Processamento Estatístico de Sinais - versão nova - Lista 6 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PSI-3431: Sexta lista de exerc´ıcios
1. O sinal X(t) e´ constante igual a A, tal que A ∼ N(0,1). Responda:
(a) Qual e´ a func¸a˜o mX(t)?
(b) Qual e´ a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de X(t)?
(c) X(t) e´ estaciona´rio no sentido amplo?
(d) X(t) e´ ergo´dico na me´dia ou na autocorrelac¸a˜o?
2. O processo X [n] e´ iid, e X [n] ∼ Uniforme(−1, 1). O processo Y [n] e´ definido
por Y [n] = X [n] +X [n− 1]. Determine:
(a) A func¸a˜o me´dia mY [n].
(b) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o rY [ℓ] de Y [n]. Qual e´ a poteˆncia me´dia de
Y [n]?
(c) A densidade espectral de poteˆncia SY (ω).
(d) Suponha que Y [n] passe por um filtro passa-baixas com caracter´ısticas
H(ejω) = 1 para |ω| < π/2, e H(ejω) = 0 caso contra´rio. Qual e´ a
poteˆncia me´dia do sinal na sa´ıda do filtro?
3. Considere um pulso
p(t) =
{
1, −1/2 ≤ t ≤ 1/2,
0, caso contra´rio.
O processoX(t) e´ definido comoX(t) = Ap(t−T0), com T0 ∼Uniforme(−1/2, 1/2),
e A = +1 com probabilidade 1/2 e A = −1 com probabilidade 1/2. T0 e A sa˜o
independentes entre si, e sa˜o escolhidos uma vez a cada realizac¸a˜o do processo
X(t).
(a) Determine a func¸a˜o mX(t).
(b) Determine a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de X(t) para os casos rX(0, τ) e
rX(1/4, 1/4 + τ).
(c) O processo e´ estaciona´rio? Se for, calcule a densidade espectral de poteˆncia
SX(ω).
4. A densidade espectral de poteˆncia do processo estaciona´rio e ergo´dico X [n] e´
SX(ω) = 1 + 0,5 cos(ω) + 0,5 cos(2ω). Determine:
1
(a) A poteˆncia me´dia do sinal X [n].
(b) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de X [n].
(c) Se X [n] passar por um filtro com resposta
H(ejω) =
{
0, |ω| ≤ π/2,
1, π/2 < |ω| ≤ π,
qual sera´ a poteˆncia me´dia do processo de sa´ıda Y [n]?
5. Suponha queX [n] e Y [n] sejam dois processos estoca´sticos estaciona´rios, ergo´dicos
e independentes entre si (ou seja, para quaisquer instantes n1 e n2, X [n1] e´ inde-
pendente de Y [n2]), com valores DCmX emY , e com func¸o˜es de autocorrelac¸a˜o
rX [ℓ] e rY [ℓ], respectivamente. Considere os processos W [n] = X [n] + Y [n] e
Z[n] = X [n] · Y [n]. Determine, em func¸a˜o de mX , mY , rX [n] e rY [n]:
(a) O valor DC de W [n].
(b) O valor DC de Z[n].
(c) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de W [n].
(d) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de Z[n].
6. Suponha que voceˆ observe uma varia´vel X , com duas possibilidades:
H0 : X = W,
H1 : X = a+W,
em que a = 1 e´ conhecido, e W e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o
Laplaciana, isto e´,
fW (w) =
1
2
e−|w|.
(a) Ache o teste de Neyman-Pearson para decidir entre H0 e H1.
(b) Para o teste do item anterior, ache o valor do limiar tal que PFA = 5%.
(c) Para o limiar do item anterior, determine PD.
(d) Desenhe a ROC (isto e´, o gra´fico de PD em func¸a˜o de PFA).
7. Suponha agora que voceˆ observa uma varia´vel tal que
H0 : X ∼ N(0, 1),
H1 : X ∼ N(0, 2),
(a) Ache o teste de Neyman-Pearson para decidir entre H0 e H1.
(b) Para o teste do item anterior, ache o valor do limiar tal que PFA = 5%.
(c) Para o limiar do item anterior, determine PD.
(d) Desenhe a ROC (isto e´, o gra´fico de PD em func¸a˜o de PFA).
2
PSI-3431: Respostas da Sexta lista de
exerc´ıcios
1. O sinal X(t) e´ constante igual a A, tal que A ∼ N(0,1). Responda:
(a) Qual e´ a func¸a˜o mX(t)?
Resposta: mX(t) = 0.
(b) Qual e´ a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de X(t)?
Resposta: rX(t1, t2) = 1, ∀t1, t2.
(c) X(t) e´ estaciona´rio no sentido amplo?
Resposta: Como mX(t) e´ constante e rX(t1, t2) = rx(t1 − t2, 0) para
todo t1, t2, o processo e´ estaciona´rio no sentido amplo.
(d) X(t) e´ ergo´dico na me´dia ou na autocorrelac¸a˜o?
Resposta: O processo na˜o e´ ergo´dico na me´dia, ja´ que a me´dia temporal
de uma realizac¸a˜o X(t) ≡ a, enquanto que E{X(t)} = 0.
2. O processo X [n] e´ iid, e X [n] ∼ Uniforme(−1, 1). O processo Y [n] e´ definido
por Y [n] = X [n] +X [n− 1]. Determine:
(a) A func¸a˜o me´dia mY [n].
