Processamento Estatístico de Sinais - versão nova - Lista 4 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PSI-3431 — Processamento Estat´ıstico de Sinais
Lista de Exerc´ıcios 4
1. Quais as propriedades do mapeamento do plano s para o plano z definido por
s =
1 + z−1
1− z−1
e para que este mapeamento poderia ser utilizado?
2. Projete um filtro IIR de Butterworth com as especificac¸o˜es
(a) Atenuac¸a˜o ma´xima na banda-passante de 3 dB, atenuac¸a˜o mı´nima na banda de rejeic¸a˜o
de 40 dB.
(b) Banda-passante: 0pi ≤ ω ≤0,1pi rad/amostra. Banda de rejeic¸a˜o: 0,4pi ≤ ωpi rad/amostra.
3. Mostre que o mapeamento
Hn(s¯) = Ha(s)|s¯=Ωp
s
transforma um filtro passa-altas Ha(s) com banda-passante em Ω ≥ Ωp em um filtro passa-
baixas normalizado Hn(s¯) com banda-passante 0 ≤ Ω¯ ≤ 1. Dica: mostre que, quando s = jΩ
com Ω ≥ Ωp, enta˜o, s¯ = −jΩ¯, 0 ≤ Ω¯ ≤ 1, e similarmente para a banda de rejeic¸a˜o. Lembre
que a resposta em frequeˆncia e´ sime´trica para frequeˆncias positivas e negativas.
4. Mostre que o mapeamento
s¯ =
1
B
s+ Ω2
0
s
transforma um filtro passa-banda com banda-passante em Ωp1 ≤ Ω ≤ Ωp2, e bandas de
rejeic¸a˜o em 0 ≤ Ω ≤ Ωr1 e Ωr2 ≤ Ω, tais que:
Ω2
0
= Ωp1Ωp2 = Ωr1Ωr2, B = Ωp2 − Ωp1,
em um filtro passa-baixas normalizado, com banda-passante em 0 ≤ Ω¯ ≤ 1. Dica: fac¸a como
no exerc´ıcio anterior, lembrando que a resposta em frequeˆncia e´ sime´trica para frequeˆncias
negativas.
Repare que as condic¸o˜es acima implicam que Ωp1,Ωp2,Ωr1 e Ωr2 na˜o podem ser escolhidos
arbitrariamente: dados treˆs dos valores, o quarto fica especificado pelo valor de Ω0.
5. Projete um filtro de Butterworth, passa-banda, com as seguintes especificac¸o˜es:
1
(a) Atenuac¸a˜o ma´xima na banda-passante de 3 dB, atenuac¸a˜o mı´nima nas bandas de re-
jeic¸a˜o de 20 dB.
(b) Banda-passante: 0,25pi ≤ ω ≤0,75pi rad/amostra. Extremos das bandas de rejeic¸a˜o:
0,08pi e 0,95pi.
6. (Oppenheim e Schafer, Discrete-time Signal Processing, 1a ed., ex. 7.3) Suponha dado
um filtro passa-baixas de tempo cont´ınuo com resposta em frequeˆncia Ha(jΩ) e com fre-
queˆncias cr´ıticas Ωp e Ωr. Voceˆ pode obter va´rios filtros discretos passa-baixas usando a
transformac¸a˜o bilinear
H(z) = Ha(s)
∣
∣
∣
∣
s= 1
α
1−z−1
1+z−1
,
em que o valor de α pode ser variado conforme desejado.
Pede-se:
a) Fixando Ωp, ache o valor de α tal que a frequeˆncia correspondente ωp do filtro discreto
seja pi/2.
b) Novamente fixando Ωp, desenhe o gra´fico de ωp em func¸a˜o de 0 < α <∞.
c) Fixando agora tambe´m Ωr, desenhe o gra´fico da largura da faixa de transic¸a˜o ∆ω =
ωr − ωp do filtro discreto, em func¸a˜o de α.
7. Em uma dada aplicac¸a˜o, voceˆ tem um sinal (ja´ amostrado) com frequeˆncias na faixa
entre 0,8pi e pi rad/amostra, e precisa projetar um filtro passa-altas. Para essa aplicac¸a˜o,
e´ necessa´ria uma atenuac¸a˜o de pelo menos 40 dB para frequeˆncias menores do que 0,1pi
rad/amostra, e uma atenuac¸a˜o de, no ma´ximo, 2dB no sinal de interesse.
