Cálculo III - Lista de Exercícios 10 - UFF
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Cálculo III - Lista de Exercícios 10 - UFF


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Universidade Federal Fluminense
Instituto de Matema´tica e Estat\u131´stica
Departamento de Matema´tica Aplicada
Ca´lculo 3A \u2013 Lista 10
Exerc´\u131cio 1: Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 1 entre os planos z = 0 e z = x+ 1.
a) Parametrize e esboce S.
b) Calcule
\u222b\u222b
S
z dS.
Soluc¸a\u2dco:
a) A superf´\u131cie S e´ mostrada na figura que se segue.
x
y
z
S
\u22121
1
1
1
Usamos \u3b8 e z como para\u2c6metros para parametrizar S. Temos S : \u3d5(\u3b8, z) = = (cos \u3b8, sen \u3b8, z), onde
(\u3b8, z) \u2208 D :
{
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0
0 \u2264 z \u2264 1 + x = 1 + cos \u3b8 .
b) Temos:
\u3d5\u3b8 × \u3d5z =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
~i ~j ~k
\u2212 sen \u3b8 cos \u3b8 0
0 0 1
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 = (cos \u3b8, sen \u3b8, 0)
e \u2223\u2223\u2223\u2223\u3d5\u3b8 × \u3d5z\u2223\u2223\u2223\u2223 = \u221acos2 \u3b8 + sen2 \u3b8 = 1 .
Ca´lculo 3A Lista 10 152
Enta\u2dco: \u222b\u222b
S
z dS =
\u222b\u222b
D
z
\u2223\u2223\u2223\u2223\u3d5\u3b8 × \u3d5z\u2223\u2223\u2223\u2223 d\u3b8dz =
\u222b
2pi
0
\u222b
1+cos \u3b8
0
z dzd\u3b8 =
=
\u222b
2pi
0
1
2
(1 + cos \u3b8)2d\u3b8 =
1
2
\u222b
2pi
0
(
1 + 2 cos \u3b8 + cos2 \u3b8
)
d\u3b8 =
=
1
2
[
\u3b8 + 2 sen \u3b8 +
1
2
(
\u3b8 +
sen 2\u3b8
2
)]2pi
0
=
1
2
(
2\u3c0 +
1
2
· 2\u3c0
)
=
3pi
2
.
Exerc´\u131cio 2: Calcule
\u222b\u222b
S
f(x, y, z) dS, onde f(x, y, z) = x2 + y2 e S : x2 + y2 + z2 = 4, z \u2265 1.
Soluc¸a\u2dco: O esboc¸o de S esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
S
D\u22122
1
2
2
2
\u221a
3
\u221a
3
\u3c6
Observe que tg\u3c6 =
\u221a
3/1 implica \u3c6 = \u3c0/3. Uma parametrizac¸a\u2dco de S e´ dada por \u3d5(\u3c6, \u3b8) =
(2 sen\u3c6 cos \u3b8, 2 sen\u3c6 sen \u3b8, 2 cos\u3c6) com (\u3c6, \u3b8) \u2208 D : 0 \u2264 \u2264 \u3c6 \u2264 \u3c0/3 e 0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0. Ja´ vimos que,
no caso da esfera, x2 + y2 + z2 = a2 e dS = a2 sen\u3c6 d\u3c6d\u3b8. Logo, dS = 4 sen\u3c6 d\u3c6d\u3b8. Assim:\u222b\u222b
S
f(x, y, z) dS =
\u222b\u222b
D
f (\u3d5(\u3c6, \u3b8)) 4 sen\u3c6 d\u3c6d\u3b8 =
= 4
\u222b\u222b
D
(4 sen2 \u3c6 cos2 \u3b8 + 4 sen2 \u3c6 sen2 \u3b8) sen\u3c6 d\u3c6d\u3b8 =
= 16
\u222b\u222b
D
sen2 \u3c6 sen\u3c6 d\u3c6d\u3b8 = 16
\u222b pi/3
0
(1\u2212 cos2 \u3c6) sen \u3c6
\u222b
2pi
0
d\u3b8d\u3c6 =
= \u221232\u3c0
\u222b pi/3
0
(1\u2212 cos2 \u3c6) d(cos\u3c6) = \u221232\u3c0
[
cos\u3c6\u2212 cos
3 \u3c6
3
]pi/3
0
=
= \u221232\u3c0
[(
1
2
\u2212 1
24
)
\u2212
(
1\u2212 1
3
)]
=
40pi
3
.
