Livro de Algebra Linear

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PRESIDENTE DA REPÚBLICA 
Luiz Inácio Lula da Silva 
 
MINISTRO DA EDUCAÇÃO 
Fernando Haddad 
 
GOVERNADOR DO ESTADO 
Wellington Dias 
 
REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ 
Luiz de Sousa Santos Júnior 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ 
Antonio José Medeiros 
 
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC 
Carlos Eduardo Bielschowsky 
 
DIRETOR DE POLITICAS PUBLICAS PARA EaD 
Hélio Chaves 
 
COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL 
Celso Costa 
 
COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI 
Gildásio Guedes Fernandes 
 
SUPERITENDÊNTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO 
Eliane Mendonça 
 
COORDENADOR DO CURSO DE FÍSICA NA MODALIDADE EAD 
Miguel Arcanjo Costa 
 
COODENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI 
Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Este texto é destinado aos estudantes do Curso de 
Licenciatura em Física – Modalidade a Distância e tem a 
pretensão de se tornar o primeiro contato deles com o estudo 
de Álgebra Linear . 
O texto é composto de quatro unidades, contendo itens 
e subitens, que discorrem sobre: sistemas lineares, matrizes, 
determinantes, espaços vetoriais de dimensão finita, 
subespaços vetoriais, subespaços vetoriais gerados, 
dependência linear, bases, dimensão, transformações lineares, 
espaços com produto interno, complemento ortogonal, produto 
vetrial,. autovalores autovetores , diagonalização de matrizes. 
Na primeira unidade abordaremos todos os conceitos 
indispensáveis para o desenvolvimento dos demais assuntos e 
para isto iniciaremos com o estudo das equações lineares, 
seguido de sistemas lineares, matrizes , determinantes além do 
estudo de inversa de matrizes e métodos para a obtenção 
destas inversas. 
Na unidade dois, introduziremos os conceitos 
envolvendo espaços 
vetoriais, que são os sistemas matemáticos envolvendo 
soma e multiplicação por escalar. Nesta unidade além do 
conceito de espaço vetorial veremos também os conceitos de 
subespaços, dependência linear, bases , transformações 
lineares. Vale destacar que nosso estudo será restrito a 
espaços de dimensão finita e sempre que possivel usaremos o 
espaço IR2 e IR3 para as representações e interpretações 
geométricas. 
 Na unidade três abordaremos os conceitos de produto 
interno, complemento ortogonal, projeção ortogonal e produto 
vetorial.Tais conceitos serão usados no cálculo do módulo de 
 
4 
um vetor, na determinação da distância entre pontos, na 
identificação de vetores ortogonais, na determinação do 
complemento ortogonal de um subespaço, no cálculo da 
projeção ortogonal de um vetor, na identificação de vetores 
paralelos, no calculo do ângulo de dois vetores, na 
determinação da área de paralelogramos e triângulos além da 
determinação de volume de paralelepípedos e de tetraedros. 
Na quarta unidade estudaremos os conceitos de 
autovalores e autovetores, isto é estudaremos conceitos que 
determinam a ação de um operador linear vAv→ em vetores 
cuja imagem preserva a direção.,isto é, vetores tais que 
vvA rr λ= e nossa pretensão nesta unidade são as aplicações 
na diagonalização de matrizes, no cálculo de potência de 
matrizes e dar condições para outras aplicações tais como: 
equações diferenciais e sistemas dinâmicos contínuos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 10 
1.1 Definição: Equação linear 10 
1.2 Solução de uma equação linear 10 
1.3 Definição : Sistema Linear 11 
1.4 Solução de um sistema de equações lineares 12 
1.5 Classificação 13 
1.6 Sistemas 2x2 : Interpretação Geométrica 14 
1.7 Sistemas Equivalentes 14 
1.8. Definição: Sistema Triangular 17 
1.9 Lista de exercícios 18 
1.10 Matrizes de um sistema Linear 19 
1.11 Definição: Forma Escada 21 
1.12 Definição: Método de Gauss 21 
1.13 Definição: forma escada reduzida por linhas 22 
1.14 Definição: Método de Gauss-Jordan 23 
1.15 Lista de exercícios 24 
1.16 Definição: Matriz 27 
1.17 Definição: Igualdade de Matrizes 27 
1.18 Definição: Multiplicação de uma matriz por um escalar 28 
1.19 Definição: Soma de Matrizes 28 
1.20 Definição: Diferença de matrizes 28 
1.21 Definição: Multiplicação de matrizes 28 
1.22Teorema 29 
1.23 Definição: Transposta de uma matriz 30 
1.24 Propriedades 30 
1.25 Definição: Matriz simétrica e matriz anti-simétrica 30 
1.26 Lista de Exercícios 30 
1.27 Tipos de Matrizes 32 
1.28 Definição: Matriz Invertível 33 
1.29 Definição: Matriz não-Invertivel 33 
1.30 Método para o cálculo de A-1 35 
1.31 Lista de exercícios 36 
1.32 Determinantes 38 
1.33 Definição : Menor e Cofator 40 
1.34 Definição( Caso Geral ) 41 
1.35 Teorema 42 
1.36 Teorema 43 
1.37 Teorema 43 
1.38 Lista de Exercícios 44 
1.39 Propriedades 45 
1.40 Teorema 46 
1.41 Teorema 47 
1.42 Lista de Exercícios 48 
1.43 Definição: Matriz Adjunta 49 
1.44 Lista de Exercícios 49 
 
2 ESPAÇOS VETORIAIS 54 
2.1 Definição 54 
2.2 Propriedades de um Espaço Vetorial 55 
 
6 
2.3 Subespaços Vetoriais 56 
2.4 Casos Particulares 57 
2.5 Lista de exercícios 59 
2.6 Aplicação 61 
2.7 Teorema 61 
2.8 Teorema (Interseção de Subespaço) 63 
2.9 Teorema ( Soma de subespaços ) 64 
2.10 Definição 68 
2.11Teorema 69 
2.12 Definição 70 
2.13 Definição 71 
2.14 Definição 73 
2.15 Casos Particulares 74 
2.16 Lista de exercícios 77 
2.17 Teorema 78 
2.18 Teorema 78 
2.19 Propriedades 80 
2.20 Definição 81 
2.21. Teorema 83 
2.22 Corolário 84 
2.23. Teorema 84 
2.24. Corolário 84 
2.25. Definição 84 
2.26. Teorema 86 
2.27. Teorema 86 
2.28. Definição 87 
2.29 Definição (Transformações ) 89 
2.30 Definição(Transformações lineares) 89 
2.31 Propriedades das T L 90 
2.32 Casos Particulares 91 
2.33 Definição( Imagem de uma TL) 94 
2.34 Propriedade de Im( A ) 94 
2.35 Definição( Núcleo de uma TL) 94 
2.36 Definição ( Injetora e Sobrejetora ) 95 
2.37Propriedades do N(A) 95 
2.38Teorema. 96 
 
3 PRODUTO ESCALAR E PRODUTO VETORIAL 100 
3.1 Produto Escalar no Espaço IRn 100 
3.2 Propriedades 100 
3.3 Módulo de um vetor 101 
3.4Definição 102 
3.5 Definição 102 
3.6 Distância entre dois pontos 102 
3.7 Paralelismo e Ortogonalidade de dois vetores 103 
3.8Teorema 104 
3.9 Lista de Exercícios 104 
3.10 Ângulo de dois vetores 105 
3.11 Teorema 105 
3.12 Lista de Exercícios 106 
3.13 Definição 108 
3.14 Definição 108 
 
7 
3.15 Definição 109 
3.16Teorema 109 
3.17 Definição 109 
3.18 Projeção 0rtogonal: Caso Particular 110 
3.19 Cálculo de = onde 110 
3.20 Projeção Ortogonal : Caso Geral 111 
3.21 Lista de Exercícios 112 
3.22 Produto Vetorial 113 
3.23 Propriedades3.24. Produto Misto 114 
3.25 Cálculo do produto misto dos vetores 117 
3.26 Propriedades 118 
3.27 Vetores Coplanares 118 
3.28 Lista de Exercícios 120 
3.29 Áreas 121 
3.29.1 Área de um paralelogramo 121 
3.29.2 Área de um triângulo 122 
3.30 Volumes 123 
3.30.1 Volume de um paralelepípedo 123 
3.30.2 Volume de um tetraedro 124 
3.31 Lista de Exercícios 125 
 
4 AUTOVETORES E AUTOVALORES 129 
4.1 Definição 129 
4.2 Teorema 130 
4.3 Definição 131 
4.4 Exercícios resolvidos 131 
4.5 Afirmação 132 
4.6 Observação 135 
4.7 Lista de exercícios 136 
4.8 Definição( Matriz Semelhante ) 141 
4.9 Definição 141 
4.10Teorema 142 
4.11 Teorema 143 
4.12 Diagonalizando matrizes n x n 143 
4.13 Teorema 145 
4.14 Teorema 146 
4.15 Nota 147 
4.16 Teorema 147 
4.17 Lista de exercícios 150 
4.18 Observação 156 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 10 
1.1 Definição: Equação linear 10 
1.2 Solução de uma equação linear 10 
1.3 Definição : Sistema Linear 11 
1.4 Solução de um sistema de equações lineares 12 
1.5 Classificação 13 
1.6 Sistemas 2x2 : Interpretação Geométrica 14 
1.7 Sistemas Equivalentes 14 
1.8. Definição: Sistema Triangular 17 
1.9 Lista de exercícios 18 
1.10 Matrizes de um sistema Linear 19 
1.11 Definição: Forma Escada 21 
1.12 Definição: Método de Gauss 21 
1.13 Definição: forma escada reduzida por linhas 22 
1.14 Definição: Método de Gauss-Jordan 23 
1.15 Lista de exercícios 24 
1.16 Definição: Matriz 27 
1.17 Definição: Igualdade de Matrizes 27 
1.18 Definição: Multiplicação de uma matriz por um escalar 28 
1.19 Definição: Soma de Matrizes 28 
1.20 Definição: Diferença de matrizes 28 
1.21 Definição: Multiplicação de matrizes 28 
1.22Teorema 29 
1.23 Definição: Transposta de uma matriz 30 
1.24 Propriedades 30 
1.25 Definição: Matriz simétrica e matriz anti-simétrica 30 
1.26 Lista de Exercícios 30 
1.27 Tipos de Matrizes 32 
1.28 Definição: Matriz Invertível 33 
1.29 Definição: Matriz não-Invertivel 33 
1.30 Método para o cálculo de A-1 35 
1.31 Lista de exercícios 36 
1.32 Determinantes 38 
1.33 Definição : Menor e Cofator 40 
1.34 Definição( Caso Geral ) 41 
1.35 Teorema 42 
1.36 Teorema 43 
1.37 Teorema 43 
1.38 Lista de Exercícios 44 
1.39 Propriedades 45 
1.40 Teorema 46 
1.41 Teorema 47 
1.42 Lista de Exercícios 48 
1.43 Definição: Matriz Adjunta 49 
1.44 Lista de Exercícios 49 
 10 
 
 
 
 
10 
1. MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES 
 
 
1.1 . Definição: Equação linear 
 
Uma equação linear em n incógnitas é uma equação da 
forma 
bxaxaxa nn =+++ ...2211 ( 1 ) 
onde naaa ,...,, 21 e b são números reais e nxxx ,...,, 21 
são as variáveis 
 
Exemplos 
 
 São equações lineares 
a) x1 + x2 + 3x3 = 0 
b) 2x1 – x2 + 0x3 – 4x4 = 5 
Não são equações lineares 
a) x 21 + x2 + 3x3 = 0 
b) 2
1
21 x
x
+ = 5 
1.2 . Solução de uma equação linear 
 
 Entendemos por solução de uma equação linear da 
forma ( 1 ), a toda n-úpla ( nααα ,...,, 21 ) de números reais tal 
que 
baaa nn =+++ ααα ...2211 
 
Exemplos 
( -1, 3 ) é uma solução da equação linear 2x1 + x2 = 1 
 pois 2( - 1 ) + 3 = 1 
( 1, 2, -1) é uma solução da equação x1 + x2 + 3x3 = 0 
 
11 
pois 1 + 2 + 3 ( -1 ) = 0 
 ( 0, -5, 7, 0 ) é uma solução da equação 2x1 – x2 + 0x3 – 4x4 = 5 
 pois 2.0 – ( -5) + 0.7 – 4.0 = 5 
 
1.3 . Definição : Sistema Linear 
 
 Um sistema linear de m equações em n incógnitas ou 
um sistema linear m x n é um sistema da forma 
( )
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
2..........................................
...
...
2211
22222121
11212111
 
onde os ija e os ib são números reais 
 
Exemplos 
 
 a) é um sistema linear 2x2, isto é, 
um 
sistema linear contendo duas equações e cada uma com 
duas incógnitas. 
 
b) é um sistema linear 3x2, isto é, um 
sistema linear contendo duas equações e cada uma com três 
incógnitas. 
c) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++−
=+−
4573
053
832
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 é um sistema linear 3x3, isto é, um 
sistema linear contendo três equações e cada uma com três 
incógnitas. 
⎩⎨
⎧
=+
=−
1032
5
21
21
xx
xx
⎩⎨
⎧
=++
=++
7642
532
321
321
xxx
xxx
 
12 
) }⎩⎨
⎧⎜⎝
⎛ ∈+−− IRαααα ;,
3
1139,
3
49
1.4 Solução de um sistema de equações lineares 
 
Uma solução do sistema linear (2) é toda n-úpla 
( nααα ,...,, 21 ) que é solução de todas as equações que o 
compõe, isto é, 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
baaa
baaa
baaa
ααα
ααα
ααα
...
............................................
...
...
2211
22222121
11212111
 
 
 
NOTA: Conjunto solução do sistema (2) é o conjunto S 
formado por todas as suas soluções. 
 
Exemplos 
 a) ( 5, 0 ) é solução de 
⎩⎨
⎧
=+
=−
1032
5
21
21
xx
xx
 , pois 
⎩⎨
⎧
=+
=−
100.35.2
505
 
S = { ( 5,0 ) } é o conjunto solução deste sistema 
 b) ( 1, 2, -3 ) é solução de 
⎩⎨
⎧
−=+−
=−+
165
72
321
321
xxx
xxx
 , pois 
⎩⎨
⎧
−=−+−
=−−+
16)3(521
7)3(21.2
 
S = é o conjunto solução deste 
sistema 
 c) ( 2, -1, 1 ) é solução do sistema 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++−
=+−
4573
053
832
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
pois, 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−+
=+−+−
=+−−
41.5)1(72..3
01.5)1(32
81.3)1(12.2
 
 
13 
1.5 . Classificação 
 
 Um sistema (2) é dito homogêneo se bi = 0 para todo 
i = 1, 2, ..., m e não-homogêneo se bi ≠ 0 para algum 
i = 1, 2, ... , m 
 O sistema (2) é dito compatível se tiver pelo menos 
uma solução. 
 O sistema (2) é dito incompatível se não admitir 
solução. 
 
Exemplos 
a) 
⎩⎨
⎧
=+
=−
032
05
21
21
xx
xx
 é um sistema linear homogêneo 
b) 
⎩⎨
⎧
=+−
=−+
0723
1532
321
321
xxx
xxx
 é um sistema linear não homogêneo 
 
NOTA: Um sistema compatível é dito determinado se admitir 
solução única, e indeterminado se admitir mais de uma solução. 
 
Exemplos 
⎩⎨
⎧
=+
=−
1032
5
21
21
xx
xx
 é compatível e determinado pois ( 5, 0 ) é a 
única solução possível. 
⎩⎨
⎧
−=+−
=−+
165
72
321
321
xxx
xxx
 é compatível e indeterminado pois 
( 1, 2, -3 ) e ( -3, 13, 0 ) são duas soluções deste sistema. 
⎩⎨
⎧
=++
=++
7642
532
321
321
xxx
xxx
 é incompatível, isto é, tal sistema não 
admite solução. 
 
 
Saiba mais: veja 
http://www.cefetflo.edu
.br/floriano/PDF/Siste
mas%20Lineares.pdf 
 
 
 
14 
1.6 . Sistemas 2x2 : Interpretação Geométrica 
O sistema da forma 
⎩⎨
⎧
=+
=+
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
 é tal que cada equação 
pode ser representada graficamente por uma reta no plano e o par 
ordenado ( 21,αα ) vai ser uma solução se e somente se pertencer 
a ambas as retas. Daí temos 
 
x
y
rs = 
 
 
 
 
Sistema 
indeterminado 
x
y
r
 
 
Sistema 
incompatível
s
 
 
1.7 . Sistemas Equivalentes 
 
Diz-se que dois sistemas de equações m x n envolvendo as 
mesmas incógnitas são equivalentes se têm o mesmo conjunto 
solução 
 
 
 
Exemplo 
 
 Os sistemas 
(I) 
⎩⎨
⎧
−=−
=+
1
52
21
21
xx
xx
 (II) 
⎩⎨
⎧
=+
−=−
52
1
21
21
xx
xx
 
 
(III)
⎩⎨
⎧
−=−
=+
333
52
21
21
xx
xx
 (IV)
⎩⎨
⎧
=+
=+
1454
52
21
21
xx
xx
 são equivalentes pois em 
cada caso o conjunto solução é {( 1, 2 )} 
 
 
 
x
y
r
s
 
 
 
 
Sistema 
Determinado
 
15 
Observação 
 
 I. O sistema (II) foi obtido de (I) trocando a ordem de duas 
linhas ( L2 → L1 ) 
 II. O sistema (III) foi obtido de (I) multiplicando-se os dois ladosde uma equação por um número diferente de zero ( L2 → 3L2 ) 
 III. O sistema ( IV) foi obtido de (I) substituindo uma linha por 
sua soma com um múltiplo de outra linha ( L2 →L2 + 3L1 ) 
 
Exercícios resolvidos 
a) Usando as operações descritas na observação anterior, obter 
um sistema linear triangular equivalente ao sistema abaixo 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++−
=+−
4573
053
832
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
Solução 
Passo 1: Substituir a L2 por (-1)L2 
 
Passo 2: Trocar a L2 pela L1 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=+−
=−−
4573
832
053
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
Passo 3: Substituir a L2 por L2 + (-2)L1 
 e L3 por L3 + (-3)L1 
 
 
Passo 4: Substituir a L2 por 25
1 L 
 e L3 por - 316
1 L 
 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
=−−
42016
8135
053
32
32
321
xx
xx
xxx
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=−−
=+
=−−
16
4
16
20
5
8
5
13
053
32
32
321
xx
xx
xxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=−−
=+−
4573
053
832
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
16 
 
Passo 5: Substituir a L3 por L2 + L3 
 
 
 
Passo 6: Substituir a L2 por 25L 
 e L3 por 327
20 L 
 
 b) Os sistemas ( S`) 
⎩⎨
⎧
=+
=−
42
12
21
21
xx
xx
 e (S``) 
⎩⎨
⎧
=+
=−
62
1
21
21
xx
xx
 são 
equivalentes? Justifique 
 
Solução 
Para respondermos esta questão devemos obter o conjunto solução 
de ( S`) e ( S``). Deste modo temos 
⎩⎨
⎧
=+
=−
42
32
21
21
xx
xx
 
passo 1: L1 → L2 ⎩⎨
⎧
=−
=+
32
42
21
21
xx
xx
 
passo 2: L2 → L2 + (-2) L1 ⎩⎨
⎧
−=−
=+
55
42
2
21
x
xx
 
Daí temos 5x2 = 5 ou x2 = 1 e substituindo em L1 , fica x1 + 2 = 4 
ou x1 = 2 . Deste modo temos que S = {(2, 1)}. E assim sendo S` e 
S`` serão equivalentes se ( 2, 1 ) e somente ele for solução de S``. 
Verificando temos ⎩⎨
⎧
=+
=−
614
112
 e como 4 + 1 ≠ 6 podemos dizer que 
eles não são equivalentes pois possuem soluções diferentes. 
 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=+
=−−
20
27
20
27
5
8
5
13
053
3
32
321
x
xx
xxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+
=−−
1
8135
053
3
32
321
x
xx
xxx
 
17 
1.8. Definição: Sistema Triangular 
 Diz-se que um sistema n x n está em forma triangular 
se, na k-ésima equação, os coeficientes das k-1 primeiras 
variáveis são todos nulos e o coeficiente de xk , é diferente de 
zero ( k = 1, ... , n ) 
 
Exemplo 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+
=−−
1
8135
053
3
32
321
x
xx
xxx
 
 
Exercícios resolvidos 
a) Resolva o sistema 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+
=−−
1
8135
053
3
32
321
x
xx
xxx
 
 Solução: Temos que x3 = 1. Por substituição na linha L2 , 
temos 5x2 + 13.1 = 8 ou x2 = -1. E novamente por substituição na 
linha L1 temos 
x1 – 3 (–1 ) – 5.1 = 0 ou x1 = 2 . Daí a solução é ( 2, –1, 1 ) 
b) Resolva o sistema 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++−
=+−
4573
053
832
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 Solução: Como vimos no exercício anterior, a solução de um 
sistema na forma triangular é imediata. Desta forma para obtermos a 
solução devemos primeiramente escrevê-lo na forma triangular. 
 No caso deste sistema,este procedimento nos leva ao 
sistema do exercício resolvido na subunidade 1.8. e como eles são 
equivalentes temos que a solução procurada é 
( 2, -1, 1 ) 
 
Saiba mais: veja 
http://pessoal. 
sercomtel.com.br/ma
tematica/medio/matri
zes/sistemas.htm 
 
 
18 
NOTA: 
As operações usadas para escrever um sistema na 
forma triangular são chamadas de operações elementares 
sobre as linhas e são as seguintes: 
I. Trocar duas linhas 
II Multiplicar uma linha por um número real não-nulo 
III Substituir uma linha por sua soma com um múltiplo de 
outra linha 
 
1.9. Lista de exercícios 
 
 1. Resolva 
a) 
⎩⎨
⎧
=
=+
63
52
2
21
x
xx
 b) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
−=−
=++
3
2473
932
3
32
321
x
xx
xxx
 
 2.Nos sistemas a seguir, interprete geometricamente cada 
equação como uma reta no plano, faça o gráfico dessas retas e 
determine geometricamente o número de soluções 
a) 
⎩⎨
⎧
=−
=+
1
3
21
21
xx
xx
 b) 
⎩⎨
⎧
=+−
=−
442
42
21
21
xx
xx
 
c) 
⎩⎨
⎧
=+
=+
624
32
21
21
xx
xx
 d) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−
=+
33
1
1
21
21
21
xx
xx
xx
 
Solução da Lista 1.12. 
 
1.a) Como o sistema já está na forma triangular, tiramos o valor da 
incógnita da equação mais simples e em seguida substituímos na 
seguinte menos simples e assim sucessivamente. Desta forma temos 
3x2 = 6 e portanto temos x2 = 2 e daí a outra equação fica x1 + 4 = 
5 e x1 = 1. Solução : ( 1, 2 ). 
 
19 
⎩⎨
⎧
=−
=+
)(1
)(3
21
21
sxx
rxx
⎩⎨
⎧
=+−
=−
)(442
)(42
21
21
sxx
rxx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−
=−
=+
)(33
)(1
)(1
21
21
21
txx
sxx
rxx
⎩⎨
⎧
=+
=+
)(624
)(32
21
21
sxx
rxx
Y
X
 ( S )
 ( R )
1.b) De modo análogo temos x3 = 3 e substituindo na equação 
2 fica 3x2 – 21 = - 24 e daí tiramos x2 = - 1 e fazendo nova 
substituição na equação 1 temos x1 –2 + 9 = 9 e x1 = 2. Solução:( 2, -
1, 3 ) 
2a) 2b) 
S
Y
X2
1
( R )
 
 R. uma solução R. nenhuma solução 
 
2c) 2d) 
 
 
x
y
1
1
3
r = s 
x
y
1
1
r
s
t -3
-1
 
R. infinitas soluções R. nenhuma solução pois as 
 três retas não são concorrentes. 
 
1.10. Matrizes de um sistema Linear 
 
AFIRMAÇÃO 
 Ao sistema linear 
 
20 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...........................................
...
...
2211
22222121
11212111
 
podemos associar as seguintes matrizes: 
I) 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
....................
...
...
21
22221
11211
chamada matriz dos coeficientes 
II) 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
mb
b
b
M
2
1
chamada matriz dos termos independentes 
III) 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
....
...
...................
...
...
2
1
21
22221
11211
chamada matriz aumentada 
 
Exemplo 
 As matrizes aumentadas dos sistemas 
a) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
=+−
=++
5
543
753
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=−
=+
723
4
5
21
21
21
xx
xx
xx
 
são: 
a) 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
5
5
7
111
413
531
 b)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
7
4
5
23
11
11Exercícios resolvidos 
Escreva por extenso o sistema de equações correspondente 
a cada uma das matrizes aumentadas a seguir. 
 
21 
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 7
3
23
51
 
b)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
5
1
2
110
013
121
 
Solução 
a) 
⎩⎨
⎧
−=+
=+
723
35
21
21
xx
xx
 
b)
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
=++
5
13
22
32
21
321
xx
xx
xxx
 
 
1.11. Definição: Forma Escada 
Diz-se que uma matriz está em forma escada se: 
( i ) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é igual 
a 1 ( 
II ) Se a k-ésima linha não consiste apenas de zeros, o número 
de zeros no início da linha k+1 é maior do que o número de zeros 
no início da linha k 
( iii ) Se existirem linhas com todos os elementos iguais a zero, 
elas ficam abaixo de todas as linhas não-nulos 
 
 
Exemplos 
a) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
21
 b)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
210
101
 c)
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
000
210
031
 d) ⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
0000
1000
3100
0121
 
1.12. Definição: Método de Gauss 
Método de Gauss é o processo de usar as operações 
elementares para transformar um sistema linear em outro cuja 
matriz aumentada está em forma escada. 
 
 Exemplo 
Usando o método de Gauss resolva o sistema 
 
22 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
8
5
3
210
110
101
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=++
=+
1753
1132
3
321
321
31
xxx
xxx
xx
 
Solução 
A matriz aumentada do sistema é 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
17
11
3
513
312
101
 
Devemos usar as operações elementares e obter uma matriz em 
forma escada a partir da matriz aumentada acima 
Passo 1 L2 → L2 + (-2) L1 
 e L3 → L3 + (-3) L1 
 
 
passo 2 L3 → L3 + ( -1 ) L2 
 
 
Daí, o sistema equivalente obtido é 
 
 
E desta forma a solução é obtida a partir de L3 , isto é, x3 = 3 e 
substituindo em L2 temos x2 + 3 = 5 ou x2 = 2 e finalmente 
substituindo em L1 temos x1 + 3 = 3 ou x1 = 0. Solução ( 0, 2, 3 ) 
 
1.13. Definição: forma escada reduzida por linhas 
Uma matriz está em forma escada reduzida por linhas se: 
 ( i ) a matriz está em forma escada 
( ii ) o primeiro elemento não-nulo de cada linha é o único elemento 
diferente de zero na sua coluna 
 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
3
5
3
100
110
101
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
=+
=+
3
5
3
3
32
31
x
xx
xx
 
23 
1.14. Definição: Método de Gauss-Jordan 
O processo de usar operações elementares para colocar uma 
matriz em forma escada reduzida por linhas é chamado de método 
de Gauss-Jordan 
 
 Exercício resolvido 
Resolva o sistema abaixo, usando o método de Gauss-
Jordan. 
 
 
Solução: Tomamos a matriz aumentada 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
−
1
6
1
1
1
1
742
411
321
 
e aplicamos as operações elementares . 
Passo 1: Fazemos L2 → L2 + L1 
 e L3 → L3 + 2L1 
 
Passo 2 : Fazemos L1 → L1 + (-2)L2 
 
 
Passo 3: Fazemos L1 → L1 + 5.L3 
 e L2 → L2 +(-1)L3 
 
Daí temos 
3
4
26
4
4
4
3
2
1
=+
=−
=+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
x
x
x
x
x
x
 
 
Assim sendo, fazendo x4 = α ( denominada variável livre ), temos 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
3
7
1
1
0
1
100
110
321
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
3
4
2
1
1
6
100
010
001
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −−
3
7
13
1
0
1
100
110
501
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−−
=−+−−
=+−+
1742
64
132
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Saibamais:veja 
http://www.mat.u
fmg.br/~israel/E
nsino/AlgLinII/sis
t_lineares.html 
 
24 
x1 = 2 – 6α ; x2 = 4 + α ; x3 = 3 – α ; Portanto , as soluções são as 
quádruplas da forma ( 2 – 6α, 4 + α , 3 – α , α ), α ∈ IR. 
 
1.15. Lista de exercícios 
1. A matriz A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
31
32
00
11
está em forma escada? E em 
forma escada reduzida por linhas? Justifique. 
2. O sistema tendo A =
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1
2
4
0
1
1
0
0
1
como matriz aumentada é 
compatível? Justifique. 
3. Determine o conjunto solução do sistema tendo como 
matriz aumentada a matriz 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡ −
1
3
2
100
010
001
 
4. Use o método de Gauss-Jordan para resolver o sistema 
abaixo 
0
03
0
2
2
4
4
4
321
321
321
=+
=+
=+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−
−+
++
x
x
x
xxx
xxx
xxx
 
5. Suponhamos que um sistema linear tem a seguinte matriz 
aumentada: 
 
(a) Determine os valores de a 
e b para que o sistema seja 
compatível e 
indeterminado. 
(b) Para que valores de a e b o sistema é incompatível ? 
6. Determine o conjunto solução do sistema tendo uma 
matriz aumentada a seguinte matriz 
 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
ba
3
2
31
421
311
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
3
3
1
2
00
11
 
25 
Solução da Lista 
1. Sim, pois o primeiro elemento não nulo de cada linha é igual a 1 e 
na linha L2 o número de zeros no inicio da mesma é maior que o 
número de zeros no inicio da Linha L1 . 
Não está em forma escada reduzida por linhas porque o 
primeiro elemento não nulo da segunda linha acontece na segunda 
coluna e além dele tem outro não nulo na mesma coluna . 
2. Não, pois o sistema que tem esta matriz é: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=+
10
2
4
2
21
x
xx
 e 
podemos observar o absurdo 0 = 1 na equação L3 . 
3. Escrevendo o sistema equivalente obtemos 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
−=
1
3
2
3
2
1
x
x
x
 e 
daí a solução é o terno ordenado ( -2, 3, 1 ) . 
4. Para obtermos a solução deste sistema devemos usar as 
operações elementares e obter um sistema na forma mais simples 
possível.
 0
03
0
2
2
4
4
4
321
321
321
=+
=+
=+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−
−+
++
x
x
x
xxx
xxx
xxx
 
 
Passo 1 : L2 → L2 + ( - 2 ) L1 
 L3 → L3 + ( - 1 ) L1 
Passo 2 : L3 → L3 + ( - 3 ) L2 
03
0
0
9
3
4
4
4
3
32
321
=−
=+
=+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−
++
x
x
x
x
xx
xxx
 
 
Passo 3 : L2 → ( - 1 ) L2 
0
0
0
3
3 4
4
2
32
321
=
=+
=+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
−−
++
x
x
x
xx
xxx
0
3
1
0
0
3
4
4
4
3
32
321
=−
=−
=+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
++
x
x
x
x
xx
xxx
 
26 
 L3 → 
9
1
L3 
 
Passo 4 : L1 → L1 + ( -1 )L2 
 
Passo 5 : L1 → L1 + 2L3 
 L2 → L2 + ( - 3 ) L3 
 
Desta modo obtemos um sistema em forma escada reduzida por 
linhas tendo uma variável livre x4 e fazendo x4 = α o sistema fica 
 
 
 
e a solução são as quádruplas da forma ( - α
3
4
, 0, α
3
1
, α ) , ∈α 
IR 
5. a) Como no exercício anterior usaremos as operações 
elementares para obter um sistema equivalente e mais simples, para 
isso faremos: 
Passo 1: L2 → L2 + ( - 1 )L 1 
 L3 → L3 + ( - 1 )L 1 
 
Passo 2 : L3 → L3 + ( - 2 )L 2 
 
0
3
1
0
02
3
2
4
4
4
3
32
31
=−
=−
=+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
x
x
x
x
xx
xx
0
3
1
0
0
3
4
4
4
3
2
1
=−
=
=+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
x
x
x
x
x
α
α
3
1
0
3
4
3
2
1
=
=
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
x
x
x
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−− 2
12
320
110
311
ba
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−− 4
1
2
500
110
311
ba
 
27 
Desta forma temos 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=−
=+
=++
4)5(
1
23
3
32
321
bxa
xx
xxx
e podemos 
observar que o sistema será compatível e indeterminado se a = 5 e b 
= 4 e neste caso as soluções serão da forma ( 1 – 2α , 1–α , α ) . 
b) Será incompatível se a = 5 e b ≠ 4 
6. Da matriz ⎢⎢⎣
⎡
⎥⎦
⎤
3
3
1
2
00
11
 obtemos o seguinte sistema 
⎩⎨
⎧
=
=++
3
32
3
321
x
xxx
 e podemos observar que x2 é uma variável livre. 
Fazendo x2 = α e reescrevendo o sistema temos ⎩⎨
⎧
=
−=+
3
32
3
31
x
xx α
 
Como o sistema está na forma triangular sua solução é obtida 
facilmente como segue: x3 = 3 e substituindo na linha 1 temos x1 + 6 
= 3 - α ou x1 = -3 - α . Daí o conjunto solução é S = { ( -3 - α , α , 
3 ); α ∈ IR } 
 
1.16. Definição: Matriz 
 Matriz de ordem m x n é uma tabela retangular de números, 
contendo m linhas horizontais e n colunas verticais. 
 
Exemplos 
 A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
43
21
 é uma matriz de ordem 2x2 e B = [ ]542 é de 
ordem 1x3 
 
1.17. Definição: Igualdade de Matrizes 
Duas matrizes m x n, A = ( aij )mxn e B = ( bij )mxn, são 
ditas iguais se aij = bij para todos os i e j, 
A = B ⇔ aij = bij , ji ∀∀ , 
 
28 
1.18. Definição: Multiplicação de uma matriz por um escalar 
 Dados a matriz A = ( aij )mxn e um número real α , então a 
matriz αA é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento 
de A por α 
αA = ( xij )mxn onde xij = αaij para todos os i e j. 
 
Exemplo 
 Sendo A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
13
21
 e α = 2 temos 2A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
4
2
26
42
 
 
1.19. Definição: Soma de Matrizes 
 Sendo A = ( aij )mxn e B = ( aij )mxn então a matriz soma A 
+ B = S = ( sij )mxn onde sij = aij + bij para todos os i e j 
 
Exemplo 
Sejam A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
7
3
52
12
 e B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
12
13
 então A + B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
9
4
64
25
 
 
1.20. Definição: Diferença de matrizes 
 Sendo A = ( aij )mxn e B = ( bij )mxn então a matriz diferença A – B = 
D = ( dij )mxn onde dij = aij – bij para todos os i e j 
 
Exemplo 
Sejam A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
7
3
52
12
 e B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
12
13
 então A – B 
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
5
2
40
01
 
 
1.21. Definição: Multiplicação de matrizes 
 
 Dados A = ( aij )mxn e B = ( bij )nxq , a matriz P = AB é a matriz 
( pij )mxq onde cada pij é dado por ∑
=
n
k
kjikba
1
, isto é, pij = ai1b1j + ai2b2j + ... 
+ ainbnj 
 
 
29 
 
Exemplo 
 Sejam A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
1
5
2
2
3
1
 e B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
3
0
15
12
. Então P = AB é a matriz 
P = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
339
15831
6312
 
Observe que 
 p11 = a11 b11 + a12b21 = 1.2 + 2.5 = 12 
 p12 = a11 b12 + a12b22 = 1.1 + 2.1 = 3 
 ...................................................... 
 p33 = a31 b13 + a32b23 = 2.0 +1.3 = 3 
 
 
 
NOTA: O produto AB das matrizes A e B só é possível se o número 
de colunas da matriz A coincidir com o número de linhas da matriz B. 
 
 
 
1.22.Teorema 
 
 
 As afirmações a seguir são válidas para quaisquer que sejam 
os escalares βα e e quaisquer que sejam as matrizes A, B e C para 
as quais as operações indicadas estão definidas 
I) A + B = B + A 
 II) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 
 III) ( AB )C = A ( BC ) 
 IV) A( B + C ) = AB + AC 
 V) (A + B )C = AC + BC 
 VI) ( )αβ A = )( Aβα 
 VII)α (AB) = (α A)B = A(α B) 
 VIII) (α + β )A = α A + β A 
 IX)α ( A + B ) = α A + α B 
 
 
Observação: 
 
Em geral AB ≠ BA, isto é, a multiplicação de matrizes não é 
Comutativa 
 
Exemplo 
 
Sendo A= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
31
21
 e B= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
24
13
 temos AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
715
511
 e BA = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
146
94
 
 
 
1.23. Definição: Transposta de uma matriz 
 
30 
 
 A transposta de uma matriz A = ( aij )mxn é uma matriz 
de ordem nxm, indicada por At= ( bij )nxm e definida por bij = aji 
para i = 1, 2, ... , n e j = 1, 2, ... , m 
 
 
Exemplos 
 A transposta de A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
3
53
21
 é a matriz At = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
23
52
31
 
 A transposta de B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
53
12
 é a matriz Bt = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
51
32
 
 
1.24 Propriedades 
 
 (I) (At)t = A 
 (II) (α A)t = α At 
 (III) (A + B)t = At + Bt 
 (IV) (AB)t = BtAt 
 
 
1.25 Definição: Matriz simétrica e matriz anti-simétrica 
 
 
 Uma matriz A = ( aij )nxn é dita simétrica se At = A 
 Uma matriz A = ( aij )nxn é dita anti-simétrica se At = -A 
 
 
Exemplo 
A matriz A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
753
521
312
é simétrica e a matriz B = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
053
502
320
é 
anti-simétrica 
 
 
 
 
1.26. Lista de Exercícios 
 
 1. Se A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
53
12
 e B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
42
30
, calcule: 
 a) A + B b) AB c) A + Bt
 
 d) 2A – 3B e) (AB)t f) BtAt 
 
 
31 
2. Sendo A = 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
2
1
2
1
2
1
2
1
calcule A2, A3 e An , n ∈ IN 
 
3. Encontre matrizes A = ( aij )2 x 2 e B = ( bij )2 x 2 C = ( cij )2 x 2 tais que 
 a) AB = BA b) AB ≠ BA 
 c) AB = 0 e A≠ 0 e B ≠ 0 d) AC = BC e A ≠ B ( A≠0, B≠0 e 
C≠0 ) 
 
4. Sendo A = (aij )3 x 2 com aij = 2i + j , B = ( bij )3 x 2 com bij = i + 3j 
e C = ( cij )2 x 2 com cij = i2 + j + 1 , calcule: 
 a) A + B 
 b) A – B 
 c) At 
 d) ( A + B )t 
 e) Ct 
 
Solução Lista 1.31 
 
1. a) A + B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
95
42
 b) AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2910
102
 c) A + Bt = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
96
32
 
 d) 2A + 3B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2212
114
 e) (AB)t = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2910
102
 f) BtAt = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2910
102
 
2. A2 = 
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
2
1
2
1
2
1
2
1
 = A ; A3 = A2A = AA = A2 = A ; An = A 
 
3. a) A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
21
; B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
20
32
 pois AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
20
72
 = BA 
 b) A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
21
; B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
23
02
 pois AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
23
48
 e BA = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
83
42
; 
 c) A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
00
01
 ; B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
30
00
 pois AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
00
00
 e A ≠ 0 e B ≠ 0 
 
32 
 d) A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
00
01
 ; B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
02
00
 ; C = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
30
00
 . AC = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
00
00
 = BC e A 
≠ B ( A≠0, B≠0 e C≠0 ) 
 
5. a) A + B = ( Sij )3 x 2 onde sij = 3i + 4j 
 b) A – B = ( dij )3 x 2 onde dij = i – 2j 
 c) At = ( xij )2 x 3 onde xij = i + 2j 
 d) ( A + B )t = ( yij )2 x 3 onde yij = 4i + 3j 
 e) Ct = ( zij )2 x 2 onde zij = i + j2 + 1 
 
 
1.27. Tipos de Matrizes 
 
Matriz identidade é a matriz In = ( ijδ )n x n onde ijδ = 
⎩⎨
⎧
≠
=
jise
jise
0
1
 
 
 
Exemplo 
 A matriz identidade de ordem 2 é a matriz I2 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
01
 
 
Matriz triangular superior é a matriz A = ( aij )n x n tal que 
aij = 0 se i > j 
 
 
 
 
Exemplo 
 A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
230
312
 
 
 
 Matriz triangular inferior é a matriz A = ( aij )n x n tal que 
aij = 0 se i < j 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
33 
 A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
315
001
002
 
 
 Matriz diagonal é a matriz A = ( aij )n x n tal que aij = 0 se i ≠ j 
 
 
Exemplo 
 A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
3002
, B = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
000
003
 
 
 
1.28. Definição: Matriz Invertível 
 
 
 Uma matriz A n x n é dita invertível ou não-singular se 
existe uma matriz B nxn chamada inversa multiplicativa de A tal que 
AB = BA = In 
 
 
 
Exemplo 
 a) A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
31
52
é invertível pois B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
21
53
é tal que AB = BA 
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
01
= I2 
b) A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
341
230
231
 é invertível pois B = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
313
212
011
é tal que 
AB = BA = I3 
 
 
 
 
1.29. Definição: Matriz não-Invertivel 
 
 Uma matriz Anxn é dita singular ou não-invertível se ela não 
tem inversa multiplicativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
34 
 
 A= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
00
32
é singular pois ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
00
32
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
dc
ba
 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++
00
3232 dbca
 ≠ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
01
 = I 
 
 
Notação 
 
 Sendo A uma matriz invertível, indicaremos por A-1 a inversa 
multiplicativa de A 
 
 
Afirmação 
 
 Sendo A e B matrizes n x n invertíveis, temos: 
 I. (A-1)-1 = A II. (AB)-1 = B-1A-1 III. (At)-1 = 
(A-1)t 
 
 
Exemplo 
 
Dado A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
31
52
 A-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
21
53
 
 B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
57
23
 e B-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
37
25
 
 
Calculando 
a) AB temos AB = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
31
52
. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
57
23
 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
1724
2941
 
b) ( AB )-1 temos ( AB )-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
4124
2917
 
c) At temos At = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
35
12
 
d) ( At )-1 temos ( At )-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
25
13
 
e) B-1 A-1 temos B-1 A-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
37
25
. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
21
53
 = 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−
4124
2917
 
f) ( A-1 )t temos ( A-1 )t = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
25
13
 
 
35 
e constate que 
I) ( AB )-1 = B-1 A-1 
II) ( At )-1 = ( A-1 )t 
Para constatar, basta comparar os itens b) e e) e os itens d) 
e f) 
g) B-1 A-1 temos B-1 A-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
37
25
. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
21
53
 
= ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−
4124
2917
 
 
1.30 Método para o cálculo de A-1 
 
 Dado A uma matriz nxn. 
 1º Parte: Escreva a matriz aumentada [A|I] 
 2º Parte: Use as operações elementares de modo a 
transformar [A|I] em [I|B] 
 Assim sendo matriz B obtida desta forma é tal que B = A-1 
 
Exemplo 
 Obter a inversa de A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
341
230
231
 
 
1º Parte: Escrever a matriz aumentada 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
010
001
341
230
231
 
 
2º Parte: Usar as operações elementares na matiz aumentada 
Passo1: L3 → L3 + (-1)L1 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− 101
010
001
110
230
231
 
Passo 2: L2 → L3 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
010
101
001
230
110
231
 
Passo 3; L3 → L3 + (-3)L2 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
− 313
101
001
100
110
231
 
 
 
36 
Passo 4: L3 → (-1)L3 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
313
101
001
100
110
231
 
 
 
Passo 5: L1 →L1 + (-2)L3 
 L2 →L2 + (-1)L3 
 
Passo 6: L1 → L1 + (-3)L2 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
313
212
011
100
010
001
 
Daí A-1 = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
313
212
011
 
 
Exercício resolvido 
 
Verifique se A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
62
31
 é singular ou não invertível . 
1º Parte :Seja [ A | I ] = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
01
62
31
 a matriz aumentada 
2º Parte : Usar as operações elementares na matiz aumentada 
Passo 1: L2 → L2 + ( -2 )L1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 12
01
00
31
 
Daí de acordo com a observação anterior, podemos concluir que a 
matriz A é singular ou não invertível 
 
 
 
1.31. Lista de exercícios 
 
1. Usando o método acima, determine A-1 sendo A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
31
52
. 
2. Verifique se A-1 = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
100
110
011
 onde A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
110
111
 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
313
212
627
100
010
031
Observação 
Se a aplicação das 
operações elementares 
na matriz [ A | In ] resultar 
em alguma linha nula não 
sendo possivel a 
obtenção de [ In | B ] 
significa que a matriz A é 
singular ou não invertível. 
 
37 
3. Sendo A, B, C matrizes n x n onde A é invertível, resolva as 
equações 
 a) AX + B = C 
 b) XA + B = C 
4. Sendo A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
31
52
 , B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
73
32
 e C = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
127
00
 
Resolva a equação AX + B = C 
 
 
Solução da Lista 1.31 
 
1. 1ª Parte: Escrever a matriz aumentada ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
10
01
31
52
 
 
2ª Parte : Usar as operações elementares na matiz aumentada 
 
Passo 1: L2 → L1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
01
10
52
31
 
 
Passo 2: L2 → L2 + ( -2 ) L1 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−− 21
10
10
31
 
 
Passo 3: L1 → L1 + ( 3 ) L2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
− 21
53
10
01
 
 
Passo 4: L2 → ( -1 ) L2 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
21
53
10
01
. 
 
Daí, A-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
21
53
 
2. Devemos usar a definição de produto de matrizes e verificar 
se AA-1 = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
110
111
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
100
110
011
 = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
100
010
001
. E isto é 
fácil de constatar. 
Saiba mais: veja 
http://www.interaula.
com/matweb/medio/
206/mod206a.htm 
 
 
38 
3. a) AX + B = C ou AX = C – B. Como existe A-1 podemos 
multiplicar à esquerda os membros da igualdade e usar as 
propriedades da multiplicação de matrizes. 
 A-1( AX ) = A-1( C – B ) 
 ( A-1 A)X = A-1( C – B ) 
 IX = A-1( C – B ) ou X = A-1( C – B ) 
 b) XA + B = C ou XA = C - B . De modo análogo ao anterior, 
( produto à direita ) obtemos 
 ( XA ) A-1 = ( C - B ) A-1 
 X( A A-1) = ( C - B ) A-1 
 XI = ( C - B ) A-1 ou X = ( C - B ) A-1 
 
4. De acordo com a solução da equação 3.a) anterior temos 
x = A-1 ( C – B ) e daí temos 
x = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
21
53
 ⎟⎟⎠
⎞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥⎦
⎤
⎜⎜⎝
⎛
⎢⎣
⎡
73
32
127
00
 
x = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
21
53
 . ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−
1310
3426
54
32
 
 
 
1.32. Determinantes 
 
A apresentação da definição de determinantes de uma matriz 
A = ( aij ) n x n será feita através de casos particulares. Analisaremos 
para os casos n = 1, n = 2 , n = 3 e em seguida estenderemos para 
um n inteiro positivo qualquer. 
 
 
Definição 
 
 
01. Casos Particulares 
 
 Se A = ( aij ) 1 x1 então o determinante de A, denotado por det A, 
é o número real 11a , isto é, det A = 11a 
 
 
39 
 
Exemplo 
 Se A = [ 3 ], então det A = 3 
 Se B = [ -5 ], então det B = -5 
 
 Se A= 11 12
21 22
a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
então o determinante de A é o número real 
dado por 11 22 12 21a a a a− , isto é, det A = 11 22 12 21a a a a− 
 
 
Exemplos: 
 
Se A = 
2 3
4 8
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ então det A = 2 . 8 – 4 . 3 = 4 
Se B =
3 2
5 6
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦ então det B = 3 . 6 – 2 . (-5) = 18 + 10 = 28 
 
 Se = 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 então o determinante de A é o número 
real 
dado por det A = 
−++ )( 133221312312332211 aaaaaaaaa
)( 113223332112312213 aaaaaaaaa ++ 
 
 
Exemplos 
Se A = 
1 2 3
3 2 1
1 5 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
então det A = ( 1.2.3 + 2.1.1 + 3.5.3 ) – ( 3.2.1 + 1.5.1 + 3.3.2 ) 
 = ( 6 + 2 + 45 ) – ( 6 + 5 + 18 ) = 53– 29 = 24 
 Se B = 
2 0 5
3 1 1
2 2 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
então det B = ( 0 + 0 + 30 ) – (–10 + 0 + 4 ) = 30 + 6 = 36 
 
 
1.33. Definição : Menor e Cofator 
 
Dado A = ( aij )n x n , seja Mij a matriz [ n – 1 ] x [ n – 1 ] obtido 
de A retirando-se a linha e a coluna que contém aij. Chamamos de 
Saiba mais:veja 
http://www.mat.uc.pt/~
meresa/ALGA(Civil)05
-06/cap1.pdf 
 
40 
determinante menor de aij o determinante de Mij e chamamos de 
cofator Aij de aij o produto do determinante menor por (-1)i+j, isto é , 
Aij = (-1)i+j det Mij 
 
 
Exemplo 
Sendo A = 
2 3
4 7
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ temos 
M11 = [ 7 ] ; M12 = [ 4 ] ; M21 = [ 3 ] ; M22 = [ 2 ] 
A11 = (-1)2.7 = 7 ; A12 = (-1)3.4 = – 4 ; A21 = (-1)3.3 = –3 ; A22 = (-
1)4.2 = 2 
 
NOTA: Sendo A = 11 12
21 22
a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
 vimos que det A = a11a22 – a12a21 e daí 
podemos observar que det A = a11.A11 + a12A12 
 Sendo A = 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 temos que 
M11 = 
22 23
32 33
a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
 M12 = 
21 23
31 33
a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
 e M13 = 
21 22
31 32
a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
 
A11= (-1)2 ( 22 33 23 32a a a a− ) = 22 33 23 32a a a a− ; A12 = (-1)3 ( 21 33 23 31a a a a− 
) = - 21 33 23 31a a a a+ 
A13 = (-1)4 ( 21 32 22 31a a a a− ) = 21 32 22 31a a a a− . 
 
 Sabemos que 
det A = ( a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 ) – ( a13a22a31 + a12a21a33 
+a11a32a23 ) 
reagrupando temos 
det A = ( a11a22a33 - a11a32a23 ) + (a12a23a31 - a12a21a33 ) + (a13a32a21 - 
a13a22a31 ) 
 
 
colocando em evidencia os termos comuns, temos 
det A = a11( a22a33 - a32a23 ) + a12 ( a23a31 - a21a33 ) + a13 ( a32a21 - a22a31 
) 
e daí podemos observar que det A = 11 11 12 12 13 13a A a A a A+ + 
 
41 
 
1.34. Definição( Caso Geral ) 
 
 
 Sendo A = ( aij )nxn , o determinante de A é o número real, 
denotado por det A , e definido por: 
 det A = 11
11 11 12 12 1 1
1
... 1n n
a se n
a A a A a A se n
=⎧⎨ + + + >⎩
 
onde A1j = (-1)1+jdet M1j, j = 1, 2, ... , n , são os cofatores associados 
aos elementos da primeira linha de A. 
 
 
OBSERVAÇÃO: Na definição anterior a expansão em cofatores feita 
pela linha 1 pode ser feita por qualquer outra linha ou coluna de A 
obtendo-se em todos os casos o mesmo valor.. 
 
 
Exemplo 
 
Se A = 
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
3122
4011
3520
2431
 
então det A = 1.A11 + 3.A12 + 4.A13 + 2.A14 , onde 
A11 = ( -1 )2 det 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
312
401
352
 = 66; A12 = ( -1 )3det 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
312
401
350
 
= – 22; 
A13 = ( -1 )4 det 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
322
411
320
 = – 22; A14 = ( -1 )5det 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
122
011
520
 = 22 
 
Daí temos , det A = 1.A11 + 3.A12 + 4.A13 + 2.A14 = 1. 66 + 3 (–22 ) + 
4 (–22 ) + 2.22 = – 44 
Fazendo agora a expansão pela coluna 1, temos: 
 
42 
A11 = ( -1 )2 det 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
312
401
352
 = 66; A21 = ( -1 )3det 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
− 312
401
243
 = 
– 34; 
A31 = ( -1 )4 det 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
312
352
243
 = -78; A41 = ( -1 
)5det
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
401
352
243
 = – 94; 
 
Daí, det A = 1.A11 + 0.A21 + ( -1 ).A31 + 2.A41 = 1.66 + 0( – 34 ) + (-1 ) 
(– 78 ) + 2 (– 94 ) = – 44 
 
 
1.35 . Teorema 
 
 Se A = ( aij )nxn então det A = det (At ) 
 
 
Exemplos 
 
Se A = 
1 3
5 7
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ então A
t = 
1 5
3 7
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ e det A = det A
t = 1.7 – 5.3 = 7 – 
15 = – 8 
 
 
 
 
 
1.36. Teorema 
 
 Se A = ( aij )nxn é triangular, então o determinante de A é igual 
ao produto dos elementos da diagonal de A, isto é, 
 det A = a11a22 ... ann 
 
 
Exemplo 
 Se A = 
1 3 2
0 5 0
0 0 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 então det A = 1.5.2 = 10 
 
 
1.37. Teorema 
 
43 
 
 Seja A = ( aij )nxn então: 
 Se A tem uma linha ou coluna contendo apenas zeros, 
então det A = 0 
 Se A tem duas linhas ou duas colunas idênticas, então det A = 0 
 
 
Exemplo 
 
 Se A = 
3 0 2
5 0 3
7 0 5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 então 
 det A = 12 12 22 22 32 32a A a A a A+ + = 12 22 320. 0. 0.A A A+ + = 0 
 
 Se A = 
2 3
2 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ então de det A= 2.3 – 2.3 = 0 
 Se A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
5`22
522
531
 então 
 det A = 1( -1)2.det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
52
52
 + 3( -1 )3det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
52
52
 + 5( -1)4.det 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
22
22
 = 1.0 - 3.0 + 5.0 = 0 
 
 
 
 
1.38. Lista de Exercícios 
 
1. Seja A = 
1 3 2
5 4 3
2 1 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
a) Encontre M21 , M 2 2 e M23 
b) Determine os valores de A21, A22, A23 
c) Usando os itens a) e b) calcule o det A. 
 
 2. Calcule cada um dos determinantes a seguir 
 a) [-7] 
 
44 
b) 
3 5
1 2
⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 
c) 
8 1
7 1
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦ 
d) 
3 1 2
4 5 3
1 2 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
3. Determine os valores de λ para os quais o determinante abaixo é 
igual a zero 
λ
λ
−
−
33
42
 
 
 
Solução lista 1.38 
 
1. a) M21 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
01
23
; M22 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
02
21
 ; M23 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
12
31
 
 b) A21 = ( -1 )3 det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
01
23
 = ( -1 ) ( -2 ) = 2 
 A22 = ( -1 )3 det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
01
23
 = 1 . ( -4 ) = -4 
 A23 = ( -1 )5 det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
12
31
= ( -1 ) ( -5 ) = 5 
 c) det A = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 
 det A = 5 . 2 + 4 (-4) + 3 . 5 = 9 
 
2. a) det [ -7 ] = – 7 
 b) det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−− 21
53
= 3 ( -2 ) – 5 ( -1 ) = – 6 + 5 = –1 
 c) det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
17
18
= 8 . 1 – ( -1 ) ( -7 ) = 8 – 7 = 1 
 
45 
 d) det 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
021
354
213
 = ( 3 . 5 . 0 + 1 . 3 .1 + 2 . 4 . 2 ) – ( 2 
.5. 1 + 1 . 4 .0 + 3 . 2 . 3 ) = ( 3 + 16 ) – ( 10 + 18 ) = 19 – 28 = – 9 
3. λ
λ
−
−
33
42
= 0 
 ( 2–λ ) ( 3 – λ ) – 12 = 0 
 6 - 2λ - 3λ + λ 2 – 12 = 0 
 λ 2 – 5λ – 6 = 0 
 λ = – 1 ou λ = 6 
 
1.39. Propriedades 
 
 i. Trocando-se a ordem de duas linhas ou colunas de uma matriz 
A= (aij)nxn troca-se o sinal do determinante 
 
 
 
 
Exemplo 
 Sendo A = 
1 3
2 8
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ temos det A = 1.8 – 3.2 = 2 e sendo B = 
2 8
1 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ a matriz obtida de A trocando-se as linhas obtemos det B = 
2.3 – 8.1 = -2 = - det A 
 
II. Multiplicando-se uma única linha ou coluna de uma matriz 
A=(aij)nxn por um escalar o determinante da nova matriz é igual ao 
determinante de A multiplicado por este escalar. 
 
 
 
Exemplo 
Seja A = 
1 2 1
3 1 5
2 7 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 então o det A = ( 1 + 20 + 21 ) - ( 2 + 35 + 
6 ) = 42 - 43 = – 1. Seja B a matriz obtida de A multiplicando-se a 
 
46 
linha 2 por 3. Temos B = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
172
1539
121
 e daí, det B = ( 3+ 60 + 63) – 
( 6 +105 +18 ) = 126 – 129 = – 3 = 3 det A 
 
 III. Somando-se um múltiplo de uma linha a uma outra linha de A 
obtém-se uma matriz B cujo determinante é o mesmo de A 
 
 
 
Exemplo 
Sendo A = 
1 2 3
3 1 4
5 0 7
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 temos det A = ( 7 + 40 + 0) – ( 15 + 42 + 0) = 
47-57 = -10 
 Seja B a matriz obtida de A somando-se a linha 3 o dobro da 
linha 1, isto é, seja 
B = 
1 2 3
3 1 4
7 4 13
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
. Daí temos det B = ( 13 + 36+ 56 ) – ( 21 + 16 + 78 ) 
= 105 – 115 = -10 = det A1.40. Teorema 
 
 Se A e B são matrizes n x n, então det (AB) = det A det B 
 
 
Exemplos 
 Sendo A = 
2 1
3 5
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ e B = 
1 3
2 4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ temos que AB = 
4 10
13 29
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
Daí temos det A = 7, det B = –2 e detAB = – 14 = detA det B 
 
 
NOTA: Se A é uma matriz não singular então existe uma matriz B tal 
que AB = BA = I e usando o teorema anterior temos que det A det B 
= det I = 1. Desta forma podemos observar que se A é não-singular 
então det A ≠ 0 
 
 
 
1.41. Teorema 
 
47 
 
 Uma matriz é singular se e somente se det A = 0 
 
 
1.42. Lista de Exercícios 
 
 1) Calcule o det A em cada um dos casos 
 a) A = 
2 1
4 2
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ b) 
1 3 2
2 1 5
3 7 0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 c) 
2 1 3 4
1 0 3 2
2 1 5 1
0 2 1 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 2) Das matrizes da questão anteriores, quais são não-singular? 
 
 3) Sabendo que det A = 2, det B = 3 e que A e B são matrizes 3 x 
3, calcule: 
 a) det ( AB ) 
 b) det ( 2AB ) 
 c) det ( A-1B ) 
 d) det ( AB )-1 
Solução da lista 1.49 
1.a) det A = det ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
24
12
= 2 . 2 – 1 . 4 = 4 – 4 = 0 
 
 b) det A = det 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
073
512
231
 = 2 . A13 + 5 . A23 + 0 . A33 
 = 2 ( -1 )4 
73
12
 + 5 ( -1 )5 
73
31
 + 0 . ( - 1 )6 
12
31
 
 = 2 . 1 ( 11) + 5 ( -1 ) ( -2 ) + 0 . 1 . ( -5 ) = 22 + 10 = 32 
 
c) det 
1120
1512
2301
4312
 = 2 . A11 + 1 . A21 + 2 . A31 + 0 . A41 
 
48 
= 2 ( -1 )2 
112
151
230
 + 1 ( -1 )3 
112
151
431
+ 2 ( -1 )4 
112
230
431
 + 0 ( -1 )5 
151
230
431
 
= 2 . 1 (–-15 ) + 1 . (–1 ) (–29 ) + 2 . 1 . (–11 ) + 0 (–1 ) (–13 
) = – 30 + 29 – 22 + 0 = –23 
 
2. São não-singulares as matrizes dos itens b) e c) pois ambas tem 
det A ≠ 0 
 
3. a) det ( AB ) = det A det B = 2 . 3 = 6 ( teor 1.40) 
 b) det ( 2AB ) = 23 det ( AB ) = 8 . 6 = 48 ( propriedade II – 1 
39 ) 
 c) det ( A-1 B ) = det A-1 det B = 
2
33.
2
1 = 
 d) det ( AB )-1 = 
6
1
)det(
1 =
AB
 
 
1.43. Definição: Matriz Adjunta 
 
 Sendo A = ( aij )nxn , chamamos de adjunta de A a matriz adjA 
= ( Aij )tnxn onde Aij é o cofator de aij. 
 
Exemplo : Dado A = 
1 3 2
2 1 5
3 2 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 , pede-se : 
a) adjA 
b) A( adjA ) 
c) detA 
d) A-1 
a) Sendo A = 
1 3 2
2 1 5
3 2 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 então adj A = 
7 5 13
9 3 1
1 7 5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 
 
49 
Pois A11 = ( -1 )2 
1 5
2 3
= –7 ; A12 = ( -1 )3 
2 5
3 3
= 9 
 A13 = ( -1 )4 
2 1
3 2
 = 1 ; A21 = ( -1 )3 
3 2
2 3
 = -5 
 A22( -1 )4 
1 2
3 3
= -3 ; A23 = ( -1 )5 
1 3
3 2
 = 7 
 A31 = ( -1 )4 
3 2
1 5
 = 13 ; A32 = ( -1 )5 
1 2
2 5
 = –1 
 A33 = ( -1 )6 
1 3
2 1
 = – 5 
b) A(adjA) = 
1 3 2
2 1 5
3 2 3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-
7 5 13
9 3 1
1 7 5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 = 
22 0 0
0 22 0
0 0 22
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
 
c) det A = 22 
d) A-1 = 
1
22
 
7 5 13
9 3 1
1 7 5
− −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
 pois A ( adj A ) = detA I 
E daí A (
1
det
adj A
A
) = I. Desta forma A-1 = 
1
det
adj A
A
 
 
 
1.44. Lista de Exercícios 
 
1. Para cada uma das matrizes a seguir, calcule: 
 a) det A 
 b) adj A 
 c) A-1 
i) A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
− 31
12
 
ii) A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−− 122
121
113
 
 
50 
iii) A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
111
011
001
 
 
Solução lista 1.44 
 
a) i) det A = 7 ii) det A = 1 iii) det A = 1 
 
b) i) Adj A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −
21
13
 ii) adj A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−
542
211
110
 
 iii) adj A = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
110
011
001
 
c) i) A-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
21
13
7
1
det
1 adjA
A
 
 ii) A-1 = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−−−
−−
=
542
211
110
det
1 adjA
A
 
 iii) A-1 = 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
110
011
001
det
1 adjA
A
 
 
 
 
Bibliografia 
 
Boldrini,José Luis. Álgebra Linear. São Paulo: Ed Harbra e & Row 
do Brasil, 1980. 
 
Lay, David C. . Álgebra linear e Suas Aplicações. Rio de Janeiro: 
Ed LTC, 1999. 
 
Leon, Steven J. Álgebra Linear com Aplicações. Rio de Janeiro: Ed 
LTC, 1999. 
 
 
 
 
 
51 
Web-Bibliografia 
 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistemas.
htm 
http://www.ime.unicamp.br/~asaa/matr.pdf 
http://www.decom.ufop.br/prof/marcone/Disciplinas/CalculoNumerico/
Sistemas.pdf 
http://matematiques.sites.uol.com.br/assuntos/segundo/sistematrizes.
htm 
http://www.dcc.ufrj.br/~rincon/Disciplinas/Algebra%20Linear/Aula_00
6.pdf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
2 ESPAÇOS VETORIAIS 54 
2.1 Definição 54 
2.2 Propriedades de um Espaço Vetorial 55 
2.3 Subespaços Vetoriais 56 
2.4 Casos Particulares 57 
2.5 Lista de exercícios 59 
2.6 Aplicação 61 
2.7 Teorema 61 
2.8 Teorema (Interseção de Subespaço) 63 
2.9 Teorema ( Soma de subespaços ) 64 
2.10 Definição 68 
2.11Teorema 69 
2.12 Definição 70 
2.13 Definição 71 
2.14 Definição 73 
2.15 Casos Particulares 74 
2.16 Lista de exercícios 77 
2.17 Teorema 78 
2.18 Teorema 78 
2.19 Propriedades 80 
2.20 Definição 81 
2.21. Teorema 83 
2.22 Corolário 84 
2.23. Teorema 84 
2.24. Corolário 84 
2.25. Definição 84 
2.26. Teorema 86 
2.27. Teorema 86 
2.28. Definição 87 
2.29 Definição (Transformações ) 89 
2.30 Definição(Transformações lineares) 89 
2.31 Propriedades das T L 90 
2.32 Casos Particulares 91 
2.33 Definição( Imagem de uma TL) 94 
2.34 Propriedade de Im( A ) 94 
2.35 Definição( Núcleo de uma TL) 94 
2.36 Definição ( Injetora e Sobrejetora ) 95 
2.37Propriedades do N(A) 95 
2.38Teorema. 96 
 
 
 
 
 
 
54 
2 ESPAÇOS VETORIAIS 
2.1 Definição 
 Um Espaço Vetorial é um conjunto não-vazio E de objetos , 
chamados vetores, sobre os quais estão definidas duas operações, 
chamadas soma e multiplicação por escalar, satisfazendo as 
seguintes propriedades, para todos os ur , vr e wr de E e todos os α 
e β reais: 
 A1 : A soma de u
r
 e vr , denotada por vu rr + , pertence a E 
 A2 : uvvu
rrrr +=+ 
 A3 : ( ) )( wvuwvu rrrrrr ++=++ 
 A4 : Existe um vetor nulo 0 ∈ E, tal que ur + 0 = ur 
 A5 : Para cada vetor u
r
 ∈E, existe um vetor - ur ∈ E tal que ur 
+ ( - ur ) = 0 
 M1 : O múltiplo escalar de u
r
 por α , denotado por α ur , 
pertence a E 
 M2 :α ( vu rr + ) = vu rr αα + 
M3 : ( ) uuu rrr βαβα +=+ 
 M4 : vv
rr )()( βαβα = 
 M5 : 1 v
r
 = vr 
 
 Exemplos 
 
 i) IR² = { (x, y ): x ∈ IR e y ∈ IR } é um espaço vetorial real 
com as operações de adição e multiplicação por escalar definidas 
por: 
( x1, y1 ) + ( x2, y2 ) = ( x1 + x2, y1 + y2 ) 
α ( x, y ) = (α x, α y ) 
 ii) IRn = { ( x1, x2,..., xn ) : xi ∈ IR, i = 1, 2,…,n } é um espaço 
vetorial real com as operações de adição e de multiplicação por 
escalar definidas por: 
( x1, x2, …, xn ) + ( y1, y2, … , yn ) = ( x1 + y1, … , xn + yn ) 
α .( x1, x2, … , xn ) = (α x1, α x2, … , α xn ) 
Para mais 
informacões, veja: 
http://www.dcc.ufrj.
br/~rincon/Discipli
nas/Algebra%20Li
near/Aula_002.pdf 
 
55 
 iii) O conjunto Mm×n(IR) das matrizes com m linhas e n colunas 
com elementos de IR, com as operações usuais de adição e 
multiplicação por um escalar éum espaço vetorial real. 
 iv) O conjunto P[IR] de todas as funções polinomiais da forma: 
p(x) = a0 + a1 x + a2 x² +…+ an xn 
onde ai ∈ IR , i = 0, 1, 2, … , n , n ∈ IN, em relação às operações 
usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial 
real. 
 
2.2. Propriedades de um Espaço Vetorial 
i) Existe um vetor nulo em E, isto porque se 0 e 0’ são vetores 
nulos de E, temos que 0’ = 0’ + 0 = 0 + 0’ = 0 
ii) Cada vetor vr ∈E admite um único simétrico - vr ∈E. 
iii) Para quaisquer ur , vr e wr de E, se ur + vr = ur + wr , 
então vr = wr , 
iv) Qualquer que seja vr ∈E, tem-se – ( - vr ) = vr . 
v) Qualquer que sela ur , vr de E, existe um e somente um wr 
de E tal que ur + wr = vr 
vi) Se v ∈ V, então 0.v = 0. Isto porque 
0 = 0.v − 0.v = ( 0 − 0 ).v = 0.v. 
vii) Se a ∈ K, então a.0 = 0. Isto porque 
0 = a.0 − a.0 = a.(0 − 0 ) = a.0. 
viii) Se v ∈ V, ( − 1).v = − v. Isto porque 
( − 1).v + v = ( − 1).v + 1.v = (( − 1) + 1).v = 0.v = 0. 
ix) Se a ∈ IR e v ∈ V, então a.( − v) = − (a.v ). Isto porque 
 
56 
a.( − v ) + a.v = a.( − v + v ) = a.0 = 0. 
 
 
2.3. Subespaços Vetoriais 
 
Definição 
 
 Seja E um espaço vetorial . Um subconjunto W de E é dito 
subespaço vetorial de E se ele é tal que são satisfeitas as três 
seguintes condições: 
 1ª) o vetor nulo pertence a W 
 2ª) quaisquer que sejam dois vetores ur e vr de W, a soma ur + 
vr também pertence a W. 
 3ª) qualquer que seja o vetor vr de W e qualquer que seja o 
número real k, o vetor k vr também pertence a W. 
 
 
Exemplos 
 a) Seja E = IR2 e seja o subconjunto W = {( x, x ); x ∈ IR }, isto 
é, W é formado por todos os pares ordenados que apresentam 
coordenadas iguais. Graficamente, W é representado pelos pontos 
das bissetrizes dos quadrantes de números um e três , conforme 
figura abaixo. 
y
x0
W
x
x P ( x, x )
 
 
W é um subespaço pois : 
 1º) ( 0, 0 ) ∈ W 
 2º) Sendo ur = ( m, m ) e vr = ( n, n ) vetores de W,e 
calculando a soma vu rr + obtemos vu rr + = ( m + n , m + n ) que é 
um elemento de W. 
 3º) Multiplicando um número real qualquer k por um 
elemento ur = ( m, m ) de W o resultado ainda pertence a W, pois 
k ( m, m ) = ( km, km ) ∈ W 
 
57 
 
 b) Seja E = IR3 e seja o subconjunto W = {( x, x, z ); x ∈ IR }, isto 
é, W é formado por todos os ternos ordenados que apresentam as 
duas primeiras coordenadas iguais. 
Graficamente, W é representado pelo plano bissetor dos planos x0z 
e y0z, conforme figura abaixo. 
1
1
u
v
y
x
z
0
 
 W é um subespaço pois: 
 
 1º) ( 0, 0, 0 ) ∈ W 
 2º) Sendo ur = ( m, m, p ) e vr = ( n, n, q ) vetores de W,e 
calculando a soma vu rr + obtemos vu rr + = ( m + n , m + n, p + q ) 
que é um elemento de W. 
 3º) Multiplicando um número real qualquer k por um 
elemento ur = ( m, m, p ) de W o resultado ainda pertence a W, 
pois k ( m, m, p ) = ( km, km, kp ) ∈ W 
 
 
 
2.4. Casos Particulares 
 
 
a) Todo espaço vetorial E admite pelo menos dois subespaços, 
chamados “triviais” que são: o conjunto { 0 } ( subespaço nulo ) e o 
próprio espaço E. 
 
b) Demonstra-se que os subespaços do IR2 são: 
Saiba mais: 
Para maior 
aprofundamento 
sobre plano bissetor 
consulte o livro de 
Geometria do Autor 
Aref Antar Neto.ED 
Moderna 
 
58 
 i) O subconjunto W = {(0, 0)}, 
 ii) O próprio IR2 
 iii) Os subconjuntos W = { ( x, y ) ∈ IR2 / y = ax , a ∈ IR } ou 
x = 0, cujas representações gráficas são retas passando pela 
origem do sistema cartesiano. 
x
y
0 1
a
W
 
 
Exemplo 
 
 O conjunto W = {( x, 3x ) / x ∈ IR } é subespaço do IR2 pois 
sua representação gráfica é a reta de equação y = 3x que passa 
pela origem do sistema cartesiano e pelo ponto P ( 1, 3 ) 
. 
1
3
x
y
0
 W
 
c) Demonstra-se que os subespaço do IR3 são: 
 i) O subconjunto W= {(0, 0, 0)} 
 ii) O próprio IR3 
 iii) Os subconjuntos W = { ( x, y, z ) ∈ IR3 / ( x, y, z ) = t( a, b, c ) , t 
∈IR }, ur = ( a, b, c ) chamado vetor diretor da reta ( subconjuntos 
cujas representações gráficas são retas passando pela origem do 
sistema cartesiano) 
Saiba mais 
Veja: 
http://www.ucs.br/c
cet/deme/vslavier/
alglin/subespaco/s
ub_esp.htm 
 
59 
x
y
W
z
 u
0
 
 iv) Os subconjuntos W = {( x, y, z )∈IR3 / ax + by + cz = 0, ( 
a, b, c )≠ ( 0, 0, 0 )}, ur = ( a, b, c ) chamado vetor normal ao plano ( 
subconjuntos cujas representações gráficas são planos passando 
pela origem do sistema cartesiano ). 
x
y
z
 u
0
 
Exemplos 
 
 O conjunto W = {(x, y, z)} ∈ IR3 / x = 2t, y = 3t, z = 0, t ∈IR } é 
um subespaço do IR3, pois é um conjunto cuja representação gráfica 
é uma reta que passa pela origem e tem ur = ( 1, 2, 0 ) como vetor 
diretor. 
 
 O conjunto W = {(x, y, z)} ∈ IR3 / x – y = 0} é subespaço do IR3, 
pois sua representação gráfica é um plano passando pela origem e 
tendo ur = ( 1, -1, 0 ) como vetor normal. 
 
 
 
2.5. Lista de exercícios 
 
 
1) Seja W = { ( x, y, z ) ∈ IR3/ x + 2y – z = 0 } um subespaço de 
IR3. Responda justificando: 
 a) ( 1, -1, 1 ) ∈ W ? 
 
60 
 b) ( 0, 1, 2) ∈ W ? 
 c) ( 1, 2, 3 ) ∈ W ? 
 d) ( a, b, a + 2b ) ∈ W , a, b ∈ iR ? 
 
2. Dê exemplos de vetores de W = {(x, y, z)} ∈ IR3 / x – y + z = 0} e 
mostre que a soma e o produto deles por números reais ainda é um 
vetor de W. 
 
3. O conjunto W = { ( x, y ) ∈ IR2 / y = 2x + 1 } é um subespaço 
vetorial do espaço IR2 ? Justifique. 
 
4. Mostre que o conjunto W = { ( t, t + 1); t ∈ IR } não é um 
subespaço de 2 .IR 
 
Respostas 
 
1.a) Sim, pois 1 + 2( -1 ) – ( - 1 ) = 0 
 b) Sim , pois 0 + 2.1 – 2 = 0 
 c) Não , pois 1 + 2.2 – 3 = 2 ≠ 0 
 d) Sim , pois a + 2b – ( a + 2b ) = 0 
 
2. ur = ( 1, 2, 1 ), vr = ( 1, 3, 2) e wr = ( -1, 5, 6 ). ur + vr = ( 2, 5, 3 ) 
pertence a W pois 2 – 5 + 3 = 0 e 3 wr = ( -3, -15, 18 ) pertence a W 
pois -3 -15 + 18 = 0 
 
3. Não, pois o vetor ( 0, 0 ) ∉ W ou seja a afirmação 0 = 2.0 + 1 é 
falsa. 
 
4. W não é um subespaço, pois se fosse o vetor nulo de IR2 
pertenceria a ele, isto é ( t, t + 1 ) = ( 0, 0 ) . Daí teríamos t = 0 e t + 1 
= 0 o que é absurdo ( t = 0 = -1 ). 
Graficamente temos 
 
 
61 
 
 
uma reta que não passa pela origem. 
2.6. Aplicação 
 Se uma massa m for presa na extremidade de uma mola e se a 
mola for puxada para baixo e liberada, o sistema massa mola 
começará a oscilar. O deslocamento y da massa com relação à sua 
posição de repouso é dado por uma função da forma 
( ) cos sen ty t a t b= ω + ω 
onde ω é uma constante que depende da mola e da massa. 
Podemos mostrar que o conjunto de todas as funções desse tipo 
(com ω fixo e ,a b∈IR arbitrários) é um subespaço vetorial do 
espaço vetorial das funções reais. 
 
2.7. Teorema 
 Um subconjunto não-vazio W , de um espaço vetorial E é um 
subespaço vetorial de E se valem as seguintes condições: 
i) ∈+ vu rr W para todos ur e vr de W 
y
x
1
 
u
v
u v+
S
Veja Mais 
www.suporteeducacio
nal.com.br/matematica
/downloadArquivo.php
?arquivo=/arquivos/20
07/periodo4/algebralin
earii_aula01... 
 
62 
ii) ∈urλ W para todo λ de IR e todo ur de W 
 
Demonstração 
 
Devemos mostrar que o vetor nulo de E pertence a W e isto é 
fácil de ver pois sendo W não vazio existe pelo menos um ur em W epor ii) ( - 1 ) ur = - ur também esta em W e por i) ur + (-ur ) = 0 
pertence a W . Daí temos as condições 1ª) , 2ª) e 3ª) da definição de 
subespaço vetorial 
 
Exemplo 
 
 O subconjunto W = { ( x, y, z ) ∈ IR3 / ( x, y, z ) = t ( a, b, c ), t ∈ IR } 
onde ( a, b, c ) é um vetor fixo de IR3, é um subespaço vetorial de 
IR3. 
 
Solução 
 De acordo com o teorema 2.7., devemos mostrar que W é não 
vazio e que i) ∈+ vu rr W para todos ur e vr de W , ii) ∈urλ W para 
todo λ de IR e todo ur de W. Inicialmente vemos que W é não vazio 
pois o vetor ( 0, 0, 0 ) ∈W, isto porque ( 0, 0, 0 ) = 0( a, b, c ). Agora 
se ur e vr estão em W, temos que ur = t1( a, b, c ) e vr = t2( a, b, c ) 
e assim, ur + vr = (t1 + t2 )( a, b, c ). Logo ur + vr também está em W. 
Finalmente temos que se ∈ur W e ∈λ IR então λ ur = λ ( t1( a, b, c ) ) 
= (λ t1 )( a, b, c ) ∈W. 
Exercício resolvido 
 Mostre que fixados a, b, c números reais tem-se que 
W = { ( x, y, z ) ∈ IR3 / ax + by +cz = 0, t ∈ IR } 
É um subespaço vetorial de IR3. 
 
 
63 
Solução 
 Inicialmente observamos que W é não vazio pois a.0 + b.0 + c.0 = 
0, isto é, (0, 0, 0 ) ∈W. Na segunda parte devemos mostrar que 
∈+ vu rr W para todos ur e vr de W. 
Então se ur = ( x, y, z ) ∈ W temos ax + by + cz = 0 e se vr = 
( x’, y’, z’ ) ∈ W temos ax’ + by’ + cz’ = 0. Daí é fácil ver que 
ur + vr = ( x + x’, y + y’, z + z’ ) ∈ W pois a( x + x’ ) + b( y + y’ ) + 
c ( z + z’ ) = ax + by + cz + ax’ + by’ + cz’ = 0 + 0 =0. 
Na terceira parte mostraremos que se ur ∈ W e λ ∈ IR então 
urλ ∈W. Então se ur = ( x, y, z ) ∈ W temos ax + by + cz = 0 e urλ = 
(λ x, λ y, λ z ). Daí, a(λ x) + b(λ y) + c(λ z) =λ ( ax + by + cz ) = 
λ .0 = 0 , o que mostra que urλ ∈ W. 
 
2.8. Teorema (Interseção de Subespaço) 
 Sejam W1 e W2 subespaços vetoriais de E. A interseção W = 
W1∩W2 = { w∈E / w ∈ W1 e w∈ W2 } é um subespaço de E. 
 
 
 
Demonstração 
 
Devemos mostrar que: 
 1º) W é não vazio 
 Isto é imediato pois 0∈ W1 e 0∈ W2 logo 0∈ W ≠ φ 
 2º) Se ur , vr ∈ W temos 
⎩⎨
⎧
∈∈
∈∈
21
21
WveWv
WueWu
rr
rr
 WvuWvueWvu ∈+⇒∈+∈+⇒ rrrrrr 21 
 
3º) Se ur ∈ W eλ ∈ IR temos 
 
⎩⎨
⎧
∈
∈∈
IR
WueWu
λ
2
rr
 λ⇒ ur ∈ W1 e λ ur ∈W2 λ⇒ ur ∈ W 
 
 
 
 
 
64 
Exemplos 
 
a) Sendo W1 = {( x, y, z )} ∈ IR3 / 2x + y - z = 0} e 
 W2 = {( x, y, z )} ∈ IR3 / x - y = 0} . 
 A interseção de W1 com W2 é o subespaço 
 W = W1 ∩W2 ={( t, t, 3t )∈ IR3 } ou W = { t ( 1, 1, 3 ) ; t ∈IR}. 
Isto porque se ( x, y, z ) ∈ W temos ( x, y, z ) ∈ W1 ⇒ 2x + y – z = 0 
e ( x, y, z ) ∈ W2 ⇒ x – y = 0 . O que gera x = y e 2x + x – z = 0 ou 
z = 3x 
 
 b) Sejam W1= {( x, y ) ∈ IR2 / x + y = 0} e 
W2={( x, y ) ∈ IR2 / x – y = 0} 
 A interseção de W1 com W2 é o subespaço 
 W = W1∩W2 = {( 0, 0, 0 )} 
Isto porque se ( x, y ) ∈ W temos ( x, y ) ∈ W1 ⇒ 2x + y = 0 
e ( x, y ) ∈ W2 ⇒ x – y = 0. O que gera x = y e 3x = 0 ou x = y = 0 
. 
 
2.9. Teorema ( Soma de subespaços ) 
 
 Sejam W1 e W2 subespaço vetoriais de um espaço vetorial E. 
Então o conjunto W = W1 + W2 = { v
r ∈ E ; vr = 1wr + 2wr com , 
1w
r ∈ W1 e 2wr ∈ W2 } é um subespaço vetorial de E. 
 
 
Demonstração 
 
Devemos mostrar: 
 
 1º) W é não-vazio 
 Isto é imediato pois 0 = 0 + 0, com 0 ∈ W1 e 0 ∈ W2 
 2º) Se ur , vr ∈ W temos 
 21 wwu
rrr += com ∈1wr W1, 2wr ∈W2 e vr = 21 '' ww rr + com 1'wr ∈ 
W1 2'w
r ∈W2 
 E daí, ur + vr = ( 21 ww
rr + ) + ( 21 '' ww rr + ) = ( 1wr + 1'wr ) + 
( 2w
r
2'w
r+ ). Como 1wr + 1'wr ∈ W1 e 2wr 2'wr+ ∈ W2, temos ur + 
vr ∈ W. 
 
65 
 3º) Se ∈ur W temos e ∈λ IR, temos 21 wwu rrr += com ∈1wr W1, 
2w
r ∈W2 e ∈λ IR. 
 Daí temos urλ = λ ( 21 ww rr + ), e como ∈1wrλ W1 , ∈2wrλ W2 
temos que ∈urλ W 
 
Exemplos 
 a) Sejam W1 = {( x, y )} ∈ IR2 / x = y } e 
W2 = {( x, y )} ∈ IR2 / x = 0 }. 
 A soma W = W1 + W2 = IR2, pois se u
r
 = ( a, b ) ∈ IR2 temos 
que ( a, b ) = ( a, a ) + ( 0, b – a ) e ( a, a ) ∈ W1 e ( 0, b – a ) ∈ W2 
b) Sejam W1 = {( x, y, z ) ∈ IR3 / x + y + z = 0 } e 
 W2 = {( x, y, z ) ∈ IR3 / x = y = z } 
 Então a soma W = W1 + W2 = IR3, pois se ( cba ,, ) ∈ IR3 temos 
( cba ,, ) = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−−+−−−
3
2,
3
2,
3
2 cbacbacba
+ 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++++
3
,
3
,
3
cbacbacba
 e 
∈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−−+−−−
3
2,
3
2,
3
2 cbacbacba
W1 e 
∈⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++++
3
,
3
,
3
cbacbacba
W2 
 
Lista de Exercícios 
 
 
1. Dados W1 = {( x, y ) ∈ IR3 / x = 2y } e 
 W2 = {( x, y )∈ IR2 / x + y = 0 } subespaços vetoriais de 
IR2, pede-se: 
 
 a) Um vetor (a, b) tal que (a, b)∈ W1∩W2 
 
 b) Escreva (5, 7) como soma de ur com vr de modo que ur ∈W1 
e vr ∈W2 
 
 c) Determine W = W1∩W2 
Para novas 
informacões veja: 
http://pessoal.serco
mtel.com.br/matema
tica/superior/algebra/
espvetor/espvetor.ht
m 
 
66 
 
d) Mostre que W1 + W2 = IR2 
 
 
 2. Dados W1= {(x, y, z) ∈ IR3/ x + y – z = 0 } e 
 W2 = {(x, y, z ) ∈IR3 / x – y = 0 } subespaços vetoriais de 
IR3, pede-se: 
 a) Vetores (a, b, c) pertencentes a W1∩W1 
 
 b) Escreva o vetor ( 6, 4, 6 ) como soma de vetores ur e vr de 
modo que ur ∈ W1 e vr ∈W2. 
 
 c) Determine W = W1∩W2 
 
 d) Mostre que IR3 = W1+ W2 
 
 Solução da Lista de exercícios 
 
1.a) Se ),( ba ∈ W = W1∩W2 temos ),( ba ∈W1 e ),( ba ∈ W2 
, daí ⎩⎨
⎧
=+
=
0
2
ba
ba
003 =⇒=⇒ bb 
E assim, (a, b) ∈W1∩W2 se a = b = 0, ou seja um vetor (a, b) 
pertencente a W1 ∩W2 é (0, 0) 
 
1.b) Por definição de W1 e W2, temos que, um vetor u
r
 pertença a W1 
se ele for da forma ( bb,2 ), b ∈ IR, e um vetor vr pertence e W2 se 
for da forma ( aa −, ) , a ∈ IR. 
 Daí, devemos determinar a e b , tal que ( bb,2 ) + ( aa −, ) = 
( 5, 7 ).Esta equação gera o sistema linear ⎩⎨
⎧
=−
=+
7
52
ab
ab
 e 
resolvendo o sistema obtemos b = 4 e a = -3 
Assim sendo, ( 5, 7) = (8, 4) + (-3, 3) 
 
1.c) Observando o item 1.a) temos que W1∩W2= {(0, 0)}. 
 
 
67 
1.d) Devemos mostrar que todo vetor ( yx, ) ∈ IR2 pode ser escrito 
na forma ur + vr com ur ∈ W1 e vr ∈ W2. 
Observe que este item é uma generalização do item 1.b) 
Desta forma temos 
 ( yx, ) = ( bb,2 ) + ( aa −, ) ⇒
⎩⎨
⎧
=−
=+
yab
xab2
 e resolvendo o 
sistema obtemos 
 b = 
3
yx + e a = 
3
2yx − 
 Daí temos que 
 ( yx, ) = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++
3
,
3
22 yxyx + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−−
3
2,
3
2 yxyx 
 
2.a) Se ( cba ,, ) ∈ W1∩W2 tem-se ( cba ,, ) ∈ W1 e ( cba ,, )∈ 
W2 . Desta forma temos o sistema linear ⎩⎨
⎧
=−
=−+
0