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Nesta Disciplina: uma estrutura é uma composição de elementos 
estruturais básicos – lajes, vigas, pilares etc. – ligados entre si e ao meio 
exterior de modo a formar um sistema em equilíbrio. 
Uma estrutura recebe solicitações externas (ATIVAS), absorve-as 
internamente e as transmitem até os seus apoios (ou vínculos), onde elas 
encontram um sistema de forças externas equilibrantes (REATIVAS). 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
GEOMETRIA DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
Unidimensionais 
Bidimensionais 
Tridimensionais 
Unidimensionais: • quando uma das suas dimensões (comprimento) 
prepondera sobre as demais (largura e espessura) 
 • representados por BARRAS, que podem ser usadas 
tanto individualmente quanto associadas a outras barras 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
Cabo: elemento usado para pendurar cargas 
Ponte pênsil (cabos) 
Exemplos: cabo, viga, pilar, pórtico, grelha, treliça 
Unidimensionais: • quando uma das suas dimensões (comprimento) 
prepondera sobre as demais (largura e espessura) 
 • representados por BARRAS, que podem ser usadas 
tanto individualmente quanto associadas a outras barras 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
 Viga: elemento horizontal, geralmente com cargas transversais ao seu 
eixo (verticais) 
Esquema 
Viga de concreto 
protendido 
Viga de aço 
Exemplos: cabo, viga, pilar, pórtico, grelha, treliça 
Unidimensionais: • quando uma das suas dimensões (comprimento) 
prepondera sobre as demais (largura e espessura) 
 • representados por BARRAS, que podem ser usadas 
tanto individualmente quanto associadas a outras barras 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
 Pilar: elemento vertical usado para apoiar cargas, trabalhando 
geralmente a compressão ou flexo-compressão 
Exemplos: cabo, viga, pilar, pórtico, grelha, treliça 
Pilar 
Coluna 
Unidimensionais: • quando uma das suas dimensões (comprimento) 
prepondera sobre as demais (largura e espessura) 
 • representados por BARRAS, que podem ser usadas 
tanto individualmente quanto associadas a outras barras 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
 Treliça: associação de elementos com carregamento apenas nos nós 
(encontro das barras). Pode ser plana ou espacial. 
Exemplos: cabo, viga, pilar, pórtico, grelha, treliça 
Treliça espacial 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
 Treliça plana 
Unidimensionais: • quando uma das suas dimensões (comprimento) 
prepondera sobre as demais (largura e espessura) 
 • representados por BARRAS, que podem ser usadas 
tanto individualmente quanto associadas a outras barras 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
 Grelha: associação de elementos contidos num plano e carregamento 
perpendicular a este plano 
Exemplos: cabo, viga, pilar, pórtico, grelha, treliça 
Esquema 
Tampa de bueiro 
Grelha em concreto armado 
Unidimensionais: • quando uma das suas dimensões (comprimento) 
prepondera sobre as demais (largura e espessura) 
 • representados por BARRAS, que podem ser usadas 
tanto individualmente quanto associadas a outras barras 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
 Pórtico: associação de elementos horizontais e verticais com 
carregamentos quaisquer. Pode ser plano ou espacial. 
Exemplos: cabo, viga, pilar, pórtico, grelha, treliça 
 Pórtico plano: elementos e carregamento contidos num plano 
 Pórtico espacial: é o tipo mais geral possível de estrutura em barra 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
 Pórtico plano 
 Pórtico espacial 
Bidimensionais: • quando duas dimensões (comprimento e largura) 
preponderam sobre a outra (espessura) 
 • chamados de lâminas 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
PLACAS E CHAPAS: sua superfície é plana 
Placas: as cargas são perpendiculares ao plano médio 
Laje 
Bidimensionais: • quando duas dimensões (comprimento e largura) 
preponderam sobre a outra (espessura) 
 • chamados de lâminas 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
PLACAS E CHAPAS: sua superfície é plana 
Chapas: as cargas atuam na direção do plano médio 
Parede 
Bidimensionais: • quando duas dimensões (comprimento e largura) 
preponderam sobre a outra (espessura) 
 • chamados de lâminas 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
INTRODUÇÃO 
CASCAS E MEMBRANAS: sua superfície média apresenta curvatura em relação 
a pelo menos um eixo 
Cascas: as cargas atuam perpendicularmente à superfície média 
Membranas: as cargas são paralelas à superfície média 
Tridimensionais: • as três dimensões apresentam a mesma ordem de 
 grandeza 
 • chamados de blocos 
 • podem ser usados isolados ou associados entre si 
 (desde que as forças internas tendam a aproximá-los) 
 
