Apostila Retas e Planos, Exercicíos e Resoluções

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2§líi,
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r Introduçf;o
EEtc laxto ê um* versâE rcvisada c anntíaàda ds tcxro " Retas c pt*no§', de
lutoria dat professonas Aaa María sãnlos costa, Heliacy coelho sErrr* ÊMuia Clrristína Femandes Cardoso. Esa rrrsâo, do mesruo rnodo que aprinteire. é um rccrreo didático utilitado nr Disciplina Matcmâtica n4*iea II -
Mat. 00? do Dcputumeuto de Mattm*tica dr UFBA.
Erperamos Êofitâr côm o auxilio dos lcitores rtravés de criticas, suges0es e
ooneçõrs.
§alwdor,0l dc novembro de 1$gg
As autorab,
Maria Ckistíns FornÊsdca üâJdosô
§onia Regína §oarcs Fenoim
Yerlans fuidrrde Cabral
i
's
o
' Índice
CaPÍfUlO I - Equações da reta
CaPifUlO II - Equações do Plano
CAPÍTULO III - Posições relafiYas
de dois planos
CAPiTULO IV - Posições relativas
de uma reta e um Plano e duas retas
CAPÍTULO v - Ângulos
CAPÍTULO VI - Distância
Exercícios resolvidos
Exercícios propostos
0l
09
))
29
37
46
t
l,
1.1
CAPÍTULO I 
- 
EQUAÇOES DA RETA
E.quação vetorial
Um ics axiomas da geometria euclidiana diz que dois pontos distintos
J.*in", uma reti- Seja r a reta determinada pelos pontos P1 e P2'
-+ -->
U;l 3onto P pertence à reta r se, e somente se' os vetores P1P e P1P2
-+
sãt: colineares. como Pr e Pz são distintos, o vetor P1P2 é não nulo,
-) --+
erj: exisie um escalar ), tal que P1F = )" P1P2 . Assim, P pertence a r se,
e 3rÍente se, P = f1 + Ln$2; À e IR. Podemos então concluir que todo
p,:::o da reia r satisfaz à equação:
-+
I:l'111P'i 1"eIR'
cr::: é cha.trada de equação vetorial da reta r'
Ci:servemos que o fundamental na determinação da equação vetorial 
de
u=ê reta, é coúecermos um ponto.desta reta e um vetor ( não nulo ) na
s- direção. Um vetor na direção da reta r e chamado vetor direção da
rT."r,e Lrdicado Por Vr.
r:X=Po+hVr; heIR
Assim, cada escalar h determina um único
ponto P pertencente a r e, reciprocamenle'
i-u .uai ponto de r, existe um único valor
realhtatqueP=Po+hVr-
l.l f-quaçÔes parametncas e srmetncas
Fixado um sistema de coordenadas, sejarn Po(*o, Yo,zo) e V, = (a,b,c)
A equaçào vetonal da reta r, determinada por Po e V,. é:
r:(x,y,z)= (xo,yo,ze)+h (a,b,c);h e IR,
[x=xo+ha
que equivale ao sistema r :,ly = yo + h b ;h e IR A
[z=zo+hc \\\\
As equaçÕes acima são chamadas de equações paramétricas da reta r.
Se abc * 0, eliminando o parâmetro h do sistema O, obtemos
X-xo Y-Yo z-zo_ @
"^=b=a
Estas equações são denominadas equações simétricas da reta r.
As equações em @, poderiam ser obtidas observando o paralelismo que
deve existir entre os vetores:
-+
PoP=(x-xo,y 
-yo,z- zo) e Í, =(a,b,c), abc;t0.
Exern plos
1. Determine uma equação da reta r que:
a) passa pelos pontos Pt(3,-1,1) e P2Q,1,2);
b) passa pelo ponto P(4,1,0) e contém representantes do vetor
6 = (2,6,-2) .
Solução:
a) Como P1 e P2 são distintos, determinam uma reta de equação vetorial
-)
X =Pr + hPyP2;h e IR, isto é, r:(x,y,z) = (3,-l,i)+h (-1,2,1);h e R.
YI'
.v-lz:' r: x 
- 
4 = !-: =:- ( equações simétrícas da reta).' 3 
-t
a Verificue se o ponto P(-1,0,2) peíence às reras:
z: r:(x,y,z)= (-7 ,-3,-7) + h (2,1,3); h e IR
[x=-3+h
I:' s:.f y = -l + h ; h e R
[z=2h
. x+l v z-4
- 
l'-=!-=-'
232
Sclução:
:.. P e r ie, e somente, existe ho eIR tal que:
(-1,0,2) =(-7,-3,-7) +ho (2,1,3).
il': seja, {.5,3,9)=ho(2,1,3). E fácilverificar que l\:3 torna a igualdade
s::::a verCadeira, Iogo P e r.
l-r=-3-ho;' ?es si, e somente, existe h" elR tal que { 0 =-l+ho
I
L 2=2ho
c :-ue é irrpossível, pois, da primeira equação temos ho = 
-2 e daç:rsda h" = I. Logo, P e s.
c; ?et se, e somente, 
-!-1=9='- 
o 
. Como 0;c-l-temos que232
= 
->a 
=L-
x-l v+2J. Seja r::=' t- =2. Determine uma equação de r nas formas'24
'. ::::ral e paramétrica.
4,
Solução:
Das equaçÕes simétricas de r temos ir=(2,4,1) e p(i,-2,0) é um ponto
da reta r. Assim, (x,y,z) 
= (1,-2,0) + h (2,a,1); h e iR e
[x=l+2h
I
ll=-Z+4h;helR , sâo equaçÕes da reta r nas formas vetorial e
[z=n
paramétrica, rcspect ivamente.
CAPÍTULO II - EQUAÇÕES DO PLAIYO
Equação Vetorial
Um dos axiomas da Geometria Espacial nos diz que 
.F*q§'_p_gll_o_s-_!êo
colineares determinarn.- !.q.",1, pliltp. Consideremos então n o pluno
aeiànninaàô pãiõi póátos À B e c. Desejamos enconrrar uma condição
necessária e sufiçiente p3ra que um ponto X pertença ao plano-;r.
observemos entào'que, côáo A, B e i são nãoiolineares, os vetores
-) 
-)BA e AC são linearmente independentes com representantes em ,r.
Portanto, um ponto X pedence ao plano rc set'e somente se, o ,.,o, Ê U
coplarar com os vctores fr . .,nà
Assim, existem escalares t e h
-+ 
-) -)
tais que )G} = tBA+ hAC.
Dai, um ponto X pertence ao
plano r se, e somente se,
Esta equação é chamada de
-) -+
. I =I_t"fââf_I, r-c- ; t, h e R..
equação vetorial do plano n.
4
2.1
Ct:servernos que o fundamental na determinaCão 
da 
"*f.::: h:H:ffCt:servernos que o runsartrçtrror rrs e-'-- .ois vetores linearmente
é coúecermos um ponto deste pl1"^ t-:.*^ Ilm vetor com
:-.,;H:"*T,l' ffi 1#:'iili*l^".:i*" um vetor com
=;ã;i:.' 
rã'pr-à e üto paralelo ao plano'
,r-ssim, uma equação vetorial de
-- e ? e que Passa Por Po e :
um Plano cr Paralelo aos 
vetores LI
X=Po+tü+hÍ; t,h€IR'
1',
Jbservernos ainda que para cada ponto 
X_ do prano, existe um único par
"til; ô i'j t",if-t'a" 
a esta equação e reciprocamente'
Equações Paramétricas
Fixemcs um sistema de coordenadas 
do espaço' Sejam u=(at'b''c1)'
Ç = (a'.b2,c2) vetores U"*tntt independentes 
paralelos ao plano ct e
Po(xo,Yo,zo) um ponto de cr ' Assim' uma equação 
vetorial do plano o
pode ser escrita como:
(*, y,r)= (*o,Yo,'o)* t(a1'b''c1 ) + h(a''b2'c2)' t' h e R'
.1. equação acima equivale ao sistema:
Às equações deste sistema são chamadas equações 
paramétricas do
plaoo o .
Exemplos
1. Dê uma equação vetorial do
I ir,r,ol,B = (-1,2,1) e c = (3'2'1)
t'.,, Ar \, (Ê,ü; ' "1': 
'
plano determinado Pelos Pontos
. r : cl,o,o)í,t-'.'t'L,,'J
[x=xo+att+a2h
lr=r"+b,t+brh ; t'heIR'
lr= ro + crt + czh
Solução:
--) -)
Como os vetores 43 = (-2,1,1) e CA = (-2,-1,-l) sâo linearmente
independentes, os pontos A B e C não são colineares, logo determinam
um único plano. Uma equação vetorial do plano ABC e :
(x, y,z) = (1,1,0) + t(-2,1,1) + h(2,1,1) ; t,h e IR
2. Dê as equações paramétricas do plano paralelo aos vetores
u = (-1,2,1), V = (1,0,3) e que passa pelo ponto P = (2,4,-1) .
Solução:
Como os vetores ü e V são linearmente independentes então P, ü e V
determinam um plano de equaçôes paramétricas:
íx=2-t+h
I|Y=4+2t ; t,heR'
I[z=-l+t+3h
3. Dê uma equação vetorial do plano p, dado a seguir;
[x=1+2h-tÊ:{Y=-2+h+3t ; t,heiR.,I
[z=3+5h
Solução:
Das equações paramétricas de p temos que P = (1,-2,3) e um ponto de p
e os vetores ü = (2,1,5) g Ç= (-1,3,0) são linearmente independentes
com representantes em p. Assim, uma equação vetorial de p é dada por ;
Ê: (x, y, z) = (1,-2,3) + t(2,1,5) + h(-1,3,0) ; t, h e IR .
