INTRODUÇÃO ao PDS - Lista 1 - POLI-USP - Engenharia Elétrica

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PTC3361: Introdução ao Processamento Digital de Sinais
Lista 1: Amostragem
MDM,AFK,FRMP-2016; PLCR-2015
Observação: Nesta lista, o símbolo δ(t) denota o impulso unitário ou delta de Dirac.
1. Parte-se de um sinal de tempo contínuo xc(t), amostrando-o com um trem de im-
pulsos de Dirac com período fundamental T , sendo que ωs = 2pi/T é a frequência
angular de amostragem. Com esse procedimento, é produzido o sinal de tempo
contínuo amostrado
xp(t) =
+∞∑
n=−∞
xc(nT ) δ(t− nT ).
Verifique se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa. Apresente uma
justificativa matemática apropriada em cada caso.
(a) Se Xc(jω) = 0 para |ω| > 2000pi rad/s e T = 400 µs, então consegue-se recupe-
rar xc(t) perfeitamente a partir de xp(t) por meio de uma filtragem passa-baixas
ideal com frequência de corte ωc = 2100pi rad/s e ganho T .
(b) Se xc(t) = x1(t) ∗ x2(t), em que X1(jω) = 0 para |ω| > 5000pi rad/s, X2(jω) =
0 para |ω| > 3000pi rad/s e T = 400 µs, então consegue-se recuperar xc(t)
perfeitamente a partir de xp(t) por meio de uma filtragem passa-baixas ideal
apropriada.
(c) Se xc(t) for um sinal periódico genérico, com período fundamental T0, sempre
será possível amostrar esse sinal sem rebatimento (aliasing), contanto que T0 >
2T .
(d) Se
xc(t) =
sen(2000pit)
pit
,
não há uma frequência de amostragem finita que possa ser escolhida para amos-
trar esse sinal sem rebatimento (aliasing).
2.∗ Seja um sinal de tempo contínuo xc(t) com banda limitada, ou seja, Xc(jω) = 0 para
|ω| > ωM. Para os sinais de tempo contínuo yc(t) apresentados a seguir, determine
a mínima frequência angular de amostragem ωs que deve ser excedida para permitir
a reconstrução adequada de yc(t) por meio de uma filtragem passa-baixas ideal.
(a) yc(t) =
dxc(t)
dt
,
(b) yc(t) = x2c(t),
(c) yc(t) = xc(t) [cos(ωMt) + cos(3ωMt)] .
Dica: Utilize as propriedades da transformada de Fourier apresentadas no curso de
Sistemas e Sinais.
3. Na Figura 1 é mostrado um sistema que modula um sinal de áudio xc(t), gerando o
sinal DSB/SC denotado por yc(t), que depois é amostrado a uma frequência angular
ωs = 2pi/T pelo trem de impulsos de Dirac p(t). O sinal de áudio tem o espectro
Xc(jω) mostrado na Figura 2 (em módulo e fase) e supõe-se ω0 = 3ωM.
∗Exercícios adaptados do livro Digital Signal Processing de Proakis e Manolakis, 4a edição, Pearson,
2006.
1
FPBx
xc(t) yc(t) xp(t) q(t)
cos(ω0t) p(t)
Figura 1
ω−ωM
ωM
0
A |Xc(jω)|
]Xc(jω)
Figura 2
(a) Determine o espectro de yc(t), esboçando seu módulo e fase em função de ω.
(b) Supondo o filtro passa-baixas (FPBx) como sendo ideal e com frequência de
corte ωc, determine um valor para a frequência de amostragem ωs de forma que
q(t) = αxc(t), em que α ∈ R. Ou seja, seria possível demodular um DSB/SC
por meio de amostragem seguida de filtragem? Se achar que isso não é possível,
justifique com detalhes.
(c) A partir dos resultados obtidos no item (b), desenhe o espectro de xp(t). Caso
não tenha respondido ao item (b), ou tenha concluído que não existe um valor
para o ωs, escolha um valor para ωs e então faça o desenho solicitado.
4.∗ Considere um sinal de tempo contínuo xc(t) = 10ej(2t+4pi), com t ∈ R. Esse sinal
é amostrado com um período de amostragem igual a pi/2 segundos, obtendo-se um
sinal de tempo discreto x(n), com n ∈ Z.
(a) Determine a expressão analítica do sinal de tempo discreto x(n).
(b) Os sinais xc(t) e x(n) são periódicos? Determine os seus períodos, se existentes.
5.∗ Considere o sistema de processamento de sinais mostrado na Figura 3. Os períodos
de amostragem dos conversores A/D e D/A ideais são T = 5ms e T ′ = 1ms,
respectivamente.
A/D
ideal
D/A
ideal
xc(t) x(n) yc(t)
T T ′
Figura 3
2
andfkohn
Text Box
Notar que conversor D/A ideal, que também costuma ser denotado conversor D/C (tempo discreto para tempo contínuo), significa que há um conversor de amostras de entrada em um sinal composto de um trem de impulsos de Dirac cujas áreas são as amostras à sua entrada, seguido de um filtro passa-baixas ideal com frequência de corte igual a ωs/2 e ganho T
