APOSTILA ISOSTÁTICA

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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isostática 
Notas de Aula 
v. 2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa. Mauren Aurich 
Profa. Paula Manica Lazzari 
 
 
Isostática – Profas. Mauren Aurich e Paula Manica Lazzari 
 
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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
 
FACULDADE DE ARQUITETURA 
 
 
 
Código da Disciplina: 
4421C-04 
Nome da Disciplina: 
ISOSTÁTICA 
Período: 
2014/1 
Professoras: 
Mauren Aurich – mauren.aurich@pucrs.br 
Paula Manica Lazzari – paula.lazzari@pucrs.br 
 
 
EMENTA: 
 
Grau de Liberdade. Vínculos. Morfologia das estruturas. Classificação das estruturas quanto à 
estaticidade. Sistema de cargas. Reações externas. Solicitações internas. Vigas. Pórticos. 
 
PROGRAMA GERAL: 
 
CAP I. SISTEMAS ESTRUTURAIS 
Conceito, importância e sistemas construtivos fundamentais. 
 
CAP II. MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 
Esforços internos e deformações associadas. Tipos, denominação e classificação das estruturas. 
 
CAP III. CARGAS ATUANTES NAS ESTRUTURAS 
NBR 6120. Classificação. Avaliação e transmissão de cargas. Carga resultante. 
 
CAP IV. ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS - NOÇÕES INICIAIS 
Graus de Liberdade. Vínculos. Classificação estrutural. Grau de conexão e retenção total. Estaticidade. 
 
CAP V. REAÇÕES EXTERNAS 
Reações em estruturas simples. Reações em estruturas rotuladas (vigas Gerber e pórticos tri-
articulados). 
 
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CAP VI. SOLICITAÇÕES INTERNAS 
Origem. Denominação. Deformações associadas. Cálculo das solicitações pelo método das equações. 
Relações diferenciais. Traçado do diagrama das solicitações. Método direto de traçado de diagramas. 
Vigas simples e Gerber. 
 
CAP VII. PÓRTICOS PLANOS 
Conceitro e classificação. Cálculo das solicitações e traçado de diagrama. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
Estas notas de aula foram escritas baseadas em apostilas antigas de Morfologia Estrutural e Estruturas 
Isostáticas dos seguintes Professores: José Campos, Henrique Gutfreind, Maria Regina Leggerini, Adão 
Villaverde, Silvia Baptista e Silvia Dutra. Foram também consultadas as seguintes obras: 
 
1. CAMPANARI, Flávio Antônio. Teoria das Estruturas. Editora Guanabara Dois -1985-RJ 
2. FONSECA, Adhemar. Curso de Mecânica. Vol I e II. Livros Técnicos e Científicos Editora SA. 
3. SÜSSEKIND, José Carlos. Curso de Análise Estrutural. Vol I. Estruturas Isostáticas. Editora Globo 
- 1984 - RJ 
4. AMARAL, Otávio Campos do. Estruturas Isostáticas. Edições Engenharia e Arquitetura - 1992 MG 
5. GOMES, Sérgio Concli. Estática. Editora Unisinos - 1994 - RS 
6. HIBBELER, R.C. Mecânica. Vol I. Estática. Editora Campos 
7. BEER, Ferdinand P.e JOHNSTON, E. Russel. Mecânica Vetorial para engenheiros. Vol I. Estática. 
Editora McGraw-Hill - SP 
8. MERIAN, J.L. Estática. Livros Técnicos e Científicos Editora SA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO I 
SISTEMAS ESTRUTURAIS 
 
 
1. Conceito 
 
 A palavra estrutura tem significado de considerável amplitude. De modo genérico significa a 
maneira essencial por que estão dispostas em relação umas as outras as diferentes partes de um 
corpo. De maneira especial, entretanto, a palavra estrutura é usada para designar a composição, 
construção, organização e disposição arquitetônica de um edifício. 
 Neste conceito, estrutura compreende todas as partes que compõem o edifício, e, de modo 
ainda mais particularizado, quando falamos de “estrutura”, em engenharia civil e em arquitetura, por 
definição, designamos as partes que suportam as cargas de uma construção e as transmitem às 
fundações. Neste caso, estamos diante da estrutura resistente, ou simplesmente, da estrutura, do 
SISTEMA ESTRUTURAL. 
 