Projete um filtro recursivo que atenda a`s especificac¸o˜es acima, usando a aproximac¸a˜o de
Butterworth:
a) Esboce o diagrama de toleraˆncias desejado.
b) Esboce o diagrama de toleraˆncias do filtro passa-baixas normalizado equivalente.
c) Projete o filtro normalizado.
d) Fornec¸a a func¸a˜o de rede (transformada z) do filtro digital final.
8. Projete um filtro IIR digital, utilizando as aproximac¸o˜es de Butterworth, Chebyshev
do tipo I e El´ıptica para satisfazer o seguinte diagrama de toleraˆncias:
0 ≤ |H(ejω)| ≤ 0,1, 0 ≤ ω ≤ 0,1pi
e
0,9 ≤ |H(ejω)| ≤ 1,0, 0,3pi ≤ ω ≤ pi.
Use as func¸o˜es do Matlab cheby1, cheb1ord, ellip, ellipord para projetar os dois u´ltimos
tipos de filtro. Compare as ordens e o ganho (mo´dulo e fase) dos treˆs tipos de filtro.
2
PSI-3431 — Processamento Estat´ıstico de Sinais
Lista de Exerc´ıcios 4
1. Quais as propriedades do mapeamento do plano s para o plano z definido por
s =
1 + z−1
1− z−1
e para que este mapeamento poderia ser utilizado?
Resposta: Filtros esta´veis sa˜o mapeados para filtros esta´veis. Frequeˆncias baixas em um
domı´nio sa˜o mapeadas para frequeˆncias altas no outro, e vice-versa.
2. Projete um filtro IIR de Butterworth com as especificac¸o˜es
(a) Atenuac¸a˜o ma´xima na banda-passante de 1 dB, atenuac¸a˜o mı´nima na banda de rejeic¸a˜o
de 40 dB.
(b) Banda-passante: 0pi ≤ ω ≤0,1pi rad/amostra. Banda de rejeic¸a˜o: 0,4pi ≤ ωpi rad/amostra.
Resposta: As frequeˆncias do filtro analo´gico auxiliar sera˜o
Ω˜p = tan
(
0,1pi
2
)
= 0,1584, Ω˜r = tan
(
0,4pi
2
)
= 0,7265.
A oscilac¸a˜o na banda-passante e´ δp = 1 − 10−1/20 = 0,1087, e portanto ∆1 = 0,5088. A
oscilac¸a˜o na banda de rejeic¸a˜o e´ δr = 10
−40/20 = 0,01, e portanto ∆2 = 99,995.
A condic¸a˜o para a ordem do filtro e´ N ≥ ln(∆2/∆1)/ ln(Ω˜r/Ω˜p) = 3,47. Portanto,
escolhemos N = 4.
Podemos agora escolher C = 0,35, ja´ que:
0,2258 =
∆2(
Ω˜r/Ω˜p
)N ≤ C ≤ ∆1 = 0,5088.
Como na aproximac¸a˜o de Butterworth vale
|Hn(jΩ¯)|2 = 1
1 + C2Ω¯2N
,
sabemos que os po´los de Hn(s¯)Hn(−s¯) devem ser as ra´ızes de
1 + C2
(
s¯
j
)8
= 0.
1
As ra´ızes podem ser calculadas com o comando roots do Matlab: s = roots([C^2 0 0
0 0 0 0 0 1]) (lembre que 1/j8 = 1). As ra´ızes tambe´m podem ser calculadas algebrica-
mente tambe´m, usando o fato de ejk2pi = 1 para todo k inteiro:
s¯8 = − 1
C2
=
1
C2
ej(pi+k2pi), e como − 1 = ejpi, vem
s¯ =
1
C1/4
ej(
pi
8
+k pi
4 ), k = 0, 1, 2, . . . , 7.
Repare que os po´los sa˜o igualmente espac¸ados numa circunfereˆncia de raio 1/ 4
√
C. A
posic¸a˜o dos po´los pode ser vista na Figura 1, que pode ser obtida no Matlab com o comando
plot(s,’x’,’LineWidth’,2);grid;axis equal.
