10. Sistemas Eletrônicos Inteligentes - Coordenadas homogêneas e transformações geométricas

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Transformações geométricas em coordenadas homogêneas 2-D 
 
Coordenadas homogêneas (ou coordenadas projetivas, abreviado CHs) são um sistema de co-
ordenadas usada na geometria projetiva. 
 
Um ponto em R
2
 (x,y) é representado em CHs utilizando 3 números (x,y,w). O ponto em CHs 
(x,y,w) representa o ponto (x/w, y/w) em R
2
. 
 
Por exemplo, (4,6,2) em CHs representa o ponto (2,3) de R
2
. Se w=1, dizemos que a repre-
sentação está normalizada. Exemplo da representação em CHs normalizada: (2,3,1). 
 
 
Figura retirada de Wikipedia. 
 
 
 
Matriz 2x2 (transformação linear): 
 
Representando os pontos por vetores 2x1, a transformação entre pontos é representada por 
uma matriz 2x2. Matriz 2x2 consegue representar rotação (em torno do centro do sistema de 
coordenadas), “shearing”, reflexão e mudança de escala. Exemplos: 
 
Rotação: 











 






v
v
n
n
y
x
cs
sc
y
x , c=cos() e s=sin() 
 
Shearing: 


















v
v
n
n
y
xk
y
x
10
1 
 
Reflexão em torno do eixo X: 



















v
v
n
n
y
x
y
x
10
01 
 
Mudança de escala: 


















v
v
y
x
n
n
y
x
e
e
y
x
0
0 
 
Uma composição de transformações pode ser obtida multiplicando as matrizes de transforma-
ção. A transformação inversa é calculada pela inversa da matriz. 
 
 
x 
y 
Matriz 2x3 (transformação afim): 
 
Se utilizar matrizes de transformação 2x3, consegue representar transformações afins. Elas 
incluem (além das transformações 2x2) a translação. Consegue mapear retângulo em parale-
lograma (mantém o paralelismo das retas). 
 
Translação por (tx, ty): 
 






















1
10
01
v
v
y
x
n
n
y
x
t
t
y
x 
 
A função “getAffineTransform” consegue determinar a matriz de transformação 2x3 a partir 
de 3 pares de pontos correspondentes. 
 
O problema de transformação 2x3 é que não dá para multiplicar duas matrizes 2x3, assim co-
mo não existe matriz inversa de uma matriz 2x3. 
 
Exemplo: 
//shear.cpp pos2016 
#include <cekeikon.h> 
 
int main() 
{ Mat_<FLT> src = (Mat_<FLT>(3,2) << 
 0,0, 
 0,511, 
 511,511); 
 cout << src << endl; 
 Mat_<FLT> dst = (Mat_<FLT>(3,2) << 
 200,100, 
 100,400, 
 400,400); 
 cout << dst << endl; 
 Mat_<FLT> m=getAffineTransform(src,dst); 
 cout << m << endl; 
 
 Mat_<GRY> a; le(a,"lenna.jpg"); 
 Mat_<GRY> b; 
 warpAffine(a,b,m,a.size(),INTER_LINEAR,BORDER_WRAP); 
 imp(b,"afim.png"); 
} 
 
 
 
 
[0.58708417, -0.19569471, 200; 
 0, 0.58708417, 100] 
 
O seguinte programa faz rotação em torno de um ponto arbitrário: 
 
 
 
#include <cekeikon.h> 
int main() 
{ Mat_<GRY> ent; le(ent,"c:/haepi/imagens/comum/lennag.tga"); 
 Mat_<GRY> sai; 
 Mat_<double> m=getRotationMatrix2D(Point2f(ent.cols/2,ent.rows/2), 30, 1); 
 cout << m << endl; 
 warpAffine(ent, sai, m, ent.size(), INTER_LINEAR, BORDER_CONSTANT, Scalar(255)); 
 mostra(sai); 
} 
 
Saída: 
[0.8660254037844387, 0.4999999999999999, -93.70250336881629; 
 -0.4999999999999999, 0.8660254037844387, 162.2974966311837] 
 
 
Como construir a matriz m manualmente, sem usar a função getRotationMatrix2D? Utilizan-
do matrizes 3x3. 
 
dx=256; dy=256; 
(T(dx,dy) * R(30) * T(-dx,-dy)) * (xv, yv, 1)t 
 
//manual.cpp 
#include <cekeikon.h> 
 
Mat_<double> translacao(double tx, double ty) { 
 Mat_<double> m(3,3, 0.0); 
 m(0,0)=1; m(1,1)=1; m(2,2)=1; 
 m(0,2)=tx; m(1,2)=ty; 
 return m; 
} 
 