Resposta: mY [n] = 0.
(b) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o rY [ℓ] de Y [n]. Qual e´ a poteˆncia me´dia de
Y [n]?
Resposta: rY [n1, n2] =
2
3
δ[n1 − n2] +
1
3
δ[n1 − n2 − 1] +
1
3
δ[n1 − n2 + 1].
A poteˆncia me´dia de Y [n] e´ 2
3
.
(c) A densidade espectral de poteˆncia SY (ω).
1
Resposta: SY (ω) =
2
3
+ 2
3
cos(ω).
(d) Suponha que Y [n] passe por um filtro passa-baixas com caracter´ısticas
H(ejω) = 1 para |ω| < π/2, e H(ejω) = 0 caso contra´rio. Qual e´ a
poteˆncia me´dia do sinal na sa´ıda do filtro?
Resposta: 1
3
+ 2
3pi
.
3. Considere um pulso
p(t) =
{
1, −1/2 ≤ t ≤ 1/2,
0, caso contra´rio.
O processoX(t) e´ definido comoX(t) = Ap(t−T0), com T0 ∼Uniforme(−1/2, 1/2),
e A = +1 com probabilidade 1/2 e A = −1 com probabilidade 1/2. T0 e A sa˜o
independentes entre si, e sa˜o escolhidos uma vez a cada realizac¸a˜o do processo
X(t).
(a) Determine a func¸a˜o mX(t).
Resposta: mX(t) = 0 (lembre que A e´ independente de T0, e o resultado
sai fa´cil.
(b) Determine a func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de X(t) para os casos rX(0, τ) e
rX(1/4, 1/4 + τ).
Resposta: rX(0, τ) = rX(1/4, 1/4 + τ) = 1− |τ |, |τ | ≤
1
2
.
(c) O processo e´ estaciona´rio? Se for, calcule a densidade espectral de poteˆncia
SX(ω).
Resposta: O processo e´ estaciona´rio, e
SX(Ω) =
1
2
sinc
(
Ω
2
)
+ sinc2
(
Ω
4
)
.
4. A densidade espectral de poteˆncia do processo estaciona´rio e ergo´dico X [n] e´
SX(ω) = 1 + 0,5 cos(ω) + 0,5 cos(2ω). Determine:
(a) A poteˆncia me´dia do sinal X [n].
Resposta: 1.
(b) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de X [n].
2
Resposta: δ[ℓ] + 1
4
(δ[n + 2] + δ[n+ 1] + δ[n− 1] + δ[n− 2]).
(c) Se X [n] passar por um filtro com resposta
H(ejω) =
{
0, |ω| ≤ π/2,
1, π/2 < |ω| ≤ π,
qual sera´ a poteˆncia me´dia do processo de sa´ıda Y [n]?
Resposta: 1
2
− 1
4pi
.
5. Suponha queX [n] e Y [n] sejam dois processos estoca´sticos estaciona´rios, ergo´dicos
e independentes entre si (ou seja, para quaisquer instantes n1 e n2, X [n1] e´ inde-
pendente de Y [n2]), com valores DCmX emY , e com func¸o˜es de autocorrelac¸a˜o
rX [ℓ] e rY [ℓ], respectivamente. Considere os processos W [n] = X [n] + Y [n] e
Z[n] = X [n] · Y [n]. Determine, em func¸a˜o de mX , mY , rX [n] e rY [n]:
(a) O valor DC de W [n].
Resposta: mX +mY .
(b) O valor DC de Z[n].
Resposta: mX ·mY .
(c) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de W [n].
Resposta: rW [ℓ] = rX [ℓ] + rY [ℓ] + 2mXmY .
(d) A func¸a˜o de autocorrelac¸a˜o de Z[n].
Resposta: rZ [ℓ] = rX [ℓ]rY [ℓ].
6. Suponha que voceˆ observe uma varia´vel X , com duas possibilidades:
H0 : X = W,
H1 : X = a+W,
em que a = 1 e´ conhecido, e W e´ uma varia´vel aleato´ria com distribuic¸a˜o Lapla-
ciana, isto e´,
fW (w) =
1
2
e−|w|.
(a) Ache o teste de Neyman-Pearson para decidir entre H0 e H1.
Resposta: Usando o logaritmo para simplificar, o teste fica (veja que a ex-
pressa˜o pode ser reescrita de outras formas, toda resposta equivalente esta´
tambe´m correta)
|x| − |x− a|
H1
≷
H0
γ.
(b) Para o teste do item anterior, ache o valor do limiar tal que PFA = 5%.
3
Resposta: γ = 0,5191.
(c) Para o limiar do item anterior, determine PD.
Resposta: PD = 60,69%.
(d) Desenhe a ROC (isto e´, o gra´fico de PD em func¸a˜o de PFA).
7. Suponha agora que voceˆ observa uma varia´vel tal que
H0 : X ∼ N(0, 1), (1)
H1 : X ∼ N(0, 2), (2)
(a) Ache o teste de Neyman-Pearson para decidir entre H0 e H1.
Resposta: |x|≷H1H0 γ.
(b) Para o teste do item anterior, ache o valor do limiar tal que PFA = 5%.
Resposta: γ = 1,96.
(c) Para o limiar do item anterior, determine PD.
Resposta: PD = 16,58%.
(d) Desenhe a ROC (isto e´, o gra´fico de PD em func¸a˜o de PFA).
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