Operações Lineares

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40
Unidade III: Vetores Próprios e Valores Próprios de um Operador Linear 
1. - Situando a Temática 
Consideremos a seguinte situação: dado um operador linear estudaremos os vetores que são levados em 
um múltiplo de si mesmo, isto é, os vetores próprios. Em seguida, encontraremos uma base do espaço vetorial na 
qual a matriz de um determinado operador linear seja a mais simples possível. 
2. - Problematizando a Temática 
 Consideremos um foguete subindo verticalmente a partir do solo, sob a ação da força gravitacional, de 
uma força constante para cima e de um impulso f também para cima, proporcional ao tempo t decorrido depois 
do lançamento Se h é a altura, pela segunda lei de Newton temos: .
2
2
mgbtf
dt
hd
m �� 
 
Na resolução desta equação diferencial utilizam-se os conceitos de espaço vetorial, base, valores e vetores 
próprios. O leitor interessado em mais detalhes veja Álgebra Linear, José Luiz Boldrini. 
3. - Conhecendo a Temática 
 
3 .1. - Vetores próprios e valores próprios de um operador l inear 
 
Seja VVT o: um operador linear. Um vetor Vv , 0zv , é vetor próprio de T se existe O � tal que 
vvT O )( . 
Neste caso, o número real O é denominado valor próprio de T associado ao vetor próprio v .O e v são 
chamados também de autovalor e autovetor de T, respectivamente, ou ainda, valor e vetor característico de T. 
 
Ampliando o seu conhecimento.. . 
 
 
 
 
 
 
3.1.1. – Observações 
 
Como se vê pela Definição 3.1, um vetor 0zv é vetor próprio se a imagem )(vT for um múltiplo 
escalar de v . No 2� e no 3� diríamos que v e )(vT têm a mesma direção. Assim, dependendo do valor de O , o 
operador T dilata v (se Ȝ > 1), contrai v (se 0 < Ȝ < 1), inverte o sentido de v (se Ȝ < 0) ou o anula no caso de 
0 O , vejam figura 8.1. 
 Observem que na figura 8.2, v não é um vetor próprio de um operador linear T pois v e )(vT não têm 
mesma direção. 
 
As noções de vetores e valores próprios de um operador linear são fundamentais por exemplo em Física 
Atômica porque os níveis de energia dos átomos e moléculas são dados por valores próprios de 
determinadas matrizes. 
 41
3.1.2. - Exemplos 
 
1. O vetor )2,5( v é vetor próprio do operador linear, 
 
T: 2 2o� � , ( , ) (4 5 ,2 ),T x y x y x y � � 
associado ao valor próprio 6 O , pois: 
 
vTvT 6)2,5(6)12,30()2,5()( . 
 
Já o vetor )1,2( v não é vetor próprio deste operador T , pois: 
 
)1,2()5,13()1,2( Oz T 
para todo O � . 
 
2. Na simetria definida no 3� por vvT � )( , qualquer vetor 0zv é vetor próprio associado ao valor próprio 
1� O . 
 
3. Seja T: 3 3o� � o operador linear definido por ( , , ) (2 , ,2 4 ),T x y z x y y z y z � � � . 
Observem que o vetor v = (1,1,-2) é um vetor próprio do operador linear T associado ao valor próprio Ȝ = 3, pois 
 
( ) (1,1, 2) (2(1) 1,1 ( 2),2(1) 4( 2)) (3,3, 6)T v T � � � � � � � . 
e 
3(1,1, 2) (3,3, 6).vO � � 
Ou seja, T(v) = Ȝv, com v  (0,0,0); 
 
 Primeira questão que podemos levar em consideração: será que o vetor v = (1,1,-2) é o único vetor 
próprio de T, definido no Exemplo 3.1.2 (3)? Para isto, buscaremos uma maneira de determinar os vetores e 
valores próprios de um operador linear.
 
 Tendo em vista aplicações em questões de Geometria Analítica, serão estudados, neste Capítulo, 
somente vetores próprios e valores próprios de operadores lineares definidos em 3� e em 2� . 
 