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
Figura 1: Posic¸o˜es dos po´los de Hn(s¯)Hn(−s¯).
Os po´los do filtro normalizado devem ser os po´los com parte real negativa na Figura 1,
ou seja:
s¯1 = −1.2012 + 0.4975j, s¯3 = −0.4975 + 1.2012j,
s¯2 = −1.2012− 0.4975j, s¯4 = −0.4975− 1.2012j.
O filtro normalizado enta˜o tem a forma
Hn(s¯) =
K
(s¯− s¯1)(s¯− s¯2)(s¯− s¯3)(s¯− s¯4) ,
em que K e´ tal que o ganho em DC do filtro e´ 1, ou seja, K = (−s¯1)(−s¯2)(−s¯3)(−s¯4) (voceˆ
consegue mostrar que K = 1/C sempre?)
Agora que o filtro normalizado foi obtido, precisamos desnormalizar. Para isso, precisa-
mos fazer
Ha(s˜) = Hn(s¯)|s¯= s˜
Ω˜p
=
1/C(
s˜
Ω˜p
− s¯1
)(
s˜
Ω˜p
− s¯2
)(
s˜
Ω˜p
− s¯3
)(
s˜
Ω˜p
− s¯4
)
=
Ω˜4p/C
(s˜− Ω˜ps¯1)(s˜− Ω˜ps¯2)(s˜− Ω˜ps¯3)(s˜− Ω˜ps¯4)
2
Ou seja, a desnormalizac¸a˜o e´ equivalente a trocar os po´los s¯n do filtro normalizado por
po´los s˜n = Ω˜ps¯n, e trocar o fator de escala para Ω˜
N
p /C.
Finalmente, vamos achar o filtro digital desejado. Esse e´ obtido com a transformac¸a˜o
bilinear
H(z) = Ha(s˜)|s˜= z−1
z+1
.
Aproveitando a observac¸a˜o do item anterior, em vez de fazer a substituic¸a˜o diretamente, e´
mais fa´cil (e mais preciso) pensar so´ na transformac¸a˜o que va˜o sofrer os po´los e zeros. Os
po´los do filtro digital sera˜o os po´los do filtro analo´gico auxiliar, transformados pela bilinear,
ou seja,
pn =
1 + Ω˜s¯n
1− Ω˜s¯n
,
resultando em
p1 = −0.6730 + 0.1108j, p3 = 0.7980 + 0.3171j,
p2 = −0.6730− 0.1108j, p4 = 0.7980− 0.3171j.
O filtro digital tambe´m tera´ zeros, ja´ que quando s˜→∞, Ha(s˜) ≈ 1/s˜4 → 0, e
zn = lim
s→∞
1 + s
1− s = −1, n = 1, 2, 3, 4.
O filtro digital fica enta˜o
H(z) = Kz
(z + 1)4
(z − z1)(z − z2)(z − z3)(z − z4) .
O valor de Kz pode ser obtido lembrando que H(e
j0) = H(1) = 1, portanto
Kz =
(1− z1)(1− z2)(1− z3)(1− z4)
24
= 0,001053.
Assim, finalmente
H(z) = 0,1522
z4 + 4z3 + 6z2 + 4z + 1
z4 − 2,9420z3 + 3,3507z2 − 1,7349z + 0,3430 .
A resposta em frequeˆncia resultante esta´ na Figura 2.
3. Mostre que o mapeamentoHn(s¯) = Ha(s)|s¯=Ωp
s
transforma um filtro passa-altas Ha(s) com banda-passante em Ω ≥ Ωp em um filtro passa-
baixas normalizado Hn(s¯) com banda-passante 0 ≤ Ω¯ ≤ 1. Dica: mostre que, quando s = jΩ
com Ω ≥ Ωp, enta˜o, s¯ = −jΩ¯, 0 ≤ Ω¯ ≤ 1, e similarmente para a banda de rejeic¸a˜o. Lembre
que a resposta em frequeˆncia e´ sime´trica para frequeˆncias positivas e negativas.
3
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
|H
(e
jω
)|
(d
B
)
ω/pi
Figura 2: Resposta em frequeˆncia resultante. Repare que as especificac¸o˜es sa˜o atingidas.
