Unidade_1.1_Cinemática de um Ponto Material

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1
Cinemática de um Ponto 
Material
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
2
Conteúdos da Aula
� Introdução;
� Cinemática do Movimento Retilíneo:
� Movimento Contínuo;
� Movimento Irregular.
� Movimento Curvilíneo Geral:
� Componentes Cartesianos;
� Movimento de um Projétil;
� Componentes Normal e Tangencial;
� Componentes Cilíndricos;
� Análise de Movimentos Absolutos Dependentes;
� Análise do Movimento Relativo de Dois Pontos 
Materiais usando-se Referenciais em Translação.
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Introdução
� Mecânica:
É um ramo das ciências físicas que trata do estado 
de repouso ou de movimento de corpos submetidos 
à ação de forças.
� Divisão da Mecânica:
i. Estática;
ii. Cinemática;
iii. Dinâmica.
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Introdução
� Estática:
Ramo da mecânica que investiga as propriedades de 
equilíbrio em corpos que se encontram sob a ação de 
forças externas. Uma de suas suposições básicas é a de 
que os corpos estudados são idealmente rígidos, i. e., 
não se deformam. Há também duas outras suposições 
oriundas das leis da mecânica: uma delas afirma que um 
corpo estaria em equilíbrio, ou repouso, quando a soma 
vetorial das forças externas, que agem sobre o mesmo, é
nula; a outra, que não há forças que provoquem uma 
rotação, ou seja, não se pode formar um sistema 
conjugado resultante das forças externas.
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Introdução
� Cinemática:
Ramo da mecânica que estuda o movimento de corpos 
ou partículas, sem referência a massas ou a forças.
� Dinâmica:
Ramo da mecânica que investiga as mudanças no 
movimento de corpos ou partículas provocadas pela ação 
de forças. No limite de baixas velocidades, em que são 
válidas as leis do movimento de Newton, temos a 
dinâmica clássica; no limite de altas velocidades utiliza-se 
o termo dinâmica relativística.
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Introdução
Galileu Galilei (1564 – 1642),
astrônomo, físico e filósofo italiano.
Na física, estudou o fenômeno da 
gravidade, realizando experiências com 
corpos de diferentes pesos que rolavam 
sobre um plano inclinado, o que lhe 
permitiu inferir que todos os corpos, 
independente do peso, caem na mesma 
velocidade, e que esta velocidade varia 
de modo proporcional ao quadrado do 
tempo transcorrido.
Publicado em 1638 sob o título “Discurso 
e Demonstração Matemática sobre duas 
novas Ciências Relativas à Mecânica”.
4
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Introdução
Isaac Newton (1642 – 1727),
físico e matemático inglês.
Em 1686 e 1687, publicou o livro 
“Princípios Matemáticos da Filosofia 
Natural”, onde apresenta suas três 
leis do movimento, atualmente 
conhecidas como leis do 
movimento de Newton, i. e., a lei da 
inércia, a lei da ação e reação e a 
lei que afirma que a força é
proporcional à aceleração; além da 
lei da gravitação universal.
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Introdução
� Conceito de Partícula:
Na física clássica, corpos cujas as dimensões espaciais 
são muito menores que as do sistema estudado e cuja 
estrutura interna é irrelevante para a análise e 
compreensão de um determinado fenômeno físico.
� Conceito de Ponto Material:
Idealização que se caracteriza pela atribuição de uma 
massa a um ponto geométrico; esta idealização é
possível se as dimensões espaciais de um corpo são 
consideravelmente menores que as do sistema estudado 
e se não há necessidade de levar em consideração a 
estrutura interna do corpo.
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Contínuo
A cinemática de um ponto material é caracterizada 
especificando-se, em cada instante, sua posição, 
velocidade e aceleração.
� Posição: vetor de posição r.
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Contínuo
rrr −=∆
'
� Deslocamento: o deslocamento de um ponto 
material é definido como a mudança de sua posição.
� Vetor deslocamento:
� Módulo do vetor 
deslocamento:
sss −=∆ '
6
11
� Velocidade: deslocamento de um ponto material 
durante um intervalo de tempo. No S. I. (m / s)
Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Contínuo
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Contínuo
t
r
vméd
∆
∆
=
dt
rd
t
r
v
t
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim
dt
ds
v =
� Velocidade média: � Velocidade instantânea:
� Velocidade escalar 
instantânea:
� Velocidade média de 
percurso:
( )
t
s
v T
médperc ∆
=
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� Aceleração: se a velocidade de um ponto material 
varia num dado intervalo de tempo. No S. I. (m / s2)
Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Contínuo
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Contínuo
t
vv
t
v
améd
∆
−
=
∆
∆
=
'
2
2
0
lim
dt
rd
dt
vd
t
v
a
t
==
∆
∆
=
→∆
2
2
dt
sd
dt
dv
a ==
� Aceleração média: � Aceleração instantânea:
� Aceleração escalar instantânea:
8
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Contínuo
dvvdsa =
vdvdsadtdsvdtdva
aa
cc
c
===
=
 e ; 
� Relação diferencial: envolvendo deslocamento, veloci-
dade e aceleração.
� Aceleração constante: as equações da cinemática 
podem ser integradas e expressões que relacionam ac, v, 
s e t são obtidas.
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Contínuo
tavvdtadv c
t
c
v
v
+=⇒= ∫∫ 0
0
 
