇÃO
71
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
ENGRENAGENS
QUALIDADE
RELACIONADO AO PROCESSO 
DE FABRICAÇÃO
72
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
QUALIDADE
CARREGAMENTOS
MODOS DE FALHA
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA DE CONTATO
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM 
ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM ENGRENAGENS CILINDRICAS
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
CARREGAMENTO EM ENGRENAGENS CILINDRICAS
86
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
87
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
QUALIDADE
CARREGAMENTOS
MODOS DE FALHA
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA DE CONTATO
88
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
QUALIDADE
CARREGAMENTOS
MODOS DE FALHA
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
89
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
QUALIDADE
CARREGAMENTOS
MODOS DE FALHA
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
90
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
QUALIDADE
CARREGAMENTOS
MODOS DE FALHA
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
91
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
92
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
93
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
94
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
95
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
96
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
97
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
98
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
99
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
100
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
101
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
102
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
103
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
104
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
105
- Fator J – Fator Geométrico Tabelado
106
- Fator J – Fator Geométrico Tabelado
107
- Fator J – Fator Geométrico Tabelado
108
- Fator J – Fator Geométrico Tabelado
109
- Fator Kv – Fator Dinâmico
110
- Fator Kv – Fator Dinâmico
- Fator Kv – Fator Dinâmico
- Fator Kc – Fator de Carga
- Fator Ka – Fator de Aplicação
- Fator Ks – Fator de Tamanho
- Fator KB – Fator de Espessura de Borda
- Fator KI – Fator de Ciclo de Carga
117
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
118
119
120
121
122
123
124
125
126
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128
129
130
131
132
133
134
135
136
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
PROJETO DE ENGRENAGENS
- FADIGA A FLEXÃO
- FADIGA SUPERFICIAL
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
- ESFORÇOS
- SELEÇÃO DE 
MATERIAIS
137
138
139
140
141
142
143
144
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Trem de Engrenagens
COMPOSTO
145
ELEMENTOS DE MÁQUINAS - Formulário
146
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Módulo (m)
Dividindo-se o Dp pelo número de dentes (z), ou o passo (t0) por
π (pi), teremos um número que se chama módulo. O módulo é o
número que serve de base para calcular a dimensão dos dentes
147
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
α = Ângulo de pressão
Os pontos de contato entre os dentes da engrenagem motora e
movida estão ao longo do flanco do dente e, com o movimento
das engrenagens, deslocam-se em uma linha reta, a qual forma,
com a tangente comum às duas engrenagens, um ângulo.
148
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
A engrenagem cilíndrica de dentes retos é a mais comum que
existe.
149
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Cálculo do diâmetro externo
O diâmetro externo é igual ao diâmetro
primitivo (d0) mais duas vezes a altura da
cabeça do dente (hk) que, por sua vez, é
igual a um módulo. Isso é fácil de verificar,pela letra a no desenho ao lado.
Matematicamente, isso corresponde a: dk = d0 + 2m
150
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício 1
1 - Calcular o diâmetro primitivo de uma engrenagem cilíndrica
de dentes retos, sabendo que m = 3 e Z = 90.
2 - Calcule o número de dentes da engrenagem que tenha um
diâmetro primitivo (dp) de 240mm e um módulo igual a 4.
3- Calcular o módulo de uma engrenagem cilíndrica de dentes
retos cujo diâmetro externo (de) é igual a 45mm e o número de
dentes (Z) é 28.
4 - Qual é o diâmetro externo de uma engrenagem cilíndrica de
dentes retos cujo módulo (m) é igual a 3,5 e o número de dentes
(Z) é igual a 42.
151
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Cálculo da altura total do dente
A altura total (h) do dente de uma engrenagem cilíndrica de
dentes retos é igual a 2 módulos mais 1/6 de um módulo. Conforme
desenho abaixo:
hz = 1m + 1m + 1/6 m
hz = 6/6 m + 6/6 m + 1/6 m
hz = 13/6 m
hz = 2,166 m ou hz = 2,2 m
A altura total do dente da engrenagem é, também, a
soma da altura da cabeça do dente (a) mais a altura
do pé do dente (b), ou seja, h = a + b.
hf = 1m + 1/6 m
hf = 6/6 m + 1/6 m
hf = 7/6 m
hf = 1,166 m ou hf = 1,2 m
Altura do pé do dente
152
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício 5
Calcule a altura total (hz) dos dentes de uma engrenagem cujo módulo é 1,75.
