Equacoes Diferenciais-Ricatti

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Equações Diferenciais 
Lista 7 – Equação de Ricatti 
 
As equações diferenciais de primeira ordem na forma 
     xRyxQyxP
dx
dy
 2
 são chamadas 
equações de Riccati, em referência ao matemático italiano J.C.Riccati (1676-1754). Caso y1 seja a solução 
dessa equação, então a transformação
z
yy
1
1 
 reduz a equação diferencial linear de primeira ordem em 
 à seguinte equação diferencial linear de primeira ordem em . 
      xPzxQxPy
dx
dz
 12
 
Usando a solução particular dada e a transformação 
z
yy
1
1 
, resolva as seguintes equações diferenciais 
não lineares de primeira ordem. 
 
1- Mostre que, se y1 é uma solução, a transformação 
z
yy
1
1 
 reduz a equação de Riccati a uma 
equação linear em . 
 
2- 
0;2 1
2  yyy
dx
dy
 
3- 
    1;112' 12  yyyy
 
4- 
xxx eyeyye
dx
dy 2
1
222 ;2  
 
5- 
    xyyxyxy  1
2
;13'
 
7 - Mostrar que 
x
y
1
1 
 é solução particular da equação 
2
2 2
x
y
dx
dy

calcular a sua solução geral. 
8 – Considerando que 
11 y
 é solução particular da equação diferencial 
  112 2  xxyyx
dx
dy
, 
calcular sua solução geral. 
 
9 – Calcular a solução da equação 
1
1
12
1 2 





 xy
x
y
xdx
dy
, sabendo que 
xy 1
 é solução 
particular. 
 
10 - Calcular a solução da equação 
0232  yy
dx
dy
, sabendo que 
11 y
 é solução particular. 
 
Respostas 
1– demonstração 
2– 
1
2
2
2 

 xeC
y
 
3– 
1
1



Cx
y
 ou 
Cx
Cx
y



1
 
4–
x
x
x
e
Ce
e
y 2
1
3
5
2
3



 
5– 
x
eC
y
x



11
3
 
6- 
kx
x
x
y


3
231
 
7-  
  Cxe
Cxe
y
x
x



1
2
 
8- 
2
322
xk
xxkx
y



 
9 - 
x
x
ek
ke
y



2
 ou 
1
2
1
1



x
x
eC
eC
y
, se C1=±C