0
( ) 200
0
0 2
1
 
0
tatvssdttavds c
t
c
s
s
++=⇒+= ∫∫
� Velocidade como Função do Tempo:
� Posição como Função do Tempo:
� Velocidade como Função da Posição:
( )0202 2 
00
ssavvdsadvv c
s
s
c
v
v
−+=⇒= ∫∫
9
17
Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Irregular
v
dt
ds
=
� Dado o Gráfico s-t, Construir o Gráfico v-t:
inclinação do gráfico s-t = velocidade
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Irregular
a
dt
dv
=
� Dado o Gráfico v-t, Construir o Gráfico a-t:
inclinação do gráfico v-t = aceleração
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Irregular
∫=∆ dtav 
� Dado o Gráfico a-t, Construir o Gráfico v-t: variação 
na velocidade = área sob o gráfico a-t
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Irregular
∫=∆ dtvs 
� Dado o Gráfico v-t, Construir o Gráfico s-t:
deslocamento = área sob o gráfico v-t
11
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Irregular
( ) ∫=− 1
0
 
2
1 2
0
2
1
s
s
dsavv
� Dado o Gráfico a-s, Construir o Gráfico v-s: área sob 
o gráfico a-s
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Cinemática do Movimento Retilíneo
Movimento Irregular






=
ds
dv
va
� Dado o Gráfico v-s, Construir o Gráfico a-s: aceleração 
= velocidade vezes inclinação do gráfico v-s
12
23
Movimento Curvilíneo Geral
Todo movimento de um ponto material cuja trajetória é uma curva.
24
Movimento Curvilíneo Geral
Todo movimento de um ponto material cuja trajetória é uma curva.
13
25
Movimento Curvilíneo Geral
Todo movimento de um ponto material cuja trajetória é uma curva.
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Cartesianos
kzjyixr ++=
222 zyxrr ++==
� Vetor Posição:
� Módulo:
� Vetor Unitário:
r
r
u r =
14
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Cartesianos
dt
rd
v =
� Velocidade:
kvjvivv zyx ++=
...
 zvyvxv zyx ===
Após alguns cálculos:
Onde:
� Módulo →→→→ 222 zyx vvvvv ++==
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Cartesianos
dt
vd
a =
� Aceleração:
kajaiaa zyx ++=
.........
 zvayvaxva zzyyxx ======
Após alguns cálculos:
Onde:
� Módulo →→→→ 222 zyx aaaaa ++==
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Movimento Curvilíneo:
Movimento de um Projétil
� Aceleração da gravidade: aceleração constante devida à
atração gravitacional de qualquer corpo em queda livre, 
próximo à superfície da Terra. 22 pés/s 2,32m/s81,9 ==g
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Movimento Curvilíneo:
Movimento de um Projétil
� Movimento Horizontal: 0=xa
( )
( )
( ) ( )




=⇒−+=
+=⇒++=
=⇒+=
xxc
xc
xxc
vvssavv
tvxxtatvxx
vvtavv
00
2
0
2
00
2
00
00
 2
 
2
1
 
“O componente horizontal da velocidade 
permanece constante durante o movimento”.
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Movimento Curvilíneo:
Movimento de um Projétil
� Movimento Vertical: gay −=
( )
( )
( ) ( ) ( )




−−=⇒−+=
−+=⇒++=
−=⇒+=
0
2
0
2
0
2
0
2
2
00
2
00
00
2 2
2
1
 
2
1
 
yygvvyyavv
gttvyytatvyy
gtvvtavv
yyc
yc
yyc
“Somente duas das três equações são independentes”.
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Normal e Tangencial
17
33
Movimento Curvilíneo:
Componentes Normal e Tangencial
tuvv =
.
sv =Onde:
� Aceleração:
.
.
.
tt uvuvva +==
� Velocidade:
Eq. (∗∗∗∗)
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Normal e Tangencial
� Vetor unitário: tu
“Preserva seu módulo 
e muda sua direção”.
ttt uduu +=
'
nt udud θ=
( ) θddut 1=
θρ dds =
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Normal e Tangencial
� Como:
nt udud θ=
θρ dds =
ρ
θ
.
. s
=
nt uu 
.
.
θ=� Derivada temporal de
� Portanto: nnnt u
v
u
s
uu
ρρ
θ ===
.
.
.
 
