Analise Combinatoria 2016 PFC Arranjo Combinação Permutação

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Análise Combinatória 2016 
P.F.C., Arranjo, Combinação e Permutação 
 
1. (Uel 2016) Leia o texto a seguir. 
 
O movimento Free Hugs começou em 2001 com um único indivíduo, em Sidney, Austrália, 
conhecido pelo pseudônimo de Juan Mann. Ao se ver em situação desconfortável, com vários 
problemas pessoais e familiares, Mann decidiu sair sozinho, caminhando pelas ruas e 
oferecendo abraços às pessoas em lugares públicos como um gesto hipoteticamente neutro e 
sem interesses. Ele usava um cartaz de papelão nas mãos com a mensagem “Free Hugs” para 
oferecer abraços a desconhecidos. Nos dias de hoje, várias vezes ao ano e em diferentes 
cidades no mundo, agentes voluntários saem, sozinhos ou em grupos organizados, pelas ruas, 
repetindo a ação inicial de Mann para propor a troca de abraços com desconhecidos. 
 
(Adaptado de: MARTINS, F. G. P.; GUSHIKEN, Y. Free Hugs: dinâmicas de troca, dádiva e 
estranhamento na intervenção urbana. Comunicação, mídia e consumo. ano 9. v.9. n.24. maio 
2012. p.179-198.) 
 
 
Em um determinado dia, uma apresentadora de um programa de TV, após exibir reportagem 
sobre o movimento “Free Hugs”, propôs aos espectadores da plateia que saudassem a todos 
os demais (uns aos outros) com um abraço. Considere que: 
 
- todos aceitaram o abraço; 
- os abraços ocorreram apenas entre pessoas da plateia; 
- cada abraço envolveu apenas duas pessoas; 
- duas pessoas se abraçaram apenas uma vez; 
- quando terminaram as saudações, o total de abraços foi de 496. 
 
Quantas pessoas formavam a plateia do programa naquele dia? 
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução desta questão. 
 
2. (Ueg 2016) Um aluno terá que escrever a palavra PAZ utilizando sua caneta de quatro 
cores distintas, de tal forma que nenhuma letra dessa palavra tenha a mesma cor. O número 
de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é 
a) 64 
b) 24 
c) 12 
d) 4 
 
3. (G1 - ifsp 2016) Um banco está testando um novo produto e disponibilizou a alguns dos 
seus clientes acesso via internet para esse produto, por meio de senhas compostas por cinco 
vogais distintas e dois números pares distintos, de 
2
 a 
8,
 nessa ordem, ou seja, primeiro as 
vogais e depois os números. O número de clientes que podem acessar esse novo produto, via 
internet, é: 
a) 
22.
 
b) 
3.520.
 
c) 
1.440.
 
d) 
180.
 
e) 
920.
 
 
 
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4. (Imed 2016) O número de candidatos inscritos para realização do último vestibular de verão, 
em um determinado curso, corresponde ao número de anagramas da palavra VESTIBULAR 
que começam por VE e terminam por AR. Esse número é igual a: 
a) 
120.
 
b) 
240.
 
c) 
360.
 
d) 
540.
 
e) 
720.
 
 
5. (G1 - ifpe 2016) Um auditório em forma de um salão circular dispõe de 6 portas, que podem 
ser utilizadas tanto como entrada ou para saída do salão. De quantos modos distintos uma 
pessoa que se encontra fora do auditório pode entrar e sair do mesmo, utilizando como porta 
de saída uma porta diferente da que utilizou para entrar? 
a) 
6
 
b) 
5
 
c) 
12
 
d) 
30
 
e) 
36
 
 
6. (Uerj 2016) Com o objetivo de melhorar o tráfego de veículos, a prefeitura de uma grande 
cidade propôs a construção de quatro terminais de ônibus. Para estabelecer conexão entre os 
terminais, foram estipuladas as seguintes quantidades de linhas de ônibus: 
 
- do terminal 
A
 para o 
B,
 4 linhas distintas; 
- do terminal 
B
 para o 
C,
 3 linhas distintas; 
- do terminal 
A
 para o 
D,
 5 linhas distintas; 
- do terminal 
D
 para o 
C,
 2 linhas distintas. 
 
Não há linhas diretas entre os terminais 
A
 e 
C.
 
 
Supondo que um passageiro utilize exatamente duas linhas de ônibus para ir do terminal 
A
 
para o terminal 
C,
 calcule a quantidade possível de trajetos distintos que ele poderá fazer. 
 
7. (Uemg 2016) “Genius era um brinquedo muito popular na década de 1980 (...). O brinquedo 
buscava estimular a memorização de cores e sons. Com formato semelhante a um OVNI, 
possuía 4 botões de cores distintas que emitiam sons harmônicos e se iluminavam em 
sequência. Cabia aos jogadores repetir o processo sem errar”. 
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Adaptado). 
 
 
Considerando uma fase do jogo em que 3 
luzes irão acender de forma aleatória e em 
sequência, podendo cada cor acender mais 
de uma vez. 
 
O número máximo de formas que essa 
sequência de 3 luzes poderá acender é: 
a) 
12.
 
b) 
24.
 
c) 
36.
 
d) 
64.
 
 
 
 
 
 
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8. (Uece 2016) No Brasil, os veículos de pequeno, médio e grande porte que se movimentam 
sobre quatro ou mais pneus são identificados com placas alfanuméricas que possuem sete 
dígitos, dos quais três são letras do alfabeto português e quatro são algarismos de 
0
 a 
9.
 
inclusive estes. Quantos desses veículos podem ser emplacados utilizando somente letras 
vogais e algarismos pares? 
a) 
78625.
 
b) 
78125.
 
c) 
80626.
 
d) 
80125.
 
