MAT1162 Conjuntos Limite

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Capítulo 3
CONJUNTOS ABERTOS,
FECHADOS E FRONTEIRA
3.1 Introdução
Definição 3.1. Sejam r > 0 e x0 ∈ Rn. A bola aberta de centro x0 e raio r é denotada por
B(x0, r) e definida por:
B(x0, r) = {x ∈ Rn/‖x− x0‖ < r}.
Se n = 2; x0 = (x0, y0) e x = (x, y); logo ‖x− x0‖ =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2:
B(x0, r) = {(x, y) ∈ R2/(x− x0)2 + (y − y0)2 < r2}
B(x0, r) é o "interior"de um círculo centrado em (x0, y0) e raio r, ou equivalente-
mente, o conjunto dos vetores no plano de origem em (x0, y0) e norma menor que
r. Neste caso, o conjunto B(x0, r) é chamado disco aberto de centro (x0, y0) e raio
r.
B(x,r)
x0
0y
r (x ,y )00
Figura 3.1: Disco aberto.
Analogamente, se n = 3; x0 = (x0, y0, z0) e x = (x, y, z):
B(x0, r) = {(x, y, z) ∈ R3/(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 < r2}
69
70 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA
B(x0, r) é o "interior"de uma esfera "sólida"centrada em (x0, y0, z0) e raio r, ou equi-
valentemente, o conjunto dos vetores no espaço de origem em (x0, y0, z0) e norma
menor que r.
B(x,r)
r
x
Figura 3.2: Bola aberta.
Observe que em ambos os casos a desigualdade é estrita.
3.2 Conjuntos Abertos
Definição 3.2. A ⊂ Rn é dito aberto em Rn se para todo x ∈ A, existe B(x, r) tal que
B(x, r) ⊂ A.
A
Figura 3.3: Conjunto aberto.
Estes conjuntos são a generalização natural de intervalos abertos em R. Por defini-
ção, o conjunto vazio e Rn são conjuntos abertos em Rn.
Exemplo 3.1.
[1] Pela definição, {x} não é aberto em Rn, pois toda bola ou disco aberto de centro
x não está contido em {x}. Em geral, os conjuntos do tipo {x1, x2, x3, ....., xn /xi ∈
R
n} não são abertos.
[2] R "pensado"como a reta {(x, 0) /x ∈ R} ⊂ R2 não é aberto no plano, pois qual-
quer disco aberto centrado em (x, 0) não está contido em R.
3.3. CONJUNTO FRONTEIRA 71
x
Figura 3.4: Exemplo [2].
[3] A = (a, b) × (c, d) é aberto em R2. De fato, para todo (x, y) ∈ A, a < x < b e
c < y < d, denote por ε omenor número do conjunto {|x−a|, |x−b|, |y−c|, |y−d|},
onde | | é a distância entre números reais. Então, por exemplo, considerando r = ε6 ,
temos, B((x, y), r) ⊂ A. Logo A é um conjunto aberto.
A
c
d
a b
Figura 3.5: Exemplo [3].
[4] A = R2 ⊂ R3 não é aberto no espaço, pois qualquer bola aberta centrada em
(x, y, 0) não está contida em R2.
[5] B(x0, r) é um conjunto aberto. De fato, denotando por d(x,y) a distância entre
os pontos x, y em Rn, se x ∈ B(x0, r) então d(x,x0) < r; tomando r1 = r −
d(x,x0) < r, temos: B(x, r1) ⊂ B(x0, r).
Será útil dar um nome especial para um conjunto aberto que contenha um ponto
dado x. A tal conjunto chamaremos de vizinhança do ponto x.
3.3 Conjunto Fronteira
Definição 3.3. Seja A ⊂ Rn. Um ponto x ∈ Rn é dito ponto da fronteira ou do bordo de
A se toda vizinhança de x intersecta A e Rn −A.
72 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA
A
x
Figura 3.6: Bordo de A.
Denotamos o conjunto dos pontos da fronteira do conjuntoA por ∂A. Um conjunto
é aberto se A ∩ ∂A = φ.
Exemplo 3.2.
[1] Se A = B(x, r) então ∂A = {y/d(x,y) = r}; logo o conjunto C = {y/d(x,y) ≤
r} não é aberto.
A C
Figura 3.7: Exemplo [2].
[2] SejaA = {(x, y) ∈ R2/x > 0}; este conjunto corresponde ao primeiro e ao quarto
quadrantes sem incluir a reta x = 0 e é aberto no plano; de fato, seja (x, y) ∈ A e
escolhamos r = x > 0; se (x1, y1) ∈ B((x, y), r) temos:
|x− x1| =
√
(x− x1)2 ≤
√
(x− x1)2 + (y − y1)2 < r = x.
Logo x1 > 0 e B((x, y), r) ⊂ A; note que ∂A = {(0, y)/y ∈ R}.
3.4. CONJUNTOS FECHADOS 73
Figura 3.8: Exemplo [2].
3.4 Conjuntos Fechados
Definição 3.4. Um conjunto A ⊂ Rn é dito fechado em Rn se ∂A ⊂ A.
Exemplo 3.3.
[1] Rn é também um conjunto fechado.
[2] A = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 < r2, r > 0} não é fechado, pois sua fronteira é :
∂A = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 = r2, r > 0}.
Logo ∂A 6⊂ A.
