Notas de Aula - Cálculo 2 - aula12   Derivadas Parciais
8 pág.

Notas de Aula - Cálculo 2 - aula12 Derivadas Parciais


DisciplinaCálculo II25.918 materiais724.991 seguidores
Pré-visualização2 páginas
Aula 12
Derivadas Parciais de f(x, y)
Uma representac¸a\u2dco geome´trica de uma func¸a\u2dco f(x, y) e´ o seu gra´fico, isto e´, o
conjunto das triplas da forma (x, y, z) = (x, y, f(x, y)), ou seja, a superf´\u131cie dada
pela equac¸a\u2dco z = f(x, y). Veja a Figura 1 como ilustrac¸a\u2dco. Imagine que voce\u2c6
esteja num ponto (x0, y0, f(x0, y0)) do gra´fico e comec¸a se movendo, dentro do
gra´fico de f(x, y). Qual a taxa com que voce\u2c6 subiu/desceu? Depende da direc¸a\u2dco
que voce\u2c6 seguiu! Nesta aula, vamos estudar estas taxas quando voce\u2c6 segue 2
direc¸o\u2dces espec´\u131ficas: a direc¸a\u2dco dada pelo eixo do x e a direc¸a\u2dco dada pelo eixo do
y.
Figura 1: Representac¸a\u2dco gra´fica do conjunto
graf(f) = {(x, y, z) | z = f(x, y)}
Em ca´lculo I, quando voce\u2c6 estudou func¸o\u2dces de 1 varia´vel f(x), e o corres-
pondente gra´fico dado pela curva planar y = f(x), voce\u2c6 apenas tinha a direc¸a\u2dco
do eixo do x. Se voce\u2c6, partindo de um ponto (x0, f(x0)) no gra´fico de f , se
deslocar uma quantidade \u2206x nessa direc¸a\u2dco, voce\u2c6 subiu/desceu com uma taxa
\u2206f
\u2206x
=
f(x0 + \u2206x)\u2212 f(x0)
\u2206x
.
Fazendo \u2206x \u2192 0 (e assumindo que o limite existe) voce\u2c6 obte´m a \u2018taxa de
variac¸a\u2dco instanta\u2c6nea\u2019, ou seja, a derivada de f no ponto x0:
df
dx
(x0) = lim
h\u21920
f(x0 + h)\u2212 f(x0)
h
.
1
Agora em ca´lculo II vamos aplicar o mesmo procedimento para func¸o\u2dces com
duas varia´veis, considerando, separadamente, as 2 direc¸o\u2dces dadas pelo eixo do
x e pelo eixo do y. Fixemos um ponto (x0, y0).
direc¸a\u2dco de x: andar na direc¸a\u2dco de x e´ o mesmo que fixar y = y0. Assim,
definimos a derivada parcial de f relativamente a` varia´vel x, no ponto (x0, y0)
por
\u2202f
\u2202x
(x0, y0) = lim
h\u21920
f(x0 + h, y0)\u2212 f(x0, y0)
h
,
sempre que este limite existir. Note que se trata de uma derivada de ca´lculo 1,
isto e´, da derivada da func¸a\u2dco de 1 varia´vel g(x) = f(x, y0), no ponto x0:
dg
dx (x0).
Geometricamente: quando fixamos y = y0, no espac¸o tridimensional es-
tamos intersetando o gra´fico de f(x, y) com o plano y = y0. Desta maneira
obtemos uma curva (assim como em ca´lculo I) cuja reta tangente no ponto
(x0, y0, f(x0, y0)) tem declive
\u2202f
\u2202x (x0, y0). Veja a Figura 2.
Figura 2: Superf´\u131cie z = f(x, y) intersetada com o plano y = y0
Da mesma maneira temos:
direc¸a\u2dco de y: andar na direc¸a\u2dco de y e´ o mesmo que fixar x = x0. Assim,
definimos a derivada parcial de f relativamente a` varia´vel y, no ponto (x0, y0)
por
\u2202f
\u2202y
(x0, y0) = lim
h\u21920
f(x0, y0 + h)\u2212 f(x0, y0)
h
,
sempre que este limite existir. Trata-se da derivada da func¸a\u2dco de 1 varia´vel
h(y) = f(x0, y), no ponto y0:
dh
dy (y0).