 
9. (Uemg 2015) Observe a tirinha abaixo: 
 
 
 
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na sorveteria, há 
6
 
sabores diferentes de sorvete e 
3
 é o número máximo de bolas por casquinha, sendo sempre 
uma de cada sabor. 
 
O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha é igual a 
a) 
20.
 
b) 
41.
 
c) 
120.
 
d) 
35.
 
 
10. (Fgv 2015) Em uma sala estão presentes 
n
 pessoas, com 
n 3.
 Pelo menos uma pessoa 
da sala não trocou aperto de mão com todos os presentes na sala, e os demais presentes 
trocaram apertos de mão entre si, e um único aperto por dupla de pessoas. Nessas condições, 
o número máximo de apertos trocados pelas 
n
 pessoas é igual a 
a) 2n 3n 2
2
 
 
b) 2n n 2
2
 
 
c) 2n 2n 2
2
 
 
d) 2n 3n 2
2
 
 
e) 2n n 2
2
 
 
 
 
 
 
 
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11. (Epcar (Afa) 2015) Um turista queria conhecer três estádios da Copa do Mundo no Brasil 
não importando a ordem de escolha. Estava em dúvida em relação às seguintes situações: 
 
I. obrigatoriamente, conhecer o Estádio do Maracanã. 
II. se conhecesse o Estádio do Mineirão, também teria que conhecer a Arena Pantanal, caso 
contrário, não conheceria nenhum dos dois. 
 
Sabendo que a Copa de 2014 se realizaria em 
12
 estádios brasileiros, a razão entre o número 
de modos distintos de escolher a situação I e o número de maneiras diferentes de escolha para 
a situação II, nessa ordem, é 
a) 
11
26
 
b) 
13
25
 
c) 
13
24
 
d) 
11
24
 
 
12. (Uema 2015) Um engenheiro construiu três casas de mesmo modelo e tamanho, uma 
junto da outra. Para pintura dessas casas, contratou um profissional que poderia escolher, a 
seu critério, tintas de cinco cores distintas. 
 
Determine de quantas formas o pintor poderia escolher as tintas, de modo que as casas 
fossem pintadas de cores diferentes. 
 
13. (Uece 2015) Se os conjuntos 
X
 e 
Y
 possuem, respectivamente, cinco e oito elementos, 
quantas funções, 
f : X Y,
 injetivas e distintas, podem ser construídas? 
a) 
6680.
 
b) 
6700.
 
c) 
6720.
 
d) 
6740.
 
 
14. (Enem 2015)Uma família composta por sete pessoas adultas, após decidir o itinerário de 
sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e constatou que o voo para a data 
escolhida estava quase lotado. Na figura, disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão 
marcadas com X e as únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
 
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado por 
a) 
9!
2!
 b) 
9!
7! 2!
 c) 
7!
 d) 
5!
4!
2!

 e) 
5! 4!
4! 3!

 
 
 
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15. (Uerj 2015) Uma criança ganhou seis picolés de três sabores diferentes: baunilha, 
morango e chocolate, representados, respectivamente, pelas letras B, M e C. De segunda a 
sábado, a criança consome um único picolé por dia, formando uma sequência de consumo dos 
sabores. Observe estas sequências, que correspondem a diferentes modos de consumo: 
 
(B, B, M, C, M, C)
 ou 
(B, M, M, C, B, C)
 ou 
(C, M, M, B, B, C)
 
 
O número total de modos distintos de consumir os picolés equivale a: 
a) 6 
b) 90 
c) 180 
d) 720 
 
16. (Pucrs 2015) Um fotógrafo foi contratado para tirar fotos de uma família composta por pai, 
mãe e quatro filhos. Organizou as pessoas lado a lado e colocou os filhos entre os pais. 
Mantida essa configuração, o número de formas em que poderão se posicionar para a foto é 
a) 
4
 
b) 
6
 
c) 
24
 
d) 
36
 
e) 
48
 
 
17. (Ueg 2015) Numa lanchonete o lanche é composto por três partes: pão, molho e recheio. 
Se essa lanchonete oferece aos seus clientes duas opções de pão, três de molho e quatro de 
recheio, a quantidade de lanches distintos que ela pode oferecer é de 
a) 9 
b) 12 
c) 18 
d) 24 
 
18. (Unicamp 2015) O número mínimo de pessoas que deve haver em um grupo para que 
possamos garantir que nele há pelo menos três pessoas nascidas no mesmo dia da semana é 
igual a 
a) 
21.
 
b) 
20.
 
c) 
15.
 
d) 
14.
 
 
19. (Espm 2014) Os binomiais 
11
4x
 
 
 
 e 
x 3y
y
 
 
 
são complementares e, por isso, são iguais. 
Seu valor é: 
a) 165 
b) 330 
c) 55 
d) 462 
e) 11 
 
20. (Ita 2014) Determine quantos paralelepípedos retângulos diferentes podem ser construídos 
de tal maneira que a medida de cada uma de suas arestas seja um número inteiro positivo que 
não exceda 10. 
 
21. (Fgv 2014) Uma senha de internet é constituída de seis letras e quatro algarismos em que 
a ordem é levada em consideração. Eis uma senha possível: 
(a, a, b, 7, 7, b, a, 7, a, 7).
 
