GAAL Isabel 02 05 SEI uni II (RF) BB(1)

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Unidade II
GEOMETRIA ANALÍTICA E 
ÁLGEBRA LINEARÁLGEBRA LINEAR
Profa. Isabel Espinosa
Vetores
Grandezas escalares – área, volume, tempo 
etc.
Grandezas vetoriais – força, velocidade.
 Comprimento ou módulo – medida do 
vetor.vetor.
 Direção – direção da reta que contem o 
vetor.
 Sentido – orientação.
 Representação geométrica – segmento 
i dorientado.
Vetores
Notação:
vetor AB, origem A, extremidade B
origem C, extremidade D 
AB -
CD -
A
B
r
s
AB
D
C
CD
Vetores
Igualdade
A
B
r
s
AB
E
F
t
EF
D
C
CD
E
AB = EF mesmo sentido direção eAB = EF mesmo sentido, direção e
módulo 
AB  CD sentido contrário 
Vetores
 Paralelos (mesma direção, r // s)
AB // CD 
A B r
AB
D C sCD
AB // EF 
Vetores
Sentido
A
B
r
s
AB
F
t
EF
D
C
CD
A
E
EF
AB e EF mesmo sentido 
AB e CD sentido oposto
Vetores
Ortogonais (r e s perpendiculares)
AB ⊥ CD 
s
F
t
AB
D
CD
⊡
EF
A B r
AB⊡
AB ⊥ EF 
Vetores
Exemplos:
1. Observando o paralelogramo ABCD, 
determinar os vetores que são iguais 
CD
A B
Vetores
AB = DC
A B
CD
AD = BC
CD
A B
Vetores
2. Observando o cubo, determinar os 
vetores que são iguais a
GH
AB
A B
CD
E F
Vetores
AB = EF = DC = HG
E F
GH
A B
CD
F
Vetores
 Adição
u
v
u + v u
v
Vetores
Regra do paralelogramo:
v
CD
uA B
Interatividade
Para o cubo ABCDEFGH é correto afirmar:
a)
b)
E F
GH
AB ⊥ EF
AB // BF
c)
d)
e) A B
CD
E F
AD = FG
HG // BC
BC = DC
Vetores
Exemplos
1. Determinar a soma dos vetores indicados 
na figura, considerando que ela é 
formada por quadrados iguais
BA B C
D E F
G H I
Vetores
A B C A B C
DA + E I + BC = 
= DF 
D E F
G H I
D E F
G H I
DA = I F BC = DE
Vetores
2. Considerando o hexágono regular 
determine a soma dos vetores indicados
DE
A B
CF G
Vetores
BA + FG + FE + ED = FD 
DE DE
A B
CF
G
A B
CF
G
BA = - FG
Vetores
Multiplicação por escalar (n° real)
e   0
é o vetor que tem:
v  0
 v 
 direção: mesma de 
 sentido:  > 0 , mesmo de
 < 0 , contrário
Mód l
v
v
v
Módulo: 
|  v | = || .| v |
Vetores
Exemplo
1. Dado o vetor representar os vetores v
v
2 v
-3 v
v1
2
Vetores
v
2 v
-3 v
v1
2
Vetores
2. Dada a equação vetorial, na variável
determine a sua solução.x
2 x + a + b = 4 x – a – b 
Vetores
2 x + a + b = 4 x – a – b 
2 x – 4 x = – a – b – a – b 
2 x = 2 a 2 b– 2 x = – 2 a – 2 b
x = a + b
Coordenadas dos vetores
IR2 – (plano)
B = {(1,0), (0,1)} é uma base ortonormal
v = (a, b) = a . i + b . j 
i = (1, 0) e j = (0, 1) 
y
j
b
v
(2,3)
x
j
ai
v = (2, 3) = 2 . i + 3. j 
Coordenadas dos vetores
IR3 –
B = {(1,0,0), (0,1, 0), (0,0,1)} é uma base 
ortonormal
v = (a, b, c) = a . i + b . j + c . k 
i = (1, 0, 0), j = (0,1, 0) e k = (0, 0, 1)
ortonormal
Exemplo:
v = (2, 1, 3) = 2 . i + 1 . j + 3 . k 
Coordenadas dos vetores
Adição no IR2:
Adição no IR3
u + v = (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Multiplicação por escalar