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 10 153
Exerc´\u131cio 3: Calcule a massa da superf´\u131cie S parte do plano z = 2\u2212x dentro do cilindro x2+y2 = 1,
sendo a densidade dada por \u3b4(x, y, z) = y2.
Soluc¸a\u2dco: O esboc¸o de S esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
S
D
11
2
2
A superf´\u131cie S e´ descrita por S : z = f(x, y) = 2 \u2212 x, com (x, y) \u2208 D : x2 + y2 \u2264 1. Como
dS =
\u221a
1 + (fx)
2 + (fy)
2 dxdy, enta\u2dco temos que dS =
\u221a
1 + (\u22121)2 + 02 dxdy = \u221a2 dxdy. Temos:
M =
\u222b\u222b
S
\u3b4(x, y, z) dS =
\u222b\u222b
S
y2 dS =
\u222b\u222b
D
y2
\u221a
2 dxdy =
\u221a
2
\u222b\u222b
D
y2 dxdy .
Usando coordenadas polares, temos:\u222b\u222b
D
y2 dxdy =
\u222b\u222b
Dr\u3b8
(r2 sen2 \u3b8)r drd\u3b8 =
\u222b\u222b
Dr\u3b8
r3 sen2 \u3b8 drd\u3b8 =
=
\u222b
2pi
0
sen2 \u3b8
\u222b
1
0
r3 drd\u3b8 =
1
4
\u222b
2pi
0
sen2 \u3b8 d\u3b8 =
1
4
· 1
2
[
\u3b8 \u2212 sen 2\u3b8
2
]2pi
0
=
pi
4
.
Logo:
M =
\u221a
2pi
4
u.m.
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 10 154
Exerc´\u131cio 4: Uma la\u2c6mina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro (x\u2212 1)2+y2 =
1. Determine a massa dessa la\u2c6mina se a densidade no ponto (x, y, z) e´ proporcional a` dista\u2c6ncia desse
ponto ao plano xy.
Soluc¸a\u2dco: As figuras que se seguem mostram a la\u2c6mina S e a sua projec¸a\u2dco sobre o plano xy.
x
y
z
S
z = x
1
1
x
y
D
1 2
S e´ dada por S : z = z(x, y) = x, onde (x, y) \u2208 D : (x\u2212 1)2 + y2 \u2264 1. Temos:
dS =
\u221a
1 +
(
\u2202z
\u2202x
)2
+
(
\u2202z
\u2202y
)2
dxdy =
\u221a
1 + 12 + 02 dxdy =
\u221a
2 dxdy.
A densidade f(x, y, z) e´ dada por f(x, y, z) = kz, onde k e´ uma constante de proporcionalidade.
Como
M =
\u222b\u222b
S
f(x, y, z) dS
enta\u2dco:
M = k
\u222b\u222b
S
z dS = k
\u222b\u222b
D
x
\u221a
2 dxdy = k
\u221a
2x dxdy .