2. Importância 
 
 A própria conceituação anterior já caracteriza a importância do sistema estrutural de um 
prédio. De outra forma, ela em inúmeras ocasiões é explorada a nível estético, tendo outro 
significado sob o ponto de vista arquitetônico. 
 Na etapa criativa, este processo é, basicamente, intuitivo. É necessária a ligação da intuição 
consciente com o formulário matemático, para a representação da realidade física. Para isso, há que 
se compreender o funcionamento do sistema estrutural, seu regime de trabalho em estado de carga 
parcial ou total. É impossível, pois, conceber um sistema estrutural corretamente, sem conhecer as 
razões e implicações desta escolha, através das tensões que nele estão acontecendo. 
 A importância do sistema estrutural está na mesma razão da compreensão do seu 
funcionamento quando de sua concepção, com toda a simplicidade possível, sem recorrer ao 
conhecimento formal de matemática. Isto não significa tratar o sistema estrutural de forma 
simplificada, e sim, reconhecer, nas situações arquitetônicas práticas, os pontos mais delicados do 
projeto estrutural, dar-lhe as proporções corretas, deixando para o calculista a parte matemática e o 
detalhamento. 
 
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3. Sistemas construtivos fundamentais 
 
 A estrutura é constituída pela superestrutura e infraestrutura. 
 Superestrutura é a construção feita acima do solo, que compreende pilares, vigas, lajes, 
paredes portantes, sobre os quais estão fixados todos os demais elementos (subsistemas) dos 
prédios, tais como paredes de vedação, coberturas, esquadrias, revestimentos... 
 A infraestrutura é a parte que promove a ligação da “estrutura visível” do prédio com o solo, 
em outras palavras, a parte inferior de uma construção, que compreende os elementos de 
sustentação da superestrutura (fundações). A escolha desta solução estrutural adequada depende de 
vários fatores, dentre outros: a constituição geológica do solo, a topografia do terreno, as dimensões 
da edificação, as cargas que deverão ser transmitidas ao solo (intensidade, direção, permanente ou 
não, situação em relação à divisa), a função e características da edificação, o material do sistema 
estrutural, as construções vizinhas e o custo. 
 As principais soluções de fundações, quando o solo superficial é resistente, são as chamadas 
fundações em superfície: 
 - sapata corrida de alvenaria de pedra de grés, granito ou basalto, 
 - sapata corrida de concreto armado; 
 - sapata isolada de concreto armado; 
 - radier em concreto armado. 
 Já, para solos superficiais pouco resistentes e grandes cargas, são utilizadas as denominadas 
fundações profundas, que visam atingir camadas de solo mais resistentes: 
 - tubulão de concreto; 
 - estaca de concreto, aço ou madeira, pré-moldada ou moldada no local. 
 
 
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4. Escolha do sistema estrutural 
 
 A escolha do sistema estrutural de uma edificação depende de vários fatores, mais ou menos 
na seguinte ordem de importância: 
 
a) FATORES FUNCIONAIS: A função a que se destina a edificação. A mais comum é a de 
habitação com os edifícios residenciais; os prédios comerciais e industriais; as vias de 
transporte, como as pontes e viadutos; as de armazenagem ou contenção, como os 
reservatórios, silos e barragens; 
b) FATORES TÉCNICOS: Materiais e cálculo estrutural empregados (soluções adotadas). O 
custo do sistema estrutural varia entre 18 a 30% do preço total nas edificações correntes e o 
custo do projeto estrutural de 0,5 a 1,5%. Dependendo das características do sistemaestrutural, estes valores podem ser diferentes. Além disso, a técnica construtiva utilizada, 
bem como a disponibilidade de materiais e de mão-de-obra na região, e a administração da 
obra determinam alterações no custo e dão relevância a este fator; 
c) FATORES ESTÉTICOS E DE ARQUITETURA: O sistema estrutural é um elemento de 
grande importância na concepção arquitetônica e, em todos os tempos foi explorada com tal 
finalidade o que caracteriza seu grande valor; 
 
Ressalta-se que os três fatores acima enumerados tornam-se desprezíveis quando à segurança da 
estrutura não está compatível com a sua finalidade. É óbvio, portanto, que a resistência dos 
materiais utilizados e a escolha do sistema estrutural adequado são condições indispensáveis da 
sobrevivência da estrutura e, por conseguinte, da edificação, merecendo todo o cuidado no projeto e 
na execução, o que, em algumas ocasiões, impede o funcionamento previsto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO II 
MORFOLOGIA ESTRUTURAL 
 
