estruturas dos solidos cristalinos

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AULA 1 – Capítulo 2: Estrutura 
Atômica e Ligação Interatômica 
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos 
Cristalinos
Disciplina: Introdução à Ciência dos Materiais
Professora: Bruna Vieira Cabral
UFTM
Capítulo 2: Estrutura Atômica e Ligação Interatômica
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
2
Referências Bibliográficas:
CALLISTER JR., W.D. Ciência e Engenharia de Materiais: Uma
Introdução. 9.ed. LTC. 2008.
SMITH, W. Princípios de Ciência e Engenharia dos Materiais.
3.ed. McGraw-Hill, Lisboa. 1998.
Sólidos iônicos :
• Sólidos cristalinos à temperatura ambiente;
• Duros e frágeis;
• Baixa condutividade térmica e elétrica;
• Apresentam altos pontos de fusão e ebulição;
• Baixo coeficiente de expansão térmica;
• Exemplo: Cloreto de Sódio
Capítulo 2: Estrutura Atômica e Ligação Interatômica
4
Sólidos covalentes :
• Duros ou frágeis dependendo de suas estruturas de
empacotamento e da natureza dos átomos envolvidos;
• Isolantes térmicos e elétricos;
• Apresentam pontos de fusão e ebulição inferiores aos pontos
dos sólidos iônicos;
• Baixo coeficiente de expansão térmica;
• Exemplos: Diamante, grafite, quartzo
Capítulo 2: Estrutura Atômica e Ligação Interatômica
5
Sólidos Moleculares:
• Constituídos por moléculas ligadas entre si através de ligações
intermoleculares. Exemplos: gelo, iodo e enxofre.
• Os sólidos moleculares apresentam pontos de fusão e pontos
de ebulição relativamente baixos, já que as ligações
intermoleculares que unem as suas moléculas são relativamente
frágeis.
• São pouco duros, muito quebradiços, não se deformam nem se
laminam e são maus condutores.
Capítulo 2: Estrutura Atômica e Ligação Interatômica
6
Sólidos metálicos:
• Bons condutores elétricos e térmicos devido aos elétrons livres;
• Ruptura dúctil, ou seja, a fratura só ocorre após os materiais
terem sofrido significativos níveis de deformação permanente;
• A ligação pode ser fraca ou forte e consequentemente seus
pontos de fusão e ebulição podem ser altos ou baixos;
• Alto coeficiente de expansão térmica.
• Exemplo: Ferro, Mercúrio
Capítulo 2: Estrutura Atômica e Ligação Interatômica
7
Estrutura dos Sólidos
Por quê estudar ?
Além dos tipos de ligações químicas, muitas das propriedades
dos materiais estão diretamente relacionadas com suas
estruturas cristalinas ou não-cristalinas !
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
8
Estrutura dos Sólidos
• Material cristalino: material em que seus átomos estão
posicionados em um arranjo repetitivo ou periódico ao longo de
grandes distâncias atômicas;
• Estrutura cristalina: forma pela qual os átomos,
íons ou moléculas do material estão espacialmente arranjados.
• Rede cristalina: um arranjo tridimensional de pontos que
coincidem com as posições dos átomos, íons ou moléculas
centrais do material.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
9
Estrutura dos Sólidos
• Células unitárias: é a menor estrutura repetitiva da rede ou estrutura 
cristalina e define a estrutura em termos de sua geometria.
• Retículo Cristalino: matriz tridimensional de pontos que coincidem 
com as posições dos átomos (ou centros das esferas).
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Estrutura dos Sólidos
Segundo a distribuição espacial dos átomos, moléculas ou íons, 
os sólidos podem ser classificados em:
• Cristalinos: compostos por átomos, moléculas ou íons
arranjados de uma forma periódica em três dimensões. As
posições ocupadas seguem uma ordenação que se repete para
grandes distâncias atômicas (de longo alcance).
• Amorfos: compostos por átomos, moléculas ou íons que não
apresentam uma ordenação de longo alcance. Podem
apresentar ordenação de curto alcance.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
11
Quais as características principais de uma rede 
cristalina?