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INTRODUÇÃO 
Blocos de coroamento 
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“1D” 
Elementos estruturais curvos 
2D: cascas e membranas 
1D ou 3D: arcos 
3D 1D 
1D 
Elementos diversos formando uma estrutura. Ex.: edifício 
Laje 
Viga 
Pilar 
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INTRODUÇÃO 
Elementos diversos formando uma estrutura. Ex.: ponte 
Treliça 
Viga 
Pilar 
Bloco 
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INTRODUÇÃO 
Elemec e Resmat: cursos destinados às estruturas representadas por 
barras. 
• seção transversal constante ou variável 
• eixo reto ou eixo curvo 
• interconectadas por nós, que podem ser rígidos ou articulados 
CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES 
Quanto à área onde atuam 
DISTRIBUÍDAS 
Sobre um volume: Ex.: peso de um corpo* 
Sobre uma superfície: Ex.: peso próprio de uma laje*, dos pisos, a 
pressão de um fluido sobre as paredes do recipiente que o contém 
Sobre um comprimento: Ex.: peso próprio de uma viga* 
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INTRODUÇÃO 
CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES 
Quanto à área onde atuam 
CONCENTRADAS : localizadas sobre um ponto*. Exemplos: 
 
• viga que se apoia em outra 
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INTRODUÇÃO 
• pilar que nasce em uma viga ou em uma laje 
Quanto à duração 
PERMANENTES: ocorrem durante toda a vida útil da estrutura. Exemplos: 
 • peso próprio da estrutura 
• peso próprio dos revestimentos dos pisos e das paredes 
VARIÁVEIS (acidentais): ocorrem eventualmente durante a vida útil da 
estrutura. 
 Mais difíceis de determinar → NORMAS, como a NBR 6120 
• Ex.: peso das pessoas, dos veículos, dos móveis; força do vento 
CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES 
Quanto ao tempo e ao espaço (quanto à posição) 
FIXAS: atuam somente na mesma posição ao longo do tempo. 
• Exemplo: peso próprio 
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INTRODUÇÃO 
MÓVEIS: atuam em locais diferentes ao longo do tempo. 
• Exemplo: peso dos veículos numa ponte 
Quanto à variação no tempo 
ESTÁTICAS: para efeito de projeto, podem ser consideradas constantes ao 
longo do tempo. Exemplo: peso próprio 
DINÂMICAS: quando variam ao longo do tempo. 
De choque (ou impacto) : Ex.: colisão de um carro ou navio com ponte 
Súbitas: Ex.: início de operação de uma máquina 
Repetidas (fadiga) 
Intermitentes: Ex.: vento em situações especiais 
Oscilante (ou alternada): Ex.: funcionamento de um motor 
CLASSIFICAÇÃO DAS AÇÕES 
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INTRODUÇÃO 
Quanto à variação no tempo 
QUASE-ESTÁTICAS: variam no tempo, mas o efeito dinâmico é pequeno e 
são transformadasem cargas estáticas. Exemplo: vento (NBR 6123) 
Outro critério de classificação 
Estáticas 
Quanto à origem 
Dinâmicas 
De sujeição. Ex.: dilatação térmica, retração do concreto etc. 
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EQUILÍBRIO 
É necessário que, mediante qualquer carregamento imposto, uma 
estrutura possa se manter em equilíbrio durante toda a sua vida útil. Um 
objeto está em equilíbrio quando não há alteração no estado das 
forças que atuam sobre ele. 
1ª Lei de Newton  
Repouso 
Movimento Retilíneo Uniforme (M.R.U.) { 
MECÂNICA VETORIAL: as forças externas que agem em um corpo podem 
ser reduzidas a uma força e um momento num ponto arbitrário O 
• Força e momento resultantes nulos → forças externas constituem 
um sistema equivalente a zero → O CORPO ESTÁ EM EQUILÍBRIO 
Condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido: 
Decompondo em componentes cartesianas: as condições necessárias e 
suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido são assim escritas: 
(Equações Universais da Estática) 
0F   0O  FrM
  0xF   0yF   0zF
  0xM   0yM   0zM
 
