Aula 2 Potenciação, Radiação, Intervalos Numéricos e Fatoração

Prévia do material em texto

Aula 2 - Potenciação, Radiação, Intervalos Numéricos e Fatoração 
Introdução 
Nesta aula falaremos sobre a potenciação, radiciação, intervalos numéricos e 
fatoração. 
 
Bons estudos! 
Objetivos 
Descrever a potenciação e a radiciação como propriedades algébricas; 
Aplicar a fatoração em expressões algébricas; 
Definir intervalos entre conjuntos. 
Potenciação e radiciação de números fracionários 
Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado 
expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, 
conforme os exemplos abaixo: 
 
 
 
Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos 
aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo a seguir: 
 
 
 
Potenciação de Radicais 
Observando as potências, temos que: 
 
De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o 
radicando àquele expoente, conforme o exemplo abaixo: 
 
Divisão de Radicais 
Segundo as propriedades dos radicais, temos que: 
 
 
De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e 
dividimos os radicais. Veja a seguir: 
 
 
Lembre-se: 
 
Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetuar 
a operação. Observe: 
 
 
Racionalização de denominadores 
 
Observe que a fração equivalente possui um denominador racional. 
A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de uma fração 
com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais 
radicais em seu denominador. 
Atenção: Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os 
termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, 
de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical. 
 
Veja alguns exemplos dos principais casos de racionalização: 
 
 
Potência com expoente racional 
Observe as seguintes igualdades: 
 
Igualmente, podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um 
radical. 
 
 
 
Resumindo, podemos transformar um radical com expoente fracionário. Veja a seguir: 
 
 
Propriedade das potências com expoentes racionais 
As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os 
expoentes inteiros. Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números 
racionais, temos que: 
 
 
Veja um exemplo: 
 
 
Intervalos 
Os intervalos podem ser: 
 
 
Existem ainda os intervalos infinitos: 
 
 
Fatoração 
Decomposição em fatores primos 
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou 
mais fatores. Vejamos a aplicação desse conceito com a decomposição do número 
24 num produto: 
 
 
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. 
 
Saiba mais: A fatoração do número 24 corresponde à decomposição de 24 em um 
produto de fatores primos. Então, a fatoração de 24 = 23 x 3 
A fatoração de um número natural, maior que 1, é a sua decomposição em um produto de fatores 
primos. A seguir, veja as regras para a fatoração. 
 
Regra para a fatoração 
 
Um dispositivo prático para fatorar um número é mostrado abaixo. 
 
 
A figura mostra a fatoração do número 630. 
 
 
Determinação dos divisores de um número 
Na prática, determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores 
primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 
1º 
Decompomos o número em fatores primos; 
2º 
Traçamos uma linha e escrevemos o um no alto, porque ele é divisor de qualquer 
número; 
 
3º 
Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e 
escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; 
 
4º 
Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. 
 
 
Portanto, os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. 
Fatoração de expressões matemáticas 
Uma expressão matemática está fatorada quando é escrita na forma de uma 
multiplicação. 
 
 
 
Casos de fatoração 
 
 
 
Simplificação 
Podemos simplificar uma fração quando o numerador e o denominador estiverem 
fatorados e apresentarem pelo menos um fator comum. Veja alguns exemplos: 
 
RESUMO: 
Resumo do conteúdo 
 Noções de potenciação e radiciação. 
 Intervalos numéricos: aberto e fechado. 
 Fatoração.