• Geometria da rede
• Número de átomos na célula cristalina
• Relação entre o parâmetro de rede e o raio do átomo
• Número de coordenação atômico
• Fator de Empacotamento Atômico (FEA)
• Densidade teórica
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
12
Retículo Cristalino
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Célula Unitária
•O conceito de célula unitária é usado para representar a simetria de
uma determinada estrutura cristalina.
•Qualquer ponto da célula unitária que for transladado de um múltiplo 
inteiro de parâmetros de rede ocupará uma posição equivalente em
outra célula unitária.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Parâmetros de Rede
Geometricamente uma célula unitária pode ser representada
por um paralelepípedo.
A geometria da célula unitária é descrita em termos de seis
parâmetros: o comprimento das três arestas do paralelepípedo
(a, b e c) e os três ângulos entre as arestas (α, β, γ). Esses
parâmetros são chamados parâmetros de rede.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
15
Como os átomos se arranjam no espaço tridimensional?
Estrutura Cristalina (principais):
- Cúbica simples;
- Cúbica de face centrada;
- Cúbica de corpo centrado;
- Hexagonal compacta.
Aula 1 – Vídeo 1
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Estrutura Cristalina Cúbica Simples
• Apesar 
cúbicas,
de pertencer 
não permite
as estruturas 
alto grau de
empacotamento;
um átomo em cada• Existe apenas 
vértice do cubo.
• O parâmetro de rede a corresponde ao
tamanho da aresta do cubo, ou seja:
a  2R
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Estrutura Cristalina Cúbica Simples
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Estrutura Cristalina Cúbica de Face Centrada (CFC)
Possui célula unitária com geometria cúbica, com os átomos
localizados em cada um dos vértices e nos centros de todas as
faces do cubo;
O número de coordenação corresponde ao número de
átomos vizinhos mais próximos.
Número de coordenação é 12.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Estrutura Cristalina Cúbica de Face Centrada (CFC)
a  2 2R
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Estrutura Cristalina Cúbica de Corpo Centrado (CCC)
Outra estrutura muito comum entre os metais: a chamada
cúbica de corpo centrado, ccc.
Consiste em um cubo unitário com átomos em seus vértices
e um átomo em seu centro. A estrutura ccc é ligeiramente
menos compacta que as estruturas cfc e hc.
Existem metais, como o ferro, que mudam de estrutura
cristalina com o aumento da temperatura: o ferro é ccc desde
a temperatura ambiente até 910°C, quando então passa a
ser cfc.
Se continuarmos a aquecer, o ferro novamente muda de
estrutura cristalina voltando a ser ccc a partir de 1396°C e
mantém esta estrutura até sua fusão (~ 1536°C).
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
21
Estrutura Cristalina Cúbica de Corpo Centrado (CCC)
a 
4 3R
3
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Estrutura Hexagonal Compacta (HC)
• Ela contém um átomo em cada vértice dos hexágonos das
bases (superior e inferior) e três átomos em seu centro.
• A célula unitária de uma estrutura hc pode ser visualizada como
um hexágono regular cujos planos superior e inferior contém 7
átomos. Entre estes planos está um meio-hexágono de 3 átomos.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Estrutura Hexagonal Compacta (HC)
3
a
c 
 1,633
c 
8
.2R
a  2R
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Estrutura Cristalina de alguns Metais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Sete Sistemas Cristalinos
Cúbico
Hexagonal
Tetragonal
Trigonal
a=b=c
a=b#c
a=b#c
a=b=c
Ortorrômbicoa#b#c
Monoclínico
Triclínico
a#b#c 
a#b#c
α=β=γ=90o 
α=β=90o γ=120o 
α=β=γ=90o 
α=β=γ#90o 
α=β=γ=90o 
α=γ=90o#β 
α#β#γ#90o
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Número de Coordenação: Número de átomos que tocam
um átomo em particular. Ele indica quão próximos os atómos
estão dentro de uma célula unitária.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Fator de empacotamente atômico: Fração de espaço da 
célula unitária ocupada por átomos.
