Notas de Aula_Prof Nuno_Aula 12_Derivadas Parciais de f(x, y)

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Aula 12
Derivadas Parciais de f(x, y)
Uma representac¸a˜o geome´trica de uma func¸a˜o f(x, y) e´ o seu gra´fico, isto e´, o
conjunto das triplas da forma (x, y, z) = (x, y, f(x, y)), ou seja, a superf´ıcie dada
pela equac¸a˜o z = f(x, y). Veja a Figura 1 como ilustrac¸a˜o. Imagine que voceˆ
esteja num ponto (x0, y0, f(x0, y0)) do gra´fico e comec¸a se movendo, dentro do
gra´fico de f(x, y). Qual a taxa com que voceˆ subiu/desceu? Depende da direc¸a˜o
que voceˆ seguiu! Nesta aula, vamos estudar estas taxas quando voceˆ segue 2
direc¸o˜es espec´ıficas: a direc¸a˜o dada pelo eixo do x e a direc¸a˜o dada pelo eixo do
y.
Figura 1: Representac¸a˜o gra´fica do conjunto
graf(f) = {(x, y, z) | z = f(x, y)}
Em ca´lculo I, quando voceˆ estudou func¸o˜es de 1 varia´vel f(x), e o corres-
pondente gra´fico dado pela curva planar y = f(x), voceˆ apenas tinha a direc¸a˜o
do eixo do x. Se voceˆ, partindo de um ponto (x0, f(x0)) no gra´fico de f , se
deslocar uma quantidade ∆x nessa direc¸a˜o, voceˆ subiu/desceu com uma taxa
∆f
∆x
=
f(x0 + ∆x)− f(x0)
∆x
.
Fazendo ∆x → 0 (e assumindo que o limite existe) voceˆ obte´m a ‘taxa de
variac¸a˜o instantaˆnea’, ou seja, a derivada de f no ponto x0:
df
dx
(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
1
Agora em ca´lculo II vamos aplicar o mesmo procedimento para func¸o˜es com
duas varia´veis, considerando, separadamente, as 2 direc¸o˜es dadas pelo eixo do
x e pelo eixo do y. Fixemos um ponto (x0, y0).
direc¸a˜o de x: andar na direc¸a˜o de x e´ o mesmo que fixar y = y0. Assim,
definimos a derivada parcial de f relativamente a` varia´vel x, no ponto (x0, y0)
por
∂f
∂x
(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)
h
,
sempre que este limite existir. Note que se trata de uma derivada de ca´lculo 1,
isto e´, da derivada da func¸a˜o de 1 varia´vel g(x) = f(x, y0), no ponto x0:
dg
dx (x0).
Geometricamente: quando fixamos y = y0, no espac¸o tridimensional es-
tamos intersetando o gra´fico de f(x, y) com o plano y = y0. Desta maneira
obtemos uma curva (assim como em ca´lculo I) cuja reta tangente no ponto
(x0, y0, f(x0, y0)) tem declive
∂f
∂x (x0, y0). Veja a Figura 2.
Figura 2: Superf´ıcie z = f(x, y) intersetada com o plano y = y0
Da mesma maneira temos:
direc¸a˜o de y: andar na direc¸a˜o de y e´ o mesmo que fixar x = x0. Assim,
definimos a derivada parcial de f relativamente a` varia´vel y, no ponto (x0, y0)
por
∂f
∂y
(x0, y0) = lim
h→0
f(x0, y0 + h)− f(x0, y0)
h
,
sempre que este limite existir. Trata-se da derivada da func¸a˜o de 1 varia´vel
h(y) = f(x0, y), no ponto y0:
dh
dy (y0).
2
Geometricamente: agora obtemos outra curva no espac¸o, intersetando o
gra´fico de f(x, y) com o plano x = x0. A reta tangente a esta curva no ponto
(x0, y0, f(x0, y0)) tem declive
∂f
∂y (x0, y0). Veja a Figura 3.
Figura 3: Superf´ıcie z = f(x, y) intersetada com o plano x = x0
Os dois vetores tangentes a`s curvas de intersec¸a˜o da superf´ıcie z = f(x, y)
com os planos x = x0 e y = y0, respectivamente, geram um plano que na pro´xima
aula chamaremos de plano tangente a` superf´ıcie no ponto (x0, y0, f(x0, y0)).