 
1. Partes componentes de uma estrutura resistente 
 
a) Estruturas UNIDIMENSIONAIS: são aquelas em que 
uma das dimensões (comprimento) é muito maior do que as 
outras duas (medidas da seção transversal). A representação 
estrutural é feita pelo eixo longitudinal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Vigas: carga perpendicular ao eixo  Pilares: carga ao longo do eixo (compressão) 
 Tirantes: carga ao longo do eixo (tração)  Arcos: cargas de compressão 
 
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Treliças: Pórticos: Grelhas: 
 
 
 
b) Estruturas BIDIMENSIONAIS: são aquelas em que duas dimensões (plano médio: a x b) são 
muito maiores do que a terceira (espessura). 
A sua representação estrutural é feita pela superfície média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Poliédricas: Curvas: 
 
 
 
 
 
 Paredes: carga ao longo do eixo 
 (compressão) 
 Lajes: carga perpendicular ao eixo 
 Estruturas Compostas: formadas por elementos de barras 
 Cascas: estruturas em que a superfície média não é formada por um único plano: 
 Membranas: estruturas laminares em que a superfície média é curva e sua espessura 
muito reduzida em presença das demais dimensões 
 
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c) Estruturas TRIDIMENSIONAIS: São estruturas em que as três dimensões tem a mesma ordem de 
grandeza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Caráter tridimensional das construções: 
 
 Considere-se uma laje apoiada em 4 vigas no seu contorno, as quais se apoiam em 4 pilares, 
presos na base e livres no topo. A estrutura possui um elemento bidimensional, a laje, que é 
representada pelo seu plano médio, e 8 elementos unidimensionais (vigas e pilares) representados 
pelos seus eixos. Para a determinação dos esforços na estrutura, deve-se criar o seu arranjo 
estrutural, que desdobra a estrutura em planos, onde, matematicamente, é possível de calcular os 
esforços. 
 
O caráter tridimensional é ilustrado pela figura abaixo, que pode ser chamada de piso 
elementar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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O arranjo estrutural mais simples possível é formado por uma laje simplesmente apoiada 
sobre as 4 vigas, que por sua vez, são apoiadas na extremidade dos 4 pilares presos na base e livres 
no topo. 
 
 
 
Para a mesma situação, são possíveis outros arranjos alternativos, sob a forma de pórticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO III 
CARGAS ATUANTES NAS ESTRUTURAS 
 
 
1. NBR 6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações: 
 
A NBR 6120, publicada em novembro de 1980, fixa as condições para a determinação dos 
valores das cargas que devem ser consideradas no projeto de estrutura de edificações, qualquer que 
seja sua classe e destino, excetuando-se os casos previstos em normas especiais. 
 
2. Classificação das cargas quanto ao tempo de duração: 
 
a) cargas PERMANENTES: atuam durante toda ou quase toda a vida útil de uma estrutura, por 
exemplo: o peso próprio da estrutra, revestimentos... 
 
b) cargas ACIDENTAIS: podem estar ou não atuando, por exemplo: vento, mobiliário... 
 
3. Classificação das cargas quanto ao ponto de aplicação: 
 
a) cargas FIXAS: atuam em determinados pontos de uma estrutura, podendo variar em intensidade, 
como por exemplo, o peso de uma parede, dos revestimentos... 
 
b) cargas MÓVEIS: percorrem a estrutura, ou seja, podem atuar em vários de seus pontos como por 
exemplo, um caminhão atravessando uma ponte. 
 
4. Classificação das cargas quanto ao modo de distribuição: 
 
 
a) cargas CONCENTRADAS: são aquelas que atuam em áreas muito reduzidas em relação às 
dimensões da estrutura. Neste caso ela é considerada concentrada no centro de gravidade da área de 
atuação. 
 
 
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b) cargas MOMENTO: são momentos aplicados em determinados pontos de uma estrutura (fixos) 
que podem se originar de binários ou cargas excênricas: 
 
 Binários: 
 
 
 
 Cargas excêntricas: 
 
 
 
 
 
c) cargas DISTRIBUÍDAS: são aquelas que atuam em uma área com dimensões na mesma ordem 
de grandeza da estrutura. 
 