Quantas senhas diferentes podem ser formadas com quatro letras “a”, duas letras “b” e quatro 
algarismos iguais a 7? 
a) 10! b) 2 520 c) 3 150 d) 6 300 e) 
10!
4!6!
 
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22. (Ufsm 2014) Para cuidar da saúde, muitas pessoas buscam atendimento em cidades 
maiores onde há centros médicos especializados e hospitais mais equipados. Muitas vezes, o 
transporte até essas cidades é feito por vans disponibilizadas pelas prefeituras. 
 
Em uma van com 10 assentos, viajarão 9 passageiros e o motorista. De quantos modos 
distintos os 9 passageiros podem ocupar suas poltronas na van? 
a) 4.032. 
b) 36.288. 
c) 40.320. 
d) 362.880. 
e) 403.200. 
 
23. (Ucs 2014) Rose não anotou o número de celular que seu novo amigo lhe informou. Agora 
ela tem dúvidas em relação aos últimos quatro dígitos. Sabe quais são os dígitos, porém não 
sabe a ordem em que eles aparecem no número do telefone. 
Quantas são as diferentes possibilidades para a ordem desses quatros dígitos? 
a) 8 
b) 16 
c) 24 
d) 36 
e) 120 
 
24. (Enem PPL 2014) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de 
senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar 
as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos 
caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos 
caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas. 
 
Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por 
a) 
100.
 
b) 
90.
 
c) 
80.
 
d) 
25.
 
e) 
20.
 
 
25. (Insper 2014) Desde o dia da partida inaugural até o dia da final de um torneio de futebol, 
terão sido transcorridos 32 dias. Considerando que serão disputados, ao todo, 64 jogos nesse 
torneio, pode-se concluir que, necessariamente, 
a) ocorrerão duas partidas por dia no período de disputa do torneio. 
b) haverá um único jogo no dia em que for disputada a final. 
c) o número médio de jogos disputados por equipe será, no máximo, 2. 
d) ocorrerá pelo menos um dia sem jogos no período de disputa do torneio. 
e) haverá duas partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia. 
 
26. (Upe 2014) A seguir, temos o fatorial de alguns números. 
 
1! 1 2! 2 1 3! 3 2 1 4! 4 3 2 1         
 
 
Considere o astronômico resultado de 2013! Quanto vale a soma dos seus três últimos 
algarismos? 
a) 0 
b) 6 
c) 13 
d) 20 
e) 21 
 
 
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27. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e 
flocos. 
De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa sorveteria? 
a) 10 maneiras 
b) 9 maneiras 
c) 8 maneiras 
d) 7 maneiras 
e) 6 maneiras 
 
28. (Pucrs 2013) Para a escolha de um júri popular formado por 21 pessoas, o juiz-presidente 
de uma determinada Comarca dispõe de uma listagem com nomes de trinta homens e de vinte 
mulheres. O número de possibilidades de formar um júri popular composto por exatamente 15 
homens é 
a) 
15 6
30 20C C
 
b) 
15 6
30 20A A
 
c) 
15 6
30 20C C
 
d) 
15 6
30 20A A
 
e) 
21
50C
 
 
29. (Ufsm 2013) As doenças cardiovasculares aparecem em primeiro lugar entre as causas de 
morte no Brasil. As cirurgias cardíacas são alternativas bastante eficazes no tratamento dessas 
doenças. 
Supõe-se que um hospital dispõe de 5 médicos cardiologistas, 2 médicos anestesistas e 6 
instrumentadores que fazem parte do grupo de profissionais habilitados para realizar cirurgias 
cardíacas. 
Quantas equipes diferentes podem ser formadas com 3 cardiologistas, 1 anestesista e 4 
instrumentadores? 
a) 200. 
b) 300. 
c) 600. 
d) 720. 
e) 1.200. 
 
30. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, chocolate, creme e 
flocos. 
De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores diferentes, nessa 
sorveteria? 
a) 6 maneiras 
b) 7 maneiras 
c) 8 maneiras 
d) 9 maneiras 
e) 10 maneiras 
 
31. (Udesc 2013) Uma turma de 25 alunos precisa escolher 6 representantes. Sabe-se que 
28% dos alunos desta turma são mulheres, e que os representantes escolhidos devem ser 3 
homens e 3 mulheres. Assim, o número de possibilidades para esta escolha é: 
a) 28560 
b) 851 
c) 13800 
d) 1028160 
e) 5106 
 
32. (Uern 2013) Numa lanchonete são vendidos sucos de 8 sabores diferentes, sendo que 3 
são de frutas cítricas e os demais de frutas silvestres. De quantas maneiras pode-se escolher 3 
sucos de sabores diferentes, sendo que pelo menos 2 deles sejam de frutas silvestres? 
a) 40 b) 55 c) 72 d) 85 
 
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33. (Upe 2013) Seguindoa etiqueta japonesa, um restaurante tipicamente oriental solicita aos 
seus clientes que retirem seus calçados na entrada do estabelecimento. Em certa noite, 6 
pares de sapato e 2 pares de sandálias, todos distintos, estavam dispostos na entrada do 
restaurante, em duas fileiras com quatro pares de calçados cada uma. Se esses pares de 
calçados forem organizados nessas fileiras de tal forma que as sandálias devam ocupar as 
extremidades da primeira fila, de quantas formas diferentes podem-se organizar esses 
calçados nas duas fileiras? 
a) 6! 
b) 2 . 6! 
c) 4 . 6! 
d) 6 . 6! 
e) 8! 
 