ül
4. Determine as equações paramétricas do plano a paralelo ao
ü-(5,1,2) e que passapelospontos A=(3,-l,i) e B = (2,-1,0).
t6 .(-'t,ô,'t) l- ô + h.ü"' l [o
X,'3;'t'q.tr r-r'(l)
Y: --l + h.+
8,,. J 't lru "- [
Sor:ucão: 
_+
OLs:r,'emos que os vetores ü = (5,1,2) e AB = (-1,0,-l) são linearmente
ino:peadentes com representantes no plano cr Assim, as equações
par=néricas de a são:
Íx=3+5h-t
o'.lr=-,*n ; t,heIR.
lz=l+2h-t
l. I fr,uação Ceral
Se:;a a. o plano determinado pelo ponto\P('l .,yo,z") e pelos vetores ü e ?.
L*::bremos que um ponto X(x, y, z)
per:ice a cr se, somente se, os vetores PX, ü e V são coplanares.
-++
Asin, [?X,ü,V]=0, ou seja, ([xV)'PoX=0 Considerando
ü :r Í = (a, b, c), podemos escrever:(a,b,c). (x 
- 
xo,y 
- 
y o,z-Zo) = 0,
ou :quivale:rtemente,
ax+bY+cz+d=0 , O
or:r:: d=-{axo +byo +cro). R equação O é chamada de equação
ge;-l do plsno c-
Dizemos que urn vetor não nulo é
normal a um plano se, somente se, é
ortogonal a todos os vetores qu9
possuem representantes neste plano. E
usual indicarmos um veto:' ,al ao
plano a por fro.
Oi:';:n'emcs que os coeficientes a, b e c da equação ger;il do plano a
ccr-esponiem as coordenadas de um vetor normal a este pl ro.
\
7
Exemplos
l. Determine uma equação geral do plano a que passa pe-lo ponto" p=li,-r,2) e êpar*áloaãsvetores ü=(-1,1,2) e Í=(l'-l'0)'
Solução 1:
Como ú e V são Ll e têm representantes em cL podemos considerar fro
paralelo ao produto vetorial ü * ç= (2,2,0)' Considerando n-o =(Z'Z'O)'
uma equação geral do plano a tem a forma 2x+2y +d=0 ' paÍa urn
certo valor real de d. Como o ponto P pertence ao plano o suas
"oord.nrdrs satisfazem 
a esta equação' assim temos:
i.l*2.(-t)+0.2+d=0, dai, d=-4. Logo, 2x+2y*4=0 é uma
equação do plano a.
Solucão 2:
Sejam í.. = (f ,t,o) e X um ponto genérico de o'
rntao, nl}'frc, = 0, ou equivalentemente'
(* 
- 
3,y +l,z-z)'(t,t,o)= o '
Dai, uma equação geral do plano a é x + y -2=0 '
2. Determine um vetor normal ao plano a nos seguintes casos:
a) e : X=(1,0,1)+ t(2,-1,3)+h(1,1,0); t,h eIR'
c) cr : 2x 
- 
3Y + z-l=0
Solução :
a) 1.. = (2,-1,3) x (1,1,0) = (-3,3,3)
b) ío = (3,2,-l)x (0,-1,2) = (3,-6,-3)
c) l.. = (2,-3,1)
lx=2+3t
b) a:lY=l+2t-h; t'heIR'
[z=-t+2h
\
1ó
CAPÍTULO III . POSIÇÕES RELATryÂS DE DOIS
PLANOS
\b espaço IR3 , dois planos a e p são paralelos ou concorrentes. Se
:lanos c e p são paralelos temos:
Paralelos distintos : a ô g = ó
Obsen'enos que dois planos são paralelos se, somente se , seus vetores
rormais são paralelos. Consideremos ct: a1x * b1| + c1z + d1 = 0 e
):e2x-b2!+c2z+ d2 =0. Temos que ã e P são 'paralelos se,
saneote se, existe um real k tal que:
fa, = ka,
I
'{br = kbz
Ltt = lt'
Se os pianos a e p são paralelos e, além disso, possuem um ponto em
.omum, então eles são coincidentes. Supoúamos que P(x1,y1,21 ) seja
3sse pcato comum. Assim, as coordenadas de P satisfazem às equações
-vueP
+btYt +c121 +dl =0
+bZYt *c.tz1 * d2 =0
l.ur*r
1,,*,
Cu equiralentemente,
tXa2x1+kb2Y1 +kc7z1+ d, =6
[a2x1 + bZYt + c'tz1 * dZ =O
)aí, dr =k(-azxr -bzlr -czzt).Logo, dr =kdr.
I\ P*taltl"' Co,'*t'c)rJ:ü >
Paralelos coincidentes j a 
= 
B
' los Planos ct e P J'ldY
Pix,Y,') Pertence a. r
,r* .""At"adas satisfazem 
ao sistema:
íatx+btY+c1z+d1 =0
t.r* * b2! + c2z+ d2 = 
0
Este sistema é denominado 
equação geral da reta 
r'
observemos que uÍrl vetor 
direção da reta r ,v. possul
nos planos a e p' Dai' O''U "n**al 
a fi= e-o::gonal a
;;;- então gue Í' é paralelo ao vetor ío 
x np '
se os vetores 
-t";;:, 'i" ;*f"!:
dizemos $ut ot^ ^.P,[,'"ioil piu4. :toperpendiculares' 11t1"n,. se, ío . ng = r.
perPendiculues se' soir
ExemPlos
1. Estude a posição relativa 
dos planos:
Íepresentantes
fip. Podemos
a) a:Zx +Y-z+1=0 e P:4x+2Y-22.+2=0'
h\ cr : X = (1,0,1)+t(2J'3)+h(0'0J);
-' 
" 
Ê:2x+ Y-z+l=o'
t,h e IR
t,h e IR
c) ct:
e
X = (1,0,1) + t(2J,3) + h(0'0J) ;
íx=4t
P,lr=1+2t; t'heIR
[z=2+5t-h t0
I
i
I
I
i
í{f
a
n
/un 7
Ct
Soüução:
a) Obsenvemos que flcr =21p, assim, os planos c e p são paralelos.
-4,iém disso, temos que ü =2dz.Logo, podemos concluir que cr e p
são coincidentes.
b) Coasideremos os vetores ilo = (2,1,3)x (0,0,1) = (1,-2,0)
iF =(2,1,-l). Como estes vetores não são paralelos, temos que os
T}aaosae p sãoconcorrentes. Se ré aretainterseçãodeae p, então
a equação geral de r pode ser dada pelo sistema:
(x-2Y 
-1=0t'{z** y-z+l=o'
Observenos ainda que no ' frp = 0, assim a e p são perpendiculares.
c) Consideremososvetores fro =(1,-2,0) 
" 
frp =(-1 4,0). Observemos
{üe frc. - -zfrg, daí, os planos a e p são paralelos. No entanto,
P=(i,0, 1) pertence ao plano cr e não pertence ao plano p-
Consequentemente, o e p são estritamente paralelos.
2- Determine uma equação do plano p paralelo a a:2x - 6y + 4z-l = A
e que passa pelo ponto P = (1,0,-2).
Sdução
Cr:ao o plano p é paralelo ao plano c, temos que n-p =kfro,k;'0.
Pc,jemos entâo conside* frp ={-2,- 6,4). Assim, podemos escrever:
p :1x 
- 
6y + 4z+ d = 0. Para -determinarmos o valor de d basta
uLlizarmos o fato de que o ponto P penence a p e por isso, satisfaz a sua
eq-ção. Dai, 2.1-6.0 +a.Ç2)+d=0, ou sej4 d = 6. Logo, uma
eq-ção geral de p é 2x 
- 
6y + 4z+ 6 =0.
3" Dados os planos cr:2x+ 4y-z=l=O e P:-x+2y+z+2=0
deermine uma equação vetorial da reta r interseção dos planos o e p.
ll
Solução :
E fácil obtermos uma equação vetorial de uma reta se coúecemos dois
de seus pontos. Ora, uma equação geral da reta r pode ser dada pelo
sistema:
Assim, basta conseguirmos dois pontos cujas coordenadas satisfaçam a
este sistema. Como este sistema é possível e indeterminado, podemos
conseguir uma solução considerando y = 0. Então,
l2x-z+l=0{[-x+z+2=0
Daí, x = -3 , z= -5 e P(-3,0,-5) pertence à reta r. De modo análogo, se
considerarmos X=0 no sistema O, obteremos y= 
-L , r=-l e
: .- I . -+ I
Q = (0,-:,-l) pertence à reta r. Daí, o vetor Vr = PQ = i3,-1,4) e umt 2'
vetor direção da reta r e uma equação vetorial desta reta pode ser dada
pela equação:
. r:(x,y,z)=(-3,0,-5)+h(3,-+,4);heR.
2
Uma outra maleira de determinarmos um vetor direção da reta r é obtida
quando utilizamos o fato de que este vetor é paralelo ao vetor fro x ilp.
Assim, podemos considerar Ç, = (2,4,-l) x (-1,2,1) = (6,-1,8) e
r:(x,y,z)=(-3,0,-5)+ h(6,-1,8);h e E é uma equação outra vetoríal
de r.
4. Dada a reta r:(x,y,z)=(1,-2,0)+h(2,4,1);heIR, determine uma
equação geral da mesma
Soluçâo: '
Devemos determinar as equações gerais de dois planos distintos a e p
que contém a reta r.
Obs;=n'emos que se um ponto não Pertence a uma reta" o plano
dets:njnado por este ponto e esta reta, naturalmente, contém a reta.
Ass;=, seja a o plano determinado pela
reta Í e peio ponto P(0,0,-l). O vetor
noraal de o pode ser dado por
' \'i,\l
' ío F-v. x |2 , onde A é um ponto de r.
Entã:, coxiderando 40,-2,0) temos que ío = (-6,1,8) e
cr:-5x +Y'82+d=0.
Pa.r:z drterro:narmos o valor de d, substituimos na equação anterior as
cocírdenarl2s de um ponto qualquer de c.. Por exemplo, substituindo as
coorjeiladas do ponto P, obtemos: -6.0+0+8.(-l)+d=0. Dai, d=8
e c:-6x+1'+82+8=0.