4. Mostre que o mapeamento
s¯ =
1
B
s+ Ω20
s
transforma um filtro passa-banda com banda-passante em Ωp1 ≤ Ω ≤ Ωp2, e bandas de
rejeic¸a˜o em 0 ≤ Ω ≤ Ωr1 e Ωr2 ≤ Ω, tais que:
Ω20 = Ωp1Ωp2 = Ωr1Ωr2, B = Ωp2 − Ωp1,
em um filtro passa-baixas normalizado, com banda-passante em 0 ≤ Ω¯ ≤ 1. Dica: fac¸a como
no exerc´ıcio anterior, lembrando que a resposta em frequeˆncia e´ sime´trica para frequeˆncias
negativas.
Repare que as condic¸o˜es acima implicam que Ωp1,Ωp2,Ωr1 e Ωr2 na˜o podem ser escolhidos
arbitrariamente: dados treˆs dos valores, o quarto fica especificado pelo valor de Ω0.
5. Projete um filtro de Butterworth, passa-banda, com as seguintes especificac¸o˜es:
(a) Atenuac¸a˜o ma´xima na banda-passante de 3 dB, atenuac¸a˜o mı´nima nas bandas de re-
jeic¸a˜o de 20 dB.
(b) Banda-passante: 0,25pi ≤ ω ≤0,75pi rad/amostra. Extremos das bandas de rejeic¸a˜o:
0,08pi e 0,95pi.
Resposta: O filtro passa-baixas equivalente precisa de ordem N = 2.
6. (Oppenheim e Schafer, Discrete-time Signal Processing, 1a ed., ex. 7.3) Suponha dado
um filtro passa-baixas de tempo cont´ınuo com resposta em frequeˆncia Ha(jΩ) e com fre-
queˆncias cr´ıticas Ωp e Ωr. Voceˆ pode obter va´rios filtros discretos passa-baixas usando a
transformac¸a˜o bilinear
H(z) = Ha(s)
∣∣∣∣
s= 1
α
1−z−1
1+z−1
,
4
em que o valor de α pode ser variado conforme desejado.
Pede-se:
a) Fixando Ωp, ache o valor de α tal que a frequeˆncia correspondente ωp do filtro discreto
seja pi/2.
b) Novamente fixando Ωp, desenhe o gra´fico de ωp em func¸a˜o de 0 < α <∞.
c) Fixando agora tambe´m Ωr, desenhe o gra´fico da largura da faixa de transic¸a˜o ∆ω =
ωr − ωp do filtro discreto, em func¸a˜o de α.
Resposta: Basta desenhar os gra´ficos usando as relac¸o˜es de frequeˆncia vistas em aula.
7. Em uma dada aplicac¸a˜o, voceˆ tem um sinal (ja´ amostrado) com frequeˆncias na faixa
entre 0,8pi e pi rad/amostra, e precisa projetar um filtro passa-altas. Para essa aplicac¸a˜o,
e´ necessa´ria uma atenuac¸a˜o de pelo menos 40 dB para frequeˆncias menores do que 0,1pi
rad/amostra, e uma atenuac¸a˜o de, no ma´ximo, 2dB no sinal de interesse.
Projete um filtro recursivo que atenda a`s especificac¸o˜es acima, usando a aproximac¸a˜o de
Butterworth:
a) Esboce o diagrama de toleraˆncias desejado.
b) Esboce o diagrama de toleraˆncias do filtro passa-baixas normalizado equivalente.
c) Projete o filtro normalizado.
d) Fornec¸a a func¸a˜o de rede (transformada z) do filtro digital final.
Resposta: A ordem necessa´ria para o filtro e´ N = 2.
8. Projete um filtro IIR digital, utilizando as aproximac¸o˜es de Butterworth, Chebyshev
do tipo I e El´ıptica para satisfazer o seguinte diagrama de toleraˆncias:
0 ≤ |H(ejω)| ≤ 01, 0 ≤ ω ≤ 01pi
e
09 ≤ |H(ejω)| ≤ 10, 03pi ≤ ω ≤ pi.
Use as func¸o˜es do Matlab cheby1, cheb1ord, ellip, ellipord para projetar os dois u´ltimos
tipos de filtro. Compare as ordens e o ganho (mo´dulo e fase) dos treˆs tipos de filtro.
Resposta: Para Butterworth, N = 3, para Chebyshev, N = 3, para el´ıptico, N = 2.
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