3.1.3. - Determinação dos valores e vetores próprios 
 
1. Determinação dos valores próprios de um operador linear T. 
Seja T: 3 3o� � o operador linear, cuja matriz canônica é,: 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
[ ]
a a a
T a a a
a a a
DD
ª º« »« »« »¬ ¼
 , 
 
a qual será denotada por A = [ ] [ ]T T DD D , com Į é a base canônica do 3� . 
Se v e O são, respectivamente, vetor próprio e o correspondente valor próprio do operador T , tem-se: 
 
( ) .T v Av vO 
v é matriz coluna 3x1, ou ainda, 
0. � vvA O . 
 
Tendo em vista que ( )v I v ( I é a matriz-identidade), podemos escrever a última igualdade vetorial da 
forma: 
 42
0. � IvvA O 
ou seja, 
0)( � vIA O . (1) 
Para que este sistema homogêneo admita soluções não-nulas, isto é: 
 
»»
»
¼
º
««
«
¬
ª
z
»»
»
¼
º
««
«
¬
ª
 
0
0
0
x
y
x
v 
devemos ter: 
0)det( � IA O 
isto é, 
0
00
00
00
det
333231
232221
131211
 
¸¸
¸
¹
·
¨¨
¨
©
§
»»
»
¼
º
««
«
¬
ª
�
»»
»
¼
º
««
«
¬
ª
O
O
O
aaa
aaa
aaa
 
ou ainda, 
0det
333231
232221
131211
 
»»
»
¼
º
««
«
¬
ª
�
�
�
O
O
O
aaa
aaa
aaa
 (2) 
 
A equação 0)det( � IA O é denominada equação característica do operador T ou da matriz A, e suas 
raízes são os valores próprios do operador T ou, equivalentemente, da matriz A. O determinante )det( IA O� é 
um polinômio emO denominado polinômio característico. 
 
2. Determinação dos valores próprios de um operador linear T. 
Na determinação dos vetores próprios substituiremos o escalar O pelos seus valores no sistema 
homogêneo de equações lineares (1), como veremos nos exercícios a seguir. 
 
3.1.4. - Exercícios Resolvidos 
 
1. Seja T: 3 3o� � o operador linear, definido no Exemplo 3.1.2 (3), ou seja, ( , , ) (2 , ,2 4 ).T x y z x y y z y z � � � 
Vimos que o vetor v = (1,1,-2) é um vetor próprio de T. Passaremos a determinar os demais vetores próprios de 
T. 
 
 Solução (i) Primeiro encontraremos a matriz T mudança de base de Į para Į, onde Į = {u1,u2,u3}, 
u1 = (1,0,0), u2 = (0,1,0) e u3 = (0,0,1) é a base canônica do 
3� . Encontrando os vetores T(u1), T(u2) e T(u3), 
 
T(u1) = T(1,0,0) = (2,0,0) 
T(u2) = T(0,1,0) = (1,1,2) 
T(u3) = T(0,0,1) = (0,-1,4) 
 
e, escrevendo-os como combinação linear dos vetores da base Į, temos 
 
T(u1) = (2,0,0) = 2(1,0,0) + 0(0,1,0) + 0(0,0,1) 
T(u2) = (1,1,2) = 1(1,0,0) + 1(0,1,0) + 2(0,0,1) 
T(u3) = (0,-1,4) = 0(1,0,0) +(-1)(0,1,0) + 4(0,0,1), 
 
e, a matriz [T]Į é obtida colocando as coordenadas de T(ui) na i-ésima coluna, i = 1,2,3, ou seja, 
 43
2 1 0
[ ] 0 1 1 .
0 2 4
T AD
ª º« »« »« »¬ ¼
 �
 
 
(iii) Passamos a estudar o polinômio característico de T, definido anteriormente, 
 
det[ ] 0,A IO� 
 
ou seja, substituindo as matrizes A e I, I a identidade, temos: 
 
2 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0,
0 2 4 0 0 1
det[ ] 0 detA I OO
­ ½ª º ª º° °« » « »® ¾« » « »° °« » « »¬ ¼ ¬ ¼¯ ¿
� � � œ 
2 1 0
det 0 1 1 0 (2 )[(1 )(4 ) 2] 0
0 2 4
O
O O O O
O
ª º« »« »« »¬ ¼
�
� � œ � � � � œ
�
 
2 5 6) 0 (2 )( 2)( 3) 0(2 )[(1 )(4 ) 2] 0 (2 )( O O O OO O O O O � � œ � � � � � � � œ � 
(2 )( 2)( 3) 0 (( 2)( 2)( 3)) 0O O O O O O� � � œ � � � � 
2
1 22 3.( 2) ( 3) 0 ou OO O O � � œ 
 
Assim, Ȝ1 = 2 e Ȝ2 = 3 são as raízes do polinômio característico de T, isto é, são os valores próprios de T. 
Observem que a Ȝ1 é uma raiz repetida, tem multiplicidade 2. 
 
