Lógica para Computação - conjunto de sentenças, lógica simbólica - aula2 log cin

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Lógica Matemática 
Para Computação 
Conjunto inconsistente de sentenças 
 
 Seja C um conjunto de sentenças. Dizemos que C 
é inconsistente se é possível inferir de modo 
seguro uma sentença S de algum subconjunto de 
C e uma sentença contraditória a S (S) de um 
outro subconjunto de C. Nesse caso, dizemos que 
C contem uma contradição implícita. 
 Ex: C = { (B(A)), (AB) } 
 C também será inconsistente se tiver uma 
contradição explícita. 
 Ex: C = { P, Q, (P)} 
 
 
 
Conjunto inconsistente de sentenças 
 Todo A é B; Nenhum C é B; y é C; y é A. 
 
 Se y é A e todo A é B então y é B. 
 Se y é C e Nenhum C é B então y não é B. 
 
 Temos uma contradição implícita 
 
 
 
 
O que é um argumento inválido 
 Contradição 
 
 
• Premissas: P1: x é P. P2: Se x é P então x não R. 
• Conclusão: x é R. 
 Inferência não segura 
Ocorre quando a conclusão contradiz com as premissas ou 
quando deduzimos algo que contradiz com as premissas. 
• Todo humano é mortal 
• Sócrates é mortal 
--------------------------------- 
• Sócrates é humano 
O que é um argumento inválido 
 Atenção 
 
 Se o conjunto de premissas for inconsistente, o 
argumento será válido. Mas, se deduzirmos algo 
que seja inconsistente com uma das premissas 
então o argumento será inválido. 
Lógica Simbólica 
Boole e Frege 
 A lógica de Aristóteles usava muito a retórica. E na 
sua evolução para representar a argumentação 
usava-se os diagramas de Venn. 
 
 Final do século XIX: Boole e Frege: Lógica 
simbólica tomando como referência a matemática. 
 
Lógica Simbólica 
Boole 
 George Boole (1815-1864) Matemático e filósofo 
britânico, criador da Álgebra Booleana. 
 A álgebra booleana utiliza técnicas algébricas para 
lidar com as expressões da lógica. 
 Representação das sentenças é feita através 
variáveis e de números (0 e 1). 
 Operações lógicas: E, OU e NÃO. 
 Operações da teoria dos conjuntos: produto, soma e 
complemento. 
 
 
 
Lógica Simbólica 
Álgebra Booleana 
Lógica Simbólica 
Boole e Frege 
 Boole: teoria dos conjuntos. 
 
 Frege: trabalho independente. 
 
Lógica Simbólica 
Frege 
 
 Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848 –1925 foi um 
matemático alemão que se tornou lógico e filósofo. 
 
 Fundador da lógica moderna 
 
 Lógica de predicados (função e variáveis). 
 
 
Lógica Simbólica 
 
 
 Essencialmente, trata-se de um método de 
representação e manipulação simbólica de 
sentenças. Temos: 
 
1. Linguagem simbólica (precisa) 
2. Método calculador: para manipulação de 
expressões dessa linguagem 
 
 
Lógica Simbólica 
Exemplo 
 A, B e C são suspeitos 
 
• A diz: B é culpado e C é inocente 
• B diz: Se A for culpado, então C também é. 
• C diz: Eu sou inocente, mas pelo menos um dos 
outros dois é culpado. 
 
 Esses depoimentos tomados conjuntamente formam 
um conjunto consistente? 
 
 
Lógica Simbólica 
Exemplo 
 Qual é o conjunto de sentenças atômicas? 
 
 X: B é culpado 
 Y: C é culpado 
 Z: A é culpado 
 
 Como representar os depoimentos? 
 
 
 
Lógica Simbólica 
Exemplo: Como representar os depoimentos 
 X: B é culpado; Y: C é culpado; Z: A é culpado 
 
• A diz: B é culpado e C é inocente X  Y 
• B diz: Se A for culpado, então C também é. Z  Y 
• C diz: Eu sou inocente, mas pelo menos um dos 
outros dois é culpado. . Y  ( X  Z ) 
 
 
 
 
 
 
X  Y = 1 
Z  Y = 1 
Y  ( X  Z ) = 1 
Resolver esse sistema de 
equações ? 
REVISÃO 
 Determine e justifique se a seguinte inferência é 
válida 
 Todo A é B 
 Nem todo B é C 
 ------------------------ 
 Todo A é C 
 
 
 
 
REVISÃO 
 Determine e justifique se o seguinte conjunto de 
sentenças é consistente. 
– 
 Nenhum A é B 
 Algum B é C 
 Se x não é C então x não é A 
 
 
Paradoxo do Barbeiro 
 Dada a afirmação abaixo, diga se há alguma 
contradição nela. Justifique: 
 
 ``Walter se associou ao clube dos bolinhas há dois 
anos, e tem pagado as mensalidades desde então. 
Ano passado ele pagou as mensalidades de 
exatamente aqueles sócios que não pagaram por 
suas próprias mensalidades.´´ 
 
 Paradoxo do barbeiro 
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_barbeiro