Estudo de Cálculo Vetorial

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Abedenago Nillo da Silva Filho / Ana Paula Arantes Lima
Introdução
Ao longo deste capítulo você aprenderá assuntos importantes e que serão
necessários no estudo do Cálculo Vetorial. Eles correspondem ao estudo da
reta e do plano em uma abordagem vetorial. Mais precisamente, utilizaremos
a reta e o plano para a determinação de intervalos de integração, que são
necessários para a resolução de integrais múltiplas, conteúdo que será abor-
dado no módulo referente ao Cálculo 4.
Neste contexto, serão desenvolvidas habilidades para a identificação dos dife-
rentes tipos de equações e, ainda, os recursos que são utilizados para deter-
minar essas equações, como ponto, vetores e suas posições. Outro elemento
que será abordado neste capítulo são as parametrizações de segmentos, que
permitirão mais tarde o cálculo de integrais curvilíneas ou, melhor dizendo,
integrais de linha.
Salientamos a importância no conhecimento dos vetores, especialmente
nos conceitos relativos à perpendicularidade entre vetores e suas respec-
tivas propriedades. Será importante também a determinação de vetores a
partir de dois pontos. O desenvolvimento dos conhecimentos abordados
neste capítulo foi estruturado de tal forma que os exemplos e as atividades
obedecem a uma ordem criteriosa em relação ao nível de dificuldade, em
que uma atividade só será bem desenvolvida caso você tenha feito as ati-
vidades anteriores.
Objetivos
Ao final dos estudos propostos neste capítulo, você deverá ser capaz de:
• reconhecer a equação de uma reta;
• determinar a equação de uma reta, conhecendo um ponto e um vetor
paralelo à reta; dois pontos da reta;
Retas e planos em uma
perspectiva vetorial
Capítulo
3
90 UNIUBE
• reconhecer a equação de um plano;
• determinar a equação de um plano, conhecendo um ponto do plano e
um vetor ortogonal a ele; três pontos não colineares do plano; duas retas
paralelas e distintas do plano e duas retas concorrentes do plano.
Esquema
3.1 Reta
3.1.1 Equação paramétrica da reta
3.1.2 Equação de uma reta definida por dois pontos
3.1.3 Equação do segmento de reta
3.1.4 Equações simétricas da reta
3.1.5 Equações reduzidas de uma reta
3.1.6 Ângulo formado por duas retas
3.1.7 Retas ortogonais
3.1.8 Posição relativa entre duas retas
3.1.9 Interseção entre duas retas
3.2 O plano
3.2.1 Ângulo formado por dois planos
3.2.2 Condição de paralelismo entre planos
3.2.3 Condição de perpendicularismo entre planos
3.2.4 Ângulo formado por uma reta e um plano
3.2.5 Reta contida em um plano
3.2.6 Interseção entre dois planos
3.2.7 Interseção entre reta e plano
3.2.8 Equação paramétrica do plano
3.1 Reta
O conceito de reta, tal qual conhecemos da geometria plana estudada na educação
básica, não será alterado aqui, apenas acrescentaremos alguns novos conhecimentos.
Do ponto de vista da geometria analítica podemos representar uma reta algebricamente,
definindo com exatidão sua localização, interseções com eixos e/ou planos. É possí-
vel, ainda, com base na geometria analítica, determinar se duas retas são paralelas,
concorrentes e/ou reversas. Essa nova forma de representar uma reta vai depender do
conhecimento de um ponto pertencente a ela e de um vetor que seja paralelo a ela.
Para iniciarmos esse estudo, considere um ponto A(x0, y0, z0) e um vetor ( , , )v a b c=

,
tal que 0v ≠
 
. Existe uma única reta que contém o ponto A e tem a mesma direção
UNIUBE 91
do vetor v

. Então, qualquer ponto pertencente a essa reta, designado por P(x, y, z),
arbitrariamente, define um vetor AP

, paralelo ao vetor v

.
Como já vimos em estudos anteriores, se dois vetores são paralelos, o primeiro vetor
é o produto do segundo por uma constante. Logo:
.AP t v=
 
, onde t é a constante de proporcionalidade que chamaremos de parâmetro.
(x,y,z) - (x0,y0,z0) = t.(a,b,c). Desta igualdade extraímos a equação vetorial da reta
(x,y,z) = (x0,y0,z0) + t.(a,b,c).
Observe a seguir na Figura 1, a representação da equação vetorial da reta:
Figura 1: Representação geométrica da
equação vetorial da reta.
IMPORTANTE!
O vetor v

é o vetor diretor da reta.
EXEMPLIFICANDO!
Seja dado o ponto A (-1,0,3) e o vetor v

=(1,-2,5), determine a equação vetorial da reta que
passa por A e tem a direção do vetor v