[3] O sólido W = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ r2, r > 0} é fechado pois sua
fronteira é:
∂W = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 = r2, r > 0}.
Logo ∂W ⊂W . Em geral, todos os sólidos são fechados.
[4] A = [a, b] × [c, d] é um conjunto fechado, pois ∂A é o retângulo formado pelas
retas x = a, x = b, y = c e y = d.
Nos próximos parágrafos apresenteremos uma caracterização mais eficiente dos
conjuntos abertos e fechados.
74 CAPÍTULO 3. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS E FRONTEIRA
Capítulo 4
LIMITES E CONTINUIDADE
4.1 Limites
Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função e x0 ∈ A ∪ ∂A. Intuitivamente, x0 ∈ A ∪ ∂A
significa que se x0 não pertence a A deve estar arbitrariamente "próximo"deA.
Definição 4.1.
O limite de f quando x aproxima-se de x0 é L quando para todo ε > 0, existe δ > 0
tal que x ∈ B(x0, δ) ∩A implica |f(x)− L| < ε.
Notação:
lim
x→x0
f(x) = L
Equivalentemente, limx→x0f(x) = L quando para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que:
0 < ‖x− x0‖ < δ, implica em |f(x)− L| < ε.
Se n = 2: Consideramos x = (x, y), x0 = (x0, y0) e o vetor x− x0 = (x− x0, y − y0)
a norma do vetor x− x0 é:
‖x− x0‖ =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2.
Usamos a seguinte notação:
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = L
Se n = 3: Consideramos x = (x, y, z), x0 = (x0, y0, z0) a norma do vetor x− x0 é:
‖x− x0‖ =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.
Usamos a seguinte notação:
lim
(x,y,z)→(x0,y0,z0)
f(x, y, z) = L
75
76 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE
Exemplo 4.1.
Verifique que lim
(x,y)→(1,2)
(x+ 2 y) = 5. De fato:
|x+ 2 y − 5| = |x− 1 + 2 (y − 2)| ≤ |x− 1|+ 2 |y − 2|
≤
√
(x− 1)2 + (y − 2)2 + 2
√
(x− 1)2 + (y − 2)2
≤ 3 ‖(x, y) − (1, 2)‖.
Dado ε > 0, seja δ = ε3 ; ‖(x, y)− (1, 2)‖ < δ implica em |x+ 2 y − 5| < 3 δ = ε.
Logo:
lim
(x,y)→(1,2)
(x + 2 y) = 5.
As propriedades dos limites são análogas às dos limites de funções de uma variável
e suas provas seguem diretamente da definição.
Teorema 4.1. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. Se o limite de f quando x aproxima-se
de x0 existe, então ele é único.
Este teorema permite fazer simplificações no cálculo de limites.
Proposição 4.1. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R, x0 ∈ A ∪ ∂A e c ∈ R, tal que
lim
x→x0
f(x) = L e lim
x→x0
g(x) = M , então:
1. lim
x→x0
c f(x) = c · L,
2. lim
x→x0
(f(x) + g(x)) = L+M,
3. lim
x→x0
(f(x) · g(x)) = L ·M,
4. lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
L
M
se M 6= 0.
5. Em particular, se P = P (x) é um polinômio de várias variáveis:
lim
x→x0
P (x) = P (x0).
6. Se f(x) = P (x)
Q(x) é uma função racional:
lim
x→x0
P (x)
Q(x)
=
P (x0)
Q(x0)
,
se x0 ∈ Dom(f).
Do teorema, podemos concluir que se duas curvas passam pelo ponto de abcissa
x0 e originam valores diferentes para o limite de uma função quando restrita às
curvas, então o limite da função quando x se aproxima de x0 não existe. Veja o
exemplo [2].
4.1. LIMITES 77
Exemplo 4.2.
[1] Calcule lim
(x,y)→(0,0)
x3 + 2x2 + x y2 + 2 y2
x2 + y2
.
Analogamente ao procedimento adotado no cálculo de limites de funções de uma
variável, temos: x3 + 2x2 + x y2 + 2 y2 = (x + 2)(x2 + y2), logo:
lim
(x,y)→(0,0)
x3 + 2x2 + x y2 + 2 y2
x2 + y2
= lim
(x,y)→(0,0)
(x + 2) = 2.
[2] Calcule lim
(x,y)→(0,0)
2x y
x2 + y2
.
Observemos que f é definida em R2−{(0, 0)}. Consideremos o seguinte família de
retas que passam pela origem: y = k x; f calculada para y = k x é f(x, kx) =
2k
1 + k2
e:
lim
(x,kx)→(0,0)
f(x, k x) =
2 k
1 + k2
.
Figura 4.1: Exemplo [2].
Logo, sobre cada reta que passa pela origem, f tem um valor constante, mas que
depende do coeficiente angular k, de cada reta. O limite da função f depende do
percurso do ponto (x, y) quando ele tende à origem. Por exemplo, considere k = 0
e k = 1. Como o limite de f , se existe, é único, podemos afirmar que o limite de f
no ponto (0, 0) não existe.