(iii) Agora determinaremos os vetores próprios de T. 
Para isto, consideremos o vetor v = (x,y,z) do 3� representado por uma matriz coluna, v 
x
y
z
ª º« »« »« »¬ ¼
 .e a 
equação (1) definida anteriormente, 
0)( � vIA O 
esta será da forma: 
2 1 0
0 1 1 0. (3)
0 2 4
x
y
z
O
O
O
ª º ª º« » « »« » « »« » « »¬ ¼¬ ¼
�
� � 
�
 
 
 Agora, substituindo Ȝ1 = 2 na equação (3), temos: 
 
0
0,
2 2 0
0
0
0
0 1 0
0 1 1
0 2 2
y
y z
y z
ou
x
y
z
ª º ª º ª º ­« » « » °« » � � ®« » « » « » °« » « » « » � ¯¬ ¼¬ ¼¬ ¼
� � 
 
 
e o sistema tem solução y = z = 0, onde x é uma variável independente, x  0, pois um vetor próprio é um vetor 
não nulo. Logo os vetores próprios de T correspondentesao valor próprio Ȝ1 = 2 são da forma (x,0,0), x  0. 
 Se escolhermos, por exemplo, x = 2, um vetor próprio de T é da forma (2,0,0). 
 Substituindo Ȝ2 = 3 na equação (3), encontraremos os vetores próprios correspondentes, isto é, 
 
0
2 0,
2 0
0
0
0
1 1 0
0 2 1
0 2 1
x y
y z
y z
ou
x
y
z
ª º ª º � � ª º ­« » « » °« » � � ®« » « » « » °« » « » « » � ¯¬ ¼¬ ¼¬ ¼
�
� � 
 44
e a solução deste sistema é da forma x = y e z = –2y, onde y é a variável livre não nula, pois um vetor próprio é 
um vetor não nulo. Assim, os vetores próprios de T associados ao valor próprio Ȝ2 = 3 são da forma: (y,y,-2y), 
y� . 
 Observem que, se y = 1, um vetor próprio de T correspondente ao valor próprio Ȝ2 = 3, será (1,1,-2). 
Como já tínhamos observado no Exemplo 2 acima. 
 
 
2. Determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz 
16 10
[ ] .
16 8
A T D
ª º« »« »¬ ¼
� �
.
 
Solução: A matriz é a matriz mudança de base de Į para Į, onde Į é a base canônica do 3� . A equação 
característica de T é: 
16 10 0 16 10 16 10
det( ) det det 0
16 8 0 16 8 16 8
A I
O O OO O O O
§ · § ·ª º ª º ª º¨ ¸ ¨ ¸« » « » « »¨ ¸ ¨ ¸¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼© ¹ © ¹
� � � � �� � � � � � � 
isto é: 
2 160 0
16 10
0 ( 16 )(8 ) 160 0 128 16 8
16 8
O O O O O OO � 
� � œ � � � � œ � � � �� � 
ou ainda, 
2 4 32 0,O O� � 
e as raízes dessa equação são complexas, pois o discriminante 0' � . Por conseguinte, a matriz A, ou o operador 
T, não possui valores próprios nem vetores próprios. 
 
Observação Se na definição de valor próprio de um operador linear T admitíssemos O qualquer, real ou 
complexo, poder-se-ia dizer que a matriz A possui valores próprios complexos e, em conseqüência, vetores 
próprios de componentes complexos. Neste texto consideraremos apenas valores próprios reais, pois os espaços 
vetoriais estudados são espaços vetoriais sobre � . 
 