.
92 UNIUBE
Resolução:
Existem infinitos pontos na reta, do tipo ( , , )P x y z , que definem comA um vetor AP

paralelo
a v

. Desta forma, tomando como base a equação da reta ( ) ( ) ( )0 0 0, , , , , ,x y z x y z t a b c= + ,
teremos o ( )1,0,3A − como ponto inicial e ( )1, 2,5v −

como vetor direto da reta. Para se
encontrar a equação basta fazer a substituição:
( ) ( ) ( ), , 1,0,3 1, 2,5x y z t= − + − .
3.1.1 Equação paramétrica da reta
A partir da equação vetorial da reta (r), podemos, facilmente, obter a equação paramé-
trica dessa reta. Note que, na equação, temos a multiplicação do parâmetro t por um
vetor. Realizando a propriedade distributiva teremos:
( ) ( ) ( )0 0 0, , , , , ,x y z x y z at bt ct= + .
Em seguida iremos realizar a adição de vetores:
( ) ( )0 0 0, , , ,x y z x at y bt z ct= + + + .
E, para finalizar, temos uma igualdade:
0
0
.
: .
.
ox x a t
r y y b t
z z c t
= +
 = +
 = +
.
Acompanhe com atenção, o exemplo a seguir.
EXEMPLIFICANDO!
Escreva a equação paramétrica da reta (r) que passa pelo ponto A(1,-2,3) e é paralela ao
vetor v

=(1,0,5).
UNIUBE 93
Resolução:
Como r é paralela a v

, então, v

é um vetor diretor de r. Você pode partir da equação vetorial
para a encontrar a equação paramétrica ou simplesmente substituir o ponto inicial e o vetor
diretor na equação que determinamos acima. Iremos realizar das duas formas, e você escolhe
a que melhor se adequar, isto é, se o exercício não indicar se é para representar a vetorial
ou a paramétrica.
1) Neste desenvolvimento iremos partir da equação vetorial:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0, , , , , ,
, , 1, 2,3 1,0,5
, , 1 , 2,3 5
x y z x y z t a b c
x y z t
x y z t t
= +
= − +
= + − + .
PARADA OBRIGATÓRIA
Se você tiver dúvidas, volte ao capítulo “Introdução aos vetores” e recorde como multiplicar
uma constante por um vetor e também como realizar a soma entre dois vetores.
Como temos uma igualdade, as equações paramétricas ficarão da seguinte forma:
1
2
3 5
x t
y
z t
= +
=
= +
.
.
.
2) Agora, utilizaremos diretamente a substituição do ponto inicial e do vetor diretor nas equa-
ções paramétricas:
0
0
0
1
: : 2
3 5
x x at x t
r y y bt r y
z z ct z t
= + = + 
 = + ⇒ = 
 = + = + 
.
94 UNIUBE
3.1.2 Equação de uma reta defnida por dois pontos
A partir de dois pontos A e B podemos determinar um vetor AB

(Figura 2). Se uma
reta passa pelos pontos A(x0,y0,z0) e B(x1,y1,z1), então ela passa por A ou por B e tem
a direção do vetor AB

. Além disso, a reta é paralela ao vetor. Neste caso, o vetor AB

é um vetor diretor da reta.
Figura 2: Representação geométrica da equação
de uma reta definida por dois pontos.
IMPORTANTE!
Dependendo da ordem com que tomamos os pontos para a determinação do vetor diretor,
podemos obter representações algébricas diferentes para uma mesma reta. Logicamente
essas equações irão conduzir aos mesmos pontos da reta independentemente da ordem
escolhida. É comum que livros adotem a ordem alfabética usada nos pontos que formam o
vetor diretor da reta. O importante é que você saiba que as diferentes representações algé-
bricas são destinadas a uma mesma reta e que não existe um critério estabelecido quanto a
determinação do vetor diretor.
EXEMPLIFICANDO!
Determine a equação da reta definida pelos pontos A(-1,2,-6) e B(-1,0,-3).
Resolução:
Desta forma, o vetor diretor v

será representado por AB

.
AB

=(-2,2,-6).
UNIUBE 95
A equação da reta pode ser escrita utilizando A ou B como ponto inicial. Nesse exemplo não
temos especificação do tipo de equação (paramétrica ou vetorial). O que podemos fazer para
resolver? Podemos resolver com qualquer uma das duas equações já aprendidas:
1) Equação vetorial:Considerando o ponto A como inicial:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0, , , , , ,
, , 1, 2,3 2,2, 6
x y z x y z t a b c
x y z t
= +
= − + − − .
2) Equações paramétricas:
Considerando o ponto A como inicial:
1 2
: 2 2
3 6
x t
r y t
z t
= −
 = − +
 = −
.
1 2
: 2 2
3 6
x t
r y t
z t
= −
 = − +
 = −
ou
1 2
2
3 6
x t
y t
z t
= − −
 =
 = − −
.
IMPORTANTE!
Para cada valor tomado para t que seja substituído na equação vetorial ou na equação para-
métrica, estaremos determinando um ponto da reta. Como os valores de t são infinitos, então
infinitos serão os pontos da reta. Dessa forma, percebemos que as ideias abordadas no estudo
da geometria plana são totalmente associadas com essa abordagem analítica.
3.1.3 Equação do segmento de reta
Qualquer segmento de reta no plano ou no espaço pode ser parametrizado, permitindo,
assim, uma representação algébrica.Aequação do segmento de reta que liga os pontos
A(x0, y0, z0) e B(x1, y1, z1) pode ser obtida a partir da equação da reta AB

