03 Sistemas de Amortização

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
5 - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Segundo as práticas habituais, os empréstimos classificam-se em: de curto, de médio e de longo prazo. 
Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros. 
Os problemas mais importantes num empréstimo de longo prazo dizem respeito à explicitação do sistema de reembolso adotado e ao cálculo da taxa de juros efetivamente cobrada. 
Existem várias maneiras de amortizar uma dívida, devendo as condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato firmado entre o credor (mutuante) e o devedor (mutuário). 
Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam, basicamente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do capital.
Definições básicas:
- Encargos financeiros – Representam os juros da operação, caracterizando–se como custo para o devedor e retorno para o credor. 
- Amortização – Refere-se exclusivamente ao pagamento do principal (capital emprestado), o qual é efetuado, geralmente, através de parcelas periódicas (mensais, trimestrais, etc.). 
- Saldo devedor – Representa o valor do principal da dívida, em determinado momento, após a dedução do valor já pago pelo credor a título de amortização. 
- Prestação – É composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em determinado período de tempo. Assim: Prestação = Amortização + Encargos 
- Carência – Muitas operações de empréstimos e financiamentos prevêem um diferimento na data convencional do início dos pagamentos.
Os sistemas de amortização mais utilizados no Brasil são: 
- Sistema Francês (Tabela Price) 
- Sistema de Amortização Constante (SAC) 
O primeiro é largamente utilizado em todos os setores financeiros e de capitais, enquanto que o último é mais utilizado pelo Sistema Financeiro de Habitação, principalmente nas operações de financiamento para aquisição de casa própria.
5.1 - SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (TABELA PRICE)
O sistema francês consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro do conceito de termos vencidos, em que o valor de cada prestação, ou pagamento, é composto por duas parcelas distintas: uma de juros e outra de capital (chamada amortização). Não implica necessariamente em prestações mensais, como geralmente se entende, mas podem ser também, bimestrais, trimestrais, semestrais ou anuais; basta que sejam iguais, periódicas, sucessivas e de termos vencidos, podendo ser definida para qualquer taxa.
O valor das prestações é determinado com a seguinte fórmula:
R = C * (1 + i)^n * i 
 (1 + i)^n – 1
Onde:
R = Valor da parcela (prestações)
C = Valor total do empréstimo
i = Taxa aplicada
n = Período
A parcela de juros é obtida multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior (J = i x C); a parcela de amortização é determinada pela diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de juros (A = R – J).
Exemplo: 
1. Calcular os valores das parcelas de juros e amortizações referentes à primeira prestação de um empréstimo de R$ 8.530,20 `a taxa de juros de 3% ao mês, para ser liquidado em 10 prestações iguais.
1° Passo: Encontrar o valor das prestações
R = 8.530,20 * (1 + 0,03)^10 * 0,03 
(1 + 0,03)^10 – 1 
R = 8.530,20 * 0,040317
 0,343916 
R = 8.530,20 x 0,11723 = 1.000,00
2° Passo: Valor dos juros inclusos na primeira parcela
J = i x C = 0,03 x 8.530,20 = 255,91
3° Passo: Valor da amortização na primeira parcela
A = R – J = 1.000,00 – 255,91 = 744,09
	Para melhor demonstração de todo o Plano de pagamento do empréstimo – Sistema Francês, é preciso preencher uma tabela com as seguintes informações:
	t (Qnt. Parcelas)
	 Saldo Devedor 
	 Amortização (A) 
	 Juros (Jt) 
	 Prestação (R) 
Abaixo veremos todo o plano de pagamento do exercício proposto:
	C
	 8.530,20 
	 > Valor Empréstimo 
	R
	 1.000,00 
	 > Parcela 
	i
	 0,03 
	 > Taxa 
	n
	 10 
	 > Período 
	J
	 255,91 
	 > Juros 
	A
	 744,09 
	 > Amortização 
d
	t
	 Saldo Devedor 
	 Amortização (A) 
	 Juros (Jt) 
	 Prestação (R) 
	0
	 8.530,20 
	-
	-
	-
	1
	 7.786,11 
	 744,09 
	 255,91 
	 1.000,00 
	2
	 7.019,69 
	 766,42 
	 233,58 
	 1.000,00 
	3
	 6.230,28 
	 789,41 
	 210,59 
	 1.000,00 
	4
	 5.417,19 
	 813,09 
	 186,91 
	 1.000,00 
	5
	 4.579,71 
	 837,48 
	 162,52 
	 1.000,00 
	6
	 3.717,10 
	 862,61 
	 137,39 
	 1.000,00 
	7
	 2.828,61 
	 888,49 
	 111,51 
	 1.000,00 
	8
	 1.913,47 
	 915,14 
	 84,86 
	 1.000,00 
	9
	 970,87 
	 942,60 
	 57,40 
	 1.000,00 
	10
	- 0,00 
	 970,87 
	 29,13 
	 1.000,00 
	Total
	 