Considerando a variável independente t em segundos, determine a saída yc(t) do
sistema, se a entrada for
xc(t) = cos(100pit)− sen(500pit).
Dica: Pode ser mais fácil resolver o exercício levando-se em conta os espectros dos
sinais de tempo contínuo envolvidos no processamento.
6. Considere um sistema de amostragem ideal seguido de um filtro de interpolação ou
reconstrução, conforme a Figura 4. O módulo do espectro do sinal xc(t) é mostrado
na Figura 5.
Hr(jω)
xc(t) xp(t) xr(t)
p(t)
Figura 4
ω (rad/s)
|Xc(jω)|
0−2100pi −2000pi 2000pi 2100pi
1
2
Figura 5
A amostragem é por impulsos de Dirac, resultando em
xp(t) =
+∞∑
n=−∞
xc(nT ) δ(t− nT ),
em que T é o período de amostragem e ωs = 2pi/T é a frequência angular de amos-
tragem em rad/s. O filtro de tempo contínuo com resposta em frequência Hr(jω)
serve para reconstruir um sinal xr(t) que seja próximo de xc(t). Alguém sugeriu
uma frequência de amostragem ωs = 2300pi rad/s que, obviamente, não obedece ao
critério de Nyquist (condição suficiente para se evitar rebatimento ou aliasing).
(a) Esboce |Xp(jω)|, marcando todos os valores importantes na abscissa e na or-
denada. A abscissa deve ir de −ωs a +ωs.
(b) Caso ache que dê para projetar um filtro Hr(jω) de tal forma que xr(t) =
xc(t), determine qual seria sua banda de passagem (em rad/s) e seu ganho.
Caso ache isso impossível, justifique conceitualmente (ou matematicamente),
de preferência baseando-se na figura que você obteve no item (a).
7. Um sinal de tempo contínuo xc(t) foi amostrado adequadamente com um período
de amostragem T , originando uma sequência de tempo discreto x(n). A fim de se
recuperar xc(t) a partir de x(n), pode-se inicialmente interpolar o sinal de tempo
discreto com uma função de interpolação h(t). Desse modo, o sinal interpolado é
dado por
xi(t) =
+∞∑
n=−∞
x(n)h(t− nT ).
3
andfkohn
Inserted Text
Para as funções h(t) a seguir, encontre a resposta em frequência Hr(jω) do filtro de
reconstrução (de tempo contínuo) que recupera xc(t) a partir de xi(t).
(a) h(t) = T
sen
(
pit
T
)
pit
,
(b) h(t) = T
sen
(
2pit
T
)
2pit ,
(c)
t
h(t)
−T2 T20
1
(d)
t
h(t)
−T T0
1
4
PTC3361: Introdução ao Processamento Digital de Sinais
Respostas: Lista 1
AFK,MDM,FRMP-2017
1. (a) Verdadeira: note que não ocorre rebatimento (aliasing) e os parâmetros do
filtro passa-baixas ideal são adequados.
(b) Falsa: utilizando as propriedades da transformada de Fourier, verifique que
ocorre rebatimento e, sendo assim, conclua que não é possível recuperar o sinal
xc(t) a partir de xp(t) por meio de uma filtragem passa-baixas ideal.
(c) Falsa: verifique o que ocorre quando (i) xc(t) é um sinal periódico formado pela
soma de dois ou mais cossenos harmonicamente relacionados entre si e (ii) xc(t)
é uma onda quadrada e, desse modo, possui banda ilimitada.
(d) Falsa: lembre-se que o sinal xc(t) é um sinc e, portanto, possui banda limitada.
2. (a) ωs = 2ωM.
(b) ωs = 4ωM.
(c) ωs = 8ωM.
3. (a)
ω−4ωM −ω0 −2ωM 2ωM ω0 4ωM0
A/2 A/2
ω0 = 3ωM |Yc(jω)|
]Yc(jω)
(b) É possível demodular o DSB/SC por meio de amostragem seguida de filtragem
com ωs = ω0 = 3ωM.
(c)
ω
. . . . . .
−4ωM −ω0 −2ωM −ωM ωM 2ωM ω0 4ωM0
A/T A/T
ω0 = 3ωM |Xp(jω)|]Xp(jω)
4. (a) x(n) = 10ejpin.
(b) O sinal xc(t) é periódico com período fundamental igual a pi segundos. O sinal
x(n) é periódico com período fundamental igual a 2 amostras.
5. yc(t) = cos(500pit)− sen(500pit) =
√
2 cos
(
500pit+ pi4
)
.
1
6. (a)
ω (krad/s)
|Xp(jω)|
0
. . . . . .
ωs = 2,3pi krad/s ⇒ T = 2pi
ωs
= 22300 =
1
1150 s
−ωs ωs−2,1pi −2,0pi −0,3pi −0,2pi 0,2pi 0,3pi 2,0pi 2,1pi
1/T
2/T(b) Para que xr(t) = xc(t), o filtro Hr(jω) deve ser um filtro passa-faixa ideal
de ganho T e frequências de corte inferior ωc1 e superior ωc2 pertencentes aos
respectivos intervalos
300pi rad/s < ωc1 < 2000pi rad/s,
2100pi rad/s < ωc2 < 2500pi rad/s.
7. (a) Nesse caso, não é preciso utilizar um filtro de reconstrução pois a interpolação
é ideal.
(b)
ω
Hr(jω)
− piT piT0
2
(c) Hr(jω) =

ωT
2 sen
(
ωT
2
) , se |ω| < piT
0, se |ω| > piT
(d) Hr(jω) =

(ωT )2
4 sen2
(
ωT
2
) , se |ω| < piT
0, se |ω| > piT
2