, utilizando
96 UNIUBE
o ponto A e o vetor AB

, limitando o parâmetro t ao intervalo 0 1t≤ ≤ . Dessa forma,
temos:
0
0
0
:
x x at
AB y y bt
z z ct
= +
 = +
 = +
, com 0 1t≤ ≤ .
Note que a equação será a mesma de uma reta definida por dois pontos. A única dife-
rença que existirá é a delimitação do parâmetro (0 1t≤ ≤ ).
Representações paramétricas de segmentos são fundamentais para a resolução de
integrais de linha.
EXEMPLIFICANDO!
Determine a equação do segmento de reta que liga os pontos A(1,-2,3) e B (-1,0-,3).
Resolução:
Como temos dois pontos, o vetor diretor será representado por AB

.
AB

= (-2,2,-6).
1 2
: 2 2
3 6
x t
AB y t
z t
= −
 = − +
 = −
, com 0 1t≤ ≤ .
IMPORTANTE!
Lembre-se que, para determinarmos pontos pertencentes a uma reta, conhecida a equação
paramétrica desta reta, basta atribuirmos valores reais ao parâmetro(t). Para o segmento
AB , o parâmetro (t = 0) determina o ponto A e t = 1 determina B. Qualquer valor entre 0 e 1
determina um ponto qualquer entre A e B no segmento em questão. Acompanhe a verificação
a seguir.
UNIUBE 97
No exemplo anterior foram utilizados como extremos do segmento de reta os pontos
A e B. Desta forma, vamos substituir na equação que determinamos com estes dois
pontos t = 0 e t = 1:
1) Para t = 0:
1 2 1 2(0) 1
: 2 2 : 2 2(0) : 2
3 6 3 6(0) 3
x t x x
r y t r y r y
z t z z
= − = − =  
  = − + ⇒ = − + ⇒ = −  
  = − = − =  
.
2) Para t = 1:
1 2 1 2(1) 1
üüüüü
3 6 3 6(1) 3
x t x x
r y t r y r y
z t z z
= −  = − = − 
  = − + ⇒ = − + ⇒ =  
  = − = − = − 
.
Note que realmente quando substituímos por estes parâmetros, t = 0 e t = 1, determi-
namos os pontos extremos no segmento de reta.
3.1.4 Equações simétricas da reta
PESQUISANDO
Você sabe o que significa a palavra simetria?Antes de iniciar a leitura do tópico das equações
simétricas da reta, procure entender o que é simetria. Faça uma associação entre a palavra
simetria e as equações simétricas da reta.
Para encontrarmos as equações simétricas de uma reta, basta isolar o parâmetro em
cada uma das equações paramétricas. Em seguida, promovemos as igualdades entre
essas equações de mesmo parâmetro. Veja:
0
0
0
:
x x at
r y y bt
z z ct
= +
 = +
 = +
.
0 0 0; ;x x at y y bt z z ct− = − = − = .
98 UNIUBE
Isolando o parâmetro t em cada uma das equações teremos:
0x x
t
a
−
= ; 0y y
t
b
−
= ; 0z z
t
c
−
= , com a, b e c não nulos.
Desta forma teremos que igualar as equações, pois quando determinamos um ponto
sobre a reta, atribuímos um valor arbitrário para t, de modo que, para determinar este
ponto, substituímos t por um mesmo valor para as variáveis x, y e z.
.
IMPORTANTE!
Não se esqueça de que ( , , )a b c representa o vetor direto, e ( )0 0 0, ,x y z o ponto inicial.
EXEMPLIFICANDO!
1) Dada a reta “r” de equações:
3
: 1
5
x t
r y t
z t
= − +
 = −
 =
, escreva as suas equações simétricas.
Resolução:
Primeiro, vamos isolar o parâmetro t em cada uma das equações.
3 3
1
1
1
5
5
x t t x
y
y t t
z
z t t
= − + ⇒ = +
+
= − ⇒ =
−
= ⇒ = .
Logo, a equação simétrica é:
1
3
1 5
y z
x
+
+ = =
−
.
Note que os fatores das variáveis x, y e z têm que ser iguais a 1. Por isso fizemos
1
1
y +
−
, e
não 1y− − .
UNIUBE 99
2) Determine a equação simétrica da reta (r) que passa pelo ponto (-1,1,3) e é paralela à reta
s: (x,y,z) = (2,1,0) + (-3,2,1)t.
Resolução:
Se as retas r e s são paralelas, então podemos afirmar que elas têm mesmo vetor diretor,
ou seja:
( 3, 2,1)= = −
 