 
 
 
Assim o sistema de forças externas não comunicará movimento de 
translação nem de rotação ao corpo rígido 
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EQUILÍBRIO 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
1) Quando somente duas forças agem em um corpo: elas devem ter o mesmo 
módulo, a mesma direção, a mesma linha de ação e sentidos opostos. F
FO 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
2) Quando somente três forças agem em um corpo: as linhas de ação das três 
forças devem ser concorrentes ou paralelas. 
1F
2FO 
3F 1F
2F
3F
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
3) Quando todas as forças concorrem no mesmo ponto do espaço 1F
4F 5F
y 
x 
z 
2F
3F
(Treliças espaciais) 
Uma força não gera momento em relação a 
um ponto situado sobre a sua linha de ação 
0 = 0 0 = 0 0 = 0 
O 
  0xF   0yF   0zF
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
4) Quando todas as forças são paralelas a um eixo coordenado (y) 
4F
1F
5F
y 
x 
z 
2F 3F
(Grelhas) 
  0yF
  0xM   0zM
O 
Não há componente da força resultante na 
direção dos outros eixos coordenados (x,z) 
0 = 0 
0 = 0 
0 = 0 
Uma força não gera momento em relação 
a um eixo que lhe seja paralelo (y) 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
4) Quando todas as forças são paralelas a um eixo coordenado (y) 
:0 yF
Pode ser substituída por uma terceira 
equação de somatório de momentos 
nulo em relação a um terceiro eixo t, 
no plano xz, mas não concorrente com 
os eixos x e z no mesmo ponto O. 4F
1F
5F
y 
x 
z 
2F 3F
(Grelhas) 
O 
t 
  0xM   0zM
  0tMAssim evita-se a possibilidade de que o sistema de forças seja redutível a uma força resultante no ponto O. 
Os eixos x e z não necessitam ser ortogonais, neste caso. 
Outra opção para o equilíbrio: 
4.1) 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
5) Quando todas as forças são coplanares (xy) 
(Pórticos planos) 
  0xF   0yF
  0zM
Não há componente da força resultante 
na direção do outro eixo coordenado (z) 
0 = 0 
0 = 0 0 = 0 
Uma força não gera momento em relação a eixos 
que lhe sejam concorrentes (x,y) 
1F
3F 4Fx 
y 
2F
O 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
5) Quando todas as forças são coplanares (xy) 
(Pórticos planos) 
1F
3F 4Fx 
y 
2F
O 
:0 zM
No caso 2D, é preferível definir um ponto 
“A” em torno do qual os momentos 
podem ser calculados (segundo um eixo z’ 
paralelo a z), e considerar a interpretação 
do giro (rotação) do momento   0xF  0AM  0yF
Assim evita-se a representação tridimensional 
do momento com a seta dupla. 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
5) Quando todas as forças são coplanares (xy) 
(Pórticos planos) 
1F
3F 4Fx 
y 
2F
O 
1a → requer que a força resultante passe por A 
Outras opções para o equilíbrio: 
5.1) 
  0AM  0BM  0CM
Desde que A, B e C não sejam colineares 
A 
B 
C 
2a → “ “ “ “ “ “ “ B 
3a → requer que a força resultante passe por C 
A resultante deve ter a direção da reta AB 
A, B e C alinhados: haveria possibilidade de haver 
uma força resultante na direção ABC 
A, B e C desalinhados: a única possibilidade é a 
resultante nula 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
5) Quando todas as forças são coplanares (xy) 
(Pórticos planos) 
1F
3F 4Fx 
y 
2F
O 
Outras opções para o equilíbrio: 
5.2) 
  0AM  0BM  0tM
Desde que a reta AB não seja perpendicular a t 
A 
B t 
5.3) 
  0AM  0BM  0tF
Desde que a reta AB não seja perpendicular a t 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
1F
3F 4Fx 
y 
2F
O 
6) Quando todas as forças são coplanares (xy) e concorrentes 
(Treliças planas) 
Uma força não gera momento em relação a 
um ponto situado sobre a sua linha de ação 
0 = 0 0 = 0 0 = 0 
  0xF   0yF
Não há componente da força resultante 
na direção do outro eixo coordenado (z) 
0 = 0 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
7) Quando todas as forças são coplanares (xy) e paralelas a um eixo coordenado (y) 
(Vigas) 
3F
5F
4F
y 1F 2F
O 
x 
  0yF
  0zM
Não há componente da força resultante na 
direção dos outros eixos coordenados (x,z) 
0 = 0 0 = 0 
Uma força não gera 
momento em relação a um 
eixo que lhe seja paralelo (y) 
0 = 0 
Uma força não gera momento 
em relação a um eixo que lhe 
seja concorrente (x) 
0 = 0 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
7) Quando todas as forças são coplanares (xy) e paralelas a um eixo coordenado (y) 
(Vigas) 
3F
5F
4F
y 1F 2F
O 
x 
:0 zM
  0AM  0yF
No caso 2D, é preferível definir um ponto 
“A” em torno do qual os momentos 
podem ser calculados (segundo um eixo z’ 
paralelo a z), e considerar a interpretação 
do giro (rotação) do momento 
Assim evita-se a representação tridimensional do 
momento com a seta dupla. 
Casos particulares do equilíbrio 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
7) Quando todas as forças são coplanares (xy) e paralelas a um eixo coordenado (y) 
(Vigas) 
3F
5F
4F
y 1F 2F
O 
x 
Outra opção para o equilíbrio: 
7.1) 
  0AM  0BM
Desde que a reta AB não seja paralela à 
direção das forças (y) 
A 
B 
1) EQUILÍBRIO EXTERNO 
 