Podem ser distribuídas sobre uma superfície (representam a quantidade de carga aplicada 
por unidade de área – kN/m2, kgf/cm2, kN/cm2). Exemplo: peso próprio em uma laje de concreto 
 
Ou podem ser distribuídas sobre uma linha (são cargas que se distribuem numa área em que 
uma das dimensões é muito maior que a outra). Neste caso considera-se que a carga esteja atuando 
na linha média da referida área, indicando a quantidade de carga desenvolvida por unidade de 
comprimento. Exemplo: peso próprio de uma viga (unidade: kN/m, kgf/m, kN/cm) 
 
A resultante de uma carga distribuída é igual à área da figura limitada pela linha da carga e 
pelo segmento de eixo correspondente, aplicada no centro de gravidade desta área. 
 
A tabela a seguir pode ser utilizada para a resolução dos casos mais comuns: 
 
 
 
 
P 
M = P . d 
P 
d 
 
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CAPÍTULO VI 
ESTRUTURAS – NOÇÕES INICIAIS 
 
 
1. Vínculo: 
 
É todo o elemento de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio 
externo, cuja finalidade é restringir um ou mais movimentos de um corpo. Os vínculos podem ligar 
elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo e, portanto, se classificam 
em vínculos internos e externos: 
 
a) Vínculos EXTERNOS: são vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo ou 
a outra estrutura. No caso plano, este tipo de vínculo pode impedir até 3 movimentos (duas 
translações – em X e Y, e uma rotação) e, portanto se classificam em 3 espécies: 
 
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b) Vínculos INTERNOS: são aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. No caso 
plano podem ser, somente, de 2ª e 3ª espécie. 
O vínculo de 2ªespécie interno é chamado de RÓTULA. 
 
A representação estrutural de uma rótula é: 
 
O vínculo de 3ª espécie interno é chamado de SOLDA, e sua representação 
estrutural é a união entre as barras. 
 
2. Classificação estrutural: 
 
Considera-se GL (ou Grau de Liberdade) o número de movimentos possíveis que uma 
estrutura pode realizar, e RT o número de movimentos impedidos ou (ResTringidos) da mesma. 
De acordo com a sua estaticidade uma estrutura pode ser: 
 
a) HIPOSTÁTICA: quando o número de movimentos restringidos (RT) for menor do que o número 
de graus de liberdade (GL). Uma estrutura é hipostática quando os vínculos estão em número 
insuficientes, ou seja, está em equilíbrio instável. 
 
b) ISOSTÁTICA: quando o número de restrições (RT) for igual ao número de movimentos 
possíveis (GL). Uma estrutura é isostática quando os vínculos estão em número suficientes, ou seja, 
está em equilíbrio estável. 
 
c) HIPERESTÁTICA: quando o número de restrições (RT) for maior do que o número de 
movimentos possíveis (GL). Uma estrutura é hiperestática quando os vínculos estão em número 
mais que suficiente, ou seja, está em equilíbrio estável. 
 
 
 
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 Para classificar uma estrutura deve-se verificar se ela é hiper, hipo ou isostática, tanto no seu 
conjunto externo quanto internamente. De acordo com a classificação já vista pode-se resumir que 
uma estrutura será: 
Hipostática, quando: RT < GL 
Isostática, quando: RT = GL 
Hiperestática, quando: RT > GL 
 
O número de movimentos impedidos em um vínculo de classe r onde concorrem n barras é: r.(n-1) 
Onde: n: número de barras ligadas pelo vínculo 
(n-1): grau de conexão de um vínculo 
r: número de movimentos impedidos por este vínculo (classe do vínculo) 
 
Sendo: 
C1 = ∑(n-1): soma dos graus de conexão dos vínculos de primeira espécie. 
C2 = ∑(n-1): soma dos graus de conexão dos vínculos de segunda espécie. 
C3 = ∑(n-1): soma dos graus de conexão dos vínculos de terceira espécie. 
 