r sv v . Portanto, para determinar a equação da reta r na forma simétrica, vamos
substituir ( , , )a b c pelo vetor que determinarmos ( 3, 2,1)− e, no enunciado, como nos foi
fornecido o ponto inicial, iremos substituir ( )0 0 0, ,x y z por ( 1,1,3)− .
( 1) 1 3
3 2 1
x y z− − − −
= =
−
portanto r :
x +1
–3
=
y –1
2
= z – 3 .
3.1.5 Equações reduzidas de uma reta
As equações reduzidas de uma reta podem ser:
• Reduzidas na variável x
Para obtê-las, basta isolarmos y e z em função de x nas equações simétricas.
• Reduzidas na variável y
Para obtê-las, basta isolarmos x e z em função de y nas equações simétricas.
• Reduzidas na variável z
Para obtê-las, basta isolarmos x e y em função de z nas equações simétricas.
EXEMPLIFICANDO!
Dada a equação
3 1
1 1 5
x y z+ −
= =
−
, determine as suas equações reduzidas na variável x.
Resolução:
Como as equações estão em função de x, teremos:
100 UNIUBE
1) y em função de x:
1 3
1 1
y x− +
=
−
1 3 2y x y x− = − − ⇒ = − − .
2) z em função de x:
3
5 15
5 1
z x
z x
+
= ⇒ = − −
−
.
Então, as equações reduzidas em x são:
2
:
5 15
y x
r
z x
= − −
 = − −
.
PARADA PARA REFLEXÃO
Podemos determinar o vetor diretor desta reta. Você sabe como?
Como as equações estão reduzidas em função de x, vamos isolar o x em cada um delas:
1)
2
2
2
y x
y x
x y
= − −
+ = −
= − −
2)
5 15
5 15
15
5
z x
x z
z
x
= − −
= − −
− −
=
Nossa intenção é determinar as equações simétricas, para isso sabemos que o valor de x
da primeira equação é o mesmo da segunda equação, dessa forma podemos igualar:
15
2
5
z
x y
− −
= − − = .
Note que as variáveis y e z são negativas. Como isso não pode acontecer, precisamos
deixá-las iguais a 1:
2 15
1 5
y z
x
+ +
= =
− −
.
UNIUBE 101
Assim, o vetor diretor (1, 1, 5)rv = − −

.
Também podemos determinar o vetor diretor observando as constantes que acompa-
nham as variáveis, como a equação é reduzida na variável x, teremos que a = 1 (porque
a equação é reduzida na variável x), b = –1 (termo que acompanha a variável x na
equação de y) e c = –5 (termo que acompanha a variável x na equação z).
2
: (1, 1, 5)
5 15
r
y x
r v
z x
= − −
⇒ = − − = − −

.
3.1.6 Ângulo formado por duas retas
DICAS
Você já aprendeu sobre os vetores diretores. Se estiver sentindo dificuldade, volte ao capítulo
“Os produtos entre os vetores” e faça uma revisão dos conceitos abordados.
Conforme já vimos, as retas têmadireção dos seus vetores diretores. Portanto, o ângulo for-
mado por duas retas é o mesmo formado pelos seus vetores diretores (Figura 3). Então:
| |
cos
| | . | |
r s
r s
v v
v v
θ ⋅
=
 
  , em que rv

é o vetor diretor da reta “r”, sv

é o vetor diretor da reta
s e θ é o ângulo formado por “r” e “s”.
Observação:
Note que, para a obtenção do ângulo θ, nós utilizamos omódulo do produto escalar de rv

por sv

, ( | | )r sv v⋅
 
. Isso ocorreu porque, diferentemente do ângulo entre vetores, o ângulo
entre duas retas que nos interessa está sempre entre 0° e 90°, inclusive. Ou seja:
Figura 3: Representação do ângulo entre duas retas.
Fonte:Winterle (2000, p. 114).
0 90θ≤ ≤ °
102 UNIUBE
EXEMPLIFICANDO!
Determine o ângulo θ entre as retas:
r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t(-2,0,5) e se 3x = − ;
1 3
2 3
y z+ −
=
−
.
Resolução:
Das equações de “r” e “s”, tiramos os vetores diretores de “r” e “s”, que são: ( 2,0,5)rv =−

e (0, 2, 3)sv = −

, respectivamente. Logo:
2 2 2 2 2 2
| | | ( 2,0,5) (0, 2, 3) |
cos
| | . | | ( 2) 0 5 . 0 2 ( 3)
r s
r s
v v
v v
θ ⋅ − ⋅ −
= =
− + + + + −
 
 
| 15 |
cos
29. 13
θ −
=
15
arccos
377
θ  =  
 
.
3.1.7 Retas ortogonais
Para fazermos qualquer operação com as retas, utilizaremos os vetores. Já vimos a
condição para dois vetores serem considerados ortogonais, mas, se você não se lem-
brar, consulte nos capítulos anteriores a parte referente a produto escalar.
Se duas retas “r” e “s”, por exemplo, são ortogonais, então, o ângulo entre elas é
90θ = ° . Assim:
0r sv v⋅ =
 
, condição de ortogonalidade.
UNIUBE 103
EXEMPLIFICANDO!
Determine o valor de “m” para que as retas r: (x,y,z) = (0,-1,3) + t (1,m,5) e
2
1 3
:
2 3
x y z
s
m
+ −
= =
−sejam ortogonais.
Resolução:
2(1, ,5) , ( , 2, 3)r sv m v m= = −
 
. 0r sr s v v⊥ ⇒ =
 
2(1, ,5) ( , 2, 3) 0m m⋅ − =
2 2 15 0m m+ − =
2 4 4.1.( 15)
2
2 8
2
' 5 ; '' 3
{ 5,3}
m
m
m m
S
− ± − −
=
− ±
=
= − =
= − .
3.1.7.1 Reta ortogonal a outras retas
Sejam r, s e u três retas. Se “r” é ortogonal tanto a “s” quanto a “u”, então podemos
afirmar que r uv v⊥
 
