6 Função Quadrática ou Polinomial do 2o Grau

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Profa. MSc. Vera Lúcia Smith 
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 Bases Matemáticas 
 
 
UNIDADE 6 : FUNÇÃO QUADRÁTICA OU POLINOMIAL DO 2º GRAU 
 
 
1 – Definição: 
 
É toda função f: R  R definida por f(x) = ax2 + bx + c , com a  R* e b, c  R. 
 
 
2 – Aplicações: 
 
 Lançamento de projéteis 
 Antenas Parabólicas e radares 
 Formato de um farol de automóvel 
 Forno solar 
 
 
3 – Exemplos 
 
1 -  
3
5
3
4
3
1 2  xxxf 
2 -   xxxf  22 
1 -   42  xxf 
 
 
4 – Características: 
 
1) Domínio: D(f) = R 
 
2) Gráfico: é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo dos Y. 
i) Se a > 0 então a concavidade é voltada para cima.  
ii) Se a < 0 então a concavidade é voltada para baixo.  
 
3) Zeros ou Raízes da Função Quadrática: 
 
Os zeros ou raízes da função quadrática   cbxaxxf  2 são dados por: 
 
a
b
x
2
'
 e 
a
b
x
2
'
 ; com acb 42  (Fórmula de Bhaskara) 
 
4) Discussão da Existência de Raízes: 
A existência de raízes reais para a função quadrática está condicionada ao fato de 
R . Assim consideraremos os seguintes casos: 
i) Se  > 0, então a função apresentará duas raízes reais e diferentes. 
ii) Se = 0 , então a função apresentará duas raízes reais e iguais. 
iii) Se  < 0 , então a função não apresentará raízes, pois R . 
 
 
 
 
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 Bases Matemáticas 
Exemplos: 
 
(1) Dadas as funções abaixo, verifique se possuem raízes reais e em caso afirmativo 
determine-as: 
a) 23)( 2  xxxf 
b) 44)( 2  xxxf 
c) 32)( 2  xxf 
d) 65)( 2  xxxf 
 
 
5) Interseção com o eixo dos y: 
 
f(x) = ax2 + bx + c 
f(0) = a02 + b0 + c 
f(0) = y = c  P (0,c) 
 
 
6) Máximo e Mínimo da Função Quadrática 
 
6.1) Valor Máximo da Função Quadrática 
Teorema 1: A função quadrática y = ax2 + bx + c admite um valor máximo 
a
y
4
 em 
a
b
x
2
 , se e somente se, a < 0 . 
 
6.2) Valor Mínimo da Função Quadrática 
Teorema 2: A função quadrática y = ax2 + bx + c admite um valor mínimo 
a
y
4
 em 
a
b
x
2
 , se e somente se, a > 0 . 
 
 
7) Vértice da Parábola 
Definição: É dado pelo ponto 

 
aa
b
V
4
,
2
 
Exemplos: 
 
(1) Dadas as funções abaixo, verifique se admitem valor máximo ou mínimo e em 
seguida determine este valor: 
a) 372)( 2  xxxf 
b) 624)( 2  xxxf 
c) 472)( 2  xxxf 
d) xxxf 645)( 2  
 
(2) Determinar a lei da função do segundo grau cujo gráfico contém vértice (1,3) e o 
ponto (0,5): 
 
 
8) Imagem da Função Quadrática ou Polinomial do 2º Grau 
Se 0a , então 


 
a
yRyf
4
:)Im( 
Se 0a , então 


 
a
yRyf
4
:)Im( 
 
 
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Exemplos: 
 
(1) Dadas as funções abaixo, determine o vértice e a sua imagem: 
a) 11123)( 2  xxxf 
b) 372)( 2  xxxf 
c) 38)( 2  xxxf 
d) xxxf 2)( 2  
e) 1)( 2  xxf 
 
 
9) Eixo de Simetria 
 
Definição: É a reta perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice. A sua equação 
é dada por 
a
b
x
2
 
 
 
10) Gráfico da Função Quadrática 
 
1º Caso ) a > 0 e  > 0 2º Caso ) a > 0 e  = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Caso ) a > 0 e  < 0 4º Caso ) a < 0 e  > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x1 x2 X 
Y 
V Eixo de simetria 
x1=x2 X 
Y 
Eixo de simetria 
X 
Y 
V 
V 
Eixo de simetria 
Eixo de simetria 
x1 X 
Y 
V 
x2 
 
 
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5º Caso ) a < 0 e  = 0 6º Caso ) a < 0 e  < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
(1) Dadas as funções abaixo. Esboçar o seu gráfico: 
a) 23)( 2  xxxf 
b) 12)( 2  xxxf 
c) 32)( 2  xxf 
d) 9)( 2  xxf 
e) 65)( 2  xxxf 
f) 54)( 2  xxxf 
g) 65)( 2  xxxf 
h) 44)( 2  xxxf 
i) 144)( 2  xxxf 
 
 
11) Estudo do Sinal da Função Quadrática ou Polinomial do 2º Grau 
 
Consideraremos os casos para o estudo ou variação da função: 
(i) f(x) > 0 (ii) f(x) < 0 (iii) f(x) = 0 
 
 
1º Caso  > 0 (duas raízes reais e diferentes) 
 
 
 
 
 ; sendo x1 e x2 as raízes reais 
 
 
 
2º Caso  = 0 (duas raízes reais e iguais) 
 
 
 
 
 ; sendo x1 e x2 as raízes reais 
 
 
 
 
 
Eixo de simetria 
X 
Y 
V 
Eixo de simetria 
X 
Y 
V 
x1=x2 
sinal 
mesmo 
de a 
sinal 
mesmo 
de a 
Sinal 
contrário 
de a 
x1 x2 
x1=x2 
sinal 
mesmo 
de a 
sinal 
mesmo 
de a 
 
 
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3º Caso)  < 0 (não possue raízes reais) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
(1) Fazer o estudo do sinal das funções dadas abaixo: 
a) 23)( 2  xxxf 
b) 12)( 2  xxxf 
c) 144)( 2  xxxf 
d) 54)( 2  xxxf 
e) 32)( 2  xxf 
 
 
Exemplos de Aplicação: 
 
01 – Um móvel é lançado verticalmente e sabe-se que no instante t sua altura é dada por 
24)( ttth  ; 40  t (suponha o tempo medido em segundos e a altura em quilômetros). 
a) Qual a altura máxima atingida pelo móvel? Em que instante esta altura máxima é 
atingida? 
b) Esboce o gráfico de h. 
 
02 – Um retângulo tem um perímetro de 20 metros. Expresse a área do retângulo como uma 
função do comprimento de um de seus lados. 
 
03 – Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função Custo Total (CT) em mil 
reais, dada por   475202  qqqCT ; q0. A função Receita Total (RT) em mil reais é dada 
por   qqRT 120 . Determinar: 
a) O lucro para venda de 80 unidades; 
b) Em que valor de q acontecerá o lucro máximo? 
 
04 – Um avião com 120 lugares é fretado para uma excursão. A companhia exige de cada 
passageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o número de 
passageiros que torna máxima a receita da companhia? 
 
05 – Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função Custo Total (CT) dada por 
  700202  xxxCT , sendo x o número de unidades produzidas. A função Receita Total 
(RT) é dada por   xxRT 200 . Determine: 
a) O lucro para venda de 100 unidades; 
b) Em que valor de x acontecerá o lucro máximo. 
 
 
sinal 
mesmo 
de a 
sinal 
mesmo 
de a 
sinal 
mesmo 
de a