Mat_<double> rotacao(double graus) { 
 double radianos=deg2rad(graus); 
 double co=cos(radianos); 
 double se=sin(radianos); 
 Mat_<double> m(3,3, 0.0); 
 m(0,0)=co; m(0,1)=se; 
 m(1,0)=-se; m(1,1)=co; 
 m(2,2)=1; 
 return m; 
} 
 
int main() { 
 Mat_<double> m=translacao(256,256)*rotacao(30)*translacao(-256,-256); 
 cout << m << endl; 
} 
 
Saída: 
[0.8660254037844387, 0.4999999999999999, -93.70250336881628; 
 -0.4999999999999999, 0.8660254037844387, 162.2974966311837; 
 0, 0, 1] 
 
Despreza-se a última linha. 
Matriz 3x3 (transformação perspectiva): 
 
Usando sistema de coordenadas homogêneas (matriz 3x3) permitem efetuar rotação, transla-
ção, reflexão, mudança de escala, transformação afim e transformação em perspectiva. A 
composição das transformações é calculada pela multiplicação matricial. A transformação in-
versa é dada pela inversa da matriz. 
 
Rotação em coordenadas homogêneas: 































1100
0
0
1
v
v
n
n
y
x
cs
sc
y
x
 RA, onde c=cos(A) e s=sin(A) 
 
Translação em coordenadas homogêneas: 































1100
10
01
1
v
v
y
x
n
n
y
x
t
t
y
x
 Tt, onde t = (tx, ty). 
 
Mudança de escala em coordenadas homogêneas: 































1100
00
00
1
v
v
y
x
n
n
y
x
e
e
y
x
 Ee, onde e = (ex, ey). 
 
As matrizes podem ser multiplicadas para obter transformação composta. Por exemplo, rota-
ção de A graus em torno de centro c = (cx, cy): 
T-c · RA · Tc . 
 
 
O seguinte programa corrige o efeito em perspectiva (usando rotinas de OpenCV): 
 
pv warppers quadrado1.bmp quadrado1b.pgm 55 156 585 156 0 324 639 324 
10 156 630 156 10 324 630 324 
 
pv warppers quadrado2.bmp quadrado2b.pgm 237 156 639 205 0 260 451 324 
10 10 630 10 10 470 630 470 
 
pv warppers ka0.jpg ka1.jpg 73 0 533 0 -22 479 626 479 10 10 630 10 
10 470 630 470 
 
 
quadrado1.bmp 
 
quadrado1b.pgm 
 
quadrado2.bmp 
 
quadrado2b.pgm 
 
ka0.jpg 
 
ka1.jpg 
 
//pers.cpp grad-2017 
#include <cekeikon.h> 
 
int main() 
{ Mat_<FLT> src = (Mat_<FLT>(4,2) << 
 70,0, 
 533,0, 
 -22,479, 
 626,479); 
 Mat_<FLT> dst = (Mat_<FLT>(4,2) << 
 10,0, 
 630,0, 
 10,479, 
 630,479); 
 Mat_<FLT> m=getPerspectiveTransform(src,dst); 
 cout << m << endl; 
 
 Mat_<FLT> v=(Mat_<FLT>(3,1) << 70,0,1); 
 Mat_<FLT> w=m*v; 
 cout << w << endl; 
 
 Mat_<COR> a; le(a,"ka0.jpg"); 
 Mat_<COR> b; 
 warpPerspective(a,b,m,a.size()); 
 imp(b,"ka1.jpg"); 
} 
 
C:\haepi\algpi\transgeom\grad2017>persp 
 
[1.3390929, 0.26553699, -83.736504; 
 1.373901e-015, 1.3995681, -5.6843419e-013; 
 6.3154777e-018, 0.00083417125, 1] 
 
[9.9999924; 
 -4.7226112e-013; 
 1] 
 
 
É possível usar mais de 4 pontos para achar a transformação em perspectiva. Fica mais robus-
to. 
 
Mat findHomography(InputArray srcPoints, InputArray dstPoints, int me-
thod=0, double ransacReprojThreshold=3, OutputArray mask=noArray() ) 
 
method – Method used to computed a homography matrix. The following methods 
are 
possible: 
– 0 - a regular method using all the points 
– CV_RANSAC - RANSAC-based robust method 
– CV_LMEDS - Least-Median robust method 
 
Veja o manual do OpenCV. 
 
Escrever sobre calibração de câmera. 
 
Escrever sobre correçãode defeito da lente.