¨.
Logo:
0
0
r s
r u
v v
v v
 ⋅ =

⋅ =
 
  , ou então r s uv v v= ⋅
  
¨.
104 UNIUBE
EXEMPLIFICANDO!
Encontre a equação da reta “r”, sabendo que ela passa pelo ponto P(-1,2,3) e é, simultanea-
mente, ortogonal a s:(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-2,0,5) e a
1 3
: 3 ;
2 3
y z
u x
+ −
= − =
−
.
Resolução:
Como a reta r é ortogonal às retas s e u ao mesmo tempo, teremos que determinar um vetor
diretor que satisfaça esta mesma condição. Para isso iremos fazer o produto vetorial entre os
vetores diretores da reta s e u:
r s⊥ e .r s ur u v v v⊥ ⇒ =
  
.
2 0 5 10 6 4
0 2 3
( 10, 6, 4)
r
r
i j k
v i j k
v
= − = − − −
−
= − − −
  
   

.
Se “r” passa por P, então: r = (x,y,z) = (–1,2,3) + t (–10,-6,-4).
DICAS
Se você tiver dúvidas em relação ao produto vetorial, volte ao capítulo anterior e reveja os
conceitos abordados.
RELEMBRANDO
Lembre-se de que o produto vetorial entre dois vetores A e B resulta em um terceiro vetor
simultaneamente ortogonal aos vetores A e B.
UNIUBE 105
3.1.8 Posição relativa entre duas retas
No espaço, duas retas podem ser:
• Paralelas, se seus vetores diretores forem proporcionais. Neste caso, as retas terão,
em comum, todos os seus pontos. Assim, nós as chamamos de coincidentes. Caso
elas não tenham qualquer ponto em comum, são ditas paralelas e distintas.
• Concorrentes, se elas possuírem um único ponto em comum (ponto de interse-
ção).
• Reversas, se não possuírem nenhum ponto comum e os seus vetores diretores não
forem proporcionais, significa que as retas não estão em um mesmo plano.
3.1.9 Interseção entre duas retas
O ponto de interseção entre duas retas é o ponto que satisfaz, simultaneamente, as
duas equações.
DICAS
Embora seja possível determinar a interseção entre reta, a partir de qualquer uma das formas
de apresentação de suas equações, a utilização da equação reduzida é mais direta, por isso,
optaremos por esta forma.
EXEMPLIFICANDO!
1) Determine o ponto de interseção das retas:
2 3
:
5
y x
r
z x
= −
 = − −
.
4 2
:
1 1 2
x y z
s
− −
= =
− −
.
Resolução:
Passando a reta “s” para a forma reduzida na variável “x”, temos:
106 UNIUBE
Para calcular o ponto de interseção, basta igualarmos os ys e zs das equações reduzidas.
Então:
4 2 3
7 7
7 4 11
2 .7 2 12
x x
x x
y y
z z
+ = −
− = − ∴ =
= + ∴ =
= − + ∴ = − .
e
5 2 2
7
x x
x
− − = − +
= .
P(7,11, –12)
2) Dadas as retas
2 3
:
5
y x
r
z x
= −
 = − +
e : 4
2 2
x t
s y t
z t
= −
 = −
 = +
, verifique qual é a posição relativa entre
elas. Caso sejam concorrentes, determine o ponto de interseção entre elas.
Resolução:
Neste caso, a reta r já está na forma reduzida em função da variável x, mas a reta s está na
forma paramétrica e precisamos transpor para a forma reduzida em função de x. Como temos
que x = - t, vamos substituir na equação de y e z:
4
4 ( )
4
y t
y x
y x
= −
= − −
= + .
2 2
2 2( )
2 2
z t
z x
z x
= +
= + −
= − .
Desta forma, temos a reta s na forma reduzida em função de x:
4
:
2 2
y x
s
z x
= +
 = −
.
Antes de continuarmos, vamos verificar se as retas são paralelas, ou seja, se os vetores são
proporcionais:
(1, 2, 1)vv = −