2
Geometricamente: agora obtemos outra curva no espac¸o, intersetando o
gra´fico de f(x, y) com o plano x = x0. A reta tangente a esta curva no ponto
(x0, y0, f(x0, y0)) tem declive
\u2202f
\u2202y (x0, y0). Veja a Figura 3.
Figura 3: Superf´\u131cie z = f(x, y) intersetada com o plano x = x0
Os dois vetores tangentes a`s curvas de intersec¸a\u2dco da superf´\u131cie z = f(x, y)
com os planos x = x0 e y = y0, respectivamente, geram um plano que na pro´xima
aula chamaremos de plano tangente a` superf´\u131cie no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
Veja a Figura 4.
Figura 4: Plano tangente a` superf´\u131cie z = f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0))
3
Na pra´tica, como as derivadas parciais \u2202f\u2202x (x0, y0) e
\u2202f
\u2202y (x0, y0) sa\u2dco derivadas
de func¸o\u2dces de 1 varia´vel, para calcula´-las podemos usar as regras de derivac¸a\u2dco
que aprendemos em ca´lculo I (sempre que pudermos usa´-las). Para calcular
\u2202f
\u2202x (x0, y0), derivamos f(x, y) na varia´vel x, assumindo y constante (no caso
y = y0). Para calcular
\u2202f
\u2202y (x0, y0), derivamos f(x, y) na varia´vel y, assumindo x
constante (no caso x = x0).
Exemplo 1: Seja f(x, y) = x2 + 2y3 + x3y2. Calcule \u2202f\u2202x (2, 1) e
\u2202f
\u2202y (2, 1).
Para calcular \u2202f\u2202x (x, y) num ponto gene´rico (x, y), derivamos a expressa\u2dco de
f(x, y) na varia´vel x, assumindo y constante (no caso pedido y = 1, mas a
conta a seguir vale tambe´m para outros pontos):
\u2202f
\u2202x
(x, y) = 2x + 0 + 3x2y2.
Da mesma maneira, para calcular \u2202f\u2202y (x, y) num ponto gene´rico (x, y), derivamos
a expressa\u2dco de f(x, y) na varia´vel y, assumindo x constante (no caso pedido
x = 2):
\u2202f
\u2202y
(x, y) = 0 + 6y2 + x3 2y.
Logo,
\u2202f
\u2202x
(2, 1) = 2 · 2 + 3 · 22 · 12 = 16,
\u2202f
\u2202y
(2, 1) = 6 · 12 + 2 · 23 · 1 = 22.
Geometricamente, isto significa que um vetor tangente ao gra´fico de f(x, y),
no ponto (1, 2, 14), na direc¸a\u2dco de x, tem declive 16. E um vetor tangente ao
gra´fico de f(x, y), no mesmo ponto (1, 2, 14), mas na direc¸a\u2dco de y, tem declive
22. Portanto, se a gente estiver no gra´fico de f(x, y), no ponto (1, 2, 14), a gente
\u2018sobe mais rapidamente\u2019 se andarmos na direc¸a\u2dco de y do que se andarmos na
direc¸a\u2dco de x.
Dito de outra maneira, se andarmos um pouco na direc¸a\u2dco de x, enta\u2dco f(x, y)
crescera´ a 16 u.m. (caso essa taxa se mantivesse ao longo de toda a trajeto´ria).
Assim, podemos aproximar (para h pequeno)
f(2 + h, 1) \u2248 f(2, 1) + \u2202f
\u2202x
(2, 1)h = 14 + 16h.
E da mesma maneira
f(2, 1 + h) \u2248 f(2, 1) + \u2202f
\u2202x
(2, 1)h = 14 + 22h.
E como aproximar f(2 + h, 1 + h) ? Essa fica para depois, mas va´ pensando!
4
Obs.: Outra notac¸a\u2dco para derivadas parciais:
\u2202f
\u2202x
(x, y) = fx(x, y),
\u2202f
\u2202y
(x, y) = fy(x, y).
Exemplo 2: Considere a func¸a\u2dco f(x, y) = x sin(x2y). Calcule suas derivadas
parciais.