A e;-ção g:ral do plano p é obtida de modo análogo ao utilizado para
obtengo da equação do plano a. Chamamos porém a aterição especial
para a escoi-na do ponto: agora ele deve ser escolhido fora do plano a-
Cor:,=iderand: o plano p determinado pela reta r e pelo ponto 0(0,0,0)
temL:s que:
iÊ =?rxAO=(-2,-1,8)
e p:-2x*y+82+d=0.
Como oplanopp*ru
pela origem do sistema
decoordenadas, d=0.
Log:, p: 
-lx - y + 8z = 0, portanto uma equação geral da retâ r e
,,Ír** 4y-z+l=0 O[-x+2y+z+2=0
t2 ,,Í-U*+y+82+8=0[-2*-y+82=0
\
t3
CAPÍTULO ry - POSIÇOES RELATTVAS
DE UMÂ RETA E I]M PLANO
E
DE DUAS RETAS
4.1 Posições relativas de uma reta e um plano
As posições de uma reta r:X = R + t Vr, t e IR e um plaro zr são:
a) rparalelaan
(r ll r)
r//rçVr.ão=0eRÉ;r
b) r contida em zc (r c r )
c)renconcorrentes
(rnx={P})
rcn++Í..ão=0eRen
I
O
Í
I
Cesrparticular: rl-r a irllín
Eremplos:
l. l:iemile a interseção da reta r com o plano ;i, nos seguintes caso§:
a) r: X ={-1,62)+t(1,1,1);teIR
;:x 
-z-3 = C
b) r: x 
-l=y-?=2(z-1)
;rX =h(6,2,1)+t(1,2,1); t,h eIR
lx=t
I
c') r:lY=-3+3t;t€IR
I
lz=-t
:::x + v +22-l=0
Scr,1ução:
a) Ír.iln =0,1,1)'(1,0,-l)=0, Iogo,rr'\Í=r ou rnr=$-
C,:rà R(1"6,2) é um ponto de r, verificamos que R e z. Logo r n 7r =Ô .
/ r\b) Sendo V, =l t,t,i I e fro = (6,2,1) x (1,2,1) = (0,-5,10), temos que\t)
V. . frr. =0. L,ogo, rí'\7t= rou rn71 = Q. Como R(I,2'l) é um ponto de
r, i':rificaraosque Rezr.Logo rcTc e consequentemente rr'\Í=r'
c) De Ír'frr,=(1,3,-l)'(1,1'2)=2*0 conciuímos que r e r são
concoÍrentes. Seja rnz = {P) = {(a,b,c)}. Temos então:
[u ='(l) a+b+2c-l=0. (2) 1b -3+3t, paraaigumescalart.|.c=-r
De (l) e (2) obtemost:2 e P(2,3,-Z).
2. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(1,0,-2) e e
paralêla aos planos c:2x' y +2=0 e p:x +z-3 = 0.
Soluçâo:
Como r lla e r //p, temos ?r J-i.. e Ír-Líp. Sendo fro e ilp LI,
temos que ç r ll is x frp. Assim podemos considerar
V, = ío x fr p = (1,01)x (2,-1,0) = (1,2,-1).
Dai uma equaçâo vetorial da reta r é:
rX =(1,0,-2)+ t (1,2,-l); t e IR
4.2 Posições relativas de duas retas
Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são
coplanares. Caso contrário são denominadas reversas.
As retas coplanares podem ser paralelas (distintas ou coincidentes) ou
concorrentes.
;aü
a,
tt
l'
"ii
I
il
II
II
;
l6
&
o
e,
a
?otl;
Rs=reíudc, duas retas h e 12 Podem ser:
Coplanares
. Ccncorentes : 11 n r2 = {e}
. Paralelas:
.Distintas I { ôr2 =Ô
Reversas
. CoincidenteS i Í1 = f-1ru
4 (.Ç10b
Esabeleceremos a seguir condições para a identificação da posição
r=:iiva d: duas retas.
Considere asretâs r:X = R+h V, e s:X=S+ tvs ; h't€ [R'
S: r e s são coplanares então os vetores *l'0, e V, são coplanares e
-+ --+
úoíanto 1R'S,v.vr1= 0. Reciprocamente' se [RS'v"v']= 0 podemos
;-:l'rllÍr,nessecasoressãoparaJelx,logocoplanares'
l7
,l
-ló
ii)V, e ís LI, nesse caso RS,Ç, eÇ, são LD. Como V, e V, sâo
linearmente independentes, então podemos escrever Rl como
combinação linear de V, e Ír. Logo, existem escalares troe L tais que
S=R+hoV, +toVr. Assim, o plano Ê:X-R + h Vr + tv§; h,teIR'
contém as retas r e s, que portanto são coplanares. Observemos ainda
que, neste caso as retas são concolTentes.
Um caso particular de retas concorrentes
são as retas perpendiculares. Observemos
que se duas retas r e s são perpendiculares
então ?, 'Vs = 0 .
Exemplos
1. Estude a posição relativa dos seguintes pares de retas:
e s:X =0,0,2)+h (1,-3,7); h eIR
v-i z-i')
c) r:X =(-2,1,3)+ t(-10,-2"-18);t e IR.e s'?= y -2=;
Solução:
a) Como v r ll (2,-1,-l) x (1,3,-l) = (4,1,7) e 7, ll (1,-3,7) temos que as
retas r e s são conconentes ou reversas. Vamos então considerar
R(0,0,2) e S(1,0,2) pontos de r e s, respectivamente. Assim,
IIO O
1n1,vr,vr1=l+ t 7
Ir -: 7
Por-=:to, as ietas r e s são reversas.
aF .-itô
aa
=28*0-
- lZ*-y -z+2=0a) r:{
' [x +3Y-z+2=0
(-. 
_ç
irr .,1;=t'-h :helR e s,l-* = !=z-B
' 
l'r=4 + 4h' 2 3
[x=a
d) r:X=(4,-3,1)+h(0,2,1); helR e s:ly=-1-Zt;te IR
l.z=3-t
c) lcno \'- ll(1,-1,4) e ír l/(-2,3,1) temos que as retas r e s são
::rcorreites ou reversas. Vamos então considerar R(0,1,a) e S(1,0,8)
:;;ltcs i: r e s, respectivamente.
I r-r 4ltt
[R :.Ç-,Çsr=l I -1 4 l=0.Logoasretasre s são concorrentes.
l-z 3 rl
c) rl:;:ro v- ll(-10,-2,-18) e Vs //(5,1,9) temos que as retas r e s são
par:a.:las (cistintas ou coincidentes). AIém disso, o ponto R(-2,1,3)
pe.-.::ce às retas r e s. Assim, podemos concluir que as retas r e s são
^^,-- ^,-J--r-.
d) 
-:no i'- //(0,2,1) e tr, tl (0,-2,-i) temos que as retas r e s são
pa-r:-:las (c:stintas ou coincidentes). Observemos que o ponto R(4,-3,1)
per-..:ce à reia r, no entanto não pertence à reta s, pois o sistema| +=l
l-: = -t - 2 to não tem solução.
II l=3-to
As::r, poiemos concluir que as retas r e s são paralelas distintas.
l- lé uma equação da reta r que passa peio ponto P(-l,l,l) e é paralela a
l2*-y +42+3=0
re:.= s: ([*-jy-z+6=0 \
l9
Solução:
Sendo r e s retas paralelx podemos considerar Ç' = Í'' Como
v s ll (2,-l,a) x (1,5,-1) = (-19,6,1 l) as equações simetricas de s são'
x+l Y-l z-l
-=-=-.
-19 6 11
[x=4+t
3. Mostre que asretas r:x-2 =-y = z-l e s:jy =-2-t; t e IR
lz=3
são concorrentes e deterrnine o ponto de interseção'
Solução:
Sejam ü, =(i,-l,l),Í, =(1,-1,0) e R(2,0,1) e S(a,-2'3) pontos de r e
s,
_+ l,_, rl
respectivamente. Então lvr'vs,RS]= 
lj _l :l='
ASSIÍn
concluímos
que r e s sãocoPlanares.Como
vetores LI, temos que as
{Po }= (*o,yo,zo)}= r n s'
não são paralelas.Pois Ç, e Vr são
retas' são concorrentes. Seja
[xo=4+tolr
)Yo=-t-to'
l.'o =3
Então, xo-2=-Yo=zo-l e
Dai, to =0 e Po =G,-2,3).
ítt *. rl 
r
4. Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto P (1,2,3)' e
boncorrente com a reta s.X=(-1,3,5)+h(2,5,1); helR' e tem vetor
direção V, ortogonal ao vetor ü - (0,1,-4).
).0
ô
- f:
a
it
-a
a
Solurcão:
Seja {Po }= r .'' r. Então exisÍe um real ho, tal que
Po(-)+2hoJ+5ho,5+ho). Consideremos V, =Pio. Como V, é
ortog:nai a ü, temos que (-2 + 2ho,l + 5ho,2 +ho).(0,1,-4) =0. Logo,
ho :l- Assin,
Po =(13,18,12) e rX=(1,2,3)+t(2,5,i); teIR.
5. Dq:rmine uma condição necessária e súciente pam que uma reta r
seja :-alela ao eixo OX.
Solur:ão:
O ei:::: OX ten vetor direçào i = (i,0,0). Então, uma reta r e paralela ao
eixo JX se, e somente se, V, é paralelo ao vetor J = (1,0,0).
6. De:ermine uma equação da reta que passa pelo ponto p=(1.0,2), e
concs-ente com a reta s:X=(1,0,1)+t(2,1,1);teIR e e parajela ao
planc;:2x-3y+42-6=0.
Solut=ão:
)-\. u Seja {Po}=r^t
Po=(l+2t,t,l+t)
entâo, existe t e IR taj que
-+
e PPo =(2t,t,t-1).
Como r // a temos (2t,t,t-l).(2,-3,4)=0.
.4
Assrm, t = 
-.
= (8,4,-l), uma equaçâo retorial de r e:
r X = (i,0,2) + t (8,4>i);t e IR.
Cons;i:cranda V,
^í1 \lâr-
eeir- -> 
CAPÍTULOV-ÂNGULOS
5.1 Ângulo entre duas retas
O ângulo entre duas retas r e s, indicado por (r,s)' e definido como o
menor dos ângulos (v.vr) e (v,,-vr).