FEA = Volume de átomos por célula unitária / Volume total da 
célula unitária
FEA= Vatómo / Vcélula unitára
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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FEA para estrutura Cúbica Simples
como a=2R
FEA=0,52
Volume 1 átomo = (4/3) π R3
Volume célula unitária = a3
FEA =
4 πR³
3. a³
N = N i+ N f + N v
N = 0+ 0+
8
8
N =1
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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FEA para estrutura Cúbica de Face Centrada
FEA= 4 X volume de 1 átomo / volume da célula
unitária
Pode-se correlacionar o parâmetro da rede
a, com o raio metálico, r.
Uma vez que os átomos dos vértices estão
em contato pontual com o átomo central de
cada face, a diagonal da face (a hipotenusa
de um triângulo retângulo em que os catetos
são as arestas) é igual a 4r
.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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FEA para estrutura Cúbica de Face Centrada
FEA= 0,74
16 2R³
πR³
FEA= 3
16
πR³
FEA= 3

 

16

2 2R

³
N =4
N = 0 + +
N = N + N +Nv
6 8
2 8
i
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
f
32
8
N =2
N =1+0+
8
FEA para estrutura Cúbica de Corpo Centrado
Esta estrutura contém um átomo em cada vértice do cubo e
um átomo em seu centro.
N = Ni + N f + Nv
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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4R 4 3R
3 3
=a=
3
FEA= 0,68
FEA=
³

3 


4R

3
2.
 4πR³
 
FEA para estrutura Cúbica de Corpo Centrado
• Pode-se correlacionar o parâmetro da célula unitária a, com o raio
atômico R.
• Uma vez que os átomos que estão em contato pontual são aqueles
ao longo das diagonais do cubo, tem-se para a estrutura de corpo
centrado:
Diagonal do cubo= 3a
4R= 3a
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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FEA para estrutura Hexagonal Compacta
2
Vhexágono=
3a² 3
.h
N = 3+
2
+
12
2 6
N = 6
vN = Ni + N f + N
a = 2 R 
Número de átomos por 
célula
3
h= c =
8
.2R
8
3
1,633
c 
a
.2Rc 
a  2R
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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FEA para estrutura hexagonal compacta
2
Vhexágono=
3a² 3
.h
3
8
.2Rh= c=
FEA= 0,74
3
8
.2.R
2
3.( 2R )² 3.
FEA= 3
6.4 πR³
FEA= 3
3.( 2R )² 3.h
2
4
6. πR³
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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2
FEA para estrutura de raio R
Cúbico simples:
a= 2R FEA=0,52
Cúbico de Corpo Centrado:
a= 4√3R/3 FEA=0,68
Cúbico de Face Centrada:
a= 2√2R FEA=0,74 4
Hexagonal compacta:
a= 2R FEA=0,74 6
No de átomos por célula
1
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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n : número de átomos associados a cada célula unitária 
A: massa atômica (g/mol)
Vc: volume da célula unitária (cm³ ou m³)
NA: número de Avogadro (6,023 × 1023 átomos/mol)
Cálculo da densidade teórica de um sólido
nA
N Am nA
ρ=
v
=
V
=
V N
C C A
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
n = número de átomos associados a cada
célula unitária
A = massa atômica
Vc = Volume da célula unitária
Na = número de Avogadro (6,02.1023
átomos/mol)
1) Exercício 3.8 – Livro Ciência e Engenharia de Materiais -
Uma Introdução - 9ª Ed.
O estrôncio possui uma estrutura cristalina CFC, um raio
atômico de 0,215 nm e um peso atômico de 87,62 g/mol. Calcule
a massa específica teórica para o estrôncio.