\u2202f
\u2202x
(x, y) =
\u2202
\u2202x
(
x sin(x2y)
)
=
\u2202
\u2202x
(
x
)
sin(x2y) + x
\u2202
\u2202x
(
sin(x2y)
)
= 1 · sin(x2y) + x cos(x2y) \u2202
\u2202x
(
x2y
)
= sin(x2y) + x cos(x2y) · 2xy
= sin(x2y) + 2x2y cos(x2y)
\u2202f
\u2202y
(x, y) =
\u2202
\u2202y
(
x sin(x2y)
)
= x
\u2202
\u2202y
(
sin(x2y)
)
= x cos(x2y)
\u2202
\u2202y
(
x2y
)
= x cos(x2y) · x2 · 1
= x3 cos(x2y)
Derivadas parciais de segunda ordem
Como visto no exemplo anterior, cada uma das derivadas parciais \u2202f\u2202x (x, y) e
\u2202f
\u2202y (x, y) e´ uma nova func¸a\u2dco de 2 varia´veis. Assim podemos derivar parcialmente
cada uma delas em ordem a x ou em ordem a y. Deste modo obtemos 4 derivadas
parciais de segunda ordem, como esquematizado no seguinte diagrama:
5
f(x, y)
\u2202f
\u2202x
\u2202f
\u2202y
\u2202
\u2202x
(
\u2202f
\u2202x
)
= \u2202
2f
\u2202x2
\u2202
\u2202y
(
\u2202f
\u2202x
)
= \u2202
2f
\u2202y\u2202x
\u2202
\u2202x
(
\u2202f
\u2202y
)
= \u2202
2f
\u2202x\u2202y
\u2202
\u2202y
(
\u2202f
\u2202y
)
= \u2202
2f
\u2202y2
x
y
x
y
x
y
Como em calculo I, as derivadas de 2a ordem \u2202
2f
\u2202x2 e
\u22022f
\u2202y2 medem as curvaturas
do gra´fico de f(x, y) na direc¸a\u2dco de x e na direc¸a\u2dco de y, respectivamente (ou seja,
as concavidades das curvas exibidas nas Figuras 2 e 3, respectivamente).
Exemplo 3: Seja f(x, y) = x2 + 2y3 + x3y2. Ja´ t´\u131nhamos visto que
\u2202f
\u2202x
= 2x + 3x2y2 ,
\u2202f
\u2202y
= 6y2 + 2x3y
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem, temos:
\u22022f
\u2202x2
=
\u2202
\u2202x
(
2x + 3x2y2
)
= 2 + 6xy2
\u22022f
\u2202y\u2202x
=
\u2202
\u2202y
(
2x + 3x2y2
)
= 6x2y
\u22022f
\u2202x\u2202y
=
\u2202
\u2202x
(
6y2 + 2x3y
)
= 6x2y
\u22022f
\u2202y2
=
\u2202
\u2202y
(
6y2 + 2x3y
)
= 12y + 2x3
6
Perceba que, neste caso, as derivadas de 2a ordem cruzadas sa\u2dco iguais:
\u22022f
\u2202y\u2202x
= 6x2y =
\u22022f
\u2202x\u2202y
Coincide\u2c6ncia? Na\u2dco! Isso e´ um fato que enunciaremos na forma do
Teorema (Clairaut) : Se \u2202
2f
\u2202x\u2202y (x, y) e
\u22022f
\u2202y\u2202x (x, y) sa\u2dco cont´\u131nuas, enta\u2dco
\u22022f
\u2202y\u2202x
(x, y) =
\u22022f
\u2202x\u2202y
(x, y).
Obs.: No exemplo anterior f(x, y) = x2 + 2y3 + x3y2, suas derivadas parci-
ais de qualquer ordem sera\u2dco polino\u2c6mios, portanto, cont´\u131nuas, satisfazendo as
condic¸o\u2dces do teorema. Logo, antes de derivarmos, por este teorema, ja´ sabemos
que as derivadas de 2a ordem cruzadas sa\u2dco iguais, e portanto, bastaria termos
calculado uma delas (nao interessando a ordem de derivac¸a\u2dco.)
O diagrama mostrado anteriormente fica simplificado nesse caso:
f(x, y)
\u2202f
\u2202x
\u2202f
\u2202y
\u22022f
\u2202x2
\u22022f
\u2202x\u2202y
\u22022f
\u2202y2