 
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EQUILÍBRIO 
Para uma estrutura permanecer em equilíbrio, é necessária a ocorrência 
do EQUILÍBRIO EXTERNO e a do EQUILIBRIO INTERNO. 
É aquele fornecido pelos seus vínculos (apoios), quando a estrutura 
ainda é considerada como um corpo rígido. 
De posse das forças externas conhecidas aplicadas na estrutura, o 
primeiro passoé determinar as forças externas desconhecidas, que são as 
reações de apoio. É por meio delas que o solo e outros corpos em contato 
se opõem a um possível movimento da estrutura analisada. 
TIPOS DE EQUILÍBRIO 
2) EQUILÍBRIO INTERNO 
É o equilíbrio de cada seção que compõe a estrutura. 
EQUILÍBRIO EXTERNO (DOS VÍNCULOS) 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
EQUILÍBRIO EXTERNO 
Classificação das estruturas 2D quanto à estaticidade e à estabilidade 
Considerando, no caso plano (xy), uma situação geral de carregamento: 
  0xF   0AM  0yF
Com 3 equações de equilíbrio, pode haver no máximo 3 reações de apoio 
incógnitas. 
ESTRUTURAS EXTERNAMENTE ISOSTÁTICAS: as reações de apoio são em 
número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis 
ESTRUTURAS EXTERNAMENTE HIPERESTÁTICAS: as reações de apoio são em 
número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis 
ESTRUTURAS EXTERNAMENTE HIPOSTÁTICAS: as reações de apoio são em 
número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis 
 
