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Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA
INTRODUÇÃO
Os esforços nas estruturas devidos às ações fixas são calculados pelas
linhas de estado, que são diagramas que representam, em função das
diferentes seções transversais, a variação dos valores dos esforços
solicitantes causados pelo conjunto fixo de cargas aplicado à estrutura.
FIXO = CARREGAMENTO;
MÓVEL = SEÇÃO.
Classificação das ações quanto ao tempo e ao espaço (quanto à posição)
FIXAS: atuam somente na mesma posição ao longo do tempo.
• Exemplo: peso próprio
MÓVEIS: atuam em locais diferentes ao longo do tempo.
• Exemplo: peso dos veículos numa ponte
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA
INTRODUÇÃO
5 kN 12 kN
14
+
DMF (kNm)
20
7
2
-10
+
-
DEC (kN)
Para carregamento fixo, as linhas de estado são os diagramas de esforços
normais (DEN), de esforços cortantes (DEC), de momentos fletores (DMF)
e de momentos torçores (DMT).
5 kN
5
+ DEN (kN)
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA
INTRODUÇÃO
Os esforços nas estruturas devidos às ações móveis são calculados pelas
linhas de influência, que são diagramas que representam, numa mesma
seção transversal, a variação dos valores dos efeitos elásticos causados
pela ação de uma carga concentrada unitária P = 1 aplicada nas
diferentes seções transversais da estrutura.
FIXO = SEÇÃO;
MÓVEL = CARREGAMENTO.
Efeitos elásticos:
• Esforços internos
• Reações de apoio
• Deslocamentos
• Rotações
L.I. MS
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LINHAS DE INFLUÊNCIA
INTRODUÇÃO
As linhas de influência servem principalmente para a busca dos valores
máximos e mínimos possíveis dos efeitos em cada seção transversal, o
que possibilita a confecção das envoltórias dos esforços solicitantes.
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA
CONVENÇÃO DE SINAIS
Convenciona-se que as linhas de influência são confeccionadas sempre
considerando os esforços positivos em y negativo (para baixo) e z
negativo, de acordo com a convenção local de cada barra.
Podem existir linhas de influência para qualquer tipo de estrutura formada
por barras – no caso 2D, as mais comuns são as L.I. de vigas, pórticos,
arcos e treliças com altura constante.
INTRODUÇÃO
Também podem existir linhas de influência definidas por uma flexão
unitária ou por uma torção unitária, principalmente no caso de estruturas
3D, quando as L.I. são muitas vezes substituídas pelas superfícies de
influência.
As linhas de influência mais difundidas são as de vigas horizontais, devidas
a carregamento concentrado unitário vertical.
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Método analítico (pela definição) – ideal para estruturas isostáticas
• Método cinemático – ideal para estruturas hiperestáticas
As linhas de influência de estruturas isostáticas sempre são retas.
- Retira-se o vínculo do esforço em relação ao qual se deseja
determinar a L.I., simultaneamente à aplicação de forças externas de
forma a restituir a estrutura original
- Impõe-se deslocamento unitário negativo (translação ou rotação) em
relação ao esforço em questão
- As ordenadas da estrutura deformada são numericamente iguais à
L.I. desejada
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA
Reação de apoio
A B DC
A DC
P=1
V’
dV’ = 1
-
d
L.I. VB
• Método cinemático
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA
A B DC
A DC
P=1
d
Esforço cortante
• Método cinemático
S
A DC
V
dV = 1
-
VP=1
B
B
L.I. QS
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA
A B DC
A DC
P=1
d
Momento fletor
• Método cinemático
S
A DC
M
qM = 1
-
MP=1
B
B
L.I. MS
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Método cinemático
As linhas de influência de estruturas hiperestáticas são sempre curvas.
No caso de estruturas isostáticas, a liberação de qualquer vínculo as
transforma em máquinas (portanto, hipostáticas). Suas “deformadas” são
segmentos de retas, pois são na realidade deslocamentos e rotações de
corpo rígido, em uma estrutura desimpedida.
A B
V’
dV’ = 1
-
L.I. VA
A B
A B
A B
dV =1
-
L.I.QS
A B
A B
S
V
V
A B
L.I.MS
A B
A B
S
M M
qM=1
-
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
Por definição as ordenadas das L.I. são iguais ao efeito considerado na
seção de referência quando da atuação da carga concentrada unitária.