Tem-se: 
1 x C1: número de movimentos impedidos pelos vínculos de primeira espécie 
2 x C2: número de movimentos impedidos pelos vínculos de segunda espécie 
3 x C3: número de movimentos impedidos pelos vínculos de terceira espécie 
 
Pode-se então, definir número de movimentos restringidos (RT) por todos os vínculos de uma 
estrutura como: RT = 1 x C1 + 2 x C2 + 3 x C3 
 
Define-se o grau de estaticidade total de uma estrutura como a diferença entre o número de 
movimentos impedidos e o número de graus de liberdade que ela pode apresentar: gh = RT – GL. 
No caso plano cada barra livre possui 3 movimentos possíveis (duas translações e uma rotação) 
logo, se tivermos m barras o número de GL do conjunto será 3 x m. 
Desta forma: gh = RT – 3.m ou 
gh = (C1 + 2 . C2 + 3 . C3) - 3.m 
 
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 Se gh < 0 significa que foram impedidos menos movimentos que os existentes, ou seja, ainda 
existem movimentos possíveis na estrutura, que é HIPOSTÁTICA. 
 Se gh = 0 significa que foram impedidos tantos movimentos quanto os existentes, ou seja, e 
estrutura é ISOSTÁTICA. 
 Se gh > 0 significa que foram impedidos mais movimentos que os existentes, ou seja, a 
estrutura é HIPERESTÁTICA. 
 
Quando deseja-se verificar a vinculação externa de uma estrutura, considera-se a mesma como um 
conjunto monolítico, como se fosse uma barra m = 1 e somente os vínculos externos: 
 
gext = (C1 + 2 . C2 + 3 . C3)vínculos externos - 3 
 
E, o grau de estaticidade interno é a diferença entre a estaticidade total e a estaticidade externa: 
 
gint = gh - gext 
 
 
EXERCÍCIOS: Determine o grau de estaticidade total , interno e externo das estruturas abaixo. 
 
1. 
 
R: gh = 0 (isostática) 
 gext = 0 
 gint = 0 
 
 
2. 
 
R: gh = -2 (hipostática) 
 gext = 0 
 gint = -2 
 
3. 
 
 
 R: gh = 0 (isostática) 
 gext = 1 
 gint = -1 
 
 
 
 
 
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4. 
 
 
 
 
 
 
R: gh = 1 (inef. vinc) 
gext = 5 
gint = -4 
 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R : gh = 4 (hiperestática) 
 gext = 1 
 gint = 3 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 R: gh = 0 (isostática) 
 gext = 0 
 gint = 0 
 
 
7. 
 
 
 
 
 R : gh = 3 (hiperestática) 
 gext = 3 
 gint = 0 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO IV 
EQUILÍBRIO EXTERNO – REAÇÕES EXTERNAS 
 
 
Reações externas são os esforços que os vínculos devem desenvolver para manter em 
equilíbrio estático uma estrutura. Os vínculos são classificados de acordo com o número de 
movimentos impedidos e só pode-se restringir um movimento mediante a aplicação de um esforço 
(força ou momento) na direção deste movimento. 
 A determinação das reações de apoio de uma estrutura isostática é feita por intermédio de 
um sistema de equações algébricas, que estabelece as condições de equilíbrio da estrutura, supondo-
se rígidas todas as barras. No caso plano a estrutura possui 3 movimentos possíveis (translação nas 
direções x e y e rotação em torno do eixo z), portanto o número de equações a serem satisfeitas para 
que a estrutura permaneça imóvel são 3: ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Mz = 0 
 
1. Cálculo das reações externas em estruturas isostáticas simples: 
 
Uma estrutura isostática é classificada como simples quando possui apenas um elemento, 
possuindo apenas vínculos externos. A fim de se determinar o valor das reações externas procede-se 
da seguinte forma: 
a. Redesenha-se a estrutura, transformando-a num corpo livre, substituindo-se todos os 
vínculos externos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver, 
abribitrando qualquer sentido para as mesmas, 
b. Substituem-se as cargas distribuídas por suas respectivas resultantes e calculam-se as 
decomposições das cargas inclinadas, 
c. Aplicam-se as 3 equações de equilíbrio:  Fx = 0,  Fy = 0 e MVÍNCULOS = 0 
d. As reações encontradas que possuírem sinal negativo, devem ter seu sentido (que foi 
arbitrado em a.), trocado 
 
Exemplo: 
 
VA = 20 kN VB = 20 kN HB = 0 
 
4,0 m 
10 kN/m 
 
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2. Cálculo das reações externas em estruturas isostáticas compostas: 
 