Se r e s são retas paralelas
entâo (r,s) = 0.
Na figrra ao ladc, o àagulo
(r, s)= (v,,-v, )= o .
Na figura ao lado, as retas r e s
são reversas . (r,t) = (v.,v,) = 6.
Assim, 0 < G,t)<I 
" 
.or(r,s)=1 cos(?,,?,)1q cos(v,,-v,)1., t,t 2
Logo,
(.. r)= ,.. .o, JJ':rJlÍ,ll?, I
Quando (r,r)=ã , dizemosquere s são ortogonaise escrevemos rl s.
Se r e s são ortogonais e concorrentes dizemos que as retas são
perpendiculares. E claro que rIs <+Ír . Vs =0.
22
0
vr
ê q
a Exemplos
l. E:lermin: os ângulos formados pelas retas r e s, nos seguintes casos:
[x=t-t
z) r:X=À(1,-l,l);ÀeIR e s:]y=t ;teIR
[z=2-t
lx=2y-z=O - y-2:i Í:< g S:Xrl=-=z.lx-y+z-l=O 2
2. D.::ermine uma equação da reta r que passa pelo ponto
[x=l+t
.tper:,e:cicul:ràreta s:jy=2t ;teIR.
lz=l-tt
[x=i-2t
I
:', r:{.'=2+2t:teIR' t'
17= 1(-
Soluçáo:
:) Corno V. = (I,-l,i) e
.{ssja, (r, s)= 6 .
':) Temcs Vr = (1,2,-1) x (1,-1,1) = 0,-2,-3) e Í, = (1,2,i). Daí,
(r, s) = u,ç cosJl;l-l = -" .or4 .lJt+1;"t61 7
:l Como V, = (-2,2,0) ê Í, = (2,1,3), temos:
(r,s)= ils.rtl, ll,'#,1 = arc cos+.
I J8 ll Jl{ l 2.1'7
P(r,1,-2) e é
x-3 z+le s'-=v+l)'3
V, = (-1,1,-l), as retas r e s sâo paralelas.
,l
23
Sol ução:
Como r e s são perpendiculares, temos que
estas retas são concorrentes e onogonais.
Assim, se Po é o ponto de concorrência de r e
s, existe to real, tal que
Po =(l+to,2to,2-to). Podemos então
+
considerar V, =PPo =(to,2to -1,4-to).
Peia condição de ortogonalidade, temos:
Ç',.PPo =0. Assim, to+2(2to-l)-(4-to)=0, daí, to =1'
Portanto uma equação da reta r é r:X = (i,1,-2) + ).(1,1,3) ;i e IR'.
3. Substituindo, no exemplo anterior, a condição de peryendiculridade
por ortogonalidade, o problema tem solução única?
Solu ção:
Neste caso, a direção de r poderia ser
dada por qualquer vetor ortogonal a
Çr, sem restriçÕes e, portanto, existe
uma infinidade de soluções. toda reta
que passa por P e está conlida no
+
plano a: PX.ir=6.4. Determine uma equação da reta r que passu por P(1,0,0) é concorrente
com s:X=t(1,1,0);teIR e (r,s)=1.
I
Sol ução:
Observemos inicialmente que
ponto P não pertence à reta
Assim, se Po é o ponto
conconência de r e s, existe
real, tâl que Po = (to, to,0)
+
V, =PPo =(t" -1,t",0).
tô o
I
ti
ii
I
i
o
s.
de
to
cos (r, s) = çe5
5.2 Ân,:ulo enire dois plânos
O 
-3,.rlo sire dois planos
c É 3, indi:ado por (cr, B),
e ,::i:iido como o menor
Ccg aigu.:s (n",np) e
1; 
-;- )lr: *. rtt{,.?t
Ás::;:r,0<tcr,p)<l e)
fJ(t"-l)2*to2+o
.Logo, to = 0 ou to = 1.
I
=-J1
.j-ssim, ere problema admjte duas soluções:
+ to = ! ; r: X=(1,0,0) + t(-1,0,0) ;t e IR
ô :o =:; r': X = (i,0,0) + h(0,1,0) ;h e IR .
(o,F)=arccosIi:4
In" llng I
Qu-30 (*3)=i , dizemos que c e p são ortogonais e escrevemos
.^a-
a 
- 
J. E cl-o que a 1Ê<+ fro'frg =0.
Ch;.::inos;eta normal a um plano cr a toda reta que tem a direção de
fr- Assim. podemos dizer que o ângulo entre dois planos é o ârrg.':iir
for 
-aio pc: duas retas normais a esses planos.
25
-1)2 +to
Exemplos
1. Determine o angulo formado pelos planos a e p, nos seguintes casos:
a) cr:2x+y-z+l=0 e P:x+Y+z+2=0'
b) c:x+y -z+5=0 e Ê:X=t(1,0,1)+h(l'-1,0); t,heIR'
[x=t+h
c)a:'lY=1 ;t,helR e P:2x+Y+z-1=0
I[z=l+h
Solução: l
a)Das equações de a e p temos no =(2,1,-l) 
" 
frg =(1,1,1)' Assim,
cos(a,p)=E*#rU =+r=+
Logo, (o,P)=arccos+.
3
b) fro = 0,1,-l) 
" 
ilÊ = (1,0,1) x (1,-1,0) = (1,1,-1) '
I (1,1,-i)' (1,1,-1)l 
= 
I T.ngo, (cr,0) = 0Dai, cos(cr,D) =ttrr;|ü-= I . Lo
ç) la = (1,1,0) x Q,0,t; = 0,-1,-1) . frP = (2,1,1) '
. Assim, cos(a,B) - I(l'-iJ)12'1'1)l = 0 . Logo, (",9)=í'{J{o
2. Determine uma equação do plano ü ortogonal ao plano
p:2x-y+z+1=0 e que passa 'pelos pontos 6=(1,0,2) e
B = (2,1,3) .
Solução:
-)
Os vetores 69 =(1,1,1) . ilp =(2,-1,1) são
L.I. e possuem representantes em a. Assim,
uma equação vetorial do plano a pode ser
dado por:
cr: X = (1,0,2) + t«1,1,1) + h(2,-l,l) ; t,h e iR.
Ângulo entre reta e plano
O fogulo entre uma reta r e um plano
cL, indicaCo por (r,a), é definido
coclc o complemento do ângulo
for=ado p3la reta r e por uma reta n
nor:::al ao plano o.
Na-igura-rcmos ô=(r,n) s $=(r,a).
Ass;m, 0sír,a)<l e pode ser calculado comol
'2
(t,o)=f 
-{r,o) -!-^rr.o, 1lr'lC
ou,
(r'a)="t5t' *#t+' lÍ, Iií.' I
Que:,:o (r.a)=I, dizemos que a reta r e o plano ct são2'
pe-endiculaÍes e escrevemos rIcr. E claro que rIa <+ ír ll frd.
E.ranplo
1. ]:termi:e o ângulo enÍe r e o, nos seguintes casos:
e) r:X = (1,0,1) + t(1,0,2) ; t € IR
c;X = t(1,0,1) + h(1,2,-3) ; t,h e IR.
:l ,,Í* -Y+2=o e ü:x -2v-zz+l=o
' l2:r +2y- z+l=0
Sllu çã o:
:l Comc tr = (1,0,2) € fra = (1,0,1) x (1,2,-3) = (-2,4,2), temos:
-^- /- ^\-l(l,o'2)'(-1,2,1)l- I)Lrr \,,u/ Jr.r,6 _ Jí
;3o, (;,cr)=rr.r.n*.Jio \
Dt D
f,J
76
/7
b) Temos Í, = (1,-1,0) x (2,2,-l) = (1,1,4) ê ín = (1,-2,-2), assim,
sen(r,u)= l(l'l'4X-1':2'-2)l =+ '' JrsJe 2
Loso- ír-a) = 1.À+
aO a(O
6.r
CAPÍTULO VI. DISTÂNCIA
Disância entre dois ponto§
A ilstância entre um ponto A e um ponto B
é iaiicada por d(,\B) e deÍinida por IAB l.
Ccnsideran:o A(a1,a2,a3) e B(b1,b2,b3)
79
^./,
temos que:
d(..-'B)= ABI=l0t 
-â1,b2 'a2,b3 -a:) [ .
Da( d(Á.8)=úur Jrl' +Oz -az)2 +(bs -ar)2
6.2 Dísúncia entre um ponto e um plano
À ::stância iltre um ponto Po e um plano z
dei'1ida camo a menor entre as
diràcias i: Pu a Pontos de ir.
Ass::;l, se P é um ponto qualquer de :r,
errSc a d:stância entre Pn e t é o
-+
moi:rlo da crojeção {q vetor PPr , íâ
dire;ão de 1,.,
Ccr,.ideran-io r:ax+by+cz+d =0 Po(xo,Yo,xo) e P(x,y,z)
endo:
-l o, la(xo-x)+b(Yo-Y)+c(zo-z)ld(P",;)=f PPo'fiÍl=ff
Jaz +bz +c2
laxo+byo+czo+dl
J"2 * b2 + c2\
por d(Po,t) e
Lrgo, C(Pu, r) l=
t
ll
t
Exemplos:
Determine a distância entre o ponto Po e o plano r nos.seguintÊs casos:
a) Pofl,l,2) e r:2x-Y+22+410
b) Po(2,2,4) e n:X =(1,0,1) + h(l,l,l) + (1,2'3); h, t elR.
Solução:
.i
a) d(Po,r) -12'1-l'1'+'2'2+al 
'
b) Consideremos P(I,0,1) e fro =(1,1,1)x(1J,3)=(1,-2,1).
Assim,
d(Po,r) =l Pi"' no 1= I l'l+ (-2'2 + t': I - o
^16
63 Distância entre um ponto e urna reta
A distância entre um Ponto Q e uma
reta Í é indicada por d(Q, r) e
definida como a menor entre as
distâncias de Q a pontos de r.