78 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
-0.1
-0.05
0
0.050.1
Figura 4.2: Curvas de nível e o gráfico de f .
[3] Calcule lim
(x,y)→(0,0)
x2 y
x4 + y2
.
Sejam a reta y = 0 e a parabóla y = x2. Então, f(x, 0) = 0 e:
lim
(x,0)−→(0,0)
x2y
x4 + y2
= 0.
Por outro lado, f(x, x2) = 12 e:
lim
(x,x2)−→(0,0)
x2y
x4 + y2
=
1
2
.
Logo, o limite não existe. Veja as curvas de nível do G(f):
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 4.3: Curvas de nível e o gráfico de f .
[4] Calcule lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
.
Do cálculo em uma variável sabemos que lim
x−→0
sen(x)
x
= 1. Logo, para todo ε > 0,
existe δ > 0 tal que 0 < |x| < δ < 1, implica ∣∣sen(x)
x
− 1∣∣ < ε. Por outro lado se
v = (x, y), então ‖v‖2 = x2 + y2 e:
lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
= lim
v→0
sen(‖v‖2)
‖v‖2 ;
4.1. LIMITES 79
se 0 < ‖v‖ < δ, então 0 < ‖v‖2 < δ2 < δ pois 0 < δ < 1, e
|f(v)− 1| = ∣∣sen(‖v‖2)‖v‖2 − 1
∣∣ < ε.
Logo,
lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
= 1.
Observemos que as curvas de nível e o gráfico de f são bem "comportados"numa
vizinhança de (0.0).
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 4.4: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.
[5] Calcule lim
(x,y)→(0,0)
x2 y
x2 + y2
.
A função f é definida em R2 − {(0, 0)}. Consideremos a família de retas y = k x; f
calculada em y = k x é f(x, k x) = k x
1+k2
. Logo:
lim
(x,y)→(0,0)
x2 y
x2 + y2
= lim
(x,kx)→(0,0)
k x
k2 + 1
= 0.
Mas, isto não nos garante que o limite:
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Temos que utilizar a definição de limite. De fato, como x2 ≤ x2 + y2 e |y| ≤√
x2 + y2, temos:
∣∣∣∣ x2yx2 + y2
∣∣∣∣ = x2 |y|x2 + y2 ≤ (x
2 + y2)
√
x2 + y2
x2 + y2
=
√
x2 + y2,
Tomando δ = ε, concluimos que
∣∣∣∣ x2 yx2+y2
∣∣∣∣ < ε, se 0 <√x2 + y2 < δ. Portanto,
lim
(x,y)→(0,0)
x2 y
x2 + y2
= 0.
80 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE
A seguir, apresentaremos uma observação e um algoritmo para verificar a não exis-
tência de um limite, gentilmente cedidos pela Professora Patrícia Nunes da Silva
do Departamento de Análise do IME-UERJ.
Consideremos o seguinte exemplo:
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y
.
É fácil verificar que:
x3
x2 + y
tende a zero, se nos aproximamos da origem ao longo de retas ou curvas do tipo
y = xk. No entanto, o limite acima não existe. Para determinar uma curva segundo
a qual o valor do limite de f quando (x, y) se aproxima da origem seja diferente de
zero, devemos proceder do seguinte modo:
i) Procuramos uma curva da forma y(x) = α(x)− x2 com α(x) 6= 0. Temos:
f(x, y(x)) = f(x, α(x)− x2) = x
3
α(x)
.
Como queremos nos aproximar da origem, a escolha de α(x) deve ser tal que:
lim
x→0
y(x) = lim
x→0
(α(x)− x2) = 0.
Por outro lado, desejamos que x
3
α(x) não se aproxime de zero. Por exemplo, se
α(x) = x3, temos:
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, x3 − x2) = lim
(x,y)→(0,0)
x3
x3
= 1.
ii) Agora, vamos generalizar esta idéia.
Devemos calcular o limite de uma função f quando (x, y) se aproxima de um ponto
(x0, y0) e encontramos várias curvas ao longo das quais a função tende a zero. Sabe-
mos que a função é dada pelo quociente de duas funções que se anulam em (x0, y0),
isto é:
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
p(x, y)
q(x, y)
, tal que
p(x0, y0) = q(x0, y0) = 0.
Além disso, a função q = q(x, y) se anula ao longo de uma curva γ(x) que passa
pelo ponto (x0, y0) e, nesta curva, p = p(x, y) só se anula no ponto (x0, y0). Isto é:
γ(x0) = y0, q(x, γ(x)) = 0 e p(x, γ(x)) 6= 0,
para todo x 6= x0. Para encontrar uma curva ao longo da qual a função f não tende
a zero devemos proceder do seguinte modo:
4.1. LIMITES 81
i) Procuramos uma curva da forma y(x) = γ(x) + α(x) com α(x) 6= 0.
ii) Avaliamos a função f(x, γ(x) + α(x)).
iii) Analisamos a função f(x, γ(x) + α(x)) a fim de determinar uma expressão con-
veniente para α(x).
Exemplo 4.3.