 
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EQUILÍBRIO 
EQUILÍBRIO EXTERNO 
ESTRUTURAS 2D ISOSTÁTICAS 
• No caso geral, há 3 reações de apoio indeterminadas 
• Todas as reações podem ser calculadas (estaticamente determinadas) – 
 sistema linear possível e determinado 
• Equilíbrio estável* (pois é completamente vinculada) 
A HA 
VB VA 
B 
D 
C 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
EQUILÍBRIO EXTERNO 
ESTRUTURAS 2D HIPERESTÁTICAS 
• No caso geral, há mais de 3 reações de apoio indeterminadas 
• Nem todas as reações podem ser calculadas* – sistema linear possível e 
indeterminado 
• Equilíbrio estável* (pois é completamente vinculada) 
A HA 
VB VA 
B 
D 
C 
HB 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
EQUILÍBRIO EXTERNO 
ESTRUTURAS 2D HIPOSTÁTICAS 
• No caso geral, há menos de 3 reações de apoio indeterminadas 
• Nem todas as reações podem ser calculadas – sistema linear impossível 
• Equilíbrio instável* (pois é apenas parcialmente vinculada) 
A 
VA 
B 
D 
C 
VB 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
EQUILÍBRIO EXTERNO 
• Estrutura isostática: há tantas incógnitas quantas forem as equações de 
equilíbrio 
Para as estruturas isostáticas e hiperestáticas, a condição da estaticidade 
é necessária, porém não suficiente para garantir o equilíbrio: falta a 
análise da estabilidade. 
Classificação das estruturas quanto à estaticidade 
• Estrutura hiperestática: há mais incógnitas do que equações de equilíbrio 
• Estrutura hipostática: há menos incógnitas do que equações de equilíbrio 
O fato de o número de incógnitas ser maior ou igual ao número de 
equações de equilíbrio não é uma garantia de que a estrutura está 
completamente vinculada (equilíbrio estável), ou que suas reações de 
apoio são todas estaticamente determinadas. 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
EQUILÍBRIO EXTERNO 
Estruturas 2D - estabilidade 
A 
VA 
B 
D 
C 
VB 
E 
VE 
Estrutura aparentemente isostática 
Apesar de haver 3 reações desconhecidas e 
3 equações de equilíbrio, a equação 
  0xF
não pode ser satisfeita. Há vínculos 
suficientes mas eles não estão dispostos 
adequadamente 
Estrutura ineficazmente vinculada 
Geometricamente instável 
→
 
Estrutura HIPOSTÁTICA 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
EQUILÍBRIO EXTERNO 
Estruturas 2D - estabilidade 
A 
VA 
B D 
VD 
Estrutura aparentemente hiperestática 
Apesar de haver 4 reações desconhecidas e 
3 equações de equilíbrio, a equação 
  0xF
não pode ser satisfeita. Há vínculos 
suficientes mas eles não estão dispostos 
adequadamente 
Estrutura ineficazmente vinculada 
Geometricamente instável 
→
 
Estrutura HIPOSTÁTICA 
VB VC 
C 
 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
EQUILÍBRIO EXTERNO 
Estruturas 3D - estaticidade 
• Isostática: as reações de apoio envolvem 6 incógnitas 
• Hiperestática: as reações de apoio envolvem mais de 6 incógnitas 
• Hipostática: as reações de apoio envolvem menos de 6 incógnitas 
Vinculação ineficaz: 
• Estruturas 2D: em geral quando os vínculos estão dispostos de modo 
que as reações de apoio sejam todas paralelas ou todas concorrentes num 
mesmo ponto 
• Estruturas 3D: em geral quando os vínculos estão dispostos de modo 
que as reações de apoio sejam todas paralelas ou todas interceptam a 
mesma reta 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
EQUILÍBRIO 
EQUILÍBRIO INTERNO 
O equilíbrio externo é uma condição necessária, porém não suficiente 
para a ocorrência do equilíbrio global. Também é necessário verificar o 
equilíbrio interno (das seções de uma estrutura). 
Geralmente a ruptura de um corpo se dá pela perda do equilíbrio interno. 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
MOMENTOS CONCENTRADOS 
P M = P.d 
d 
P 
= 
VIGAS 
São estruturas formadas por barras, geralmente retas e alinhadas. 
Geralmente sujeitas apenas a carregamentos transversais – caso plano: 
M e Q 
Biapoiada Biapoiada com balanços 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
RELAÇÕES ENTRE ESFORÇOS E CARREGAMENTOS 

2
1
)(12
x
x
dxxqQQ
2
1
)(12
x
x
dxxQMM
• Conhecendo o momento fletor em um ponto 1, o momento fletor num 
ponto 2 pode ser obtido pela soma do momento fletor anterior com a 
área compreendida entre a curva do esforço cortante e o eixo-x. 

2
1
)(12
x
x
dxxQMM 
2
1
)(12
x
x
dxxqQQ
Do Teorema Fundamental do Cálculo: 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
RELAÇÕES ENTRE ESFORÇOS E CARREGAMENTOS 
Por exemplo: numa viga biapoiada, sem estar sujeita a momentos 
concentrados (M1 = M2 = 0), a área compreendida entre a curva de Q(x) 
e o eixo-x é nula. 
 12 Se MM
 