Uma estrutura isostática é classificadacomo composta quando for constituida por elementos 
ligados entre si por rótulas que formam um conjunto estável. Rótulas são articulações internas que 
não absorvem momento. Portanto, para que uma rótula esteja em equilíbrio a soma dos momentos 
em relação a ela deve ser nula. Então, além das equações fundamentais da estática surge uma nova 
condição de equilíbrio: soma dos momentos à esquerda e à direita de uma rótula deve ser zero. 
A fim de se determinar o valor das reações externas procede-se da seguinte forma: 
a. Redesenha-se a estrutura, transformando-a num corpo livre, substituindo-se todos os 
vínculos externos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver, 
abribitrando qualquer sentido para as mesmas, 
b. Substituem-se as cargas distribuídas por suas respectivas resultantes e calculam-se as 
decomposições das cargas inclinadas, 
c. Aplicam-se as 3 equações de equilíbrio: 
 Fx = 0,  Fy = 0, MVÍNCULOS = 0 
Mrótula à esquerda = 0 e Mrótula à direira = 0 
d. As reações encontradas que possuírem sinal negativo, devem ter seu sentido (que foi 
arbitrado em a.), trocado 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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21 
Exercícios: 
 
1. 
VA = 69,65 kN 
VB = 55,35 kN 
HB = 0 
 
2. 
 
 
VA = 108 kN 
VB = 112 kN 
HB = 0 
3. 
 HA = 0 
VA = 41 kgf 
VB = 59 kgf 
 
4. 
 HA = 0 
VA = 53 kgf 
VB = 17 kgf 
 
5. HA = 0 
VA = 14 kgf 
VB = 16 kgf 
 
 
6. 
 HA = 0 
VA = 20 kgf 
VB = 30 kgf 
 
2,0 4,0 3,0 (m) 
10 kN/m 
20 kN 
15 kN/m 
10 kN 10 kN 20 kN 
20 kN 
10 kN/m 
20 kN/m 
2,0 4,0 2,0 4,0 (m) 
 
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7. 
 
 HA = 0 
VA = 10 kgf 
MA = 40 kgf.m (horário) 
 
 
8. 
 HA = 0 
VA = 60 kgf 
MA = 180 kgf.m (anti horário) 
 
 
9. 
HA = 0 
VA = 30 kgf 
MA = 100 kgf.m (anti horário) 
 
 
10. 
 
 
 VA = VB = 27,5 KN 
 HA = 25,98 KN 
 
 
 
 
 
11. 
 
 VA = - 5 kN 
 VB = 95 kN 
 HA = 0 
 
 
 
 
 
 
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12. 
 
VA = 0,59 kN 
 VB = 51,05 kN 
 HB = 14 kN ( ) 
 
 
 
13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. 
 
 VA = - 8,75 kN 
 VB = 8,75 kN 
 HA = 0 
 
 
15. 
 
 VA = 60 kN 
 VB = 0 
 HA = 0 
 
 
 
16. 
 
VA = 27,5 kN 
 VB = 62,5 kN 
 HB = 0 
 
 
 
 
 
 
 
15 kN.m 
 
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24 
17. 
VA = 40 kM 
 HA = 0 
 MA = 75 kN.M (anti horário) 
 
 
 
18. 
 
 VA = 70 kN 
 HA = 0 
 MA = 140 kN.m (anti horário) 
 
 
 
19. 
 
 
 
 
 
 
20. 
 
 VA = 48,96 kN 
 VB = 40,94 kN 
 HB = 29,9 kN () 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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25 
21. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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26 
24. 
 
 VA = - 3,5 kN 
 HA = 14 kN () 
 VB = 55,5 kN 
 VC = 22 kN 
 
25. 
 
 VA = 48,75 kN 
 VB = 83,75 kN 
 HB = 43,3 kN () 
 VC = 42,5 kN 
 
 
26. 
VA = 21,25 kN 
 HA = 0 
 MA = 3,75 kN.m (anti horário) 
 VB = 43,75 kN 
 
 
 
27. 
 
VA = 40 kN 
 VB = 50 kN 
 MB = 20 kN.m (horário) 
 HB = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27 
28. 
 
 VA = 30 kN 
 VB = 110 kN 
 VC = 110 kN 
 VD = 130 kN 
 VE = 10 kN 
 
29. 
 
VA = 2,5 kN 
 VB = 5 kN 
 VC = 180 kN 
 VD = - 37,5 kN 
 
30. 
 