Verifique que lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x− y não existe.
Considere p(x, y) = x3 + y3, q(x, y) = x− y e p(0, 0) = q(0, 0) = 0.
i) Seja γ(x) = x, γ(0) = 0, q(x, γ(x)) = 0, p(x, γ(x)) = 2x3 6= 0 se x 6= 0. Seja
y(x) = x+ α(x) com α(x) 6= 0.
ii) Por outro lado:
f(x, x+ α(x)) =
x3 + (x + α(x))3
x− x− α(x) =
x3 + (x + α(x))3
−α(x) = −
x3
α(x)
− (x+ α(x))
3
α(x)
.
Seja α(x) = x3; logo:
f(x, x+ x3) = −1− (1 + x2)3
e:
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, x+ x3) = −1− 1 = −2.
Figura 4.5: Projeção do G(f), no plano xy.
82 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE
4.2 Continuidade
Seja A ⊂ Rn e f : A ⊂ Rn −→ R uma função.
Definição 4.2. f é contínua em x0 ∈ A quando:
1. lim
x→x0
f(x) existe
2. lim
x→x0
f(x) = f(x0)
Equivalentemente, f contínua em x0, quando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que
se:
‖x− x0‖ < δ, então |f(x)− f(x0)| < ε.
Definição 4.3. Dizemos que f é contínua em A se f é contínua em cada x0 ∈ A.
Exemplo 4.4.
[1] Se P = P (x) é uma função polinomial de várias variáveis, então P é contínua
em qualquer ponto do Rn.
[2] A seguinte função não é contínua na origem:
f(x, y) =
{
2x y
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
De fato:
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lim
(x,k x)→(0,0)
2 k
k2 + 1
=
2 k
k2 + 1
isto é, o limite não existe pois depende de k; logo, f não é contínua.
[3] A seguinte função é contínua na origem:
f(x, y) =
{
x2y
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
De fato:
lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x2 + y2
= f(0, 0) = 0.
Veja os desenhos da curvas de nível e gráfico de f , respectivamente:
4.2. CONTINUIDADE 83
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 4.6: Exemplo [3].
[4] A função f(x, y) = arctg
(y
x
)
não é contínua no conjunto A = {(0, y)/ y ∈ R}.
Veja o gráfico e as curvas de nível de f :
-0.2 -0.1 0 0.1 0.2
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Figura 4.7: Exemplo [4].
As propriedades das funções contínuas são análogas às das funções contínuas de
uma variável. Suas provas seguem diretamente da definição.
Proposição 4.2. Sejam f, g : A ⊂ Rn −→ R funções contínuas no ponto x0. Então:
1. f + g e f · g são contínuas em x0.
2. Se f(x0) 6= 0 então 1
f
é contínua em x0.
As provas seguem da definição.
Exemplo 4.5.
[1] As função elementares são contínuas nos pontos onde estão definidas.
[2] As funções racionais nos pontos onde os polinômios do denominador não se
anulam, são contínuas.
[3] A função f(x, y) =
x3 + y
x2 + 1
é contínua em R2.
84 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE
Proposição 4.3. Sejam f : A ⊂ Rn −→ R uma função contínua no ponto x0 ∈ A e
g : I ⊂ R −→ R uma função tal que f(A) ⊂ I de modo que g ◦ f esteja bem definida. Se g
é contínua em f(x0), então g ◦ f é contínua em x0.
A prova segue da definição.
Exemplo 4.6.
[1] A função f(x, y, z) = (x2 + z2 + y4)4 + sen(z2) é contínua em R3.
A função f é a soma de duas funções contínuas: f1(x, y, z) = (x2 + z2 + y2)4 e
f2(x, y, z) = sen(z
2). f1 é a composta da função h(x, y, z) = x2 +z2 +y2 e g(u) = u4,
ambas contínuas e f2 é a composta de h(x, y, z) = z2 e g(u) = sen(u), também
contínuas.
[2] A função h(x, y, z) =
(x2 + z2 + y4)4 + sen(z2)
x2 + y2 + z2
é contínua em R3 − {(0, 0, 0)}.
De fato, escrevendo:
h(x, y, z) =
f(x, y, z)
g(x, y, z)
,
onde f é a função do exemplo anterior e g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 que é contínua
e não nula, exceto na origem. Pela propriedade ii) temos que h é contínua em
A = R3 − {(0, 0, 0)}.
[3] A função f(x) = ‖x‖ =
√
x21 + x
2
2 + ....... + x
2
n é contínua para todo x ∈ Rn. Em
particular:
f(x1, x2, x3, ....., xn) ≥
√
x2i = |xi|,
para todo x ∈ Rn.
[4] Seja ~v = (x, y), então:
∣∣∣∣ x2 yx2+y2
∣∣∣∣ ≤ ‖~v‖2 ‖~v‖‖~v‖2 = ‖~v‖. Como lim
~v→~0
‖~v‖ = 0 temos
lim
(x,y)→(0,0)
∣∣∣∣ x2 yx2 + y2∣∣∣∣ = 0 e lim(x,y)→(0,0) x
2 y
x2 + y2
= 0.
[5] Determine o valor de A para que a seguinte função seja contínua:
f(x, y) =