34. (Uel 2013) Os clientes de um banco, ao utilizarem seus cartões nos caixas eletrônicos, 
digitavam uma senha numérica composta por cinco algarismos. Com o intuito de melhorar a 
segurança da utilização desses cartões, o banco solicitou a seus clientes que cadastrassem 
senhas numéricas com seis algarismos. 
Se a segurança for definida pela quantidade de possíveis senhas, em quanto aumentou 
percentualmente a segurança na utilização dos cartões? 
a) 10% 
b) 90% 
c) 100% 
d) 900% 
e) 1900% 
 
35. (Ucs 2012) Um professor apresenta 10 questões, das quais os seus alunos poderão 
escolher 8 para serem respondidas. De quantas maneiras diferentes um aluno pode escolher 
as 8 questões? 
a) 90 
b) 80 
c) 45 
d) 40 
e) 8 
 
36. (Unb 2012) Produtos de limpeza, como sabão, detergente, desentupidor de pia e alvejante, 
geralmente utilizados em residências, apresentam, na sua composição, compostos como 
hidróxido de sódio (NaOH) e hipoclorito de sódio 
(NaC O).
 A esse respeito, julgue o item a 
seguir. 
 
O número de maneiras distintas de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 opções disponíveis 
na prateleira de um supermercado é igual a 2
3 

 3
2
 

 11. 
 
37. (Uepb 2012) A solução da equação 
n,3 n,2A 4 A 
 é 
a) 3 
b) 4 
c) 8 
d) 6 
e) 5 
 
38. (Unioeste 2012) Quantas palavras podemos formar, independente se tenham sentido ou 
não, com as 9 letras da palavra BORBOLETA? 
a) 81 440. 
b) 90 720. 
c) 362 880. 
d) 358 140. 
e) 181 440. 
 
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39. (Unisinos 2012) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de carne, 5 tipos de massa, 8 
tipos de salada e 6 tipos de sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos escolher 
uma refeição composta por 1 carne, 1 massa, 1 salada e 1 sobremesa? 
a) 23. 
b) 24. 
c) 401. 
d) 572. 
e) 960. 
 
40. (Ufjf 2012) Uma empresa escolherá um chefe para cada uma de suas repartições A e B. 
Cada chefe deve ser escolhido entre os funcionários das respectivas repartições e não devem 
ser ambos do mesmo sexo. 
Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das repartições A e B. 
 
FUNCIONÁRIOS 
REPARTIÇÕES 
A B 
Mulheres 4 7 
Homens 6 3 
 
De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos? 
a) 12. 
b) 24. 
c) 42. 
d) 54. 
e) 72. 
 
41. (Uepa 2012) Um profissional de design de interiores precisa planejar as cores que serão 
utilizadas em quatro paredes de uma casa, para isso possui seis cores diferentes de tinta. O 
número de maneiras diferentes que esse profissional poderá utilizar as seis cores nas paredes, 
sabendo-se que somente utilizará uma cor em cada parede, é: 
a) 24 
b) 30 
c) 120 
d) 360 
e) 400 
 
42. (Mackenzie 2012) Os vértices de um cubo são pintados de azul ou de vermelho. A pintura 
dos vértices é feita de modo que cada aresta do cubo tenha pelo menos uma de suas 
extremidades pintada de vermelho. 
O menor número possível de vértices pintados de vermelho nesse cubo é 
a) 2 
b) 3 
c) 4 
d) 6 
e) 8 
 
43. (Ucs 2012) Em uma prova, as seis primeiras questões eram do tipo C/E, em que o 
candidato devia optar entre certo ou errado para sua resposta. Nas outras quatro questões, o 
candidato devia escolher, entre três alternativas, a verdadeira. 
Quantas sequências de respostas são possíveis na resolução da prova? 
a) 
 
2
6 2
 
b) 
   6 2 4 3  
 
c) 
2 36 4
 
d) 
2 310 
 
e) 
6 42 3
 
 
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44. (Uepb 2012) Com os números naturais n, 
1 n 9 
, o total de números inteiros que 
podemos obter com três algarismos distintos, não divisíveis por 5, é: 
a) 448 
b) 446 
c) 444 
d) 348 
e) 346 
 
45. (Pucrj 2012) Seja A o conjunto dos números inteiros positivos com três algarismos. Seja B 
o subconjunto de A dos números ímpares com três algarismos distintos. Quantos elementos 
tem o conjunto B? 
a) 125 
b) 168 
c) 320 
d) 360 
e) 900 
 
46. (Enem 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a 
participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa 
de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O 
objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual 
cômodo da casa o objeto foi escondido. 
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As 
respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser 
sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e 
a brincadeira é encerrada. 
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. 
 
47. (Unesp 2011) Em um jogo lotérico, com 40 dezenas distintas e possíveis de serem 
escolhidas para aposta, são sorteadas 4 dezenas e o ganhador do prêmio maior deve acertar 
todas elas. Se a aposta mínima, em 4 dezenas, custa 
R$ 2,00
, uma aposta em 6 dezenas 
deve custar: 
a) 
R$15,00
. 
b) 
R$30,00
. 
c) 
R$ 35,00
. 
d) 
R$ 70,00
. 
e) 
R$ 140,00
. 
 
48. (Ifsul 2011) Sendo 15 pontos distintos pertencentes a uma circunferência, o número de 
retas, distintas, determinadas por esses pontos, é 
a) 14 
b) 91 
c) 105 
d) 210 
 
 
 
 
 
 
 
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49. (Ufrj 2011) Um marcador digital é formado por sete segmentos no formato de um 8. Para 
formar um símbolo, cada segmento pode ficar iluminado ou apagado, com pelo menos um 
segmento iluminado. 
 