VC NA
nA
ρ=
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
n = número de átomos associados a cada 
célula unitária
A = massa atômica (24,3 g/mol) 
Vc = Volume da célula unitária
Na = número de Avogadro (6,02.1023
átomos/mol)
2) Exercício 3.13 – Livro Ciência e Engenharia de Materiais -
Uma Introdução - 9ª Ed.
O magnésio possui uma estrutura cristalina HC e uma
massa específica de 1,74 g/cm³.
VC NA
nA
ρ=
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
a) Qual é o volume da sua célula unitária em metros cúbicos?
b) Se a razão c/a é de 1,624, calcule os valores de c e de a.
3) Exercício 3.17 – Livro Ciência e Engenharia de Materiais -
Uma Introdução - 9ª Ed.
A célula unitária para o Urânio (U) possui uma simetria
ortorrômbica, com os parâmetros da rede a, b, c iguais,
respectivamente, a 0,286, 0,587 e 0,495 nm. Se sua massa
específica, seu peso atômico e seu raio atômico são de 19,05
g/cm³, 238,03 g/mol e 0,1385 nm, respectivamente, calcule o
valor de empacotamento atômico.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
VC NA
nA
ρ=
n = número de átomos associados a cada 
célula unitária
A = massa atômica
Vc = Volume da célula unitária
Na = número de
Avogadro (6,02.1023 átomos/mol)
4) Exercício 3.15 – Livro Ciência e Engenharia de Materiais -
Uma Introdução - 9ª Ed.
O nióbio possui um raio atômico de 0,1430 nm e uma massa
específica de 8,57 g/cm³. A massa atômica é igual a 92,91 g/mol.
Determine se ele possui uma estrutura cristalina CFC ou CCC.
VC NA
nA
ρ=
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
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Densidade Atômica Linear (DL)
Látomos
DL=
L
linha
Corresponde a fração do comprimento da 
linha ocupada com átomos
LA- comprimento linear que intercepta as esferas (átomos)
LL – comprimento linear dentro da célula unitária = a
3
L =aresta=
4 3R
L
LA =2R
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
40
Densidade Atômica Linear (DL)
(4R 3)3
2R
LA 
DL= 0,866
DL=
LC =
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
41
8R² 2Ap 
DP = 0,555
=8R² 2
Densidade Atômica Planar (DP)
DP = 
áreaátomosnopal no =Ac
áreaplano = Ap
DP=
Ac
=
2R²
Ap =( AC )( AD )= (4R ) 2( 2R) 
Ac = 2R²
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
5) Adaptação do Exercício 3.59 – Livro Ciência e Engenharia
de Materiais - Uma Introdução - 9ª Ed
Calcule a densidade planar, no plano (1 1 0) do ferro-α cuja rede 
é CCC. O parâmetro de rede a é igual a 0,287 nm.
DP= 
áreaátomosnopal no = Ac
áreaplano = Ap
6) Adaptação do Exercício 3.59 – Livro Ciência e Engenharia
de Materiais - Uma Introdução - 9ª Ed
Calcule a densidade planar no plano (1 1 1) de um elemento
qualquer cuja rede é CFC.
DP= 
áreaátomosnopal no = Ac
áreaplano = Ap
Polimorfismo ou alotropia
Alguns metais e não-metais podem ter mais de uma estrutura
cristalina em função das condições de temperatura e pressão.
Esse fenômeno é conhecido como polimorfismo.
Geralmente as transformações polimórficas são
acompanhadas de mudanças na densidade e mudanças de 
outras propriedades físicas.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Exemplos de Materiais que exibem Polimorfismo
• Ferro
• Titânio
• Carbono (grafite e diamante)
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Alotropia do titânio
FASE α
• Existe até 883ºC;
• Apresenta estrutura hexagonal 
compacta;
• É macia.
FASE β
• Existe a partir de 883ºC;
• Apresenta estrutura cúbica 
de corpo centrado;
• É dura.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Alotropia do ferro
Na temperatura ambiente, o Ferro têm
estrutura ccc, número de coordenação 8,
fator de empacotamento de 0,68.
A 910°C, o Ferro passa para estruturacfc, número de coordenação 12, fator de
empacotamento de 0,74.
