AP1 Geometria Plana CEDERJ 2018.2 (resol. + gabarito)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP1 – Gabarito
Questa˜o 1 [1,5 pts]: Observe a figura abaixo:
Determine o nu´mero ma´ximo de quadrila´teros que podem ser visualizados na figura e descreva -os
indicando seus ve´rtices. Por exemplo, o quadrila´tero ABCD.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Sa˜o 14 o nu´mero ma´ximo de quadrila´teros que podem ser visualizados na figura:
ABCD, ABKG, GKCD, APED, PBCE, APLG, PBKL, GLED, LKCE, APQH , HQLG,
QJML, HJMG e HQED.
Questa˜o 2 [2 pts]: DEFG e´ um quadrado no exterior de um penta´gono regular ABCDE.
Determine a medida do aˆngulo EÂF .
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Considere a figura dada no enunciado com o penta´gono regular ABCDE e o quadrado exterior
DEFG. Note que o lado do quadrado ED e´ comum ao penta´gono, portanto tem a mesma medida.
Logo AE ≡ EF , logo o triaˆngulo AEF e´ iso´celes, portanto
m(EÂF ) =
180◦ −m(AÊF )
2
(1)
Mas
m(AÊF ) = 360◦ −m(AÊD)−m(DÊF ) (2)
Geometria Plana – Gabarito AP1 2
Do aˆngulo interno do penta´gono regular, temos
Ai =
180◦(5− 2)
5
=
180◦ ∙ 3
5
= 36◦ ∙ 3 = 108◦
Portanto m(AÊD) = 108◦. Temos tambe´m que m(DÊF ) = 90◦ ja´ que DEFG e´ um quadrado.
Substituindo em (2) vem:
m(AÊF ) = 360◦ − 108◦ − 90◦ = 360◦ − 198◦ = 162◦.
Substituindo em (1) vem : m(EÂF ) =
180◦ − 162◦
2
=
18◦
2
= 9◦.
Questa˜o 3 [2 pts]: No triaˆngulo ABC, AC ≡ CD e m(CÂB)−m(AB̂C) = 30◦.
Determine a medida do aˆngulo BÂD.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Seja o triaˆngulo ABC conforme enunciado. Como AC ≡ CD temos que ΔACD e´ iso´sceles e
m(CÂD) = m(CD̂A) = α (1)
Do enunciado temos que
m(CÂB)−m(AB̂C) = 30◦ (2).
Denote m(DÂB) = x e m(DB̂A) = y.
Do aˆngulo externo CD̂A do triaˆngulo ABD,
temos x + y = α (3).
Como m(CÂB) = α + x, de (2) vem:
α + x− y = 30◦ (4).
Substituindo (3) em (4) vem,
(x + y) + x− y = 30◦ ⇒ 2x = 30◦ ⇒ x = 15◦
Assim m(BÂD) = x = 15◦.
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Geometria Plana – Gabarito AP1 3
Questa˜o 4 [2,2 pts]: Na figura AB e´ diaˆmetro do semic´ırculo que forma 20◦ com a corda AC. Se
r e´ a reta tangente ao c´ırculo e r//AC:
a) (0,8) Mostre que o aˆngulo AT̂B e´ reto,
justificando sua resposta.
b) (1,4) Determine as medidas dos
aˆngulos DT̂A e BT̂E.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
a) Como AB e´ diaˆmetro do semic´ırculo,
enta˜o temos que AT̂B e´ aˆngulo inscrito e
m(AT̂B) =
m(
_
AB)
2
=
180◦
2
= 90◦.
Portanto o aˆngulo AT̂B e´ reto.
b) Denote m(DT̂A) = α, m(BT̂E) = β e x = m(AB̂T ).
Como a reta r e´ paralela a AC, ou seja, r//AC , TA e TB transversais,
enta˜o dos aˆngulos alternos internos congruentes temos, respectivamente. m(TÂC) = m(DT̂A) = α
e m(T F̂A) = m(ET̂B) = β, onde F e´ a intersec¸a˜o de AC e TB.
T F̂A e´ aˆngulo externo do triaˆngulo ABF . Logo
x + 20◦ = β (1)
Note que x =
m(
_
AT )
2
e do aˆngulo de segmento que
α = x, substituindo em (1) temos que:
α + 20◦ = β (2)
Do item a) temos que o aˆngulo T̂ do triaˆngulo ATB e´ reto, enta˜o
α + β = 90◦ (3)
Substituindo (2) em (3) vem que
α + α + 20◦ = 90◦ ⇒ 2α = 70◦ ⇒ α = 35◦
Logo β = 55◦, ja´ que α e β sa˜o complementares.
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Geometria Plana – Gabarito AP1 4
Questa˜o 5 [2,3 pt]: No triaˆngulo ABC onde m(AB) = 15 cm, m(AC) = 9 cm e AD e´ a bissetriz
do aˆngulo CÂB, CD e´ perpendicular a AD e C, D e E sa˜o colineares. Sendo M o ponto me´dio de
BC:
a) (1,0) Mostre que:
os triaˆngulos ACD e ADE sa˜o congruentes.
Justifique suas respostas.
b) (1,3) Determine:
o comprimento do segmento DM .
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Seja o triaˆngulo ABC, onde m(AB) = 15 cm, m(AC) = 9 cm e AD e´ a bissetriz do aˆngulo  e
CD e´ perpendicular a AD. Sendo M o ponto me´dio de BC.
a) Como AD e´ bissetriz do aˆngulo Â, temos que m(CÂD) = m(DÂE). E sendo CD e´ perpendi-
cular a AD e os pontos C, D e E sa˜o colineares, enta˜o temos que AD e´ altura do triaˆngulo ACE.
ΔACD ≡ ΔADE, pelo crite´rio ALA, pois
CÂD ≡ DÂE, (ADe´ bissetriz do aˆngulo Â),
AD lado comum
m(AD̂C) = m(AD̂E) = 90◦
b)Do item a) temos ΔACD ≡ ΔABE, enta˜o
m(AC) = m(AE) = 9cm (1)
CD ≡ DE (1)
Como m(AB) = 15 cm, de (1) temos que m(EB) = m(AB)−m(AE) = 15− 9 = 6 cm.
De (2) temos que D e´ ponto me´dio de CE e do enunciado temos que M e´ ponto me´dio de CB.
Pelo Teorema da Base me´dia temos que m(DM) =
m(EB)
2
=
6
2
= 3 cm.
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