VA = 60 kN 
VB = 0 
 VC = 180 kN 
 VD = 120 kN 
 MD = 160 kN.m (hor ant) 
31. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28 
32. 
 
 
 VA = 65,2 kN 
 VB = - 25,2 kN 
 HB = 30 kN () 
 MB = 215,4 kN.m (anti horário) 
 
33. 
 
VA = 11,3 kN 
HA = 35,8 kN () 
VB = 28,65 kN 
HB = 5,9 kN () 
 
 
 
34. 
 
 
 VA = 24,33 kN 
 HA = 16,22 kN () 
 VB = 25,67 kN 
 HB = 6,22 kN () 
 
 
35. 
 VA = 51,46 kN 
 HA = 12,08 kN () 
 VB = 38,54 kN 
 HB = 42,08 kN () 
 
 
 
 
 
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29 
CAPÍTULO VI 
SOLICITAÇÕES INTERNAS 
 
 Estudou-se que quando existe um sistema de cargas ativas atuando em um corpo são 
desenvolvidas cargas externas reativas, capazes de manter o equilíbrio do corpo, que calculamos 
com a aplicação das equações fundamentais da estática. 
 Mas, de uma maneira geral pode-se dizer que o equilíbrio externo não leva em conta o modo 
como o corpo transmite as cargas para os apoios. Desta forma quando o corpo recebe carregamento 
vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar 
(são impedidas internamente), gerando solicitações internas. E, cabe ressaltar que o equilíbrio 
ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas 
deformações). 
O estudo das solicitações internas analisa quais os efeitos que a transmissão deste sistema de 
cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio. 
Para tanto, suponha o corpo em equilíbrio sob efeito de um carregamento qualquer. Se 
cortarmos este corpo por um plano qualquer (), rompemos o equilíbrio, pois destruímos sua cadeia 
molecular, na seção "S" de interseção do plano com o corpo. 
 
Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio, deve-se aplicar, por 
exemplo, sobre a parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela, ou seja, 
resultante de força (R) e resultante de momento (M). O mesmo deve ser feito com a parte da 
esquerda, cujas resultantes estão também representadas. 

R
 - Resultante de forças da parte retirada 

M
 - Resultante de momentos da parte retirada 
 
 
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30 
As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a 
situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e 
reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. 
Quando queremos saber o que acontece em uma seção S deuma peça, devemos cortar a peça 
na seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um) e podemos dizer que no centro de 
gravidade esta seção deve aparecer os esforços internos (resultante de força e de momento) que 
mantém o corpo isolado em equilíbrio. 
Estes esforços representam a ação da parte retirada do corpo. E, a seção de referência a ser 
adotada será sempre a seção transversal das peças em estudo. 
 
1. Classificação das solicitações: 
 
 Os esforços estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo com 
elas. Decompondo os vetores resultantes  R e M segundo as três direções (x, y e z, perpendiculares 
entre si) e tem-se: 
 
Denominam-se as componentes (que são as SOLICITAÇÕES INTERNAS) da seguinte 
maneira, sendo que cada solicitação tem associada a si uma deformação: 
N - Esforço Normal 
Q - Esforço Cortante 
M - Momento Fletor 
Mt - Momento Torsor 
 
a) Esforço Normal (N): define-se esforço normal em uma seção de corte como sendo a soma 
algébrica das componentes de todas as forças que atuam ao longo do eixo da peça. As fibras 
longitudinais que constituem estas seções permanecem paralelas entre si, porém com seus 
comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos). O esforço normal será 
considerado positivo quando alonga a fibra longitudinal, e negativo no caso de encurtamento. 
 
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31 
 
b) Esforço Cortante (Q) : define-se esforço cortante em uma seção de referência como sendo a soma 
algébrica das componentes de todas as forças que atuam perpendicularmente ao eixo da peça. O 
efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento no sentido do esforço de uma seção sobre 
a outra infinitamente próxima acarretando o corte ou cisalhamento da mesma. 
 
c) Momento Fletor (M) : define-se momento fletor em uma seção de referência como a soma 
algébrica dos momentos provocados, separadamente, dos momentos em relação aos eixos y e z. O 
efeito do momento fletor é provocar o giro a seção transversal em torno de um eixo contido pela 
própria seção, resultando que as fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra 
são comprimidas (as seções giram em torno do eixo na qual se desenvolve o momento, mas 
permanecem planas). O momento fletor M é considerado positivo quando traciona as fibras de 
baixo da estrutura. 
 