	 8.530,20 
	 1.469,80 
	 10.000,00 
	Como é possível perceber, o 1° passo será responsável pelo preenchimento de toda a coluna (R), o 2° passo informa os juros pagos no t1 (1° parcela), o 3° passo informa no t1 o valor que será amortizado do saldo devedor, em seguida será criado o 4° passo, onde para se encontrar o novo saldo devedor, deverá ser reduzido do saldo anterior o valor amortizado na atual prestação paga. 
	Para continuidade e conclusão do Plano de pagamento, os passos 2, 3 e 4 serão repetidos com os novos valores informados a cada parcela calculada.
	Características:
- O valor da parcela se mantém fixo;
- O valor dos juros serão decrescentes;
- O valor da amortização será crescente;
- O valor da amortização e juros serão inconstantes;
5.2 - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) 
Este sistema é extremamente simples e sua denominação deriva da sua principal característica, ou seja, as amortizações periódicas são todas iguais ou constantes, enquanto que no sistema Francês, as amortizações crescem exponencialmente à medida que o prazo aumenta. 
É amplamente utilizado pelo Sistema Financeiro da Habitação, nas operações de financiamento da casa própria.
SAC consiste em um plano de amortização de uma divida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes em que o valor da prestação é composto por uma parcela de juros e outra parcela de capital (amortização).
A parcela de capital é obtida dividindo-se o valor do empréstimo pelo n° de prestações, enquanto que o valor da parcela de juros é determinado multiplicando-se a taxa de juros pelo saldo devedor existente no período anterior. 
Exemplo: 
1 - Elaborar um plano de pagamentos, com base no Sistema de Amortização Constante, correspondente a um empréstimo de R$ 100.000,00, à taxa de 3% ao mês, a ser liquidado em 10 parcelas mensais.
1° Passo: Encontrar o valor da amortização
A = C/n = 100.000,00/10 = 10.000,00
2° Passo: Encontrar o valor dos juros que serão inclusos na primeira parcela
J = i x Ct = 0,03 x 100.000,00 = 3.000,00
3° Passo: Encontrar o valor da primeira prestação
R = A + J = 10.000,00 + 3.000,00 
	C
	 100.000,00 
	 > Valor Empréstimo 
	
	
	R
	 13.000,00 
	 > Parcela 
	
	
	i
	 0,03 
	 > Taxa 
	
	
	n
	 10 
	 > Período 
	
	
	J
	 3.000,00 
	 > Juros 
	
	
	A
	 10.000,00 
	 > Amortização 
	
	
	
	
	
	
	
	t
	 Saldo Devedor 
	 Amortização (A) 
	 Juros (Jt)Prestação (R) 
	0
	 100.000,00 
	-
	-
	-
	1
	 90.000,00 
	 10.000,00 
	 3.000,00 
	 13.000,00 
	2
	 80.000,00 
	 10.000,00 
	 2.700,00 
	 12.700,00 
	3
	 70.000,00 
	 10.000,00 
	 2.400,00 
	 12.400,00 
	4
	 60.000,00 
	 10.000,00 
	 2.100,00 
	 12.100,00 
	5
	 50.000,00 
	 10.000,00 
	 1.800,00 
	 11.800,00 
	6
	 40.000,00 
	 10.000,00 
	 1.500,00 
	 11.500,00 
	7
	 30.000,00 
	 10.000,00 
	 1.200,00 
	 11.200,00 
	8
	 20.000,00 
	 10.000,00 
	 900,00 
	 10.900,00 
	9
	 10.000,00 
	 10.000,00 
	 600,00 
	 10.600,00 
	10
	 - 
	 10.000,00 
	 300,00 
	 10.300,00 
	Total
	 
	 100.000,00 
	 16.500,00 
	 116.500,00 
Como é possível perceber, o 1° passo será responsável pelo preenchimento de toda a coluna (A), o 2° passo informa os juros pagos no t1 (1° parcela), o 3° passo informa no t1 o valor que será pago na parcela, em seguida será criado o 4° passo, onde para se encontrar o novo saldo devedor, deverá ser reduzido do saldo anterior o valor amortizado na atual prestação paga. 
	Para continuidade e conclusão do Plano de pagamento, os passos 2, 3 e 4 serão repetidos com os novos valores informados a cada parcela calculada.
	Características:
- O valor da amortização será fixo em todas as parcelas;
- O valor da prestação e juros serão decrescentes;
- O valor da prestação e juros serão inconstantes;
6 - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO COM CARÊNCIA
Exemplo:
Uma empresa pede emprestado R$ 100.000,00 que o banco entrega no ato. Sabendo-se que o principal será amortizado em prestações semestrais, no prazo de 5 anos e que a taxa cobrada é de 14,0175% ao semestre, construa a planilha.
SAC sem carência
	C
	 100.000,00 
	 > Valor Empréstimo 
	
	
	R
	 24.017,50 
	 > Parcela 
	
	
	i
	 0,140175 
	 > Taxa 
	
	
	n
	 10 
	 > Período 
	
	
	J
	 14.017,50 
	 > Juros 
	
	
	A
	 10.000,00 
	 > Amortização 
	
	
	
	
	
	
	
	t
	 Saldo Devedor 
	 Amortização (A) 
	 Juros (Jt) 
	 Prestação (R) 
	0
	 100.000,00 
	-
	-
	-
	1
	 90.000,00 
	 10.000,00 
	 14.017,50 
	 24.017,50 
	2
	 80.000,00 
	 10.000,00 
	 12.615,75 
	 22.615,75 
	3
	 70.000,00 
	 10.000,00 
	 11.214,00 
	 21.214,00 
	4
	 60.000,00 
	 10.000,00 
	 9.812,25 
	 19.812,25 
	5
	 50.000,00 
	 10.000,00 
	 8.410,50 
	 18.410,50 
	6
	 40.000,00 
	 10.000,00 
	 7.008,75 
	 17.008,75 
	7
	 30.000,00 
	 10.000,00 
	 5.607,00 
	 15.607,00 
	8
	 20.000,00 
	 10.000,00 
	 4.205,25 
	 14.205,25 
	9
	 10.000,00 
	 10.000,00 
	 2.803,50 
	 12.803,50 
	10
	 - 
	 10.000,00 
	 1.401,75 
	 11.401,75 
	Total
	 
	 100.000,00 
	 77.096,25 
	 177.096,25 
SAC com carência de dois anos e pagamento de juros
	t
	 Saldo Devedor 
	 Amortização (A) 
	 Juros (Jt) 
	 Prestação (R) 
	0
	 100.000,00 
	 - 
	 - 
	 - 
	1
	 100.000,00 
	 - 
	 14.017,50 
	 14.017,50 
	2
	 100.000,00 
	 - 
	 14.017,50 
	 14.017,50 
	3
	 100.000,00 
	 - 
	 14.017,50 
	 14.017,50 
	4
	 100.000,00 
	 - 
	 14.017,50 
	 14.017,50 
	5
	 90.000,00 
	 10.000,00 
	 14.017,50 
	 24.017,50 
	6
	 80.000,00 
	 10.000,00 
	 12.615,75 
	 22.615,75 
	7
	 70.000,00 
	 10.000,00 
	 11.214,00 
	 21.214,00 
	8
	 60.000,00 
	 10.000,00 
	 9.812,25 
	 19.812,25 
	9
	 50.000,00 
	 10.000,00 
	 8.410,50 
	 18.410,50 
	10
	 40.000,00 
	 10.000,00 
	 7.008,75 
	 17.008,75 
	11
	 30.000,00 
	 10.000,00 
	 5.607,00 
	 15.607,00 
	12
	 20.000,00 
	 10.000,00 
	 4.205,25 
	 14.205,25 
	13
	 10.000,00 
	 10.000,00 
	 2.803,50 
	 12.803,50 
	14
	 - 
	 10.000,00 
	 1.401,75 
	 11.401,75 
	Total
	 
	 100.000,00 
	 77.096,25 
	 177.096,25 
SAC com carência (2 anos) com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor
	t
	 Saldo Devedor 
	 Amortização (A) 
	 Juros (Jt) 
	 Prestação (R) 
	0
	 100.000,00 
	 - 
	 - 
	 - 
	1
	 114.017,50 
	 - 
	 14.017,50 
	 - 
	2
	 129.999,90 
	 - 
	 15.982,40 
	 - 
	3
	 148.222,64 
	 - 
	 18.222,74 
	 - 
	4
	 169.000,00 
	 - 
	 20.777,11 
	 - 
	5
	 152.100,00 
	 16.900,00 
	 23.689,57 
	 40.589,57 
	6
	 135.200,00 
	 16.900,00 
	 21.320,62 
	 38.220,62 
	7
	 118.300,00 
	 16.900,00 
	 18.951,66 
	 35.851,66 
	8
	 101.400,00 
	 16.900,00 
	 16.582,70 
	 33.482,70 
	9
	 84.500,00 
	 16.900,00 
	 14.213,74 
	 31.113,74 
	10
	 67.600,00 
	 16.900,00 
	 11.844,79 
	 28.744,79 
	11
	 50.700,00 
	 16.900,00 
	 9.475,83 
	 26.375,83 
	12
	 33.800,00 
	 16.900,00 
	 7.106,87 
	 24.006,87 
	13
	 16.900,00 
	 16.900,00 
	 4.737,91 
	 21.637,91 
	14
	 0,00 
	 16.900,00 
	 2.368,96 
	 19.268,96 
	Total
	 
	 169.000,00 
	 130.292,66 
	 299.292,66 
Nesta situação no momento do início das amortizações é preciso recalcular o valor a ser amortizado, o valor da dívida é alterado pois os juros incorridos na carência serão introduzidos na dívida inicial.
	Todas estas possibilidades de carência também pode ser aplicada na Tabela Price e qualquer outro modelo de amortização.