sen(
√
x2+y2)√
x2+y2
se (x, y) 6= (0, 0)
A se (x, y) = (0, 0).
Seja ~v = (x, y); então,
lim
(x,y)→(0,0)
sen(
√
x2 + y2)√
x2 + y2
= lim
~v→~0
sen(‖~v‖)
‖~v‖ = 1;
logo, A = 1.
A seguinte proposição não será provada, pois ela decorre de um teorema, que fica
fora do contexto destas notas.
4.3. EXERCÍCIOS 85
Proposição 4.4. Seja h : Rn −→ R uma função contínua; então:
1. A = {x ∈ Rn / 0 < h(x)} é aberto em Rn.
2. F = {x ∈ Rn / 0 ≤ h(x)} é fechado em Rn.
3. ∂A = {x ∈ Rn /h(x) = 0}.
Exemplo 4.7.
[1] Os planos em R3 são conjuntos fechados. De fato, considere:
h(x, y, z) = ax + b y + c z − d.
A função h é contínua em R3.
[2] O sólidoW = {(x, y, z) ∈ R3/x2 + y2 + z2 ≤ r2, r > 0} é um conjunto fechado.
De fato, considere:
h(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − r2.
A função h é contínua em R3 e pela proposiçãoW é fechado.
[3] A parábolaA = {(x, y) ∈ R2/y = x2} é um conjunto fechado. De fato, considere:
h(x, y) = y − x2.
A função é contínua em R2 e pela proposição A é fechado.
4.3 Exercícios
1. Utilizando as propriedades de limite, calcule:
(a) lim
(x,y)→(0,1)
x3y
(b) lim
(x,y)→(0,1)
exy
(c) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2 + 2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
sen(xy)
xy
(e) lim
(x,y)→(1,1)
(
x3y + y3 + 3
)
(f) lim
(x,y)→(0,0)
sen2(xy)
(xy)2
(g) lim
(x,y)→(1,1)
ln(|1 + x2 y3|)
(h) lim
(x,y,z)→(1,2,6)
(1
x
+
1
y
+
1
z
)
2. Verifique se os limites das seguintes funções dadas existem no ponto (0, 0):
(a) f(x, y) =
x2
x2 + y2
(b) f(x, y) =
x3 + y3
x2 + y
(c) f(x, y) =
6x2y2 + 2xy3
(x2 + y2)2
(d) f(x, y) =
x2y2
x3 + y3
(e) f(x, y) =
x3 + y3
(x2 + y)2
(f) f(x, y) =
x4 + 3x y2
x2 + y2
86 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE
3. Verifique que os limites das seguintes funções existem se (x, y) → (0, 0):
(a) f(x, y) =
x3 + y3
x2 + y2
(b) f(x, y) =
xy√
x2 + y2
4. Verifique que:
(a) lim
(x,y)→(0,0)
1− cos(√x y)
x
= 0
(b) lim
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
1− cos(√x2 + y2) = 2
5. Verifique que: lim
x→0
(
lim
y→0
x2
x2 + y2
) 6= lim
y→0
(
lim
x→0
x2
x2 + y2
)
.
6. Seja: f(x, y) =