2
1
0)(
x
x
dxxQ
• Conhecendo o esforço cortante num ponto 1, o esforço cortante num 
ponto 2 pode ser obtido pela diferença entre o esforço cortante anterior e 
a área compreendida entre a curva da carga distribuída e o eixo-x. 
• 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
PASSOS PARA A RESOLUÇÃO DE VIGAS (e de outras estruturas) 
1) Sistema de eixos 
4) Determinar os esforços solicitantes apenas nas seções de interesse 
(não é necessário, em geral, deduzir uma equação para cada trecho da 
viga, para cada esforço interno solicitante) 
2) Diagrama de corpo livre (DCL) 
3) Reações de apoio 
 3.1) Introduzi-las com as direções corretas e sentidos arbitrados 
 3.2) Calcular os valores por meio das equações de equilíbrio 
 3.3) Verificar os sentidos: inverter se forem negativas 
5) Traçar os diagramas de esforços solicitantes 
(utilizar, para o traçado, as relações entre esforços e carregamentos) 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
DESCONTINUIDADES NOS DIAGRAMAS 
Onde houver força ou momento concentrado, há descontinuidade no 
diagrama de E.S.I.; é necessário calcular os esforços de um lado e de 
outro da seção onde há carregamento concentrado. 
• Força axial: causa descontinuidade em N (DEN) 
• Força transversal (vertical em vigas): causa descontinuidade em Q (DEC) 
• Momento: causa descontinuidade em M (DMF) 
PONTOS DE INTERESSE PARA DESTACAR NOS DIAGRAMAS DE E.S.I. 
• Locais onde ocorrem valores máximos e mínimos dos esforços (ordenadas) 
• Locais onde os esforços são nulos (abscissas) 
• Descontinuidades 
Nasseções onde Q (DEC) sofre descontinuidade (carga transversal 
concentrada), o diagrama de M (DMF) tem um ponto anguloso 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
SINAIS DOS DIAGRAMAS 
DEN 
DEC 
DMT 
+ 
- 
DMF 
- 
+ 
Convenção no Brasil: DMF positivo onde as fibras são tracionadas 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 
DOS EFEITOS 
5 kN 12 kN 
7 
2 
5 kN 
12 kN + 
-10 
3,57 
-1,43 
3,43 
-8,57 
+ 
+ 
+ 
- 
- 
- 
+ 
= = 
DEC (kN) 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO 
DOS EFEITOS 
5 kN 12 kN 
14 
5 kN 
12 kN 
+ 
+ 
= 
DMF (kNm) 
20 
7,14 
+ 
2,86 
6,86 
+ 
17,14 
+ 
= 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DOS EFEITOS 
Numa análise estática linear, se uma estrutura estiver sujeita a mais de 
um carregamento (causa), o efeito decorrente deste carregamento é 
igual à soma dos efeitos (individuais) devidos a cada carregamento 
individualmente. Os efeitos são proporcionais às causas. 
Como “efeitos” entendem-se os esforços solicitantes internos, as 
reações de apoio, os deslocamentos etc. 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
CASO GERAL DE CARREGAMENTO 
+ 
= 
L 
q 
A 
C B 
D 
A 
B C B C 
D 
QB MB 
QB 
MC 
QC 
MB 
+ QC 
MC 
+ A B D 
MB 
MB 
+ 
MC 
B C C 
MC 
q 
q 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
CASO GERAL DE CARREGAMENTO 
+ 
= 
+ 
C B 
MB MC 
A D 
C B 
MB MC 
C 
MC 
D B 
MB 
A 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
CASO GERAL DE CARREGAMENTO 
Os esforços cortantes QB e QC podem ser encarados como as forças que 
equilibram as outras cargas e momentos atuantes no trecho, podendo 
ele ser, então, considerado como uma viga biapoiada independente, 
submetida ao carregamento externo e a momentos concentrados 
aplicados em seus apoios, iguais aos momentos fletores atuantes nestes 
pontos na viga dada inicialmente. 
Assim, pela superposição dos efeitos, conhecendo-se os momentos MB e 
MC em dois pontos B e C de uma viga submetida a um carregamento 
qualquer, pode-se calcular o trecho BC como uma viga biapoiada, 
considerando o carregamento inicial do trecho BC mais os momentos MB 
e MC aplicados como cargas nas extremidades. 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS 
CASO GERAL DE CARREGAMENTO 
O diagrama de momentos fletores, neste caso, é obtido marcando as 
suas ordenadas (viga biapoiada BC) a partir da LINHA DE FECHAMENTO, 
que é o segmento de reta que liga as extremidades das ordenadas MB e 
MC. 
qL2/8 
+ 
Linha de fechamento MMAX 
q 
B C L 
MB MC 
Exemplo: parábola para “q” 
constante (uniformemente 
distribuído) 
** MB ≠ MC: qL2/8 é o momento no 
meio do vão, mas não o momento 
máximo 
MC MB 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS e VIGAS GERBER 
OBSERVAÇÃO SOBRE OS DIAGRAMAS DE ESFORÇOS INTERNOS 
Em cada tramo interno de ordem ímpar, colocam-se duas rótulas; nos 
tramos extremos (primeiro e último, se o último for ímpar) coloca-se 
uma rótula. 
Colocação das rótulas nos tramos ímpares 
Em cada tramo interno de ordem par, colocam-se duas rótulas; se o 
último tramo for par, coloca-se uma rótula. 
Colocação das rótulas nos tramos pares 
POSICIONAMENTO DAS ARTICULAÇÕES NAS VIGAS CONTÍNUAS 
DEN simétrico 
Estrutura simétrica e carregamento simétrico 
DEC antissimétrico 
DMF simétrico 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
Em geral, é necessário trabalhar com dois sistemas de eixos: um 
GLOBAL (XYZ, para determinar as reações de apoio) e um local 
(xyz, para determinar os E.S.I.) 
No caso particular do ângulo de inclinação com a horizontal ser 
nulo, recai-se no cálculo das vigas horizontais, já vistas. 
As vigas inclinadas são parte fundamental do estudo dos pórticos 
planos, o próximo assunto a ser estudado. 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
A 
1) Carregamento distribuído na horizontal 
Y 
X 
y 
x 
q 
B 
VB 
HA 
VA 
L 
LH 
L V 
Resultantes 
R.cos(a) 
a 
R.sen(a) 
R 
R 
LH = L.cos(a) 
LV = L.sen(a) 
R = q.LH 
Reações de apoio :0 AM :0 yF HBA LqVV 
HB
H LV
L
R 
2 2
H
BA
L
qVV  :0 xF0AHa 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
Projeções das reações de apoio (GLOBAIS) no sistema local: 
       aaaa cossen
2
sen
2
sen,  L
qL
qVV HAxA      aaa 2, cos
2
cos
2
cos  L
qL
qVV HAyA    aa cossen
2
,,  L
q
VV xAxB  a2,, cos
2
 L
q
VV
yAyB
1) Carregamento distribuído na horizontal 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
Carregamentos 
       
