Nas questões (1), (2) e (3) considere as funções ????(????) = ????3 + ????2 − ???? + 2 e ????(????) = 1+ √????2−1 ????(????). Questão 1 [1,0 pt]: Fatore em ℝ o polinôm...
Fatore em ℝ o polinômio ????(????) = ????3 + ????2 − ???? + 2.
Encontre o domínio da função ????(????).
Estude o sinal da função ???? = ????(????).
A questão 1 exige que o aluno fatorize o polinômio ????(????) em ℝ, apresentando as contas que o levaram à fatoração apresentada.
A questão 2 exige que o aluno encontre o domínio da função ????(????) e o represente na forma de união de pontos ou na forma de união de intervalos disjuntos.
A questão 3 exige que o aluno estude o sinal da função ???? = ????(????), indicando para que valores reais de ????, ????(????) = 0, ????(????) > 0 e ????(????) < 0.
💡 1 Resposta
Ed 
Questão 1: Para fatorar o polinômio ????3 + ????2 − ???? + 2, podemos utilizar o método de Briot-Ruffini ou a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. Após encontrar as raízes, podemos escrever o polinômio como um produto de fatores lineares e/ou quadráticos irredutíveis. A fatoração em ℝ é: ????3 + ????2 − ???? + 2 = (???? + 1)(????2 − ???? + 2). Para justificar a fatoração, podemos utilizar o método de Briot-Ruffini para verificar que -1 é uma raiz do polinômio e, portanto, (???? + 1) é um fator. Em seguida, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as outras duas raízes, que são complexas. Como não estamos trabalhando com números complexos, podemos escrever o polinômio como um produto de fatores lineares e quadráticos irredutíveis. Questão 2: O domínio da função ???? = 1+ √????2−1 ???? é o conjunto de todos os valores de ???? que tornam a expressão dentro da raiz quadrada não negativa, ou seja, ????2 − 1 ≥ 0. Isso implica que ???? ≤ -1 ou ???? ≥ 1. Portanto, o domínio da função é dado por: Dom(????) = {???? ∈ ℝ | ???? ≤ -1 ou ???? ≥ 1}. Questão 3: Utilizando a fatoração encontrada na questão 1, podemos estudar o sinal da função ???? = ????3 + ????2 − ???? + 2. Para isso, podemos construir uma tabela de sinais, considerando os intervalos determinados pelas raízes do polinômio. Temos: -∞ -1 √2-1 √2-1 +∞ + 0 - + + Portanto, a função ???? = ????3 + ????2 − ???? + 2 é positiva para ???? < -1 e para ???? > √2-1, e negativa para -1 < ???? < √2-1. A função se anula em ???? = -1.
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