Unidade_1.3_Dinamica de um Ponto Material_Trabalho e Energia

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1
Dinâmica de um Ponto 
Material: Trabalho e Energia
Prof. Alexandre Mikowski
Joinville - SC
Universidade Federal de Santa Catarina
Campus de Joinville
Curso de Engenharia da Mobilidade
2
Conteúdos da Aula
� Trabalho de uma Força;
� Princípio do Trabalho e Energia;
� Princípio do Trabalho e Energia para um 
Sistema de Pontos Materiais;
� Potência e Rendimento;
� Forças Conservativas e Energia Potencial;
� Conservação da Energia.
2
3
Trabalho de uma Força
Em mecânica uma força F realiza trabalho sobre um ponto 
material quando este sofre um deslocamento na mesma 
direção da força. '
rrrd −=� Deslocamento:
� Trabalho:
θcosFdsdU =
rdFdU ⋅=
ou
4
Trabalho de uma Força
∫∫ =⋅=−
2
1
2
1
 cos21
s
s
r
r
dsFrdFU θ
Força variável
3
5
Trabalho de uma Força
∫=−
2
1
 cos21
s
s
c dsFU θ
Força constante movendo se ponto de aplicação ao 
longo de uma reta
ou ( )1221 cos ssFU c −=− θ
6
Trabalho de uma Força
Força peso
( ) ( )∫∫ ++⋅−=⋅=− 2
1
21
r
r
kdzjdyidxjWrdFU
( )12
2
1
yyW
Wdy
y
y
−−=
−= ∫
ou
yWU ∆−=
−21
4
7
Trabalho de uma Força
Força de uma mola
2
1
2
221 2
1
2
1
 
2
1
2
1
ksksdsksdsFU
s
s
s
s
s −=== ∫∫−
8
Trabalho de uma Força
Força de uma mola






−−=
−
2
1
2
221 2
1
2
1
 ksksU
5
9
Princípio do Trabalho e Energia
� Eq cinemática:
dsdvvat =
� Por integração:
∫∑∫ =
2
1
2
1
v
v
s
s
t mvdvdsF
10
Princípio do Trabalho e Energia
2
1
2
2 2
1
2
12
1
mvmvdsF
s
s
t −=∑∫� Resultado:
� Pela definição de trabalho:
2
1
2
221 2
1
2
1
mvmvU −=∑ −Princípio do trabalho e energia
� Energia cinética:
2
2
1
mvT =
� Princípio:
2211 TUT =+∑ −
6
11
Princípio do Trabalho e Energia para 
um Sistema de Pontos Materiais
( ) ( ) 2221 2
1
2
1 2
1
2
1
ii
s
s ti
s
s tiii
vmdsfdsFvm i
i
i
i
=++ ∫∫
( )
( ) 22
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ii
s
s ti
s
s tiii
vmdsf
dsFvm
i
i
i
i
=+
++
∑∫
∑∫∑
Princípio do trabalho e energia ao i-ésimo ponto material
Para todos os pontos materiais
∑∑∑ =+ − 2211 TUTou
12
Princípio do Trabalho e Energia para 
um Sistema de Pontos Materiais
22
2
1
2
1
mvNsPsmv c =−+ µ
Trabalho do atrito causado por escorregamento
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Potência e Rendimento
� Potência: definida como a quantidade de 
trabalho realizado por unidade de tempo. dt
dUP =
Combinando com a definição de trabalho temos:
vF
dt
rdF
dt
rdF
dt
dUP ⋅=⋅=⋅==
Unidades:
 watt746hp 1 
lb/spés 550hp 1 :FPS
m/sN 1J/s 1 W1 :SI
=
⋅=
⋅==
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Potência e Rendimento
� Rendimento: o rendimento mecânico de uma máquina é
definido como a razão entre a potência útil de saída 
produzida pela máquina e a potência de entrada que lhe 
é fornecida.
entrada de potência
saída de potência
=ε
Se o fornecimento de energia à máquina ocorre durante 
o mesmo intervalo de tempo em que se dá a sua 
remoção, temos:
entrada de energia
saída de energia
=ε
8
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Forças Conservativas e Energia 
Potencial
� Força Conservativa: Quando o trabalho realizado por 
uma força sobre um ponto material que se move de 
um ponto a outro é independente da trajetória seguida 
pelo ponto material, diz-se que a força é conservativa.
� Energia Potencial: É uma medida da quantidade de 
trabalho realizado por uma força conservativa, 
quando ela move seu ponto de aplicação de uma 
dada posição até a referência.
� Energia: Capacidade de se realizar trabalho.
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Forças Conservativas e Energia 
Potencial
� Energia Potencial Gravitacional:
WyVg =
9
17
Forças Conservativas e Energia 
Potencial
� Energia Potencial Elástica:
2
2
1 ksVe =
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Forças Conservativas e Energia 
Potencial
� Função Potencial:
ge VVV +=
� Ponto material no espaço:
( )zyxVV ,,=
� Trabalho realizado:
2121 VVU −=−
10
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Forças Conservativas e Energia 
Potencial
� Considere o exemplo:
eg VVV +=
2
2
1 ksWsV +−=
2121 VVU −=−
( )






−−
+−=
−
2
1
2
2
1221
2
1
2
1 ksks
ssWU
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Forças Conservativas e Energia 
Potencial
� Trabalho infinitesimal:
( ) ( )
( )zyxdV
dzzdyydxxVzyxVdU
,, 
,,,,
−=
=+++−=
dzFdyFdxFrdFdU zyx ++=⋅=






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=++ dz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdzFdyFdxF zyx
� Trabalho infinitesimal – produto escalar:
� Trabalho infinitesimal – diferencial:
11
21
Forças Conservativas e Energia 
Potencial






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=++ dz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdzFdyFdxF zyx
� Trabalho infinitesimal – diferencial:
onde:
x
VFx ∂
∂
−=
y
VFy ∂
∂
−=
z
VFz ∂
∂
−=
� Força:
k
z
Vj
y
Vi
x
VF
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
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Forças Conservativas e Energia 
Potencial






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=++ dz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdzFdyFdxF zyx
� Trabalho infinitesimal – diferencial:
onde:
x
VFx ∂
∂
−=
y
VFy ∂
∂
−=
z
VFz ∂
∂
−=
� Força:
k
z
Vj
y
Vi
x
VF
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
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Forças Conservativas e Energia 
Potencial
� Força: Vk
z
j
y
i
x
F 





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−=
ou VF ∇−= onde k
z
j
y
i
x






∂
∂
+





∂
∂
+





∂
∂
=∇
Conservação da Energia
( ) 22cons. não2111 VTUVT +=++ ∑ −
Para pontos materiais ∑∑∑∑ +=+ 2211 VTVT
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Referência Bibliográfica
� HIBBELER, R. C. Dinâmica – Mecânica para 
engenharia; 10ª edição, São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011.