A 1394°C o ferro passa novamente para 
ccc.ccc
cfc
ccc
Até 910°C
De 910-1394°C
De 1394°C-PF
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
7) Exercício 3.22 – Livro Ciência e Engenharia de Materiais -
Uma Introdução - 9ª Ed.
O ferro (55,85 g/mol) passa por uma transformação
alotrópica a 912°C: com o aquecimento, passa de uma estrutura
CCC (fase α) a uma estrutura CFC (fase γ). Essa transformação
vem acompanhada de uma mudança no raio atômico do Fe, de
Rccc=0,12584 nm para Rcfc=0,12894 nm, e, ainda, de uma
alteração na massa específica (e no volume). Calcule a variação
percentual no volume a qual está associada a essa reação. O
volume aumenta ou diminui?
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
VC NA
nA
ρ=
Pontos, Direções e Planos em Cristais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Pontos em Cristais
A posição de qualquer ponto localizado no interior de uma
célula unitária pode ser especificada em termos de sua 
coordenada, calculada como múltiplos fracionários dos
comprimentos das arestas das células unitárias, ou seja, dos
parâmetros de rede.
As coordenadas dos pontos têm como origem, a origem 
do sistema cartesiano.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Direções em cristais
Uma direção cristalográfica é definida como um vetor 
entre dois pontos na célula cristalina.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
54
Direções em cristais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
55
Direções em cristais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Direções em cristais
1) Um vetor com comprimento conveniente é posicionado de
tal modo que passe através da origem;
2) O comprimento da projeção de vetor é medido em termos
das dimensões da célula unitária a, b e c;
3) Estes 3 números são multiplicados ou divididos por
um fator comum, para serem reduzidas ao menor conjunto de
números inteiros possíveis;
4) Os 3 índices, não separados por vírgulas, são colocados
entre colchetes [u v w];
5) Os índices negativos são representados por uma barra
sobre os mesmos;
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
• São representadas entre colchetes 
[u v w]
Direções em cristais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Índice negativo, coloca-se uma barra
sobre o número
Direções em cristais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Os números devem ser divididos 
ou multiplicados por um fator 
comum para obtenção de números 
inteiros
Direções em cristais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Para algumas estruturas cristalinas, várias direções
paralelas apresentam o mesmo índice, são, na realidade,
equivalentes; isto significa que o espaçamento entre os átomos
ao longo de cada direção é o mesmo.
Em cristais, uma família de direções está associada a um
conjunto de direções com características equivalentes. A notação
empregada para representar uma família de direções é < u v w >,
que contém as direções:
Família de direções
[uvw],[uvw],[uvw],[uvw]
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
A simetria desta estrutura permite que as direções
sejam agrupadas para formar uma família deequivalentes 
direções:
<100> para as faces
<110> para as diagonais das faces
<111> para a diagonal do cubo
Direções em cristais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
No sistema CCC os átomos se tocam ao longo da diagonal
do cubo, que corresponde a família de direções <111>.
Então, a família de direções <111> é a de maior empacotamento 
atômico para o sistema ccc.
Direções em cristais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
No sistema CFC os átomos se tocam ao longo da diagonal 
da face, que corresponde a família de direções <110>
Então, a família de direções <110> é a de maior empacotamento 
atômico para o sistema CFC.
Direções em cristais
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
8) Exercício 3.34 – Livro Ciência e Engenharia de Materiais -
Uma Introdução - 9ª Ed.
No interior de uma célula unitária cúbica, esboce as seguintes
direções:
a) [1 0 1]
b) [2 1 1]
c) [1 0 2]
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Planos cristalinos
- São representados de maneira similar às direções;
- São representados pelos índices de Miller = (h k l);
- Planos paralelos são equivalentes, apresentando os mesmos
índices de Miller.