e (1,1, 2)sv = −

.
UNIUBE 107
1 2 1 1
1 2
1 1 2 2
−
= = ⇒ = =
−
.
Como podemos perceber, os vetores não são proporcionais, desta forma, as retas não são paralelas.
Por meio da equação reduzida iremos verificar se as retas são concorrentes. Para serem
consideradas concorrentes, devemos encontrar o mesmo valor para x nas duas equações.
Neste caso, o valor encontrado para x será a abscissa do ponto de interseção. Caso contrário,
elas não são concorrentes.
2 3 4
2 4 3
7
s ry y
x x
x x
x
=
− = +
− = +
= .
e
5 2 2
2 2 5
3
r sz z
x x
x x
x
=
− + = −
− + = −
= − .
Desta forma, como as retas não são paralelas e nem concorrentes, as retas serão reversas.
Podemos também determinar se as retas são concorrentes utilizando outro processo, ao qual
iremos descrever neste momento. Para isso vamos tomar como base o exemplo:
Sejam 1L e 2L as retas cujas equações paramétricas são:
1 1 1 1
2 2 2 2
: 4 , 1 2 , 2 2
: 1 , 1 , 1 4
L x t y t z t
L x t y t z t
= = − = +
= + = − = − +
.
.
Verifique se as retas são concorrentes.
Neste caso, sabemos que para as retas serem consideradas concorrentes, deve haver um
ponto em comum. Assim temos: 1 2 1 2 1 2; ;x x y y z z= = = .
Mas temos um entrave, pois não sabemos qual o valor do parâmetro t em cada uma das retas.
Você imagina como faremos para determinar o valor desejado do parâmetro?
Precisamos descobrir o valor do parâmetro t para podermos encontrar o ponto de inter-
seção entre as retas, no caso de elas serem concorrentes. Para isso, iremos chamar
o parâmetro da reta 1L de 1t e da reta 2L de 2t .
108 UNIUBE
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
: 4 , 1 2 , 2 2
: 1 , 1 , 1 4
L x t y t z t
L x t y t z t
= = − = +
= + = − = − +
.
.
Igualando ambas as variáveis, teremos um sistema de duas incógnitas:
1 2
1 2
1 2
4 1
4 1
x x
t t
t t
=
= +
− = .
1 2
1 2
1 2
1 2 1
2 0
y y
t t
t t
=
− = −
− + = .
1 2
1 2
1 2
2 2 1 4
2 4 3
z z
t t
t t
=
+ = − +
− = −
Verifique que encontramos três equações. Agora precisamos determinar um valor que
satisfaça a solução deste sistema:
1 2
1 2
1 2
1) 4 1
2) 2 0
3) 2 4 3
t t
t t
t t
 − =
 − + =
 − = −
Você pode resolver o sistema utilizando os vários métodos que você já estudou no
livro referente a matrizes, determinantes e sistemas lineares. Em caso de dificuldades,
retome este estudo.
Para resolver esse sistema, optamos por somar as equações 1 e 2, pois, ao fazê-lo, iremos
eliminar o parâmetro 2t e, desta forma, encontraremos o valor para o parâmetro 1t .
Para determinarmos o parâmetro 2t , basta substituirmos em qualquer uma das três
equações o valor que encontramos para 1t . Escolheremos a segunda equação:
1 2
2
2
2
2 0
1
2 0
2
1 0
1
t t
t
t
t
− + =
 − + = 
 
− + =
=
UNIUBE 109
Como determinamos os valores para os parâmetros, iremos substituir nas equações
das retas 1L e 2L para verificarmos qual o valor que encontramos para o ponto:
.
Note que nas duas retas encontramos o mesmo ponto, neste caso provamos que
as retas se intersectam.
3.2 O plano
Geralmente representamos os planos por letras minúsculas do alfabeto grego. Por
exemplo: , , ,α β π δ etc...
Para definirmos um plano (α ), vamos utilizar um ponto A(x0, y0, z0), pertencente a α,
e um vetor não nulo, ( , , )n a b c=

¨, ortogonal ao plano. Como n

é ortogonal ao plano, en-
tão, ele também é ortogonal a qualquer vetor AP

¨ pertencente a esse plano, Figura 4.
O ponto P é arbitrário, e suas coordenadas são: (x,y,z).
Figura 4: Representação do plano.
110 UNIUBE
Então: . 0n AP n AP⊥ ⇒ =
 
.
0 0 0
0 0 0
0 0 0
( , , ).( , , ) 0
0
0
a b c x x y y z z
ax ax by by cz cz
ax by cz ax by cz
− − − =
− + − + − =
+ + + + + = .
Fazendo 0 0 0ax by cz d+ + = , obtemos a equação geral do plano:
IMPORTANTE!
Vale ressaltar que os coeficientes a, b e c, na equação geral, são as coordenadas do vetor
n

, ortogonal ao plano (α ).
Note, ainda, que:
• qualquer vetor paralelo a n

é também ortogonal a α ;
• o vetor n

é ortogonal a quaisquer outros vetores que sejam paralelos ao plano.
Então, por exemplo, se u

e v

são vetores e paralelos a α , e não paralelos entre si,
podemos dizer que n u v= ×
  
(Figura 5).
Figura 5: Representação do vetor ortogonal ao plano.
UNIUBE 111
EXEMPLIFICANDO!
Sabendo que o ponto A(-1,0,3) pertence ao plano (α ) e que o vetor n

= (1, - 2, 3) é ortogonal
a α , determine a equação geral desse plano.
Resolução:
Como as coordenadas de n

são os valores de a, b e c da equação, temos:
1 2 3 0x y z d− + + = . Se A α∈ , então as coordenadas de A satisfazem a equação do
plano, logo:
1.( 1) 2.0 3.3 0 8.d d− − + + = ⇒ = −
Portanto, a equação geral do plano (α ) é: 2 3 8 0x y z− + − = .
IMPORTANTE!
Observe que se a origem pertencer ao plano, o valor de “d” será zero.
EXEMPLIFICANDO!
1) Determine a equação de um pontoA(-3,4,1) que é paralelo ao plano : 2 3 8 0x y zβ − + − = .
Resolução:
Se α β , então o mesmo vetor β , ortogonal a β , também é ortogonal a α , logo, a equa-
ção de α é:
Desta forma teremos que o vetor será (1, 2,3)n = −

. Como as coordenadas de n

são os
valores a, b e c, vamos substituir na equação geral no plano:
0
2 3 0
ax by cz d
x y z d
+ + + =
− + + = .
112 UNIUBE
Agora, precisamos determinar o valor de d. Sabemos que o ponto A pertence ao plano, desta
forma, vamos substituir as coordenadas de A, no lugar de x, y e z:
2 3 0
( 3) 2(4) 3(1) 0
3 8 3 0
8 0
8
x y z d
d
d
d
d
− + + =
− − + + =
− − + + =
− + =
= .
Portanto: : 2 3 8 0x y zα − + − = .
2) Determine a equação do plano (α ) que contém o ponto A(1,2,-3) e é paralelo aos vetores
u