u + v = (a, b,c) + (x, y, z) = 
= (a + x, b + y, c + z)
 u =  (a, b, c) = ( . a,  . b,  . c)
u = (a, b, c)
Coordenadas dos vetores
Exemplos:
1. Sendo 
determinar 
u = (3, 2,1) e v = (-1, 2,3)
u + v = 
u + v e 2 u
(3, 2, 1) + (-1, 2, 3) = 
= (3 + (-1), 2 + 2, 1 + 3)
= (2, 4, 4) 
2 u = 2 (3, 2, 1) = (6, 4, 2) 
Coordenadas dos vetores
2. Dados os vetores 
determinar o vetor 
u = (-1, 3), v = (3, 5) e w = (0, 1), 
x = - u + 3 v + w
Coordenadas dos vetores
u = (-1, 3), v = (3, 5) e w = (0, 1), 
x = - u + 3 v + w
x = - (-1, 3) + 3 (3, 5) + (0, 1)
x = (1, - 3) + (9, 15) + (0, 1)
x = (10, 13)( 0, 3)
Interatividade
Sendo
a resultante é:r = -2 u + 3 v
u = (-2, 0,3) e v = (3, 2, -1)
a) r = (9, 6, 2)
b) r = (5, 6, 3)
c) r = (13, 6, -9)
d) r = (13, 6, 9)
e) r = (13, 2, -9)
Coordenadas dos vetores
 Módulo de um vetor
Exemplos:
u = (x, y) | u | = x2 + y2
u = (x, y, z) | u | = x2 + y2 + z2
Exemplos:
b) v = ( 1 0 3)
a) u = (1, 2)
| u | = x2 + y2 = 12 + 22 = 5
b) v = (-1, 0, 3)
|v| = x2 + y2 + z2 = (-1)2 + 02 + 32 = 10
Coordenadas dos vetores
Sendo A = (x,y,z) e B = (a,b,c) o vetor
temos,
AB
AB = B – A = (a,b,c) – (x,y,z) 
AB = (a – x ,b – y ,c – z ) 
Exemplo:
Sendo A = (2, -1, 3) , B = (1, 0, 2) as 
coordenadas de são:u = AB 
u = AB = B – A = (1, 0, 2) – (2, -1, 3) 
u = AB = (- 1, 1, - 1 )
Coordenadas dos vetores
 Combinação linear – escrever como 
soma de múltiplos
 Exemplo
v = a1 . u1 + a2 . u2 + . . . + an . un
 Exemplo
Determinar k para que seja 
combinação linear de e 
u = (k, 1, 4)
v = (1, 5, 2) 
w = (2, 3, 0)
Coordenadas dos vetores
u = a . v + b . w
(k, 1, 4) = a.(1, 5, 2) + b.(2, 3, 0)
(k, 1, 4) = (a, 5a, 2a) + (2b, 3b, 0)
(k, 1, 4) = (a + 2b, 5a + 3b, 2a)
a + 2b = k
5a + 3b = 1
2a = 42a 4
a = 2, b = - 3 e k = - 4 
Produto escalar
Produto escalar 
u = x1 . i + y1 . j + z1 . k
u . v lê-se u escalar v
v = x2 . i + y2 . j + z2 . k
u . v = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2
Produto escalar
Exemplos:
1. Dados os vetores, calcular os produtos 
indicados u . v, v. v
a) u = (1, 2) e v = (- 1, 1)
u . v = (1, 2) . (- 1, 1) = 1.(-1) + 2.1 = 1
v . v = (-1,1) . (-1, 1) = (-1).(-1) + 1.1 = 2
Produto escalar
u . v = (1, 3,-1) . (0, 1, 2) = 
= 1.0 + 3.1 + (-1).2 = 0 + 3 - 2 = 1
b) u = (1, 3, -1) e v = (0, 1, 2)
v . u = (0, 1, 2) . (1, 3,-1) = 
= 0.1 + 1.3 + 2.(-1) = 0 + 3 - 2 = 1
v . v = (0, 1, 2) . (0, 1, 2) = 
0 0 + 1 1 + 2 2 0 + 1 + 4 5= 0.0 + 1.1 + 2.2 = 0 + 1 + 4 = 5
Produto escalar
| a | = 4, | b | = 5 e a e b ortogonais
(2a + b) . (3a + 2 b)2. Determine se
(2a + b) . (3a + 2 b) =
= 2a . 3a + 2a . 2b + b . 3a + b .2 b =
= 6a . a + 4a . b + 3b . a + 2 b . b =
| a |2 0 0 | b |2
= 6 . 42 + 0 + 0 + 2 . 52 = 
= 96 + 50 = 146 
Produto escalar
3. Determinar cosθ, sendo θ = ang(u,v), 
sabendo que:
| u | = 5, | v | = 3 e a . b = 6
Produto escalar
Pelas propriedades temos:
u . v = | u | . | v | . cos θ, logo
u . v