Exercício 6
Calcule o módulo de uma engrenagem cuja altura total (hz) do dente é 4,33mm.
Exercício 7
Calcule a altura do pé dente de uma engrenagem cilíndrica, sabendo que o módulo é igual a 1,5.
Exercício 8
Calcule o módulo de uma engrenagem cilíndrica, sabendo que a altura do pé do dente é de 3,498mm.
153
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Cálculo de diâmetro interno
Matematicamente isso é o mesmo que: df = do – 2*hf
Como hf é igual a 1,2*m, podemos escrever:
df = do – 2 *1,166 · m
Portanto:
df = do – 2,4*m
Como do = m*Z, também é possível fazer a substituição:
df = m * Z - 2,4 * m
Reescrevendo, temos:
df = m (Z - 2,4)
154
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício 9
Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem cilíndrica que
tem um diâmetro primitivo de 75mm e um módulo igual a 1,5.
Exercício 10
Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem cilíndrica com
50 dentes e módulo igual a 1,5.
Exercício 11
Calcule o módulo de uma engrenagem da qual você conhece o
diâmetro interno (di = 37,67mm) e o número de dentes (Z = 40).
155
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Cálculo do passo
O passo (to) é a medida do arco da circunferência do
diâmetro primitivo que corresponde a um dente e a um vão
da engrenagem.
Ele é calculado a partir do perímetro da circunferência do
diâmetro primitivo (do*pipipipi) dividido pelo número de dentes da
engrenagem, porque o número de dentes corresponde ao
número de passos.
Matematicamente isso dá: (to) = do.π/Z
Como do = m.Z, podemos escrever: m.π.Z/Z, então teremos:
p = m.π
156
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício 12
Calcule o passo de uma engrenagem cujo módulo é 3.
Exercício 13
Sabendo que o passo de uma engrenagem é 12,56mm, calcule 
seu módulo.
157
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Esse ponto está localizado na
tangente das circunferências que
correspondem aos diâmetros
primitivos das engrenagens.
d = 
2
dpdp 21 +
Cálculo da distância entre eixos
Uma engrenagem jamais trabalha sozinha. Tendo isso em mente, dá
para perceber que, além das medidas que já calculamos, precisamos
conhecer também a distância entre os centros dos eixos que apoiam as
engrenagens. Essa medida se baseia no ponto de contato entre as
engrenagens.
158
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício 14
Sabendo que o número de dentes da engrenagem 1 é 60 e o da
engrenagem 2 é 150 e que seus módulos são iguais a 2, calcule a
distância entre seus centros.
Dica
Duas engrenagens acopladas sempre têm o mesmo módulo.
159
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Exercício 15
Calcule do, dk, df, hz, hk, hf e to de uma engrenagem cilíndrica de
dentes retos com 45 dentes e módulo 4.
Exercício 16
Sabendo que o diâmetro externo de uma engrenagem cilíndrica
é de 88mm e que ela tem 20 dentes, calcule m, do, dk, df, dz, hk, df e
to .
Exercício 17
Calcule a distância entre centros das duas engrenagens dos
exercícios 15 e 16.
160
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Gabarito
1. dp = 270mm
2. Z = 60
3. m = 1,5
4. de = 154mm
5. h = 3,79mm
6. m = 2
7. b = 1,75mm
8. m = 3
9. di = 71,50mm
10. di = 71,50mm
11. m = 1
12. p = 9,42mm
13. m = 4
14. d = 210mm
15. dp = 180mm, de = 188mm, di = 170,68mm
h = 8,664mm, a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm
16. m = 4, dp = 80mm, di = 70,68mm, h = 8,664mm,
a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm
17. d = 130mm
161
ELEMENTOS DE MÁQUINAS
Gabarito
1. dp = 270mm
2. Z = 60
3. m = 1,5
4. de = 154mm
5. h = 3,79mm
6. m = 2
7. b = 1,75mm
8. m = 3
9. di = 71,50mm
10. di = 71,50mm
11. m = 1
12. p = 9,42mm
13. m = 4
14. d = 210mm
15. dp = 180mm, de = 188mm, di = 170,68mm
h = 8,664mm, a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm
16. m = 4, dp = 80mm, di = 70,68mm, h = 8,664mm,
a = 4mm, b = 4,664mm, p = 12,56mm
17. d = 130mm