 
 
Dizemos que um símbolo é conexo se não existe segmento iluminado isolado dos demais. Por 
exemplo: os três símbolos representados na figura 1 a seguir são conexos e distintos; já o 
símbolo da figura 2 não é conexo. 
Os símbolos ilustrados têm, todos, três segmentos iluminados. 
 
 
 
Desenhe TODOS os símbolos conexos formados por três segmentos iluminados. 
 
TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES: 
Uma rodovia que liga duas cidades X e Y possui telefones de emergência localizados de 4 em 
4 quilômetros. Indo de X até Y por essa rodovia, Júlio passou por quatro postos de gasolina, 
nesta ordem: P1, P2, P3 e P4. Júlio observou ainda que os quatro postos estavam localizados a 
2 km de distância de um telefone de emergência. Sabe-se que: 
• para ir de P1 até P4 passa-se por 15 telefones de emergência; 
• para ir de P1 até P3 passa-se por 11 telefones de emergência; 
• para ir de P2 até P4 passa-se por 7 telefones de emergência. 
 
 
50. (Insper 2011) Um funcionário da companhia responsável pela manutenção dos telefonesde emergência viajará do posto 
2P
 até o posto 
4P .
 Nesse trajeto, ele irá escolher dois 
telefones para fazer manutenção preventiva. Na volta, indo de 
4P
 até 
2P ,
 ele escolherá outros 
dois telefones para fazer manutenção preventiva. O número de maneiras distintas que esse 
funcionário tem para escolher como fará essa inspeção é igual a 
a) 
35.
 
b) 
105.
 
c) 
210.
 
d) 
420.
 
e) 
840.
 
 
51. (Insper 2011) A distância, em quilômetros, entre os postos 
2P
 e 
3P
 é igual a 
a) 
20.
 
b) 
18.
 
c) 
16.
 
d) 
12.
 
e) 
8.
 
 
 
 
 
 
 
 
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52. (Enem 2ª aplicação 2010) Considere que um professor de arqueologia tenha obtido 
recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do país. Ele decidiu restringir 
sua escolha aos museus nacionais e internacionais relacionados na tabela a seguir. 
 
Museus nacionais Museus internacionais 
Masp — São Paulo Louvre — Paris 
MAM — São Paulo Prado — Madri 
Ipiranga — São Paulo British Museum — Londres 
Imperial — Petrópolis Metropolitan — Nova York 
 
De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse professor pode 
escolher os 5 museus para visitar? 
a) 6 
b) 8 
c) 20 
d) 24 
e) 36 
 
53. (Uemg 2010) Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir: 
 
 
 
A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”. 
 
Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e 
que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o 
número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a 
a) 60. 
b) 150. 
c) 600. 
d) 120. 
 
54. (Pucrs 2010) Uma melodia é uma sequência de notas musicais. Para compor um trecho de 
três notas musicais sem repeti-las, um músico pode utilizar as sete notas que existem na 
escala musical. O número de melodias diferentes possíveis de serem escritas é: 
a) 3 
b) 21 
c) 35 
d) 210 
e) 5040 
 
55. (Fgv 2010) Preparando-se para a sua festa de aniversário de sessenta anos, uma senhora 
quer usar três anéis de cores diferentes nos dedos das mãos, um anel em cada dedo. De 
quantos modos diferentes pode colocá-los, se não vai por nenhum anel nos polegares? 
 
 
 
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56. (Enem 2009) Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de 
abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para 
compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para 
realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio 
campo, e o segundo seria o time visitante. 
 
A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos 
times do jogo de abertura podem ser calculadas através de 
a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. 
b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. 
c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. 
d) duas combinações. 
e) dois arranjos. 
 
57. (Insper 2009) Uma empresa possui 1.000 funcionários. No último ano, foram realizadas 
2.000 reuniões internas nessa empresa (ou seja, reuniões em que todos os participantes são 
funcionários). Assim, é correto concluir que nesse ano, necessariamente, 
a) Todos os funcionários da empresa participaram de no mínimo duas reuniões internas. 
b) Houve funcionários da empresa que participaram de uma única reunião interna. 
c) Houve reuniões internas na empresa com apenas dois participantes. 
d) Houve no mínimo duas reuniões internas na empresa com números de participantes 
diferentes. 
e) Houve no mínimo duas reuniões internas na empresa com o mesmo número de 
participantes. 
 
58. (Enem 2007) Estima-se que haja, no Acre, 
209
 espécies de mamíferos, distribuídas 
conforme a tabela a seguir. 
 
grupos taxonômicos número de espécies 
Artiodáctilos 4 
Carnívoros 18 
Cetáceos 2 
Quirópteros 103 
Lagomorfos 1 
Marsupiais 16 
Perissodáctilos 1 
Primatas 20 
Roedores 33 
Sirênios 1 
Edentados 10 
Total 209 
T & C Amazônia, ano 1, n.º 3, dez./2003. 
 
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos - uma do 
grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. 
O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse 
estudo é igual a 
a) 
1.320.
 
b) 
2.090.
 
c) 
5.845.
 
d) 
6.600.
 
e) 
7.245.
 
 
 
 
 
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59. (Enem 2004) No Nordeste brasileiro, é comum encontrarmos peças de artesanato 
constituídas por garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um 
artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o 
mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a 
figura. 
 