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Planos cristalinos
Regras para representação dos Índices de Miller = (h k l)
1) Se o plano passa pela origem selecionada, um outro plano
paralelo deve ser construído no interior da célula unitária
mediante uma translação apropriada ou uma nova origem deve
ser estabelecida no vértice de uma outra célula unitária
adjacente.
Plano equivalente
Regras para representação dos índices de Miller = (h k l)
2) O plano, agora, intercepta cada um dos três eixos ou será
paralelo a algum deles. O comprimento da interseção do plano
com cada eixo é determinado em termos dos parâmetros de
rede cristalina a,b e c.
Interseções:
Eixo x = Eixo y =  Eixo z = 1
Regras para representação dos índices de Miller = (h k l)
3) Os valores inversos desses números são calculados.
Interseções:
Eixo x =
Eixo y = 
Eixo z = 1
Inversos:
Regras para representação dos índices de Miller = (h k l)
4) Finalmente, os índices inteiros, não separados por vírgulas, 
são colocados entre parênteses, obtendo-se (h k l).
Interseções: Inversos:
Eixo x =
Eixo y = 
Eixo z = 1
(0 0 1) – Índices de Miller
Planos cristalinos
Planos (0 1 0)
•São paralelos aos eixos 
x e z (paralelo à face).
•Cortam o eixo y em 
1 e os eixos x e z em 
.
•1/ , 1/1, 1/  = (0 1 
0)
Planos (110)
• São paralelos a um eixo (z)
• Cortam dois eixos (x e y)
• 1/ 1, 1/1, 1/  = (1 1 0)
Planos cristalinos
3 eixos
Planos (111)
•Cortam os 
cristalográficos
• 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (1 1 1)
Planos Cristalinos
Família de planos {110}: É paralelo à um eixo
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Planos de maior densidade atômica no sistema CCC
• A família de planos {110} no
sistema ccc é o de maior
densidade atômica
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
Planos de maior densidade atômica no sistema CFC
A família de planos {111} no
sistema cfc é o de maior densidade
atômica
Capítulo 3: A Estrutura dos Sólidos Cristalinos
9) Exercício 3.46 – Livro Ciência e Engenharia de Materiais -
Uma Introdução - 9ª Ed.
Desenhe os seguintes planos cristalográficos de células unitárias 
cúbicas:
a) (1 0 1)
b)(2 1 1)
O fenômeno da Difração
-O conhecimento das estruturas cristalinas foi obtido em grande
parte por técnicas de difração de raios-X;
-Raio-X: radiação eletromagnética de alta energia e de baixo
comprimento de onda: 0,5 a 2,5 Å (6000 Å é comprimento de
onda da luz visível);
-Quando um alvo (sólido) é atingido por um feixe de Raios X,
uma fração deste feixe será dispersa em todas as direções pelos
elétrons que estão associados a cada átomo ou íon que se
encontra na trajetória do feixe.
- Considere dois planos paralelos 1-1’ e 2 - 2’ apresentados na
figura, os quais possuem os mesmos índices de Miller h l k, e que
estão separados por um espaçamento (distância) interplanar dhkl.
1
2
1’
2’
- Suponha que um feixe de raios X paralelo monocromático e
coerente, com comprimento de onda λ, esteja incidindo sobre
estes dois planos segundo um ângulo θ. Dois raios (feixe
difratado) são dispersos pelo átomos.- Se a diferença entre os comprimentos das trajetórias (AB +
BC) for igual a um número inteiro n de comprimentos de onda,
uma interferência construtiva dos raios dispersos difratados
também irá ocorrer segundo um ângulo θ em relação aos planos.
1
2
1’
2’
O fenômeno da Difração
A condição para a difração é:
nλ = AB + BC
nλ = dhlksenθ + dhlksenθ
nλ = 2dhlksenθ
Conhecida como a Lei de Bragg, relaciona o comprimento de
onda dos Raios X e o espaçamento interatômico com ângulo de
incidência).
A magnitude da distância entre dois planos de átomos
adjacentes e paralelos, o espaçamento interplanar, é uma
função dos índices de Miller (h l k), assim como dos parâmetros
da rede cristalina.