L
Lq
L
Lq
L
R
q Hx
aaaa cossensensen 





   aa cossen  qqx
     
L
Lq
L
Lq
L
R
q Hy
aaa 2coscoscos 





 a2cos qqy
1) Carregamento distribuído na horizontal 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
(qL/2).cos2(a) 
(qL/2).sen(a).cos(a) 
(qL/2).cos2(a) 
(qL/2).sen(a).cos(a) 
   aa cossen  qqx
 a2cos qqy
1) Carregamento distribuído na horizontal 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
DEN 
(qL/2).sen(a).cos(a) 
= 
(q.sena).LH/2 
-(qL/2).sen(a).cos(a) 
= 
-(q.sena).LH/2 
q.sen(a) 
1) Carregamento distribuído na horizontal 
LH 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
DEC 
-(qL/2).cos2(a) 
= 
-(q.cosa).LH/2 
(qL/2).cos2(a) 
= 
(q.cosa).LH/2 
1) Carregamento distribuído na horizontal 
q.cos(a) 
LH 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
DMF 
1) Carregamento distribuído na horizontal 
q 
LH 
  
8
cos 22 Lq
MMAX


a 
  8cos
cos
2
22



a
a HLq
 
 
8
cos
cos
2
2








a
a H
L
q
8
2
HLq 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
A 
2) Carregamento distribuído na vertical 
Y 
X 
y 
x 
q 
B 
VB 
HA 
VA 
L 
LH 
L V 
a 
R 
   aa cossen  qqx
 a2sen qqy
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
DEN 
RBx 
2) Carregamento distribuído na vertical 
RAx 
q.cos(a) L V 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
2) Carregamento distribuído na vertical 
L V 
DEC 
(qL/2).sen2(a) 
= 
(q.sena).L V /2 
q.sen(a) 
-(qL/2).sen2(a) 
= 
-(q.sena).L V /2 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
2) Carregamento distribuído na vertical 
L V 
DMF 
q 
  