Passando para coordenadas polares, temos:
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 10 155
M = k
\u221a
2
\u222b pi/2
\u2212pi/2
\u222b
2 cos \u3b8
0
r cos \u3b8 r drd\u3b8 = k
\u221a
2
\u222b pi/2
\u2212pi/2
\u222b
2 cos \u3b8
0
r2 cos \u3b8 drd\u3b8 =
= k
\u221a
2
\u222b pi/2
\u2212pi/2
cos \u3b8
[
r3
3
]2 cos \u3b8
0
d\u3b8 =
8k
\u221a
2
3
\u222b pi/2
\u2212pi/2
cos4 \u3b8 d\u3b8 =
=
8k
\u221a
2
3
\u222b pi/2
\u2212pi/2
(
1 + cos 2\u3b8
2
)2
d\u3b8 =
2k
\u221a
2
3
\u222b pi/2
\u2212pi/2
(
1 + 2 cos 2\u3b8 + cos2 2\u3b8
)
d\u3b8 =
=
2k
\u221a
2
3 · 2
\u222b pi/2
\u2212pi/2
(
1 + 2 cos 2\u3b8 + cos2 2\u3b8
)
d(2\u3b8) =
=
k
\u221a
2
3
[
2\u3b8 + 2 sen 2\u3b8 +
1
2
(
2\u3b8 +
sen 4\u3b8
2
)]pi/2
\u2212pi/2
=
=
k
\u221a
2
3
(2\u3c0 + \u3c0) = k
\u221a
2 \u3c0 u.m.
Exerc´\u131cio 5: Seja S uma superf´\u131cie fechada tal que S = S1 \u222a S2, onde S1 e S2 sa\u2dco as superf´\u131cies
de revoluc¸a\u2dco obtidas pela rotac¸a\u2dco em torno do eixo z das curvas C1 : z = 1 \u2212 x, 0 \u2264 x \u2264 1 e
C2 : z = 0, com 0 \u2264 x \u2264 1, respectivamente. Se \u3c1(x, y, z) =
\u221a
x2 + y2 e´ a func¸a\u2dco que fornece a
densidade (massa por unidade de a´rea) em cada ponto (x, y, z) \u2208 S, calcule a massa de S.
Soluc¸a\u2dco: O esboc¸o de S esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
C1
C2
S1
S2
1
1
1
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 10 156
Tem-se:
M =
\u222b\u222b
S
\u3c1(x, y, z) dS =
\u222b\u222b
S
\u221a
x2 + y2 dS =
=
\u222b\u222b
S1
\u221a
x2 + y2 dS +
\u222b\u222b
S2
\u221a
x2 + y2 dS .
Ca´lculo de
\u222b\u222b
S1
\u221a
x2 + y2 dS
Uma parametrizac¸a\u2dco da curva C1 e´\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x(t) = t
y(t) = 0
z(t) = 1\u2212 t
com 0 \u2264 t \u2264 1 .
Logo:
x(t) = t = raio de uma circunfere\u2c6ncia transversal
z(t) = 1\u2212 t = altura dessa circunfere\u2c6ncia .
Enta\u2dco, uma parametrizac¸a\u2dco de S1 e´ dada por \u3d5(t, \u3b8) = (t cos \u3b8, t sen \u3b8, 1 \u2212 t), com (t, \u3b8) \u2208 D :{
0 \u2264 t \u2264 1
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0 . Tem-se:
\u3d5t = (cos \u3b8, sen \u3b8,\u22121)
\u3d5\u3b8 = (\u2212t sen \u3b8, t cos \u3b8, 0)
donde
\u3d5t × \u3d5\u3b8 =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
\u2212\u2192
i
\u2212\u2192
j
\u2212\u2192
k
cos \u3b8 sen \u3b8 \u22121
\u2212t sen \u3b8 t cos \u3b8 0
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 =
=
(
t cos \u3b8 , t sen \u3b8 , t cos2 \u3b8 + t sen2 \u3b8\ufe38 \ufe37\ufe37 \ufe38
= t
)
=
= t(cos \u3b8, sen \u3b8, 1) .