Difração de Raios X – Lei de Bragg
λ comprimento de onda (m)
a parâmetro da rede cristalina (m)
n é um número inteiro de
ondas (ordemde reflexão)
dhkl : distância interplanar (m)
θ: ângulo de incidência
hkl
a
(h2  k2  l2 )
d 
n= 2 dhkl.sen
Por exemplo as estruturas cristalinas cúbicas:
O fenômeno da Difração
-As técnicas de difração de raios-X exploram a difusão da
radiação pelos cristais;
-A difração pode ser implementada por várias técnicas e dela
resultam diagramas de difração; destes podemos retirar
informações como:
- medida da distância média entre planos atômicos;
- determinação da orientação de um grão;
- identificação da estrutura cristalina de um material;
- avaliação das tensões internas de uma região cristalina;
Técnicas de Difração - Método do pó
É uma técnica usual de difração em que o material a ser
analisado encontra-se pulverizado (partículas finas orientadas ao
acaso) sendo exposto à radiação X monocromática.
O grande número de partículas com orientações
diferentes assegura que a Lei de Bragg seja satisfeita para alguns
planos cristalográficos.
Técnicas de Difração - Método do pó
O difratômetro é um aparelho utilizado para determinar 
ângulos nos quais ocorrem a difração de amostras pulverizadas.
T= fonte de raio X 
S= amostra
C= detector
O= eixo no qual a amostra e o 
detector giram
Difratômetro de Raio X
- Uma amostra S no formato de uma chapa plana é posicionada de
forma que são possíveis rotações ao redor do eixo identificado por O;
- O feixe monocromático de raios X é
gerado no ponto T e as intensidades
dos feixes difratados são detectadas
através de um contador, identificado
pela letra C. A amostra, fonte de raios X
e o contador estão sobre o mesmo
plano.
Difratômetro de Raio X
O contador é montado sobre uma plataforma móvel que
também pode ser girada ao redor do eixo O; a sua posição
angular 2θ é marcada sobre uma escala graduada. Uma rotação
da amostra de um ângulo θ é acompanhada de uma rotação de
2θ do contador.
A medida que o contador se move a uma velocidade
angular constante um registrador plota automaticamente a
intensidade do feixe difratado em função de 2θ, o chamado
ângulo de difração.
As respostas são os difratogramas ou padrão de difração.
Difratograma ou Padrão de Difração
Difratograma ou Padrão de Difração
10) Exercício 3.69 – Livro Ciência e Engenharia de Materiais -
Uma Introdução - 9ª Ed
O metal Ródio possui uma estrutura cristalina CFC. Se o ângulo
de difração para o conjunto de plano (3 1 1) ocorre em 36,12° (reflexão
de primeira ordem) quando é usada uma radiação X monocromática
com comprimento de onda de 0,0711 nm, calcule o seguinte:
a) Espaçamento interplanar para esse conjunto de planos
b) O raio atômico para um átomo de ródio
a
hkl
(h2  k2  l2)
d 
hkln= 2 d .sen
11) Adaptação do Exercício 3.75 – Livro Ciência e
Engenharia de Materiais - Uma Introdução - 9ª Ed
A seguinte tabela lista ângulos de difração para os três primeiros picos
(primeira ordem) do difratograma de raios X de um dado metal.
Radiação X monocromática com comprimento de onda de 0,1397 nm
foi usada.
a) Determine se a estrutura cristalina desse metal é CFC, CCC ou
diferente, e explique a razão da sua escolha. CCC: (1 1 0); (2 0 0);
(2 1 1); CFC: (1 1 1); (2 0 0); (2 2 0)
b) Se a estrutura for CCC ou CFC identifique o metal
Número do pico Ângulo de difração 
1 34,51°
2 40,06°
3 57,95°
11) Adaptação do Exercício 3.75 – Livro Ciência e Engenharia 
de Materiais - Uma Introdução - 9ª Ed 
a
hkl
(h2  k2  l2)
d 
hkln= 2 d .sen