Veja a Figura 4.
Figura 4: Plano tangente a` superf´ıcie z = f(x, y) no ponto (x0, y0, f(x0, y0))
3
Na pra´tica, como as derivadas parciais ∂f∂x (x0, y0) e
∂f
∂y (x0, y0) sa˜o derivadas
de func¸o˜es de 1 varia´vel, para calcula´-las podemos usar as regras de derivac¸a˜o
que aprendemos em ca´lculo I (sempre que pudermos usa´-las). Para calcular
∂f
∂x (x0, y0), derivamos f(x, y) na varia´vel x, assumindo y constante (no caso
y = y0). Para calcular
∂f
∂y (x0, y0), derivamos f(x, y) na varia´vel y, assumindo x
constante (no caso x = x0).
Exemplo 1: Seja f(x, y) = x2 + 2y3 + x3y2. Calcule ∂f∂x (2, 1) e
∂f
∂y (2, 1).
Para calcular ∂f∂x (x, y) num ponto gene´rico (x, y), derivamos a expressa˜o de
f(x, y) na varia´vel x, assumindo y constante (no caso pedido y = 1, mas a
conta a seguir vale tambe´m para outros pontos):
∂f
∂x
(x, y) = 2x + 0 + 3x2y2.
Da mesma maneira, para calcular ∂f∂y (x, y) num ponto gene´rico (x, y), derivamos
a expressa˜o de f(x, y) na varia´vel y, assumindo x constante (no caso pedido
x = 2):
∂f
∂y
(x, y) = 0 + 6y2 + x3 2y.
Logo,
∂f
∂x
(2, 1) = 2 · 2 + 3 · 22 · 12 = 16,
∂f
∂y
(2, 1) = 6 · 12 + 2 · 23 · 1 = 22.
Geometricamente, isto significa que um vetor tangente ao gra´fico de f(x, y),
no ponto (1, 2, 14), na direc¸a˜o de x, tem declive 16. E um vetor tangente ao
gra´fico de f(x, y), no mesmo ponto (1, 2, 14), mas na direc¸a˜o de y, tem declive
22. Portanto, se a gente estiver no gra´fico de f(x, y), no ponto (1, 2, 14), a gente
‘sobe mais rapidamente’ se andarmos na direc¸a˜o de y do que se andarmos na
direc¸a˜o de x.
Dito de outra maneira, se andarmos um pouco na direc¸a˜o de x, enta˜o f(x, y)
crescera´ a 16 u.m. (caso essa taxa se mantivesse ao longo de toda a trajeto´ria).
Assim, podemos aproximar (para h pequeno)
f(2 + h, 1) ≈ f(2, 1) + ∂f
∂x
(2, 1)h = 14 + 16h.
E da mesma maneira
f(2, 1 + h) ≈ f(2, 1) + ∂f
∂x
(2, 1)h = 14 + 22h.
E como aproximar f(2 + h, 1 + h) ? Essa fica para depois, mas va´ pensando!
4
Obs.: Outra notac¸a˜o para derivadas parciais:
∂f
∂x
(x, y) = fx(x, y),
∂f
∂y
(x, y) = fy(x, y).
Exemplo 2: Considere a func¸a˜o f(x, y) = x sin(x2y). Calcule suas derivadas
parciais.