Assim, se Per e m é a reta
definida pelos pontos P e Q, temos
que:
d(Q,r) =t ü l. sen (r,m) =t ü t ryIJ'l
lPQllv,I
+
d(Q,r):trP
ao
Logo,
ao
Uulizzndo a interpretâção
gecnefica do produto vetorial,
poci:rros c-bservar que d(Q,r) é a
ala::z do paralelogramo, cujos
iaci:s são representantes dos
+
veÍr.'es v- e PQ, em relação à
bas: PR,s:ndo \=P+Í..
b) Sejam
Então,
E:-emplos:
De:;nine d(Q,r) .nos seguintes casos:
(x 
=2 +t
I
a) J(1,1,0) e r:.jv=2t ; teIR
[z=1-t
í*-Y+22+7=0b)'{1,2,-11 e r:{^_., \i_,_,_. _ l2x+y_z+3=0
Solução:
a) Sejam P(2,0,1) e Í, =(1,2,-1).
fntão,
d(Q,r):]j:f#E fX=+
P(0,-7,-4) e Í, =(-1,5,3).
d(Q,0=U'lH!4 =+
3l
rl
6..í Distância entre uma reta e um plano
A distância entre a reta r e o Plano n
a menor distâncía entre os pontos de
Assim:
a) Se r e Í são concoÍrentes ou se
e indicada por d(r, ;t ) e definida como
r a Í.
restá contidaem r então d(r,r)=0.
cn
b) Se re paralela a :r então d(r, r):d(R., n); R e r.
R
6.5 Distância entre dois Planos
 distância entre os planos ct e p é indicada por d(a,p) e definida como
a menor distância entre os pontos de, a a p. Assim,
a) Se cr e p sãoconcorrentes então d(cr,p):O-
b) Se ae B sãoparalelosentãod(a,p):d(P,Ê); Pea'
7l
32
L': J.
o
to
l
ô
Exe.uplos:
1. Cz,cule iír,:r) nos seguintes casos:
i2x 
-, * z=0a;r:1'^'-' 
." ^ 
e zr:3x -Y+22-2=o
,.x+Y-z+L=v
b) ;:X=(1:,1)+h(-1,1,0); he IR e 7Í:3x +3y +z-2=0
Solução:
a) Sabenos que nr ll {2,-1,1)x (1,1,-1) = (0,3,3) ' Consideremos
V,=(0,1,1):ilu=(3,-1,2). Como Ç,'ín=l, temos que r e n são
coú:r-ent35. Portanto, d(r' r)=0.
b),lcno ir'frn=0 e R(1,2,1) e n, concluimosque re paralela a i'
As-r:r, d(:,;r)=d(R,n) ='t#H=* , sendo' R(1,2,1)
um;cato :: r.
p:3x+3y-z+3=0
h,t e IR
2. 'leicule d(4,Ê) nos seguintes casos:
a) ::X =i.1,-1,0) + t(0,1,1); n,trl 5
I
b)=:l-x +)y-22+l=0 . P'lY=-h
lz=t
+t;
Sci:ção:
a) 
-<:iam ío =(1,-1,0)x (0,1,1)=(-1,-l'1)
Co=o fro e frp são LI temos que ct e
. Ép =(3,3r-1).
p são concorrentes. Assim,
J/- t1\-nUl 
-!_, - 
t 
-
b) Sejam áo =(2,2,-2) e frÊ = (1,-1,0) x (0'l'l)= (-1'-l'l)' Como estes
vÊi.f;es são LD, concluimos que G e B são paralelos' Assim'
t2.o+2.0-2.0-ll Jj
d, :.-r) =::.?,a) =tff =ã , sendo P(0,0,0) um ponto
6.6 Distância entre duas retas
A distância entre as retas r e s é
menor distância entre os pontos de
Consideremos as retas r: X = R '
Assim,
l) Se r éparalelaasentào
d(r,s) = d(R,s)= d(S,r) .
2) Se r e s sâo concorrentes entào d(r,s): 0
Ou seja, d(r.s) = lIRS'vr 'Í5 ]llÇrxÍrl
Da interpretação geométrica de
produto misto e produto vetoríal,
concluímos que d(r,s) é a altura do
paralelepípedo cujas aÍestas são
representantes dos vetores
*)
SR, V, e V. em relação à base
SPQ, sendo P=S+Vr e
Q=S+vs.
indicada por d(r,s) e definida como a
res.
+tir; telR e s:X=S+hir: helR.
Rr
3) Se Í e s são reversas entâo
d(r, s) = d(r, n) = d(R, r) , sendo n um
planoquecontém s e é paraleloar.
Assim,
d(r,s)=d(R,r) I proj;, ,r, *i
3
I
t,
Iló Exemplos:
l Calcule d(r,s) nos seguintes casos:
a) ;:X =(1,0,2)+h(1,1,1); heiR c s:x-1=y +2=z-3
[x=6-h
b) ;:X=(1,-l,l)+t(2,0,1); telR 
" 
s:.ly=-2+h; helR
[z=l+h
c) ::X=il,l,i)+h(-1,2,1); h elR e s:X=(1,1"3)+t(2,1,3); telR.
S,:-::çãO:
a .rs retas r e s são paralelas pois V, = (1,1,1) = Í,.
ê-.:sim, dír,s) = d(R,s) = d(S,r).
Cr:sideremosR(I,0,2) e S(1,-2,3) pontos de r e s, respectivamente.
E::ãc:
d(r, s) = I 
(0,-2,1)x (l,l,l) | 
= 
Ju
I (l,r,r) | 3
h Temos Vr =(2,0,1) e V, =(-l,l,l)..{ssim, as retas não são paralelas.
S.:-:am R(3,-1,1) e 5(6,-2,i ) pontos de r e s, respectivamente. Então:[+ ] 13 -r oi
IRS,vr,v, l=12 0 li=0.L J l_r r rl
L:3o,r e s sâo concorrentes e d(r,s)=0.
c Sejam tr =(-1,2,1) e Ç, =(2,1,3). Assim, as retas não são paralelas.
C::rsideremos R(l,l,l) e S(1,1,3) pontos de r e s, respeclivamente.
f-- . 
-él) lo o 2ll-) ll I
lns,v,,vs l=l-l 2 ll=-to*0.L I lz I 3l
\,
35
Cz:,r e s sàoreversas.
Loso.
[--- 
- - 
-l
llK5,\r,\s lrI 'r 2,5d(r,s)=-!----!-=_=-lvrxvsl J
c
2) Sejam r: X=(1,2,0)+t(l,l,l)l t e R e
Determine a, de modo que :
o d(r.s)= 0
b) r e ssejamreversas.
Sol uçào:
a) d(r.s) = 0 = r e s são concorrentes ou coincidentes. Sejam
v r = (1,1,1), V, = (a,i,-l), R(I,2,0) e S(0,1,2).
Como não existe a real tal que Ç. e i', sejam LD, podemos
f'+ I
afirmarquedlr,s):0 se, e somente se, lRS,Vr,V, I=0.LJ
Mas, l-r 
-r 2l
. l--+ I I Ir--- v-l=ll 1 ll=3-3a.lK5,tr,'r r rL I l" r _rl
Logo, r e s sãoconcorrentesse,esomeniese, a=1.
b) Da solução do item a), temos qrle r e s são reversas se, e somente se,
a e R-{l).
[x=ú
,,.1r=l+h:heR
[r=r-n
Exercícios resolvidos
l. Um ;aaiele:ípedo ABCDEFCH de base ABCD tem volume igual a 9
uniCaies. Sabendo-se que A(l,l,l), B(2,1,2), C(l,2,2), o vertice E
--+ 
_
per-.r3:lce à r:ta r de equação r: x=-\=2-z e (AE,i) é agudo.
Der::=ine x coordenadas do vertice E.
Sohucão:
-+
Cacr: E pe:3nce à reta r, temos E(t,-t-l-t)eeE =(t-t,-l-t,1-t).
-) -+ il o 'll[É3,AC,AEIl=]l 0 I I ll=13-tl=9.tlIt-t -t-i l-tl
Loil: t=-6 ou t=12.
--) -+ 
- 
-)-
Se :=-6,ei,tão AE=(-1,5,7) e AE-i=-7. Logo (AE,i) é obruso.
Cor,: este ralor de t contradiz uma das iripóteses do nosso exercicio,
-) -)
cons:jeremcs t : 12. Neste caso, AE=(ll,-13,-ll) e AE,i=ll
-+_ -)
ass;::i (AE,i) é agudo. Portanto E =A+ AE =(12,-12,-10).
2. Um quadraco ABCD está sobre o plano a.: x -y +22-1= 0. Sabendo-
se l:: A(1.0,0) e B(0,1,1) são verlices consecutivos. Detennine as
cocri:nadas dos outros dois r'értices.
Soi-ucI o:
-+
De A(1,0,0) e 8(0,1,1) ternos AB=(-1,1,1) e
de a:x-y+22=l temos ío=(1,-1,2).
--+ + 
-)
Como ADIAts e AD I n., ternos:
-) -+AD ,ABx n-_ = f .j, j 0)\ A \?'-'- /'
i^
, 
-,u).t)
§
cs+
=; AB | = 
'ii . Considerando AD "
G \ 
-> (Z*rG jS
,S,ol,r=^+AD=1 , .;t)\-
..6*2.)
-.11.
)l
-/
Podemos observar que considerando õ" = (-*'-*'ol
a- \i
enconlraremos a outra solução do exercício.
l
*r2
)
,0 1.
AIe rn disso, iAD
, (-17
temos: AD=l ""[2/r;
c=B+Ao=ll-1.t)\-
I
I
I
I
I
do plano Í que passa
í*-y*z+l=0t'[z** 
1'-z+2=o'
3. Deterrnine uma equação
contém a reta de equação
pelo ponto P(1,0,1) e
Soluçâo:
Sejam R(-1,0,0) um ponto da reta r e o vetor
vr = (1,1,0)r(0,3,3) = (1,-1,1) x (2,1,-l). Como
o ponto P(i,0,1) não pertence à reta r, temos zu) = (2,0,1) e i', são
vetores LI com representantes em Í. Assirn, uma equação vetorial do
plano a é:
z : (x,y,z) =(1,0,1)+ t (2,0,1)+ h (0,1,1); t,h e IR
,{. Determine uma condição necessária e suficiente para qtle
planoo: Ar + By +Cz+ D =0 seja ortogonal ao plano XOZ.