x sen
(1
y
)
se y 6= 0
0 se y = 0.
. Verifique que:
(a) lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0
(b) lim
x→0
(
lim
y→0
f(x, y)
) 6= lim
y→0
(
lim
x→0
f(x, y)
)
.
7. Discuta a continuidade das seguintes funções:
(a) f(x, y) =


xy√
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
(b) f(x, y) =


x2y
x4 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
(c) f(x, y) =


x+ y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
(d) f(x, y) =


x3 + y3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
(e) f(x, y) =


x3 y3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
(f) f(x, y) =


sen(x+ y)
x+ y
se (x, y) 6= (0, 0)
2 se (x, y) = (0, 0).
4.3. EXERCÍCIOS 87
(g) f(x, y, z) =


x z − y2
x2 + y2 + z2
se (x, y, z) 6= (0, 0, 0)
0 se (x, y, z) = (0, 0, 0).
8. Usando a composição de funções, verifique que as seguintes funções são con-
tínuas:
(a) f(x, y) =
√
x2 + y2
(b) f(x, y) =
xy
x2 + y2 + 1
(c) f(x, y) =
√
x4 + y4 + 1
(d) f(x, y) = sen(x2y + y2x)
(e) f(x, y) =
sen(xy)
x2 + y2
; x, y 6= 0
(f) f(x, y) = cos3(xy3)
(g) f(x, y) =
1√
3− sen(xy) ; x, y 6= 0
(h) f(x, y) = sech3(xy3)
(i) f(x, y, z) = ln(
√
x2 + y2 + z2 − 1)
(j) f(x, y, z) =
1
x2 − y2 − z + 1
9. Calcule o valor de a para que a função
f(x, y) =


x2 y2√
y2 + 1− 1
se (x, y) 6= (0, 0)
a− 4 se (x, y) = (0, 0),
seja contínua.
88 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE