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Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
TRELIÇAS ESPACIAIS
Torre em linha de transmissão
Cobertura
Na treliça espacial, a estrutura e, em geral também o carregamento, não
está contida em qualquer plano. É necessário utilizar nos cálculos os três
eixos: x, y e z.
Torre de telecomunicação
INTRODUÇÃO
Outras aplicações:
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
TRELIÇAS ESPACIAIS
INTRODUÇÃO
A maioria das treliças é espacial. As treliças planas costumam ser
obtidas pela decomposição das treliças espaciais em partes, de acordo
com o carregamento, para o cálculo poder ser simplificado.
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO
a) Treliças simples:
São formadas a partir de uma das duas configurações iniciais
mostradas:
a1 a2
A treliça simples pode ser completamente montada adicionando-se, a
cada vez, um nó e três barras não coplanares.
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TRELIÇAS ESPACIAIS
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO
63  nb
A configuração inicial “a1”, um tetraedro (6 barras e 4 nós), é a mais
comum; a partir dela a treliça será isostática se houver o acréscimo de
6 restrições de translação de forma a impedir os seus deslocamentos
de corpo rígido. Para este caso existe a relação
A configuração inicial “a2”, um tripé com 3 barras e 4 nós, para ser
isostática e estável, necessita de 9 restrições de apoio (3 apoios
articulados fixos tridimensionais - rótulas esféricas ou superfícies
rugosas - localizados exatamente nas extremidades onde há as “barras
faltantes”).
b) Treliça composta:
É o resultado da junção de duas ou mais treliças simples, de sorte que
a treliça como um todo não seja simples.
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TRELIÇAS ESPACIAIS
c) Treliça complexa:
É a treliça que não é simples nem composta.
63  nb
Se todas as treliças simples forem formadas a partir do tetraedro
(configuração “a1”) e internamente isostáticas, na treliça composta
também é válida a relação
CLASSIFICAÇÃO QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO
As equações de equilíbrio externo ficam “incorporadas” nas 3n equações 
nodais independentes de equilíbrio
b: no de barras
r: no de reações de apoio
Número total de incógnitas: brninc 
Número de equações de equilíbrio: nneq 3 n: no de nós
(SFx=0, SFy=0 e SFz=0 em cada nó)
ESTABILIDADE E ESTATICIDADE
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
TRELIÇAS ESPACIAIS
Nas treliças espaciais é mais simples a verificação da estabilidade com a 
posterior constatação da estabilidade:
Fazer verificação adicional 
da estabilidade
ESTABILIDADE E ESTATICIDADE
• Hiperestáticas eqinc nn  nbr 3
• Isostáticas eqinc nn  nbr 3
• Hipostáticas eqinc nn  nbr 3





• Razões para a instabilidade:
a) Forma crítica / instabilidade parcial
Barras arranjadas de forma inadequada: cada barra deve estar
ligada a pelo menos três pontos “indeslocáveis”
b) Apoios incorretos
Reações de apoio todas paralelas ou todas interceptadas pela
mesma reta
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TRELIÇAS ESPACIAIS
• Método dos nós
RESOLUÇÃO DAS TRELIÇAS ESPACIAIS
• Método das seções (superfície)
Método dos nós (método espontâneo)
Se toda a treliça está em equilíbrio, então cada nó também está em
equilíbrio e pode ser resolvido isoladamente. Aplicam-se as três
equações de equilíbrio no plano para cada nó:
  0xF   0yF
As incógnitas são resolvidas três a três; deve-se iniciar por um nó onde
concorrem apenas três barras. É mais vantajoso usar o cálculo vetorial.
• Método de substituição de
barras ou de Henneberg
  0yF
Para o cálculo de uma treliça espacial pelo método dos nós, o seguinte
roteiro pode ser seguido:
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TRELIÇAS ESPACIAIS
• Obter as coordenadas dos nós – escolher um sistema global de eixos
tal que a estrutura fique por inteiro no primeiro octante
• Obter os vetores direcionais unitários de cada barra
• Obter os vetores de cada força normal e de cada reação de apoio
• Obter as reações de apoio usando, se necessário, as seis equações do
equilíbrio
• Calcular os esforços normais igualando a zero cada uma das três
componentes do vetor resultante de cada nó
RESOLUÇÃO DAS TRELIÇAS ESPACIAIS
Método dos nós (método espontâneo)
Os momentos de cada força podem ser calculados diretamente pela
definição de produto vetorial; entretanto, podem ser usadas as
propriedades dos momentos para evitar cálculos extensos.
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TRELIÇAS ESPACIAIS
Observação:
Tal como no caso plano, o cálculo da treliça ideal fornecerá uma ótima
estimativa da realidade se as barras forem leves, retilíneas e tiverem os
seus eixos geométricos concorrentes.
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GRELHAS
Grelhas são estruturas planas submetidas a carregamento perpendicular
ao seu plano (xz).
INTRODUÇÃO
As grelhas foram muito utilizadas como modelos simplificados de
pórticos espaciais, com menos graus de liberdade.
Para a estrutura no plano xz e carregamento em y, há 3 equações de
equilíbrio disponíveis:
  0yF   0xM   0zM
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GRELHAS
  0xM   0zM  0tM
O eixo t está contido no plano xz, mas não concorre com os eixos x e z no mesmo
ponto O. Os eixos x e z não precisam ser ortogonais.
Outra opção é fazer
Esforços internos existentes:
• momento torçor (Mx = Mt)
• momento fletor em z (Mz = M)
• Esforço cortante em y (Qy = Q)
y
O
x
z
Mt
Q
S
M
O momento resistente 
resultante está contido 
no plano da grelha.
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GRELHAS
• Eixo y local: paralelo e com o mesmo sentido do eixo Y global
• Eixo x local: contém o eixo longitudinal da barra. Sentido: o mais semelhante
possível ao eixo X global.
• Eixo z local: obedecendo a regra da mão direita para os produtos vetoriais.
ORIENTAÇÃO DOS EIXOS LOCAIS DE CADA BARRA
CONVENÇÃO DE SINAIS PARA OS ESFORÇOS INTERNOS E DIAGRAMAS
:QQy 
• À esquerda da seção: positivo no sentido de y crescente
• À direita da seção: positivo no sentido de y decrescente
:tx MM 
Positivo quando o vetor Mt “sair” da seção (tal como uma força 
de tração)
:MMz 
Positivo quando comprimir a região da seção transversal onde y 
é positivo (a parte superior)
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GRELHAS
y
x
M - Q+ Mt+
M +
DIAGRAMAS DE ESFORÇOSESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES
Q+
M+
Mt+
Q+
M+
Mt+
x
Q- Mt-
CÁLCULO DOS ESFORÇOS INTERNOS NAS GRELHAS
Embora seja possível a análise direta dos esforços, é mais conveniente
analisar a grelha barra por barra, por meio da subestruturação: cada nó
rígido interno é transformado de cada vez em um engaste tridimensional,
e as barras são calculadas como se fossem vigas engastadas e livres.
Na análise da viga adjacente, basta carregá-la com o recíproco das
reações de apoio obtidas anteriormente.
Sempre se recai no cálculo de vigas isostáticas, cuja análise é mais
simples que a análise direta, 3D, da estrutura.
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GRELHAS
TIPOS DE GRELHAS ISOSTÁTICAS
Existem três reações de apoio no
engaste: os momentos Mx e Mz e a
força vertical Ry.
• Grelha engastada e livre
y
x
z
Mx
Mz
Ry
  0yF   0xM   0zM
A estrutura se apoia em 3 apoios do 1o gênero
(xy ou yz), com 3 restrições de translação em y
não coplanares: VB, VC e VE.
• Grelha triapoiada
y
x
z
:0 BCM
  :0CEM
:0 yF
A
VB VC
VE
B C
D
E
resulta VE
resulta VB resulta VC
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GRELHAS
TIPOS DE GRELHAS ISOSTÁTICAS
 Para que as reações de apoio verticais não serem coplanares, é
necessário que os apoios não sejam todoscolineares.
• Grelha triapoiada
 É necessário haver vinculação nas direções do plano horizontal da
grelha (xz). Os apoios nestas direções, entretanto, não funcionam para o
carregamento vertical; por isso não são representados.
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ESTRUTURA PLANA SUJEITA A CARREGAMENTO QUALQUER
y
x
z
=
+
Grelha (xy)
Qz, My, Mt
y
x
z
Pórtico plano (xy)
Qy, Mz, N
y
x
Princípio da 
superposição:
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PÓRTICOS ESPACIAIS
INTRODUÇÃO
Os pórticos espaciais são o tipo mais geral de estrutura reticulada. Todos
os casos estudados anteriormente – vigas, pórticos planos, treliças planas,
treliças espaciais e grelhas – são casos particulares do pórtico espacial.
Os pórticos espaciais isostáticos são pouco frequentes – em sua grande
maioria são hiperestáticos; sua resolução é feita em programas de
computador. A estrutura e o carregamento, em geral, não estão contidos
em planos específicos.
Em geral é necessário utilizar as seis equações escalares do equilíbrio da
Estática:
  0xF   0yF   0zF
  0xM   0yM   0zM
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PÓRTICOS ESPACIAIS
INTRODUÇÃO
Esforços internos existentes:
• momento torçor (Mx = Mt)
• momento fletor em y (My)
• momento fletor em z (Mz = M)
• esforço normal (N)
• esforço cortante em y (Qy = Q)
• esforço cortante em z (Qz = Q)
• Eixo x local: contém o eixo longitudinal da barra.
Barras verticais: crescente para cima
Barras horizontais: crescente para a direita
* o mais semelhante possível ao eixo X global.
• Eixos y e z locais: decorrentes do giro do sistema global até a orientação em
que o X global coincida com o x local. *Mais de uma representação possível.
* Tentar deixar cada sistema local o mais semelhante possível com o global
ORIENTAÇÃO DOS EIXOS LOCAIS DE CADA BARRA
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PÓRTICOS ESPACIAIS
CONVENÇÃO DE SINAIS PARA OS ESFORÇOS INTERNOS E DIAGRAMAS
,QQy  ,tx MM  iguais aos das grelhas:MMz 
:zQ
• À esquerda da seção: positivo no sentido de z crescente
• À direita da seção: positivo no sentido de z decrescente
:N Positivo quando for de tração
:yM
Positivo quando comprimir a região da seção transversal onde z é 
positivo
Esforços internos solicitantes
Mz+
Mt+
Qy+
Mz+
Mt+
x
BARRAS HORIZONTAIS
y
z
N+N+
Qz+
My+
My+
Qz+
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PÓRTICOS ESPACIAIS
CONVENÇÃO DE SINAIS PARA OS ESFORÇOS INTERNOS E DIAGRAMAS
BARRAS HORIZONTAIS
y
x
Mz -Qy + Mt+
Mz +
Diagramas de esforços
Qy - Mt-z
N +
N -
y
x
z
Qy+, N+, Mt+ : marcados em y+
Mz+: marcado em y-
Qz+: marcado em z+
My+: marcado em z-
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
PÓRTICOS ESPACIAIS
CONVENÇÃO DE SINAIS PARA OS ESFORÇOS INTERNOS E DIAGRAMAS
Esforços internos solicitantes
BARRAS VERTICAIS
Diagramas de esforços
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
PÓRTICOS ESPACIAIS
TIPOS DE PÓRTICOS ISOSTÁTICOS
• Pórtico engastado e livre
• Pórtico hexaapoiado
CÁLCULO DOS ESFORÇOS NOS PÓRTICOS ESPACIAIS
É mais conveniente analisar o pórtico espacial barra por barra, por meio da 
subestruturação, tal como nas grelhas.