 
 
 
 
d) Momento Torsor (Mt) : define-se momento torsor em uma seção de referência como a soma 
algébrica das componentes dos momentos das forças externas de um dos lados da referência em 
relação ao eixo longitudinal da peça (eixo x). O efeito do momento torsor é o de provocar o giro da 
seção em torno do eixo longitudinal da peça, torcendo-a ou deslocando-a angularmente em relação à 
seção vizinha. 
 
 
 
 
 
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32 
2. Cálculo das solicitações internas em uma seção: MÉTODO DAS EQUAÇÕES: 
 
Roteiro de cálculo: 
1. Cálculo das reações externas 
2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos 
 Ponto de força aplicada 
 
 
 Ponto de momento aplicado Ponto de troca da taxa de carregamento (descontínua) 
 
 
3. Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos, adotando como posição genérica 
desta seção a variável x, que valerá dentro dos limites dos trechos. 
4. Supomos em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas, que devem ser 
arbitradas com o sentido convencionado positivo. 
 
 5. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes, obtendo-se as equações 
desejadas. 
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ M = 0 
 6. Representação destas equações sob a forma de um diagrama, conforme convenção abaixo: 
 
 
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33 
EXERCÍCIOS: 
 
 
Determinar o diagrama das solicitações internas das vigas abaixo, usando o método das equações: 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
15 kN/m 10 kN 
12 kN.m 2. 
4. 
 
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34 
5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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35 
3. Cálculo das solicitações internas: MÉTODO DAS EQUAÇÕES: 
 
Roteiro de cálculo: 
1. Cálculo das reações externas 
2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos 
 Ponto de força aplicada 
 
 
 Ponto de momento aplicado Ponto de troca da taxa de carregamento (descontínua) 
 
 
3. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos pontos de transição, ou antes e 
depois dos mesmos – dependendo da descontinuidade, observando a convenção positiva: 
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ M = 0 
 
 
CONVENÇÃO POSITIVA: 
 
 
4. Unir os resultados encontrados em diagramas, conforme convenção abaixo: 
 
 
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36 
EXERCÍCIOS: 
 
 
Determinar o diagrama das solicitações internas das vigas abaixo, usando o método direto: 
 
 
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Lista do Método das Equações 
 
8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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37 
11. 
 
 
 
 
 
12. 
 
 
 
 
 
13. 
 
 
 
 
 
14. 
 
 
 
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38 
CAPÍTULO VII 
PÓRTICOS PLANOS 
 
 
Pórtico são estruturas formadas por barras, que formam quadros entre si. Existem quatro 
tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, que associados entre si, da mesma forma com que 
associamos vigas simples para formar vigas compostas (GERBER), formam os chamados quadros 
compostos. São eles: 
 
 
1. Cálculo das solicitações internas de um pórtico: 
 
No estudo das solicitações internas dos pórticos, identifica-se os lados internos das barras 
com a parte inferior de uma estrutura linear horizontal, baseados no artifício de linearizar a 
estrutura, podendo-se, então, utilizar as convenções já adotadas. 
 
CONVENÇÃO POSITIVA: 
 
 
Ressalta-se que linearizar a estrutura é apenas um artifício usado para a adaptação das 
convenções já estabelecidas, porém não é válida para o cálculo das solicitações, pois com a 
 
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39 
mudança de direção das barras altera-se o funcionamento da estrutura. O cálculo das solicitações, 
assim como em vigas, pode ser realizado pelo método das equações ou pelo método direto. 
Deve-se salientar o fato de que o eixo longitudinal (x) de cada barra, continua sendo o eixo 
que passa pelo centro de gravidade das seções transversais, e os eixos y e z, perpendiculares à este e 
contidos pela seção de corte (eixos principais centrais de inércia). 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1. 
 
 VA = 0,67 kN 
 HA = 10 kN ( ) 
 VB = 3,33 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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40 
2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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41 
3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 VA = 70 kN 
 VB = 0 
 HB = 10 kN ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 kN/m 
 
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42 
4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 14,75 
 
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43 
5. 
 
 
 
 
 
 
-6 
-6 
- 6 
(-) 
- 18 - 12