Assim, pelo princípio da superposição dos efeitos, assumindo
comportamento elástico-linear:
CARREGAMENTO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Para cargas concentradas
x
F
L.I. E
y1 x
q.dx
L.I. E y
• Para cargas distribuídas
y
x1
q
x2
A
x dx
• q cte. (carga uniformemente distribuída):
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
Para se obter o efeito gerado pelo carregamento:
CARREGAMENTO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA
• Carga concentrada: multiplica-se o valor da carga pela ordenada da
linha de influência na abscissa da carga.
• Carga uniformemente distribuída: multiplica-se o valor da carga (q),
constante, pela área do diagrama da L.I. compreendida entre as abscissas
que definem o intervalo de atuação da carga.
• Carga distribuída não uniforme: é necessário calcular o valor da integral
definida
Resumo
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
Basta prolongar a L.I. do tramo até a extremidade do balanço.
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS ISOSTÁTICAS COM BALANÇOS
• decompor em isostáticos básicos
• traçar a L.I. para a viga simples à qual pertence a seção S
• se a viga adjacente não possuir estabilidade própria, prolongar a L.I. até
o ponto extremo dela, com ordenada nula em rótulas ou apoios. Repetir
até encontrar uma estrutura estável ou a extremidade da viga Gerber.
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS GERBER
L.I. VA
A
L.I.QS
A B
L.I.MS
A BB
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
Supõe-se que é muito pequena a probabilidade de ocorrer uma
combinação de cargas mais severa que a do trem-tipo – composta pelo
veículo de projeto e pela carga de multidão; esta última simula os outros
veículos passando sobre a ponte simultaneamente.
As cargas móveis dos veículos sobre as pontes podem atuar de forma
variada no tempo e no espaço, segundo uma infinidade de combinações.
Para modelar este carregamento, as normas de projeto de cada país
consideram carregamentos idealizados, chamados de trens-tipo, que
podem variar em função da natureza e da forma de utilização da
estrutura.
CARREGAMENTO MÓVEL e TREM-TIPO
A principal aplicação das linhas de influência está nos projetos de pontes
rodoviárias e ferroviárias.
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
Modelo de cargas 
rodoviárias: NBR 7188
Modelo de cargas ferroviárias: NBR 7189
As cargas móveis dos trens-tipo podem atuar em
quaisquer locais, podendo até mesmo ser
interrompidas onde gerarem efeitos favoráveis
(evitando o alívio de carregamento). Podem até
mesmo ser invertidas, desde que se mantenham
as posições relativas entre as cargas.
No Brasil os trens-tipo são definidos pelas normas
da ABNT: - pontes rodoviárias: NBR 7188
- pontes ferroviárias: NBR 7189
CARREGAMENTO MÓVEL e TREM-TIPO
Elementos de Mecânicadas Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS
VALORES EXTREMOS DOS ESFORÇOS
Teorema: “O valor extremo de um efeito (máximo ou mínimo) ocorre
quando uma das cargas concentradas do carregamento móvel estiver
sobre um dos pontos angulosos da linha de influência”.
Em função disso, a busca pelos valores extremos dos esforços em uma
determinada seção fica bastante facilitada, especialmente no caso de
estruturas isostáticas. Não é necessário procurar posições intermediárias
do carregamento móvel, já que elas gerariam também valores
intermediários do E.S.I.
Nomenclatura:
G, Q: cargas concentradas fixas e móveis, respectivamente
g, q: cargas distribuídas fixas e móveis, respectivamente
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE PÓRTICOS PLANOS E ARCOS
Escolhem-se pontos importantes da estrutura e posiciona-se a carga
unitária P=1 em cada um deles, calculando em cada posição o efeito
desejado. Por fim, basta ligar os pontos pertencentes a uma mesma barra
por segmentos de reta.
• Método analítico (pela definição)
• Método por pontos 
Calcula-se o valor do efeito em função da abscissa (x) da carga unitária
P=1, em cada barra
OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA
* Como a carga P=1 é vertical, pode ser usada a viga de substituição
quando conveniente (especialmente em arcos triarticulados).