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou 
amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da 
casa nem da palmeira, por uma questão de contraste, então o número de variações que podem 
ser obtidas para a paisagem é 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
e) 10. 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 Se 
n
 
(n )
 é o número de pessoas que formavam a plateia, então 
n n!
496 496
2 2! (n 2)!
n (n 1) 32 31
n 32.
 
   
  
    
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
O número de maneiras que esse aluno pode escrever essa palavra é igual ao arranjo de 4, 3 a 
3. O seja: 
3 3
4 4
4!
A 4 3 2 A 24
(4 3)!
     

 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Considerando as vogais: 
a, e, i, o
 e 
u;
 existem 
5P 5!
 modos de dispor as vogais, 
4
 modos 
de escolher o primeiro algarismo par e 
3
 modos de escolher o segundo algarismo par. 
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 
5! 4 3 1.440.  
 
 
Resposta da questão 4: 
 [E] 
 
Permutando as letras S, T, I, B, U, L, temos, uma permutação simples: 
6P 6! 6.5.4.3.2.1 720
VE _ _ _ _ _ _ AR
  
 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
Princípio Fundamental da Contagem 
entrar sair
6 5 30 
 
 
Resposta da questão 6: 
 Pelo Princípio Multiplicativo, existem 
4 3 12 
 maneiras de ir de 
A
 para 
C,
 passando por 
B,
 
e 
5 2 10 
 maneiras de ir de 
A
 para 
C,
 passando por 
D.
 Em consequência, pelo Princípio 
Aditivo, segue que a resposta é 
12 10 22. 
 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 
4 4 4 64.  
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Considerando como vogais apenas as letras 
a, e, i, o
 e 
u,
 há 
5
 possibilidades para cada letra 
e 
5
 possibilidades para cada algarismo. Em consequência, pelo Princípio Multiplicativo, segue 
que a resposta é 
75 78125.
 
 
Observação: O item não considera o acordo ortográfico vigente. 
 
Resposta da questão 9: 
 [B] 
 
Como uma casquinha pode ter no máximo 
3
 bolas e os sabores devem ser distintos,segue-se 
que o resultado pedido é dado por 
 
6 6 6 6! 6!
6
1 2 3 2! 4! 3! 3!
6 15 20
41.
     
                     
  

 
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Gabarito Oficial: [E] 
Gabarito SuperPro®: [D] 
 
O resultado pedido se dá quando o número de pessoas que não trocou aperto de mão com 
todos os presentes na sala é mínimo, ou seja, igual a 
1.
 
Portanto, a reposta é 
 
2n 1 (n 1)! (n 1)(n 2) n 3n 2
.
2 2!(n 3)! 2 2
      
   
 
 
 
Resposta da questão 11: 
 [A] 
 
Para a situação I, existem 
11 11!
55
2 2! 9!
 
  
 
 escolhas possíveis. Para a situação II, o número 
de possibilidades é dado por 
10 10!
10 10 130.
3 3! 7!
 
    
 
 Em consequência, a resposta é 
55 11
.
130 26

 
 
Resposta da questão 12: 
 As tintas podem ser escolhidas de 
5 5!
10
3 3! 2!
 
  
 
 modos distintos. 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 13: 
 [C] 
 
O resultado pedido é dado pelo número de arranjos simples dos oito elementos do conjunto 
Y
 
tomados cinco a cinco, ou seja, 
8, 5
8!
A 6720.
3!
 
 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
O resultado pedido corresponde ao número de arranjos simples de 
9
 objetos tomados 
7
 a 
7,
 
isto é, 
9, 7
9!
A .
2!

 
 
Resposta da questão 15: 
 [B] 
 
Sabendo que a criança ganhou dois picolés de cada sabor, tem-se que o resultado pedido é 
dado por 
 
(2, 2, 2)
6
6!
P 90.
2! 2! 2!
 
 
 
 
Resposta da questão 16: 
 [E] 
 
Há 
2
 possibilidades para o posicionamento dos pais e 
4P 4! 24 
 modos de posicionar os 
filhos. Desse modo, pelo Princípio Multiplicativo, segue que o resultado é 
2 24 48. 
 
 
Resposta da questão 17: 
 [D] 
 
Pelo Princípio Multiplicativo, segue que a resposta é 
2 3 4 24.  
 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Como a semana tem 
7
 dias, para garantir que há pelo menos três pessoas no mesmo dia da 
semana, é necessário que haja pelo menos 
2 7 1 15  
 pessoas no grupo. 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
Se 
11
4x
 
 
 
 e 
x 3y
y
 
 
 
 são complementares, então 
x 3y 11 
 e 
4x y 11. 
 Em consequência, 
tem-se 
x 2
 e 
y 3.
 Portanto, 
11 11 11!
165.
4x 8 8! 3!
   
     
   
 
 
 
 
 
 
 
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Resposta da questão 20: 
 Supondo que queremos calcular o número de paralelepípedos reto-retângulos distintos, cujas 
medidas das arestas pertencem ao conjunto 
{1, 2, ,10},
 segue-se que o resultado é dado pelo 
número de combinações completas de 
10
 objetos tomados 
3
 a 
3,
 ou seja, 
 
3
10
12 12!
CR 220.
3 3! 9!
 
      
 
 
Resposta da questão 21: 
 [C] 
 
O resultado é dado por 
 
(4, 2, 4)
10
10!
P 3150.
4! 2! 4!
 
 
 
 
Resposta da questão 22: 
 [D] 
 
Devemos distribuir 9 pessoas para nove lugares distintos, temos então uma permutação de 
nove elementos: 
P9 = 9! = 9 8 7 6 5 4 3 2 1        362880. 
 