Sol ução:
Observemos que os vetores J = 1O,t,O; e (A,B,C) sâo normais
planos XOZ e c, respectivamente. Assirn, os planos a e XOZ
ortogonais se, somente se, (4, B, C)' (0,1,0) = 0 . Daí, B : 0.
Obsen'ação: De modo análogo, podemos mostrar que as condiçôes
necessárias e suficientes paÍa que um plano a:Àx+By+Cz+D=0
seja ortogonal ao plano XOY e ao plano YOZ são, respectivamente
C=0 e A=0.
I
um
aos
são
a
t, I
5. Dete;:'line ura equação geral de um plano que conlém a reta
í.. 
-t zr?
s:1 !=,t'- I = 4, é ortogonal ao plano YOZ-l:)
Solurcão:
Obse-'emos que o plano a: y -l =t*-^3 contém a reta s, já que todos,3
os p{f,:ios de s sarisfazem à equação de a. Além disso, cr:3y -z-6 =0
é or.:gonal a plano YOZ (porque? ). Assun, o é o plano procurado.
6. Mos:: que lm plano cr:Âr+By +Cz+ D=0 é paralelo ao eixo OY
se, É xineni? se, é ortogonal ao plano XOZ.
Soliucão:
Sabemos que um plano a e paraielo a uma reta r
se, e somente se, l.. 'Vr = 0. Assim, o plano a e
paralelo ao eixo OY se, e somente se
0=(A,B,C)'(0,1,0)=8. Portanto a condição a
paralelo ao eixo OY é equivalente a a orfogonal
ao plano XOZ.
7. Dad:s os :lanos cr:Ax+{y+12+D=0 e B:6x+8y+Cz-2=0,
det=:,ine as constantes A, C e D tais que:
a) e/a,S) = 
"41b) I plano a seja ortogonal ao plano p : contém o eixo OX.
Sol;:: cã o:
a) lcino i(cr,B) * 0 temos que c. P = Ô. Assirn, os vetores
ã.. =(.\,4,:). frg =(6,8,C) são paraleios e poftanto A=J e C=8.
Tor,=nos Pi1,-1,0) urn ponto do plano $. Sabemos que:
l3'1 +1'(-l)+ 4'0' Dl 
_ 6;ci :,Ê) = ci(P,c) = ffi =141 .
Asi::r. D-11=4l,logo D=-l) ou D=-'10.
v-r
.--.--.}-
^
c
b)Como o plano a, contém o eixo OX temos A=0 e D=0
onogonalidade dos planos a e p ternos:
no . frp = (0,4,4)'(6,8,C) = 32 + 4C= 0.
Logo C=-8.
8. Determine as coordenadas do ponto P1, simétrico de P(1,1,-2) em
relação à reta s: x + I = 1' - I =2.
Solução:
Sejam r a reta perpendicular à'reta s que
passa pelo ponto P e {l}=rns. Entào,
I = (t - I,l + t, t) e podemos considerar
-)Ír=P[=(t-2,t,t+2). Como as retas r e
s são ortogonais temos:
?. . ?, =(t -2,t,t + 2).(l,l,l) =0
--) 
-+ -+ +
Logo, t=0 e PI =(-2,0,2).Como IP, =p1 temos P, =l+IP,.Assím
P, = (-.1,1,0) + (-2,0,2) = (-3,1,2)
Obsen'ação:
O ponto I tambem podería ser determinado
através da interseção da rela s com o plano a
que passa pelo ponto P e é ortogonal à reta s.
Sendoa perpendiculara s temos:
o,: x + )' + z+ D =0.Utilizando o fato de que
P e a, podemos concluir que D = 0.
uma equação da reta r, sirnérrica da reta
; t e IR, em relaçâo ao plano e:x -y+z+ I =0.
I
aro
a
a
9. Determine
[x=l+2t
s:{y=1
l, =tt-
40
t
rDu
a
â
Solurúo:
Obsr:n:mos qrle se S e Q sào ponlos da reta
s en:ão Sr e Qr , simétricos de S e Q,
respeivamente, em relação ao plano a sâo
pontirs ia re:a r-
De ir" . fr o =(2,1,0). (1,-1,1) É 0, temos que s
e : são conÇorrentes' Seja tl)=sna
Entàc, I =(l +2t,t,2) e l+2t-t+2+l=0.
Log:. t =-.1 e 1(-7,4,2). Assim, as equaçÕes pararnétricas da reta
n, nrmrai a 1 e concorrente com a reta s em S(1,0,2) são :
fx=l+t
n:{y=-1
lr=:*t
;telR.
Cors:'Cerando {lr}=nnc'' temos I,=(l+t'-t'2+t) e
1 + : = r + J + t + 1 = 0. Logo, t = -1 e portanto r, = [- 1, j, ;)
+ t t 42) ( +t 4) ( se 2)
Da::. S1 = Ir +si, =t -i,ã,;j.[-],1-1)= [-;';,-;J\JJJl\JJ-a_
Ccr:roI e 51 são pontos distintos derpQdemos considerar V, =aStl '
Âssi:a, uma equação vetoriai de r é :
X = (-'1,4,2) + h(4,5,-2); h e IR.
10. De:ermins, caso exist4 utra reta t que passa pelo ponto P(1,-2'-l) e
ê c;:correetes com as reta§ r e s.
fx=l-1
l
r:lv=2tr 
-3;ÀelR
l-
Sc,'lução l:
Pr;::mos Yerificar que r e
pi:-o c i:terminado Por P
cor.oÍTen:i cotn r. Logo,
c.\-)'+z-1=Q,
s sâo retas reriersas e que Per. Assim, o
e r, contém toda reta que Passa por P e e
a Íeta t\caso esista,'está contida em
íx=h-2
I
e s:jy=l-h ;helR.
[z=h
4l
De Í, .fro 
= 
0 concluímos
que s e a são concorrentes,
seja {Q}=s^ü. Como Qes
temos Q(h - 2,1- h,h) , por
outro lado, a também
penence a q. daí,
h-2-(i-h)+h-2=0.
Consequentemente,
< / r r <\h=i e ai -;,-;,; l. como1 t ! 1 1l
= (1,2,1), podemos escrever:tt =[-i i :) nào é pararero a r,
t:X=P+i-PQ;i.elR
Solução 2:
Consideremos que exista uma reta t que passa por
P e é concorrente com as retas r e s em A e B,
respectivamente.
Assim, A(1"-1,2L-3,t), B(h 
-2,1 -h,h),
--) -+pe=(i,-2,2).-l,i+l) e PB=(h-3,3-h,h+l). Como P, A e B
-) --)
sâo pontos colineares os vetores PA e PB são LD. Daí podemos
escrever:L-2 2i.-l ).+l
lr_3- l-h -h.l)--2 2)--l --)De j= 
--:--: temos À-2=l-2L Logo, )"=1e p4=(-1,1,2).h-3 3-h
-+
Considerando Í', =PA, as equações paramétricas da reta t são:Íx=l-a
Ilv=-2+a:ae lRt'l-- r, a^
Lz - -r f :d
ll. Je:ermíre uma
eixcs OX e 0Y.
Solrucão:
seja:r í ?. reta que queremos
_>
f =' - r,3t-:) eV, =QI=(t,3t -l,t).
equ:a:ão:
que passa pelo ponto Q(2,1,0), é
,t e lR e forma ângulos iguais com os
determinar e {l) = 16 t. Assim
Como G,OX)=(r,OY) temos a
j(0,1,r).(t,3t 
- 
I,r) li
lv, I
equação da
t^lY=/+l"
ta s:1v=3t
l, =,(-
reta
t
conÉ:-:nte 30m a re
lv, I
-11I 
^,.1 
i-- 
^!rt--74
.lLOrS;3eíanCl t = 
-. 
temos2'
j (i,0,c) .(t,3i 
- 
1,r) i
v, // (1,1,1)e r X= (2,1,0) + h(1,1,1) ;h e IR
i) a reta r é perpendicular ao plano o, tem a direção
do vetor ü = (1,2,-l) e P(1,1,-l)pertence à rera r.
ii) os pontos Q e R(-1,0,1)pertecem ao plano a.
iii) s : (0,1,2)
Con,::ce;anir t = 1, re,ros n, // (1,-l,l)er. X = (2,1,0) + h(1,-l,l) ;h e IR.A'{
Ccr::,: rimos o exelcício tem duas soluções.
12 . fa fisun abaixo sabe 
- 
se que:
Í
Det::-ine:
a) r ::a equaçào do plano a.
b) ..'r ;ses61-radas do ponto Q.
c) 
' 
::a equa;ào do plano QRS. \.
d) r ;,rgulo intre os planos QRS e a.
4)
e)
i)
s)
a distância entre as retas r e RS.
uma equação do plano que contém a reta r e é paralelo à reta
1' { =(3,2,0) + h(2,0,-1) ;h e IR
uma equação do plano perpendícular ao plano G, que contém a reta QS'
e I + t + 2(l + 2t)-(-1 - t) + 2 =0.
-)
c) Os vetores QR = (-1,1,1) e QS = {0,2,2) são Li. Logo, podemos
escrever uma equação vetorial do plano QRS como:
X = t(-1,1,1)+ h(0,2,2); t eh e lR .
d)Sabemos que ío =(1,2,-1) e nqns //(-1,1,1) x(0,2,2)=(0,2,-2)'
Assim, cos(QRS,o) =,ft, =§-.roro(QRS,6.) = 30o -
RS = (0,1,2) - (-1,0,1) = (1,1,1) daí,
. Assim, as retas r e s são reversas.
Solução:
a)Como fr.-ll7r=(1,2,-l) temos o'.x+2y-z+d=0' Além disso
R(-1,0,1)e cr, assim d:2. Logo a:x + 2y -z+,2=0.