8
sen 22 Lq
MMAX


a 
  8sen
sen
2
22



a
a VLq
 
 
8
sen
sen
2
2








a
a V
L
q
8
2
VLq 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
3) Carregamento inclinado 
Resultantes 
R.cos(a) 
R.sen(a) 
R 
LH = L.cos(a) 
LV = L.sen(a) 
R = q.L 
a 
A 
Y 
X 
y 
x q 
B 
VB 
HA 
VA 
L 
LH 
L V 
a 
R 
Reações de apoio 2
qL
VV BA 
0AH
Carregamentos asen qqx  acos qqy
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
q.cos(a).L/2 q.sen(a).L/2 
q.cos(a).L/2 
q.sen(a).L/2 
DEN 
3) Carregamento inclinado 
-q.sen(a).L/2 
q.sen(a).L/2 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
3) Carregamento inclinado 
q.cos(a).L/2 q.sen(a).L/2 
q.cos(a).L/2 
q.sen(a).L/2 
DEC 
q.cos(a).L/2 
-q.cos(a).L/2 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
VIGAS INCLINADAS 
3) Carregamento inclinado 
DMF 
  
8
cos 2Lq
MMAX


a
 
 
8
cos
cos
2








a
a H
L
q
q.cos(a).L/2 
q.cos(a).L/2 
q.sen(a).L/2 
 
8
cos
2
HL
q







a
q.sen(a).L/2 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
PÓRTICOS PLANOS 
Nos pórticos (ou quadros) planos, tanto a estrutura quanto o 
carregamento estão contidos num único plano (xy), desde que se 
considere a representação do momento pela rotação. 
Os pórticos planos isostáticos podem ser simples ou compostos. 
Pórticos planos isostáticos simples: 
 • Biapoiado 
 • Engastado e livre 
 • Triarticulado 
 • Biapoiado com articulação 
INTRODUÇÃO 
Pórticos planos isostáticos compostos: formados por associações 
de pórticos simples (entre si, ou com vigas) 
 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
PÓRTICOS PLANOS 
BIAPOIADO 
ENGASTADO E LIVRE 
TRIARTICULADO 
BIAPOIADO COM 
ARTICULAÇÃO 
PÓRTICOS PLANOS ISOSTÁTICOS SIMPLES 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
PÓRTICOS PLANOS 
Em geral, nas estruturas formadas por mais de uma barra é 
necessário trabalhar com dois sistemas de eixos: um GLOBAL (XYZ, 
para determinar as reações de apoio) e um local (xyz, para 
determinar os E.S.I.) 
EIXOS LOCAIS E EIXOS GLOBAIS - CONVENÇÕES 
Geralmente o sistema global de eixos (XYZ) é escolhido de forma 
que as coordenadas globais dos nós sejam todas positivas 
(estrutura no primeiro quadrante ou no primeiro octante). 
Cada barra tem sistema local próprio de eixos que a define. Cada 
um é definido fazendo o eixo x (local) conter o eixo longitudinal da 
barra. 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
PÓRTICOS PLANOS 
• Nas barras horizontais: o eixo x local será considerado sempre 
para a direita 
EIXOS LOCAIS E EIXOS GLOBAIS - CONVENÇÕES 
• Nas barras verticais: o eixo x local será considerado sempre 
para cima 
Convenção adotada para o sentido do eixo x local: 
Y 
y 
a 
X 
x 
• Nas barras inclinadas: 
barra horizontal 
:45oa
barra vertical 
:45oa
a: menor ângulo formado entre o eixo 
longitudinal da barra e a horizontal 
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336 
PÓRTICOS PLANOS 
CONVENÇÕES PARA OS ESFORÇOS E DIAGRAMAS 
y 
x 
M - Q+ N+ 
M + Q- N- 
y 
M - 
Q+ 
N+ 
M + 
Q- 
N- 
x 
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ESFORÇOS INTERNOS SOLICITANTES 
Q+ 
M+ 
N+ 
Q+ 
M+ 
N+ x 
Q+ 
M+ 
N+ 
Q+ 
M+ 
N+ 
x