Resposta da questão 23: 
 [C] 
 
O número de possibilidades para a ordem dos quatros dígitos é dado por 
4P 4! 24. 
 
 
Resposta da questão 24: 
 [A] 
 
Supondo que serão utilizadas apenas as vogais 
a, e, i, o
 e 
u,
 segue-se, pelo Princípio 
Multiplicativo, que a resposta é 
10 10 100. 
 
 
Observação: Considerando o acordo ortográfico de 2009, a questão não teria resposta. 
 
Resposta da questão 25: 
 [E] 
 
Seja 
[x]
 o maior inteiro menor do que ou igual a 
x.
 
 
Pelo Princípio das Gavetas de Dirichlet, haverá pelo menos 
 
64 1
1 [1,96875] 1 1 1 2
32
 
      
 
 
 
partidas do torneio que ocorrerão no mesmo dia. 
 
Resposta da questão 26: 
 [A] 
 
Tem-se que 
2013! 2013 2012 1000 999!.    
 Daí, sendo 
1000
 um fator de 
2013!,
 podemos 
garantir que os três últimos algarismos de 
2013!
 são iguais a zero. Portanto, o resultado é 
zero. 
 
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Resposta da questão 27: 
 [A] 
 
O número de maneiras que podemos montar uma casquinha com duas bolas corresponde ao 
número de combinações completas de 4 sabores tomados 2 a 2, isto é, 
 
2 2
4 4 2 1
5 5! 5 4
CR C 10.
2! 3! 22
 
  
        
 
 
Resposta da questão 28: 
 [A] 
 
Como o júri é formado por 
21
 pessoas, sendo que exatamente 
15
 delas são homens, segue-
se que o número de mulheres nesse júri é igual a 
21 15 6. 
 Portanto, o resultado é dado por 
30 20
.
15 6
   
   
   
 
 
Resposta da questão 29: 
 [B] 
 
O resultado pedido é dado por 
 
5 2 6 5! 6!
2
3! 2! 4! 2!3 1 4
20 15
300.
     
                     
 

 
 
Resposta da questão 30: 
 [A] 
 
O número de maneiras possíveis de montar uma casquinha, com dois sabores distintos, 
sabendo que existem quatro sabores disponíveis, é dado por 
 
 
4 4!
6.
2 2! 2!
 
  
 
 
 
Resposta da questão 31: 
 [A] 
 
Como a turma é constituída de 
0,28 25 7 
 mulheres e 
25 7 18 
 homens, existem 
 7 18 7! 18!
3 3 3! 4! 3! 15!
7 6 5 18 17 16
3 2 3 2
35 3 17 16
28560
   
     
    
   
 
 
   

 
 
modos de escolher 
6
 representantes, sendo 
3
 homens e 
3
 mulheres. 
 
 
 
 
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Resposta da questão 32: 
 [A] 
 
O resultado pedido corresponde ao número de maneiras que podemos escolher 
1
 sabor de 
fruta cítrica e 
2
 sabores de frutas silvestres ou 
3
 sabores de frutas silvestres, isto é, 
 
3 5 5 5!
4 40.
1 2 3 2! 3!
     
         
     
 
 
Resposta da questão 33: 
 [B] 
 
Podemos organizar as sandálias de 
2!
 formas diferentes, e os sapatos podem ser dispostos de 
6!
 modos. Portanto, pelo Princípio Fundamental da Contagem, os calçados podem ser 
organizados de 
2! 6! 2 6!  
 formas distintas. 
 
Resposta da questão 34: 
 [D] 
 
O número de senhas com 5 algarismos é 
510
 e o número de senhas com 6 algarismos é 
610 .
 
Desse modo, o aumento percentual da segurança foi de 
 
6 5 5
5 5
10 10 10 (10 1)
100% 100%
10 10
900%.
  
  

 
 
Resposta da questão 35: 
 [C] 
 
Um aluno pode escolher as 
8
 questões de 
10 10!
45
8 8! 2!
 
  
 
 maneiras. 
 
Resposta da questão 36: 
 Incorreto. 
 
Supondo que os 8 tipos são distintos, segue que existem 
 
3 3 28 8! 2 7 2 3 11
5 5! 3!
 
      
 
 
 
maneiras diferentes de escolher 5 tipos de sabão em pó entre 8 disponíveis. 
 
Resposta da questão 37: 
 [D] 
 
Temos 
 
n, 3 n, 2
n! n!
A 4 A 4
(n 3)! (n 2)!
4 (n 3)! (n 2) (n 3)!
n 2 4
n 6.
    
 
      
  
 
 
 
Portanto, a solução da equação é 
n 6.
 
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Resposta da questão 38: 
 [B] 
 
Calculando o número de anagramas da palavra BORBOLETA. (Observe que as letras O e B 
parecem duas vezes cada). 
 
2,2
p9! 9 8 7!
P 18 5040 = 90720
2!.2! 4
 
   
 
 
Resposta da questão 39: 
 [E] 
 
Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos: 4.5.8.6 = 960. 
 
Resposta da questão 40: 
 [D] 
 
Existem 
4
 maneiras de escolher uma mulher da repartição 
A,
 e 
3
 maneiras de escolher um 
homem da repartição 
B.
 Logo, pelo PFC, existem 
4 3 12 
 modos de escolher uma mulher da 
repartição 
A
 e um homem da repartição 
B.
 
Por outro lado, existem 
6
 maneiras de escolher um homem da repartição 
A,
 e 
7
 maneiras de 
escolher uma mulher da repartição 
B.
 Assim, existem 
6 7 42 
 modos de escolher um homem 
da repartição 
A
 e uma mulher da repartição 
B.
 