então
Eq. (∗∗∗∗∗∗∗∗)
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Normal e Tangencial
� Aceleração:
nntt uauaa +=
.
vat =
Onde:
ou vdvdsat =
e ρ
2v
an =
� Módulo:
22
nt aaa +=
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Normal e Tangencial
.
 ,0 , Se vaaa tn ===∞→ρ
� Movimento ao longo de uma linha reta:
� Movimento ao longo de uma curva:
ρ
2
.
 e 0 vaava nt ====
“O componente tangencial da aceleração representa a 
taxa temporal de variação da velocidade escalar”.
“O componente normal da aceleração representa a taxa 
temporal de variação da direção da velocidade”.
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Normal e Tangencial
ntb uuu ×=
20
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Cilíndricos
� Coordenadas polares: coordenada radial r e 
coordenada transversal θθθθ.
rurr =
� Posição:
� Velocidade:
.
.
.
rr ururrv +==
40
Movimento Curvilíneo:
Componentes Cilíndricos
� Coordenadas polares: coordenada radial r e 
coordenada transversal θθθθ.
� Velocidade:
.
.
.
rr ururrv +==
rrr uuu ∆+=
'
θ
θ
u
tt
u
u
t
r
t
r 





∆
∆
=
∆
∆
=
→∆→∆ 00
.
limlim
θθ uur
.
.
=
( )θ∆≈∆ 1ru
θθuur ∆=∆vetor →→→→
→→→→ módulo
21
41
Movimento Curvilíneo:
Componentes Cilíndricos
� Coordenadas polares: coordenada radial r e 
coordenada transversal θθθθ.
� Velocidade:
θθ uvuvv rr +=
.
rvr =
.
θθ rv =
Onde:
e
22
θvvv r +=
� Módulo:
42
Movimento Curvilíneo:
Componentes Cilíndricos
� Coordenadas polares: coordenada radial r e 
coordenada transversal θθθθ.
� Aceleração:
.
.
.
.
.
θθθθ uvuvuvuvva rrrr +++==
θθ uvuvv rr +=
ou
.
.....
.
...
.
θθθ θθθ urururururva rr ++++==
Com e




=
=
.
.
θθ rv
rvr
22
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Cilíndricos
� Aceleração:
θθθ uuu ∆+=
'
r
tt
u
tt
u
u 





∆
∆
−=
∆
∆
=
→∆→∆
θθ
θ 00
.
limlim
ruu
.
.
θθ −=
( )θθ ∆≈∆ 1u
ruu θθ ∆−=∆vetor →→→→
→→→→ módulo
.
.....
.
...
.
θθθ θθθ urururururva rr ++++==
44
Movimento Curvilíneo:
Componentes Cilíndricos
.
2
..
θrrar −=
....
2 θθθ rra +=
Portanto:
e
22
θaaa r +=
� Módulo:
� Aceleração:
.
.....
.
...
.
θθθ θθθ urururururva rr ++++==
θθ uauaa rr +=
23
45
Movimento Curvilíneo:
Componentes Cilíndricos
� Coordenadas cilíndricas: r, θθθθ e z.
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Movimento Curvilíneo:
Componentes Cilíndricos
� Coordenadas cilíndricas: r, θθθθ e z.
� Posição:
zrp uzurr +=
zr uzurrurra
......
.
2
..
2 +




 ++





−= θθθθ
� Velocidade:
� Aceleração:
zr uzururv
...
++= θθ
24
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Análise de Movimentos Absolutos 
Dependentes
� Comprimento total da corda: TBCDA lsls =++
0=+
dt
ds
dt
ds BA
ou AB vv −=
Derivando:
2a derivada de lT: AB aa −=
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Análise de Movimentos Absolutos 
Dependentes
lshs AB =++2
AB vv −=2
AB aa −=2
Derivando:
2a derivada de l:
25
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Análise de Movimentos Absolutos 
Dependentes
( ) lshsh AB =++−2
AB vv =2
AB aa =2
Derivando:
2a derivada de l:
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Análise do Movimento Relativo de Dois Pontos 
Materiais Usando-se Referenciais em Translação
� Posição:
ABAB rrr +=
� Velocidade:
� Aceleração:
ABAB vvv +=
ABAB aaa +=
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Análise do Movimento Relativo de Dois Pontos 
Materiais Usando-se Referenciais em Translação
� Posição:
ABAB rrr +=
� Velocidade:
� Aceleração:
ABAB vvv +=
ABAB aaa +=
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Referência Bibliográfica
� HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para 
engenharia; 10ª edição, São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011.
� RODITI, I. Dicionário Houaiss de Física; 1ª
edição, Rio de Janeiro: Editora Objetiva, 2005.