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE PÓRTICOS PLANOS E ARCOS
OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ARCOS TRIARTICULADOS
* Relações existentes em arcos triarticulados com corda inclinada:
Reações de apoio
Esforços internos
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE PÓRTICOS PLANOS E ARCOS
OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ARCOS TRIARTICULADOS
* Relações existentes em arcos triarticulados com corda inclinada:
Linhas de influência das reações de apoio:
Linhas de influência dos esforços internos:
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE PÓRTICOS PLANOS E ARCOS
OBTENÇÃO DAS LINHAS DE INFLUÊNCIA EM ARCOS TRIARTICULADOS
* Relações existentes em arcos triarticulados com corda horizontal:
Linhas de influência das reações de apoio:
Linhas de influência dos esforços internos:
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE TRELIÇAS
TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (BANZOS PARALELOS)
aM bM
aM+1 bM+1
P=1• Carregamento superior
h
VA VB
HA
aM
VA aM+1
M’
M
M+1
M’+1
M’
M M+1
M’+1
S
bM
bM+1
h
VB
M
M+1
h
M’
M’+1
S S
NS
ND
NI
NS
ND
NI
x
a
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE TRELIÇAS
TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (BANZOS PARALELOS)
aM bM
aM+1 bM+1
P=1
• Carregamento superior
h
VA VB
HA
M’
M M+1
M’+1
Sx
Ao
B
P=1
Bo
VAo VBo
Mo Mo+1
x
Viga de substituição
L
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE TRELIÇAS
TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (BANZOS PARALELOS)
a) L.I. NS (banzo superior)
a1) P=1 à esquerda de M’ (x entre 0 e aM): parte direita
* Mas
a2) P=1 à direita de M’+1 (x entre aM+1 e L): parte esquerda
* Mas
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE TRELIÇAS
TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (BANZOS PARALELOS)
a) L.I. NS (banzo superior)
L.I.NSA BMo Mo+1
aM+1bM+1/Lh
-
b) L.I. NI (banzo inferior)
b1) P=1 à esquerda de M’ (x entre 0 e aM): parte direita
b2) P=1 à direita de M’+1 (x entre aM+1 e L): parte esquerda
aM+1 bM+1
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE TRELIÇAS
TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (BANZOS PARALELOS)
b) L.I. NI (banzo inferior)
L.I.NI
A B
Mo Mo+1
aMbM/Lh
+
c) L.I. ND (biela)
c1) P=1 à esquerda de M’ (x entre 0 e aM): parte direita
b2) P=1 à direita de M’+1 (x entre aM+1 e L): parte esquerda
aM bM
Elementos de Mecânica das Estruturas – EEA 336
LINHAS DE INFLUÊNCIA DE TRELIÇAS
TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (BANZOS PARALELOS)
c) L.I. ND (biela)
L.I.ND
A
BMo
Mo+1
aM/(L.sena)
+
aM bM+1
-
bM+1/(L.sena)
1/sena
-1/sena
d) L.I. NV – barra vertical central
M’+1
NS NS
NV
Nó M’+1: d1) P=1 à esquerda de M’ (x entre 0 e aM): NV = 0
d2) P=1 sobre M’+1 (x = aM+1): NV = -1
d3) P=1 sobre M’+2 (x entre aM+2 e L): NV = 0
L.I.NV
A BMo Mo+1
-
Mo+2
-1
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LINHAS DE INFLUÊNCIA DE TRELIÇAS
TRELIÇAS COM ALTURA CONSTANTE (BANZOS PARALELOS)
e) L.I. NV – primeira barra vertical à esquerda
NI
NV
Nó A:
L.I.NV
A B
-
-1A
VA
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ENVOLTÓRIAS DE VIGAS
A envoltória de um efeito é o diagrama que mostra, em cada seção
transversal, os seus valores extremos (máximo e mínimo) quando a
estrutura é solicitada por ações fixas e móveis.
A obtenção das ordenadas de uma envoltória não é analítica: é feita
seção por seção, em pontos considerados importantes, carregando as
respectivas linhas de influência. As ordenadas dos pontos intermediários
são interpoladas.
Como uma envoltória é uma linha de estado, ela segue o padrão de
representação dos diagramas DMT, DMF, DEC, DEN - não segue,
portanto, o padrão de representação da linha de influência.
No caso de haver somente ações fixas, as envoltórias confundem-se com
os próprios diagramas de E.S.I.