[x=l+t
b)As equações paramérricas da reta r são r:Jf =l + 2t ;t e IR '
Iz=-l-t
Como {Q}=rnG temos:
Q(l+t,l+2t,-l-t)
Logo, t=-l e Q(0,-1,0).
e) Sabemos que ?, = (1,2,-1),lr z 
-t1
-+ -) I I[v,,RS,QR]=f I I ll=-6[-r r r]
-+ -+
Logo, d(r,Rs1 = lJLx!§EJJ= 
-1 =L
I o' . fr; l(3'-z'-l) I - Jíí
3ú4
a
â
0
Ê
f) Seja p o plano que queremos determinar' Os vetores
' Vi=t ;.2,-l) e üt =(2,0,-1) são LI e têm representantes p , logo uma
equacãc vetor:al do Plano P é:
l{ = P + }'(1,2,-l)+ o(2,0,-l); I e oe iR
g) Os ve:ores i- = (1,2,-l) . {S = iO,Z,r) são LI e têm representantes no
planc cue quffemos determinar. Assim uma equação deste plano é :
X = S+ t (1,2,-l) + h (0,1,1) ;t e h e IR
.4 
-5
Exercícios propostos
01. Escreva uma equação da reta r nos casos a seguir:
a) r passa peloponto P(-2,-1,3) e tem a direção do vetor u =(2'1,1).
b) r passa pelos pontos A(1,3,-l) e B(0,2,3) '
02. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o ponto P perlence à reta r:
a) P(-2,1,1) e r:X =(1,0,0) + h(-1,2,1); h e tR
[x=l-t
t) P(2,-1,-7) e r:'f r=2+3t ; telR\ [z=-5+2t( t \
c) nl z,l,:)e r:x-l=2(y-l=?-
'\2) 3
03. Escreva uma equação do plano cr nos casos a seguir:
a) cr passa pelos pontos A(1,0,2) e B(2,-1,3) e é paralelo ao vetor
? = (0,1,2).
b) a passa pelos pontos A(3,1,-1)eB(i,0,i) e é paralelo ao vetor ô,
sendo C(I,2,1) e D(0,1,0).
c) e passa pelospontos A(1,0,2),8(1,0,3)e C(2,1,3).
04. Verifique em cada um dos itens abaixo se o ponto P dado pertence ao
plano ;r.
a)P(1,-1,0),,r'X= (2,1,3) + h(1,0,i) + t(0,i,0); t eh e IR
b)P(2,1,3), Í:x + y 
- 
2z+ 3 =0.
íx=l-h+t
I
c) P(3,2,2), r:jY=2-h -t ;t,he iR
I[z=l-h
16
05. O ptr:rlo P(2,2,-l) é o pe da perpendicular traçada do ponto Q(5,4,-5) ao
plano ;- DeteÍnine uma equação de n.
06. Dete;aine ur-í vetor normai ao plano:
a) d*eininaio pelos pontos P(-1,0,0),Q(0,1,0) e R(0,0,-t).
b) ce:2.x-y+l=0.
c) qu: passa pelos pontos A(1,0,1) e B(2,2,1) e e paralelo ao velor
C=(l-li\
- ,.., .,. ].
'x=l-t+h
I
d) cr JY=1-t+2h;teheIR
tiz=h
07. Deter.rine as equações dos planos coordenados na forma geral.
1't'+ Y +22=l08. a) 1"-=iirque se P(1,3,-2) pertence a r:{-''
l-**y+32+4=0"
b) Screva uma equação da reta r passa pelo ponto P(1,1,1) e tem e
direção
fx=t+2t
de '-:rx vetcrnormal ao plano a:ll =2- t +3h; teh elR.
lz=t-h
09. Deta:::rine a equação geral do plano B paralelo ao planoí-. 
-t , r- , 'r.I À - I Í rt r ír
o: { i'=l+lh+t;hetelR e que
I
I - = it
a) p-sa pelo ponto P(3,2,0);
b) p=sa pela origern do sisterna de coordenadas.
i0. Dete::::,ine una equação do plano n:
a) cir: contén o eixo OX e passa pelo ponio P(5,-2.1).
b) q',: passa pelo ponto P(-2,1,3)__ e e perpendicular à reta
r '{ = (.I,0.i) + h(1,-3,2);h e IR .
12. Determine o valor de a para que as retas r e s sejam concorrentes e ache
o ponto de interseção, sendo:
I l. Verifique se as retas r e
lx-2v+z=0
a) r:l
' [3* +y-z+l=0
íx=l+hI x-4 2-v z-2
c) r:J)'=2-3h;helR es'. 
, 
= 6 =-2
lz=h
c) r:X=(1,2,3
lx=2t
,,],=:
l. --, * o,
s nos casos a seguir são coPlanares:
e s:X=(1,0,1)+h(3,-I,l); he IR
e s: X = (1,-2,2)+ h (0,1,3) ; h e IR
* 
-l . -)bl r...'..-=Yt!=-
')'3
xvz
2 3 a
[x=3h-l
s:lr=2h-5;helR..
[z=h
13. Determine, se possível, uma equação geral do plano determinado pelas
retas r e s, nos casos a seguir:
a). r:X = (1,2,0) + h (-1,2,3);h e lR
=,*-l =y-2 =_z23
b) r:X = (-1,2,1) + h (1,2,-l);h e IR
s' X = (2,5,-2)+ t (-2,4,2); t e lR
)+h(1,0,2);helR
;teIR
rD
t
o
I
14. Se-iam c,:2x + By + z+ I = 0,9:x + y + ? +D =0,
e : : x-, = -' ;' ' = 
3. Determine, se possível:
;helR
a) 3, ial que fl e Ê sejam paralelos.
b) 3, tal que c e p sejam pelpendiculares.
c) ),talque rcp
d) 
-! tal que Í e s sejam coplanares.
15. Considere os pontos P(4, a,.{) e Q(0,3b + 8, b), as retas
)-a,
r::. 
-1=- r =z
3
e s:X=Q+t(1,0,2);teIR eosplanos 7r1 :rrlx*2y+(m +3)z-l=0 e
n"r :X = t(1,-3,1) + h(2,-3,1); t e h e IR. Determine, se possível:
a) a, de modo que a reta paralela à reta s que passa pelo ponto P seja
-!'elsa com a reta r.
b) b e m, c'e modo que a reta s seja paralela ao plano ir1.
c) a, de modo que os planos ic1 e Í2 sejam concorrentes se_eundo a reta r.
16. a) Determine uma equação da reta s que passa pela origem do sistema de
cocrdenadas, é paralela ao plano ir:3x-2y +z-2=0 e intercepta a reta
tr:,
r:r 
-l =!-!-a=7j
b) 
-âche uma equação do plano o que passa pelo ponto P(2,1,3), é paralelo
à rsa rX=(1,2,3)+h(I,2,-l);helR, e é pelpendicular ao plano
,c::ã-y+22-4=0.
17. Co:sidere as retas r e t, tais que:
Íx-v+32-5=0(i ) ;passap€lo ponto P(3,1,-l) e eparalela àreta s:{^f3x+2y-z+2=0'(ii) t passa pela origem do sístema de coordenadãs e seu vetor direção tem
âng=ics direlores íguais.
De:::minc:
a) 
- 
equações simétricas de r. \
b) 
= 
equaçÕes parametricas de t.
lx=l+h
s:ly=5
Iz=e
18. Dado o plano r:X=(0,0,1)+h(1,-1,-l)+t(-1,-2,-4);h,telR e a reta
AB, sendo A(0,0,0) e B(l,l,l), determine uma equação do plano a que
passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano ;r e é paralelo ao plano
P:x-3=0.
19. a) Determine o simétrico de P(2,1,3) em relaçào:
(i) ao ponto Q(3,-1,1).
fx=l-2t
(ii)àrera r']y=t ;telR.
[z=2+t
(iii) ao plano 2.t 
-2y'+32=2.
] b) Encontre uma equação da reta s simétrica da reta
t:x 
-2 - y-l = z-3, em relação ao plano do item a(iii).
20. Determine o ângulo das retas s'X = (1,0,0) + h(2,1,-1);h e IR e
x-l)'
21. Determine o ângulo da reta r:x=-y=z com o plano o, nos casos a
seguir:
[x=l+2h-t
a) a:2x 
-y-z-l=0; b) cr:Jy=h+t ;h,t€.IR.
lz= 4 -2t
22. Determine o ângulo dos planos:
a) a:x+y-22=0 e Ê:-2x+y+32-2=A;
[x=2-hb) a:{y=1+2t ;h,telR e p:-2x +y+32-2=a.
I
lz=2h-3t
23. Determine uma equação da reta s quepâssa por P(1,0,1) e intercepta a retâ
r:x = y = z*7, formando um ângulo de |rd.J
2 {. Dete-rin" ,,11- ::T:::r::"ã:T ". 
t1'":pT:t'""i:'i'/';'á I sendo o
perPencir:niar 
.1t ll^1". 
= 
o.
piano P 3x-Y-!z+)
25. Co-idere o plano a 
determinado pelo ponto 
P(l'2'O) (" i;ij-j;t"
x 
-l 
- 
- =4, calcule o ângulo que 
a forma com a reta 
ttl* 
* n' = 0
j'J
íx =z+lt'1, 
= 2z-2'
,2,-l)+h(3,?'-l)+t(1'1'0);h't 
eIR e o'ponto
26. Ca,cule a cistância 
entre:
a) : PontoP(0'0'2) e areta
b .t o Plano zr: X = (1
=. 
r 1 
-3).
x-1 
_ 1-rt=z-3 es
:) as Íetas r t-T- - - i
{x-2l-----= L:{ 5
[y=z-1
v-1 z-Z
h elR e sl 'l'-'r - 2 1
:2x-Y -z-1=a'
d) as re:as r X = 0'0'O) + h(-2'4'2);
e)aÍeta r:x=-y =z a o plano 
r
2:'"l r;:"-::;:x,:";ãff:',t:L";'3 
" ', 
pararelos ao prano
;r;:;" urra equação do lugar 
geornétrico dos pontos 
equidistantes
de: (il A(1y',2)eB(7,1,-5) (iü A(1'2'1)' 
B(l'4'3) e c(3'2'l)
c) Dados os Pontos A(2''l'3)''(''-ll'T .:J:::"*i;l 13Í; i; I ;
deteÍrnine urna equação l"^t:t" 
r conttda
;'t;;;;;t" dos Pontos 
A e H'
5l
28. De um triângulo ABC temos as seguintes informações.
[x=l+t(i) A(1,2,-3) (ii)BeCsào ponrosdarera r:1y=t ;te IR.