∂f
∂x
(x, y) =
∂
∂x
(
x sin(x2y)
)
=
∂
∂x
(
x
)
sin(x2y) + x
∂
∂x
(
sin(x2y)
)
= 1 · sin(x2y) + x cos(x2y) ∂
∂x
(
x2y
)
= sin(x2y) + x cos(x2y) · 2xy
= sin(x2y) + 2x2y cos(x2y)
∂f
∂y
(x, y) =
∂
∂y
(
x sin(x2y)
)
= x
∂
∂y
(
sin(x2y)
)
= x cos(x2y)
∂
∂y
(
x2y
)
= x cos(x2y) · x2 · 1
= x3 cos(x2y)
Derivadas parciais de segunda ordem
Como visto no exemplo anterior, cada uma das derivadas parciais ∂f∂x (x, y) e
∂f
∂y (x, y) e´ uma nova func¸a˜o de 2 varia´veis. Assim podemos derivar parcialmente
cada uma delas em ordem a x ou em ordem a y. Deste modo obtemos 4 derivadas
parciais de segunda ordem, como esquematizado no seguinte diagrama:
5
f(x, y)
∂f
∂x
∂f
∂y
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
= ∂
2f
∂x2
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
= ∂
2f
∂y∂x
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
= ∂
2f
∂x∂y
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
= ∂
2f
∂y2
x
y
x
y
x
y
Como em calculo I, as derivadas de 2a ordem ∂
2f
∂x2 e
∂2f
∂y2 medem as curvaturas
do gra´fico de f(x, y) na direc¸a˜o de x e na direc¸a˜o de y, respectivamente (ou seja,
as concavidades das curvas exibidas nas Figuras 2 e 3, respectivamente).
Exemplo 3: Seja f(x, y) = x2 + 2y3 + x3y2. Ja´ t´ınhamos visto que
∂f
∂x
= 2x + 3x2y2 ,
∂f
∂y
= 6y2 + 2x3y
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem, temos:
∂2f
∂x2
=
∂
∂x
(
2x + 3x2y2
)
= 2 + 6xy2
∂2f
∂y∂x
=
∂
∂y
(
2x + 3x2y2
)
= 6x2y
∂2f
∂x∂y
=
∂
∂x
(
6y2 + 2x3y
)
= 6x2y
∂2f
∂y2
=
∂
∂y
(
6y2 + 2x3y
)
= 12y + 2x3
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Perceba que, neste caso, as derivadas de 2a ordem cruzadas sa˜o iguais:
∂2f
∂y∂x
= 6x2y =
∂2f
∂x∂y
Coincideˆncia? Na˜o! Isso e´ um fato que enunciaremos na forma do
Teorema (Clairaut) : Se ∂
2f
∂x∂y (x, y) e
∂2f
∂y∂x (x, y) sa˜o cont´ınuas, enta˜o
∂2f
∂y∂x
(x, y) =
∂2f
∂x∂y
(x, y).
Obs.: No exemplo anterior f(x, y) = x2 + 2y3 + x3y2, suas derivadas parci-
ais de qualquer ordem sera˜o polinoˆmios, portanto, cont´ınuas, satisfazendo as
condic¸o˜es do teorema. Logo, antes de derivarmos, por este teorema, ja´ sabemos
que as derivadas de 2a ordem cruzadas sa˜o iguais, e portanto, bastaria termos
calculado uma delas (nao interessando a ordem de derivac¸a˜o.)
O diagrama mostrado anteriormente fica simplificado nesse caso:
f(x, y)
∂f
∂x
∂f
∂y
∂2f
∂x2
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2x
y
x
y
x
y
Ou seja, ha´ somente treˆs deridadas parciais de segunda ordem, sempre que
estivermos nas condic¸o˜es do teorema de Clairaut.
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Func¸o˜es de 3 varia´veis
Considere uma func¸a˜o de 3 varia´veis f(x, y, z). Agora, para cada uma das
varia´veis x, y e z, temos uma derivada parcial de 1a ordem. Por exemplo,
para calcular ∂f∂x , usamos x como varia´vel e as outras, y e z, como constantes
(novamente, cada derivada parcial e´ a derivada de uma func¸a˜o de 1 varia´vel
apenas).
Exemplo 4: Calcule as derivadas parciais de f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + xyz.
∂f
∂x
(x, y, z) = 2x + 0 + 0 + yz
(y e z constantes nesta derivac¸a˜o )
∂f
∂y
(x, y, z) = 0 + 2y + 0 + xz
(z e x constantes nesta derivac¸a˜o)
∂f
∂z
(x, y, z) = 0 + 0 + 2z + xy
(x e y constantes nesta derivac¸a˜o)
Exerc´ıcio: Seja c uma constante real positiva fixada. Mostre que a func¸a˜o
u(x, t) = sen (x− ct) satisfaz a seguinte equac¸a˜o diferencial parcial (equac¸a˜o de
onda):
utt = c
2uxx.
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