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PSI-3431 — Processamento Estat´ıstico de Sinais Lista de Exerc´ıcios 3 1. A partir da localizac¸a˜o dos zeros dos quatro tipos de filtro FIR com fase linear por tre- chos, indique na tabela seguinte quais os tipos de filtro podem ser utilizados para aproximar um filtro passa-baixas, passa-altas, passa-faixa ou rejeita-faixa. Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Passa-baixas Passa-altas Passa-faixa Rejeita-faixa 2. Considere um filtro FIR do tipo I com as seguintes caracter´ısticas: - tem ordem M = 2L, com L ı´mpar - h[2k + 1] = 0, k = 0,1, · · · ,L− 1, exceto h(L) 6= 0 - h[n] = h[M − n] (tipo I). Seja H(ejω) a resposta em frequ¨eˆncia desse filtro. Verifique se a seguinte afirmac¸a˜o e´ verda- deira: H(ejpi/2) so´ depende do valor de h(L). 3. Dado um filtro passa-baixas, projetado e implementado em hardware ou software, pode ser de interesse melhorar as caracter´ısticas de sua resposta em frequ¨eˆncia pelo uso repetitivo do filtro. Seja h[n] a resposta ao pulso unita´rio de um filtro FIR com fase zero, satisfazendo as seguintes especificac¸o˜es: 1− δp < H(e jω) < 1 + δp, 0 ≤ ω ≤ ωp −δr < H(e jω) < δr, ωr ≤ ω ≤ pi. Como o filtro tem fase nula, H(ejω) e´ uma func¸a˜o real em ω. a) Se um novo filtro g[n] e´ formado pelo cascateamento de h[n] com ele mesmo, ou seja, g[n] = h[n] ∗ h[n] 1 e a resposta em frequ¨eˆncia resultante apresenta a forma A < G(ejω) < B, 0 ≤ ω ≤ ωp C < G(ejω) < D, ωr ≤ ω ≤ pi, encontre A, B, C e D em termos de δp e δr do filtro passa-baixas h(n). b) Se δp ≪ 1 e δr ≪ 1, quais sa˜o aproximadamente os desvios (ripples) das bandas de passagem e rejeic¸a˜o? 4. Seja H(ejω) = e−j2ωejβA(ω) a resposta em frequ¨eˆncia de um filtro FIR com fase linear por trechos. a) Determine o nu´mero de coeficientes do filtro. b) Considerando β = 0, que propriedades devem ter os coeficientes h(n)? Qual o tipo do filtro resultante? c) Repita o item anterior para β = pi/2. d) No caso b), determine os coeficientes h[n] para que A(0) = 1 e A(pi) = A(pi/2) = 0. e) No caso c), determine os coeficientes h[n] para que A(pi/2) = 0 e A(pi/4) = 1. Por que sa˜o necessa´rios somente dois valores de A(ω) para especificar completamente os coeficientes? 5. [Continuac¸a˜o do exerc´ıcio 1 da lista 2] Projete um filtro passa-altas com as seguintes caracter´ısticas: • Limite superior da banda de rejeic¸a˜o: ωr = 0,2pi, • Limite inferior da banda-passante: ωp = 0,4pi, • Oscilac¸a˜o ma´xima na banda-passante: δp = 0,006, • Oscilac¸a˜o ma´xima na banda de rejeic¸a˜o: δr = 0,004. Determine a resposta ao impulso do filtro ideal para esse caso (passa-altas). Projete o filtro usando janela de Kaiser. Determine o comprimento do filtro necessa´rio, calcule os coeficientes do filtro e a resposta em frequeˆncia resultante. Verifique se as condic¸o˜es de projeto sa˜o atendidas. Repita usando o crite´rio de Chebyshev e o algoritmo de Parks-McClellan. 6. [Continuac¸a˜o do exerc´ıcio 2 da lista 2] Projete um filtro passa-baixas para resolver o seguinte problema: • O sinal x(t) = 0,5s(t) + r(t) precisa ser filtrado para separar o sinal de interesse, s(t), da interfereˆncia r(t). s(t) ocupa a faixa entre 0 e 100 Hz, enquanto r(t) ocupa a faixa entre 400 e 500 Hz. x(t) e´ amostrado a 1kHz. • Deseja-se recuperar o sinal s(t) a partir de x(t), de modo que r(t) seja atenuado por pelo menos 50dB, e que a oscilac¸a˜o na banda passante seja de no ma´ximo 0,005. 2 Escolha uma janela de Kaiser adequada e projete um filtro que atenda a essas especificac¸o˜es. Repita usando o crite´rio de Chebyshev. 3 PSI-3431 — Processamento Estat´ıstico de Sinais Lista de Exerc´ıcios 3 1. A partir da localizac¸a˜o dos zeros dos quatro tipos de filtro FIR com fase linear por tre- chos, indique na tabela seguinte quais os tipos de filtro podem ser utilizados para aproximar um filtro passa-baixas, passa-altas ou passa-faixa. Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Passa-baixas S S N N Passa-altas S N N S Passa-faixa S S S S 2. Considere um filtro FIR do tipo I com as seguintes caracter´ısticas: - tem ordem M = 2L, com L ı´mpar - h[2k + 1] = 0, k = 0,1, · · · ,L− 1, exceto h[L] 6= 0 - h[n] = h[M − n] (tipo I). Seja H(ejω) a resposta em frequ¨eˆncia desse filtro. Verifique se a seguinte afirmac¸a˜o e´ verda- deira: H(ejpi/2) so´ depende do valor de h[L]. Resposta: H(ejpi/2) depende de h[L] e de L, mas na˜o dos outros coeficientes. Lembre que M = N − 1. 3. Dado um filtro passa-baixas, projetado e implementado em hardware ou software, pode ser de interesse melhorar as caracter´ısticas de sua resposta em frequ¨eˆncia pelo uso repetitivo do filtro. Seja h[n] a resposta ao pulso unita´rio de um filtro FIR com fase zero, satisfazendo as seguintes especificac¸o˜es: 1− δp < H(e jω) < 1 + δp, 0 ≤ ω ≤ ωp −δr < H(e jω) < δr, ωr ≤ ω ≤ pi. Como o filtro tem fase nula, H(ejω) e´ uma func¸a˜o real em ω. a) Se um novo filtro g[n] e´ formado pelo cascateamento de h[n] com ele mesmo, ou seja, g[n] = h[n] ∗ h[n] 1 e a resposta em frequ¨eˆncia resultante apresenta a forma A < G(ejω) < B, 0 ≤ ω ≤ ωp C < G(ejω) < D, ωr ≤ ω ≤ pi, encontre A, B, C e D em termos de δp e δr do filtro passa-baixas h(n). b) Se δp ≪ 1 e δr ≪ 1, quais sa˜o aproximadamente os desvios (ripples) das bandas de passagem e rejeic¸a˜o? Resposta: (a) A = (1 − δp) 2 = 1 − 2δp + δ 2 p, B = (1 + δp) 2 = 1 + 2δp + δ 2 p (note que 1 − A 6= B − 1), C = 0, D = δ2r . (b) δ′p ≈ 2δp, δ ′ r = δ 2 r . 4. Seja H(ejω) = e−j2ωejβA(ω) a resposta em frequ¨eˆncia de um filtro FIR com fase linear por trechos. a) Determine o nu´mero de coeficientes do filtro. b) Considerando β = 0, que propriedades devem ter os coeficientes h[n]? Qual o tipo do filtro resultante? c) Repita o item anterior para β = pi/2. d) No caso b), determine os coeficientes h[n] para que A(0) = 1 e A(pi) = A(pi/2) = 0. e) No caso c), determine os coeficientes h[n] para que A(pi/2) = 0 e A(pi/4) = 1. Por que sa˜o necessa´rios somente dois valores de A(ω) para especificar completamente os coeficientes? Resposta: Como o atraso e´ de 2 amostras, L = 2 e N = 2 · 2 + 1 = 5 coeficientes. Se β = 0, h[n] = h[N − 1− n] (simetria par). Como N e´ ı´mpar, o filtro e´ tipo I. Para β = pi/2, o filtro sera´ tipo III, com simetria ı´mpar entre os coeficientes e h(2) = 0. Sa˜o necessa´rios apenas dois valores de A(ω) no u´ltimo item, pois ha´ apenas dois valores livres para escolher dos coeficientes. 5. [Continuac¸a˜o do exerc´ıcio 1 da lista 2] Projete um filtro passa-altas com as seguintes caracter´ısticas: • Limite superior da banda de rejeic¸a˜o: ωr = 0,2pi, • Limite inferior da banda-passante: ωp = 0,4pi, • Oscilac¸a˜o ma´xima na banda-passante: δp = 0,006, 2 • Oscilac¸a˜o ma´xima na banda de rejeic¸a˜o: δr = 0,004. Determine a resposta ao impulso do filtro ideal para esse caso (passa-altas). Projete o filtro usando janela de Kaiser. Determine o comprimento do filtro necessa´rio, calcule os coeficientes do filtro e a resposta em frequeˆncia resultante. Verifique se as condic¸o˜es de projeto sa˜o atendidas. Repita usando o crite´rio de Chebyshev e o algoritmo de Parks-McClellan. Resposta: Nmin = 31 para janela de Kaiser (a fo´rmula sugere N = 29), com β = 4,3079. Para o crite´rio de Chebyshev, o comprimento mı´nimo e´ 25. 6. [Continuac¸a˜o do exerc´ıcio 2 da lista 2] Projete um filtro passa-baixas para resolver o seguinte problema: • O sinal x(t) = 0,5s(t) + r(t) precisa ser filtrado para separar o sinal de interesse, s(t), da interfereˆncia r(t). s(t) ocupa a faixa entre 0 e 100 Hz, enquanto r(t) ocupa a faixa entre 400 e 500 Hz. x(t) e´ amostrado a 1kHz. • Deseja-se recuperar o sinal s(t) a partir de x(t), de modo que r(t) seja atenuado por pelo menos 50dB,e que a oscilac¸a˜o na banda passante seja de no ma´ximo 0,005. Escolha uma janela de Kaiser adequada e projete um filtro que atenda a essas especificac¸o˜es. Repita usando o crite´rio de Chebyshev. Resposta: Usando janela de Kaiser, Nmin = 12, β = 4,5513. Para o crite´rio de Chebyshev, Nmin = 10. 3
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