|u| |v|
cos θ =
|u| . |v|
6
5 . 3
cos θ = = 2
5
Interatividade
Dados os pontos A = (4, -3, 2) e 
B = (10, -5, 7) as coordenadas do vetor
são:
a) (12, - 4, 10) 
b) ( 12 4 10)
2 AB
b) (-12, - 4, 10) 
c) (12, 4, 10) 
d) (12, - 4, -10) 
e) (-12, 4, 10)
Produto vetorial
Notação: ou 
(lê-se: u vetorial v)
u x v u ˄ v
u = (x1, y1,z1)
v = (x2, y2,z2)( 2, y2, 2)
u x v =
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z22 y2 2
Produto vetorial
Exemplo:
Calcular o produto vetorial dos vetores 
u = (1, 3, -1) e v = (0, 1, 2)
i j k
u x v =
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
Produto vetorial
Substituindo as coordenadas
u x v =
i j k i j
1 3 -1 1 3
0 1 2 0 10 1 2 0 1 
0 - i 2 j 6 i 0 1 k
u x v = 6 i + k–(- i + 2 j ) = 6 i + k + i – 2 j
u x v = (7, -2, 1)
u x v = 7 i – 2 j + k 
Produto vetorial
Exemplos:1. Sendo | a | = 4, | b | = 5 e âng(a, b) = 300
calcule | a x b |
| u x v | = | u | | v | senθ
| a x b | = 4 . 5 . sen300 = 20 . ½ = 10
| u x v | = | u | . | v | . senθ
Produto vetorial
2. Determinar = (a, b, c) unitário tal que 
seja ortogonal aos vetores e , sendo 
e
u = (1, 0, -1) e v = (2, 0, 1)
uu x v ⊥ vu x v ⊥
u v
x x
e u u x v ⊥ vu x v ⊥ 
x logo u x v // 
Produto vetorial
Assim
u x v =
i j k i j
1 0 -1 1 0
2 0 1 2 0 
0 0 1 j 0 i -2j 0 k
u x v = (0, -3, 0)
u x v = 0 i – 3 j + 0 k 
x  x =  (u x v) u x v // 
Produto vetorial
x =  (0, -3, 0) = (0, - 3, 0)
x  x =  (u x v) u x v // 
| x | = 1  √ 02 + (- 3)2+ 02 = 1   = 1/3
x = 1/3 (0, - 3, 0) = (0, - 1, 0)
ou 
x = -1/3 (0, - 3, 0) = (0, 1, 0)
Produto vetorial
3. Determinar a área do paralelogramo 
formado pelos vetores 
u = (2, -1, 1) e v = (1, 0, -1)
| u x v | = A| |
Paralelogramo
Produto vetorial
u x v =
i j k i j
2 -1 1 2 -1
1 0 -1 1 0 
-1 k 0 -2 j 1 i 1 j 0 k
u x v = (1, 3, 1)
A = | u x v | = √11A = | u x v | = √11
Paralelogramo
Produto misto
Produto misto
notação [ u ,v, w ]
u = (x1, y1,z1)
v = (x2 y2 z2)
Definição: 
v (x2, y2,z2)
w = (x3, y3,z3)
u . v x w[ u ,v, w ] =
Produto misto
Exemplos: 
1) Calcule dados:u . (v x w)
u = (-1, 0,2)
v = (1, 3,0)
w = (0, 1,2)
Produto misto
v x w =
i j k i j
1 3 0 1 3
0 1 2 0 1 
u . (v x w) = (-1,0,2) . (6,- 2,1) = - 4
0 0 2 j 6 i 0 j 1 k
v x w = (6, - 2, 1)
Produto misto
2. Calcular o volume do paralelepípedo 
determinado pelos vetores: ,
e
u = (1, -2,1)
v = (0, -1,1) w = (2, 1,-1)
Vp = | [ u ,v, w ] |
Produto misto
1 -2 1
0 -1 1
2 1 -1
[ u ,v, w ] = = -2
Vp = | [ u ,v, w ] | = | -2 | = 2
Produto misto
3. Determinar m para que os vetores sejam 
coplanares 
u = (1, 0, 1)
v = (-1, 2, 2)
( 2 2)w = (m, -2, 2)
[ u ,v, w ] = 0, (coplanares)
Produto misto
1 0 1
-1 2 2
m -2 2
[ u ,v, w ] = = - 2m + 10
- 2 m + 10 = 0 - 2 m = - 10 
Logo m = 5
[ u ,v, w ] = - 2 m + 10 = 0
g
Interatividade
O valor do produto misto dados:
a) 0
b) 2
[ u ,v, w ]
u = (-1, -2,0) v = (0, 0,3) e w = (1, 2,-1)
c) -2
d) 3
e) -3 
ATÉ A PRÓXIMA!