Por conseguinte, é possível ocupar os dois cargos de 
12 42 54 
 maneiras. 
 
Resposta da questão 41: 
 [D] 
 
Existem 
6
 modos de escolher a cor da primeira parede, 
5
 para escolher a cor da segunda, 
4
 
de escolher a cor da terceira e 
3
 de escolher a cor da quarta. Portanto, pelo PFC, existem 
6 5 4 3 360   
 maneiras de pintar as paredes de modo que cada uma tenha uma cor distinta. 
 
Resposta da questão 42: 
 [C] 
 
Pintando um vértice de azul e outro de vermelho em cada aresta, segue que o menor número 
possível de vértices pintados de vermelho nesse cubo é 4. 
 
Resposta da questão 43: 
 [E] 
 
Para as seis primeiras questões existem 62 sequências possíveis, enquanto que para as 
quatro últimas há 
43
 sequências possíveis. Portanto, pelo PFC, existem 
6 42 3
 resultados 
possíveis. 
 
Resposta da questão 44: 
 [A] 
 
Para que um número inteiro não seja divisível por 
5,
 seu algarismo das unidades não pode ser 
0
 ou 
5.
 Como zero não pode ser, temos 
8
 escolhas para o algarismo das unidades, 
8
 
escolhas para o das dezenas e 
7
 escolhas para o das centenas. Portanto, pelo PFC, o 
resultado é 
7 8 8 448.  
 
 
 
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Resposta da questão 45: 
 [C] 
 
Existem 5 escolhas para o algarismo das unidades, 8 escolhas para o algarismo das centenas 
(devemos excluir o zero) e 8 escolhas para o algarismo das dezenas. 
Portanto, pelo PFC, B possui 
8 8 5 320  
 elementos. 
 
Resposta da questão 46: 
 [A] 
 
Pelo PFC, existem 
  5 6 9 270
 respostas possíveis. Portanto, o diretor sabe que algum aluno 
acertará a resposta porque há 
 280 270 10
 alunos a mais do que o número de respostas 
possíveis. 
 
Resposta da questão 47: 
 [B] 
Uma aposta em 
6
 dezenas abrange 
 
  
 
6 6!
15
4!2!4
 apostas mínimas de 
4
 dezenas. 
Portanto, o custo dessa aposta deve ser de 
 R$ 2,00 15 R$ 30,00.
 
 
Resposta da questão 48: 
 [C] 
 
O número de retas distintas determinadas por 
15
 pontos pertencentes a uma circunferência é 
dado por 
 
  
 
15 15!
105.
2 2!13!
 
 
Resposta da questão 49: 
 São 16 símbolos conexos com três segmentos iluminados. 
 
 
 
Resposta da questão 50: 
 [C] 
 
Supondo que cada posto esteja a 
2km
 de distância do telefone mais próximo, considere a 
figura abaixo. 
 
 
 
De 
2P
 a 
4P
 o funcionário poderá escolher dois telefones de 
7
2
 
 
 
 maneiras. De 
4P
 a 
2P
 ele 
terá cinco telefones para fazer a manutenção. Logo, essa escolha poderá ser feita de 
5
2
 
 
 
 
modos. Portanto, no trajeto de ida e volta, a manutenção poderá ser feita de 
7 5 7! 5!
21 10 210
2 2 5!2! 3!2!
   
        
   
 maneiras distintas. 
 
 
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Resposta da questão 51: 
 [D] 
 
Supondo que cada posto esteja a 
2km
 de distância do telefone mais próximo, considere a 
figura abaixo. 
 
 
Assim, 
2P
 dista 
2 2 2 4 12km   
 de 
3P .
 
 
Resposta da questão 52: 
 [D] 
O professor pode escolher 
3
 museus no Brasil de 
 
 
 
4
4
3
 modos distintos e pode escolher 
2
 
museus no exterior de 
 
  
 
4 4!
6
2 2!2!
 maneiras. Portanto, pelo PFC, o professor pode escolher 
os 
5
 museus para visitar de 
 4 6 24
 maneiras diferentes. 
 
Resposta da questão 53: 
 [D] 
 
Cinco crianças para cinco posições. 
P5 = 5! = 120 
 
Resposta da questão 54: 
 [D] 
 
7 6 5 210  
 
 
Resposta da questão 55: 
 8 . 7 . 6 = 336 
 
Resposta da questão 56: 
 [A] 
 
Para o grupo A a ordem dos elementos não importa o que nos leva a pensar numa 
combinação. 
Mas no jogo de abertura existe o time que jogará em sua caso, então temos um arranjo. 
Logo a alternativa A é a correta. 
 
Resposta da questão 57: 
 [E] 
 
Resposta da questão 58: 
 [A] 
 
Há 
 
 
 
2
2
1
 modos de escolher um espécime do grupo Cetáceos, 
 
 
 
20
20
1
 modos de 
escolher um espécime do grupo Primatas e 
 
 
 
33
33
1
 modos de escolher um espécime do 
grupo Roedores. 
Portanto, pelo 
PFC,
 podemos formar 
  2 20 33 1320
 conjuntos distintos. 
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Resposta da questão 59: 
 [B] 
 
Se o fundo for azul, teremos 
2
 escolhas para a casa e 
2
 escolhas para a palmeira. Se 
o fundo for cinza, teremos 
3
 escolhas para a casa e 
1
 escolha para a palmeira. 
 Portanto, existem 
   2 2 3 1 7
 variações possíveis.