= (0,-3,4) e v

= (5,1,-3).
Resolução:
Se o plano α é paralelo aos vetores u

e v

, então o vetor u

, ortogonal a v

, é também
ortogonal a u

e a v

, simultaneamente. Assim, iremos utilizar o produto vetorial para deter-
minarmos o valor das coordenadas de n

, ou seja, n u v= ×
  
.
0 3 4 13 20 15
5 1 3
i j k
n i j k= − = − + +
  
   
¨, ou seja: ( 13,20,15)n = −

.
A equação do plano é:
13 20 15 0
13.( 1) 20.2 15.( 3) 0
18
x y z d
d
d
− + + + =
− + + + − + =
∴ = .
Portanto: : 13 20 15 18 0x y zα − + + + = .
3) Determine a equação do plano (α ), sabendo que ele é paralelo ao vetor (5,1,3)v =

e
contém os pontos A(1,2,-3) e B(3,1,0).
UNIUBE 113
Resolução:
Note que os pontos A e B definem um vetor AB

, e que o vetor AB

e o vetor v

não são
paralelos entre si. Com isso, podemos ver, neste caso, o exemplo 3. Então, n AB v= ×
  
:
2 1 3 6 9 7
5 1 3
( 6,9,7)
i j k
n i j k
n
= − = − + +
∴ = −
  
   

: 6 9 7 0x y z dα − + + + = . Mas A α∈ , então, : 6.1 9.2 7.( 3) 0dα − + + − + =
9d∴ = .
: 6 9 7 9 0x y zα − + + + = .
RELEMBRANDO
No Ensino Médio você deve ter estudado em geometria que a posição de um plano pode ser
definida por:
1. Três pontos NÃO COLINEARES.
2. Duas retas CONCORRENTES.
3. Um ponto e uma reta fora dela.
4. Duas retas paralelas e distintas.
Então, veja, a partir dos conceitos apresentados anteriormente, como é possível determinar
a equação de um plano.
114 UNIUBE
EXEMPLIFICANDO!
1) Determine a equação do plano (α) definido pelos pontos A(1,2,-3); B(-1,0,2) e C(3,1,0)
(Figura 6).
Figura 6: Representação geométrica dos ABC que
formam um plano.
Resolução:
Note que o ponto A está contido ao plano e os vetores AB

e AC

são paralelos ao plano.
Então:
2 2 5 16 6
2 1 3
( 1,16,6)
i j k
n i j k
n
= − − = − + +
−
∴ = −
  
   

.
: 16 6 0x y z dα − + + + = .
Substituindo A em α: 1 32 18 0d− + − + = 13d∴ = − .
: 16 6 13 0x y zα − + + − = .
2) Determine a equação do plano (α) definido pelas retas:
: ( , , ) ( 1,0,3) (2,1, 5)r x y z t= − + − e
:s


 3 38z x= −
3y x= −
.
UNIUBE 115
Resolução:
Veja que o ponto (-1,0,3) pertence a α , e os vetores diretores de r e s, respectivamente,
(2,1, 5)rv = −

e (1,1,3)sv =

são paralelos a α, então:
2 1 5 8 11
1 1 3
i j k
n i j k= − = + − +
  
   
∴ (8, 11,1)n = −

.
:8 11 0x y z dα − + + = :
Substituindo (-1,0,3) em α , temos: üüüüü d− − + + = .
5d = .
:8 11 5 0x y zα − + + = .
3) Determine a equação do plano α , definido pelo ponto A (-1,0,3) e pela reta
3
:
3 38
y x
r
z x
= −
 = −
Resolução:
Primeiro, vamos encontrar um ponto (B) qualquer da reta r:
Fazendo, por exemplo, x = 10, temos:
10 3 7
3.10 38 8
y y
z z
= − ⇒ =
= − ⇒ = − .
Logo: B (10,7,-8).
Tomando um ponto “P” qualquer de α , P(x,y,z), podemos definir três vetores coplanares. São
eles: (1,1,3)rv =

vetor diretor de r, ( 11, 7,11)BA = − −

e ( 10, 7, 8)BP x y z= − − +

.
116 UNIUBE
Veja, com atenção, a Figura 7 a seguir:
Figura 7: Plano definido por um ponto e uma reta.
Como esses três vetores são coplanares, o produto misto entre eles é igual a ZERO.
11 7 11
( , , ) 1 1 3 0
10 7 8
rBA v BP
x y z
− −
= =
− − +
  
.
11 88 11 77 21 210 11 110 33 231 7 56 0
32 44 4 20 0 / ( 4)
z y x x y z
x y z
− − + − − + − + + − + + =
− + − − = − .
:8 11 5 0x y zα − + + = .
4) Determine a equação do plano α, definido pelas retas
3
:
3 1
y x
r
z x
= − +
 = −
e
1
:
2 2 6
x y z
s
−
= =
− −
.
Resolução:
r s , pois os seus vetores diretores são proporcionais:
Verificando a condição de paralelismo:
(1, 1,3); ( 2, 2, 6)
1 1 3
2 2 6
1 1 1
2 2 2
r s
r
s
r
s
v v
v
v
v
v
− − −
−
= = =
− −
= − = − = −
 