[z = I - t
Determine a altura do triângulo ABC relativa à base BC.
29. Considere c:2x+ 3y-z+l =0, P(1,-4,5) e sr{* =]'*' .
lz=3
Determine, justifi cando:
a)d(P,s) b) d(P, a)
J c) uma equação da reta m que satisfaz às três condiçôes:
(i) d(P,m) = 0 (ii) d(m,s) = 0 (iii) d(m, q.): d(P, q.).
30. Da figura ao lado sabemos que:
(i) os planos cr. e r:x-z=0 são
perpendiculares.
(ii) A(0,2,-l) e B(-1,3,-l).
(iii) C e D são pontos de n.
Determine:
a) Uma equação do plano a.
b) As equações paramétricas da reta
r interseção dos planos cr e 7r .
c)' Uma equação do plano B que passa por A e é paralelo a z.
d) A altura do telraedro ABCD relativa à base BCD.
e) As coordenadas do ponto E, sabendo que o triângulo ABE é equilátero
e r contém a altura deste riângulo relativa ao vértice B.
31. Do paralelepípedo dado a seguir sabe-se que:
(i) Oplano ABC:x +y 
-z+6=0 eâ reta DG:X=r(1,2,-3), r€IR.(ii) O plano ABF é perpendicular ao plano ABC e
F = (0,2,0).
Determine:
a) As equaçôes simerricas da reta AF.
b) As equações parametricas do plano ABF.
c) As coordenadas do ponto D.
d) Uma equaçâo geral do plano EFG.
52
ff 32. Ds::;ine o volume da pirâmide delimitada pelos planos coordenados e
peic :iano 3x 
-2y + 1z=20 .
33. Es;;e"'a es equações de uma reta t paralela aos planos a e P' e
conÉ3Eante com as retas r e s, considerando:
c::x + y 
-z+7=0 B:x+3y +22-2=0
r: l{=(1,2,1)+h(1,0,2); h eiR s'X=(2,3,-2)+I(l'-2,3); I'eiR
34. S,=-ia í a reta interseção dos plaros cl:ax+by+cz+d=0 e
p:ar+b,1-+c1z+d,=0. Mostre que a equação
a-x 
-.5;' + cz+ d + t(a,x + b1y + c,z+ dr)=0, Í e iR, representa a familia
dos pianos que contém a relaí, com exceção do plano p. Esta familia e
cha:::ada de feixe de planos de eixo r.
35. S,:-'a r a reta interseção dos planos cl:x+y+z-11=0 e
B : ::: --1y + iz-10 =0. Determine a equação do plano que contém a reta r,
a) 
-:assa pelo ponto A(3,-1,4).
b) é paralelo ao plano 9x - 21y + i3z + 1 = 0.
c' :ista 3 unidades da origern do sistelna de coordenadas.
d'i áperperdicularaa.
e; áParaieloàreta x =-I=-r.
2
fi ã paraleio ao eixo ox.
Respostas
01. a' r:(x,y',2)=(-2,-l,i)+ t(2,1,1); te lR
_,1
'c r:x-l=Y-J=t*,' t lq\''.+4 
. T;r4
02. a P:r b) Per c) hçr
r. -- Ávr- t
L.-r*/h
oo
$
t'
- 
v-1 z+l
l7. a) r: r -j ==-; =-
-! -l
[x=h
b) t:.lr=h
[z=h
;h e IR.
18.
r9.
g:'{X i3 = 0
a) r-:) P'(a,-3,-l) (ii) P'(0,-1,1) (iii)
b) s :X =(-1,-2,0) + h(I5,87,-3) ;h e IR
(r,s' = 0o
^í 2s3
" [- l, 'ú' *)
20.
21. a) r.:.a)=2pr*(#) b) (r,a) =,""[,8)
s- t< =(r,0,1) +h(J1,t + Jl,-s + J1); h e IR e
s' : tr = (1,0,1) + |-Jl,t- J-2, 4 - J1); t e IR'
et-. z-l=0 e crr:4Y -32-l=0'
25. (a.s)=arcsen(#)
23.
t{
1s 32
26. a) o'?,r) =,:1 b) d(P,r) = Q c) d(r,s) =lõ.
;.ii
d) :-;. s) = -J - e) d(r, ;r) = 0 .
77. a) :.1:]x 
-2y' -z+12=0 e 7 :2x-2y-z-18=0' Ír = 2b) iiPlano ;r:6x+ 5y-12-27 =0' (ii)Reta t'1.,-r-1-z
lI L-- '
í2x 
-v +22-3=0 \
c) ::{
It-l'-z-l=0
i
o
a) a:(x, y,z)=(1,0,2)+ t (1,-1,1)+ h (0,1,2);tehe IR
b) a:3x 
-4"v +z-4=0.
lx=l+t
Ic)a:Jv=t ;tehelR
[z=2+t+h
a)Per b)Pen c)Pe:r
a:3x + 2y 
- 
4z 
- 
l4 = 0 .
a) (1,-1,1) b) (2,-1,0) c) (2,-1,-l) d) (1,1,-3)
planoOXY: z=0; planoOXZ: y=0; planoOYZ: x=0-
fx=l+2t
a) Per b) r:jy=l+t ;tEIR.
lz=l-3t
a) 2x-y-z-4=0 b) 2x-!-z=0.
a) z:X=t(1,0,0)+h(5,-2,1); t e heiR ou 7r: y+22=0.
b) z:x 
-3y+22-l=0.
?) Não b) Sim c) Sim
a = 1, I(2,-3,1) .
a) a:-lix+5y-'72+l=0 b)B:x*z=0 c)y:-2x+z-l=0
,\
a) B=2 b) B=-; c) D=l d) A=-2
a) a*-4 b) m =-, 
" 
O *-+
5
c) | mefntalquen, í\Ír, =ç
a) s:X=t(,,T,í);herR b) u:-x+y+ z-2=o
03.
01.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
I l.
t?.
13.
14.
15.
16.
28.h=lJ1 u'c
'ro a) d(P,s)=2ú
'í 
.* =(i,-4,s) + t(?'-3'5); t e IR '
30.a)o:x+Y+z-l=0 b)
b) d(P'o) = JIJ
;heIR. c) P:x-z-l=0
ü
s
c)
Ix=-i+h
r:lv=3-2h
[z=-1+h
[x=t+h
b) plano ,+nr: { y =2 +2t +h
' iz=-3t-h
Plano EFG :x + Y - z'2=0 '
5ó
I
t
t1
d) h=; e) E(-1,2,0) '
,t,helR.
_ 
y-2_z
3l.a)reta A}:x=- t-- 
-l
c)D=(-1,-2'3)' d)
100r, V=--U.V.
J
33. t:X=(4,-1,4) + h(1,-1'1) ; h eIR'
34. Se r é a reta interseção Uo.' OYt 
oiâ'tr:by+cz+d=0 e
'p', 
u, i I b r v 1 ;, . .,;,"ji[ffi,;;;J I:: :f ":::H ü 1]'iT i:T :
ou seja, se P(xs,Yo'z:1 ; ;;,:; ;;,* ri*o,ro,z6 ) satistaz.à .ouu:::^^^^ârxo * blys + c,zo + {, =u, "^:':j:', .,=';:'1;nJ.' 
"r,, 
última equação
a-x + bY + cz+ d* t1 ui* + bty + crz 
+-dr)=Q ' -'6-'
,.Or.rá," um Plano que contém a reta 
r'
Por outro lado, seja 1:ãx+by+ez+-1;:.*"* 
nt'no distinto de 
p e que
contém a reta r' Vamos mostÍar que 
existe um t0 € IR ' tal 
que uma equação
do planolé ar- o';;;; d+ to(a'x + b'v 
+ çtz+d1)=0
Então, se r está contida em 
y as condições seguintes devem ser satisfeitas:
(i) í, ' V, = 0 (ii) Todo ponto P de r 
pertence a 1'
Como r é a interseçâo de c e B, lemos que Vr=froxfrp, dai,
17'(ilo x ig)=0. Ou seja, [Rr,fr",frn]=0. Logo, os vetores frr,io e hpsão
coplanar=s' como fro e frp sâo rinearmente independentes, exisrem escarares
t1 e t2,:is que i, =tyfro +t2 frp. Observe que como 7 e p sâo distintos, l1
nào poCe ser ig:al a zero. Assim, podemos escrever: fr, =fr.. **0, .
I
Fazendo lo =L, te,ros n7 =(ã,b,õ)=(a+tra,,b+tob,,c+toc,). Entãorl
uma equar:ãc do plano 7 e :
(a + toa,)x + (b + tob,)y + (c+ rocr)z+ ã' = 0.Utilizancc a coni;çào (ii), seja p(xo,yo,zo) um ponto de r, enrão temos:
(a 
=toa,)x6 +(b+tob,)ys +(c + toc,)zs +ã= 0
Daí, ã= (-exo 
- 
lyo 
-czo) + to(-a,xo - brxo - clzo) = d + tod,
Portanto,
y: ax + by + cz+ d + to(a,x + b,y + c1z+ d,) =0.
35. a) 2-x 
-3y = t2z-237 =0
c) 2.x 
-3y+62-21=0 ou
d) x 
-!.íy+i3z-8=0
e) 3:--?y+iz-32=0
b) 3x 
- 
7y +1lz-31 =0
92x+327y-962-1059=0
D5y-42-l=0.
57
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f: x 
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x 
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(-2,-1,3) + \(9, r,r)
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