Logo \u2223\u2223\u2223\u2223\u3d5t × \u3d5\u3b8\u2223\u2223\u2223\u2223 = |t|\u221acos2 \u3b8 + sen2 \u3b8 + 1 = t\u221a2
pois 0 \u2264 t \u2264 1 e, portanto:
dS = \u2016\u3d5t × \u3d5\u3b8\u2016 dtd\u3b8 = t
\u221a
2 dtd\u3b8 .
Enta\u2dco:
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 10 157
\u222b\u222b
S1
\u221a
x2 + y2 dS =
\u222b\u222b
D
\u221a
t2 cos2 \u3b8 + t2 sen2 \u3b8 t
\u221a
2 dtd\u3b8 =
=
\u221a
2
\u222b\u222b
D
t2 dtd\u3b8 =
\u221a
2
\u222b
1
0
t2
\u222b
2pi
0
d\u3b8dt = 2
\u221a
2\u3c0
\u222b
1
0
t2 dt =
= 2
\u221a
2\u3c0
[
t3
3
]1
0
=
2
\u221a
2pi
3
.
Ca´lculo de
\u222b\u222b
S2
\u221a
x2 + y2 dS
A superf´\u131cie S2 e´ dada por S2 : z = f(x, y) = 0, com (x, y) \u2208 D : x2 + y2 \u2264 \u2264 1. Como
dS =
\u221a
1 + (fx)
2 + (fy)
2 dxdy enta\u2dco dS =
\u221a
1 + 0 + 0 dxdy ou dS = dxdy.
Observac¸a\u2dco: Se S e´ uma porc¸a\u2dco do plano z = 0 ou z = c (c = constante), segue que dS = dxdy
(memorize este resultado).
Logo: \u222b\u222b
S2
\u221a
x2 + y2 dS =
\u222b\u222b
D
\u221a
x2 + y2 dxdy .
Passando para coordenadas polares, tem-se:\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x = r cos \u3b8
y = r sen \u3b8
dxdy = rdrd\u3b8
x2 + y2 = r2
e Dr\u3b8 :
{
0 \u2264 r \u2264 1
0 \u2264 \u3b8 \u2264 2\u3c0 . Logo:
\u222b\u222b
S2
\u221a
x2 + y2 dS =
\u222b\u222b
Dr\u3b8
r · r drd\u3b8 =
\u222b\u222b
Dr\u3b8
r2 drd\u3b8 =
=
\u222b
1
0
r2
\u222b
2pi
0
d\u3b8dr = 2\u3c0
\u222b
1
0
r2 dr = 2\u3c0
[
r3
3
]1
0
=
2pi
3
.
Assim:
M =
2
\u221a
2pi
3
+
2pi
3
ou
M =
2pi
3
(1 +
\u221a
2) u.m.
UFF IME - GMA
Ca´lculo 3A Lista 10 158
Exerc´\u131cio 6: Determine o momento de ine´rcia em relac¸a\u2dco ao eixo da superf´\u131cie S parte do cone
z2 = x2 + y2 entre os planos z = 1 e z = 2, sendo a densidade constante.
Soluc¸a\u2dco: O esboc¸o de S esta´ representado na figura que se segue.
x
y
z
D
S
1
1
1
2
2
2
Note que o eixo de S e´ o eixo z. Enta\u2dco
Iz =
\u222b\u222b
S
(
x2 + y2
)
\u3c1(x, y, z) dS
onde \u3c1(x, y, z) = \u3c1. Logo:
Iz = \u3c1
\u222b\u222b
S
(
x2 + y2
)
dS .
A superf´\u131cie S pode ser descrita por S : z =
\u221a
x2 + y2 = f(x, y), com (x, y) \u2208 D : 1 \u2264 x2+y2 \u2264 4.
Tem-se:
zx = fx =
x\u221a
x2 + y2
zy = fy =
y\u221a
x2 + y2
donde
1 + (zx)
2 + (zy)
2 = 1 +
x2
x2 + y2
+
y2
x2 + y2
= 1 +
x2 + y2
x2 + y2
= 2 .
Como dS =
\u221a
1 + (zx)