 .
Veja na Figura 8:
(1, 1,3); ( 2, 2, 6)r sv v= − = − −
 
.
UNIUBE 117
Figura 8: Representação de um plano definido por duas retas.
Determinando um ponto A de r e um ponto B de s:
: 1, 1 3 2, 3.1 1 2 (1,2, 2)
0 1 0
: 0, 1, 0 (0,1,0)
2 2 6 2
A x y y z z A
y z
B x y z B
= = − + ⇒ = = − ⇒ = ∴
−
= = ⇒ = = ⇒ = ∴
− − −
.
.
Tomando um ponto P qualquer deα, caímos no caso anterior: ,rv ABe AP
  
são coplanares,
então ( , , ) 0rv AB AP =

.
1 1 3
1 1 2 0 2 3 6 2 2 3 3 2 4 2 0
1 2 2
z y x x y z
x y z
−
− − − = ⇒ − + − + + − + − + − − + =
− − −
.
: 5 2 1 0x y zα − − + = .
Acompanhe a seguir, alguns casos especiais.
Casos especiais
I. Uma das coordenadas do vetor (0, , ) ,n b c n Ox Ox= ⇒ ⊥
 
é o eixo das abscissas.
Veja:
( , , ).(1,0,0) 0
.1 .0 .0 0
=
+ + =
a b c
a b c .
118 UNIUBE
Portanto, é paralelo a Ox .
• ( ,0, )n a c Oyα= ⇒

 .
• ( , ,0)n a b Ozα= ⇒

 .
EXEMPLIFICANDO!
Determine a equação de um plano α , que passa pelos pontosA(0,3,0) e B(0,0,-1) e é paralelo
ao eixo Ox.
Se Oxα  e n n Oxα⊥ ⇒ ⊥
 
.
Tomando o vetor (1,0,0)v =

como vetor diretor do eixo x, temos:
( , , ).(1,0,0) 0
.1 .0 .0 0
0
n Ox a b c
a b c
a
⊥ ⇒ =
+ + =
∴ =

ComoAeBpertencemaoplano α, então, umaum, eles satisfazemàequação by cz d 0+ + = ,
então:
A em α : .3 .0 0 3 0b c d b d+ + = ⇒ + = .
B em α : .0 .( 1) 0 0b c d c d+ − + = ⇒ − + = .
Resolvendo o sistema
3 0
0
b d
c d
+ =
− + =
, concluímos que c d= e
3
d
b
−
= , qualquer que seja
o valor de d.
Então, a equação de α é:
0by cz d+ + = ⇒ fazendo, por exemplo, 3d = − , temos:
: 3 3 0y zα − − = .
UNIUBE 119
II. Duas das coordenadas do vetor normal n

, ortogonal ao plano α , são nulas:
Quando duas, e só duas, das coordenadas de n

são iguais a zero, podemos concluir
que α é paralelo a um dos planos coordenados: ,xOy xOz ou yOz . Veja:
( , , )n a b c α= ⊥

e xOy n xOyα ⇒ ⊥

 .
Logo n Oz

 (eixo das cotas “z”).
Como podemos dizer que o vetor (0,0,1)v =

é diretor do eixo Oz se n Oz

 , então n

tem abscissa e ordenada nulas também. Logo, a equaçãode “α ” é do tipo:
: 0cz dα + = ou
d
z
c
−
= .
EXEMPLIFICANDO!
Determine a equação do plano (α), paralelo ao plano xOz , sabendo que α passa pelo
ponto A(5,-1,3).
Resolução:
xOz n n xOz
n Oy
α α⇒ ⊥ ⇒ ⊥
∴
 



(0, ,0)n b=

.
: 0by dα + = .
Como A α∈ , então:
.( 1) 0b d
b d
− + =
∴ =
Fazendo, por exemplo, 1b = , então 1d =
: 1 0yα + = ou 1y = − .
120 UNIUBE
3.2.1 Ângulo formado por dois planos
Sejam dois planos, α e β , e 1 1 1 1( , , )n a b c=

e 2 2 2 2( , , )n a b c=

os vetores normais
a α e β , respectivamente. Então, o ângulo (θ ) entre α e β e o ângulo entre 1n

e
2n

são (veja Figura 9):
Figura 9: Representação do ângulo formado entre dois planos.
Fonte:Winterle (2000, p. 136).
Nesse caso consideramos 0
2
πθ≤ ≤ . Assim, tomaremos 1n

escalar 2n

em módulos,
para que não se possa obter cos 0θr
z y
= +
 = −
e
1 3
: 3
2 2
x z
s y
− +
= − =
−
.
Atividade 4
Em relação ao plano cujas equações paramétricas são:
3 2
1 3
2
x t h
y t h
z t
α
= − + −
= = − +
 = +
, determine:
UNIUBE 129
a) dois pontos quaisquer dele;
b) o ponto dele que possui abscissa ZERO e cota 2.
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, Stephen. Cálculo: um novo horizonte. 8. ed. São Paulo: Bookman,
2007. v.2.
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria analítica. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005.
THOMAS, George B. et al. Cálculo. Vol. 1. 11. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2009.
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 1. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000.