2. Analogamente à questão anterior, determinar os valores próprios e os vetores próprios da matrz 
3. 
4 5
[ ]
2 1
A T D
ª º« »¬ ¼
 
Solução: (i) Temos que o polinômio característico de A é: 
 
4 5 0 4 5
det( ) det det 0 (4 )(1 ) 10 0,
2 1 0 2 1
A I
O OO O OO O
§ · § ·ª º ª º ª º¨ ¸ ¨ ¸« » « » « »¨ ¸ ¨ ¸¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼© ¹ © ¹
�� � œ � � � � 
isto é, 
2 5 6 0,O O� � 
 
e, as raízes desta equação, ,61 O ,12 � O são os valores próprios da matriz A. 
(ii) Vimos que o sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos vetores próprios 
associados é definido por: 
 
0)( � vIA O . 
 
Lembrando que 2 2:T o� � e 2v� , denotamos v por 
 
»¼
º«¬
ª 
y
x
v 
e a última equação é equivalente ao seguinte sistema 
 45
 
4 5 0
,
2 1 0
x
y
O
O
ª ºª º ª º« »« » « »¬ ¼ ¬ ¼¬ ¼
� � (1) 
 
i) SubstituindoO por ,61 O no sistema (1), obtêm-se os vetores próprios associados ao valor próprio 1O : 
 
»¼
º«¬
ª »¼
º«¬
ª»¼
º«¬
ª
�
�
0
0
.
52
52
y
x
 
ou seja, 
2 5 0
2 5 0
x y
x y
� � ­® � ¯ 
 
O sistema admite uma infinidade de soluções próprias: 
xy
5
2 
 
Assim, os vetores do tipo 
¹¸
·
©¨
§ xxv
5
2
,1 ou ¹¸
·
©¨
§ 
5
2
,11 xv , 0zx , são vetores próprios associados ao valor próprio 
 1O 6 
 
ii) Analogamente, substituindoO por ,12 � O no sistema (1), obtêm-se os vetores próprios associados ao valor 
próprio 2 ,O 
»¼
º«¬
ª »¼
º«¬
ª»¼
º«¬
ª
0
0
.
22
55
y
x
 
isto é: 
5 5 0
2 2 0
x y
x y
� ­® � ¯ 
 
E o sistema admite uma infinidade de soluções da forma: xy � . 
Assim, os vetores do tipo � �xxv � ,2 ou � �2 1, 1v x � , 0zx , são vetores próprios associados ao valor próprio 
12 � O . 
No Moodle. . . 
 
 
 
 
3.1.5. - Propriedades dos vetores e valores próprios 
 
Se v é vetor próprio associado ao valor próprioO de um operador linear T , o vetor vD , para qualquer 
real 0zD , é também vetor próprio de T associado ao mesmo O . 
De fato: 
 
vvT O )( 
e: 
).()()()( vvvTvT DOODDD 
 
Aliás, os Exercícios Resolvidos 3.1.4 ilustram esta propriedade. 
 
Alô alunos! Devemos tentar resolver os exercícios, só assim assimilaremos os conceitos e resultados. 
 46
3.1.6. - Observação 
 
Tendo em vista que vD é vetor próprio associado ao valor próprio O , fazendo 
v
1 D 
pode-se obter sempre um vetor próprio unitário associado ao valor próprio O . 
 
Outra propriedade dos vetores próprios: Se O é um valor próprio de um operador linear VVT o: , o 
conjunto ^ `vvTVvS OO  )(/ constituído de todos os vetores próprios correspondentes ao valor próprio Ȝ, 
é um subespaço vetorial de V. 
De fato. SO z‡ , pois 0 SȜ (T(0) = 0 = Ȝ0). 
Se OSvv 21 , � � � � � � � �21212121 vvvvvTvTvvT � � � � OOO 
e, portanto, OSvv � 21 . 
Analogamente, se verifica que OD Sv ,para todo D � . 
O subespaço SȜ é denominado subespaço associado ao valor próprio O ou espaço característico de T 
correspondente a O ou auto-espaço associado a O . 
 Por exemplo, no Exercício Resolvido 3.1.4. (3) vimos que ao valor próprio 6 O correspondem os 
vetores próprios do tipo )2,5(xv . Assim, o auto-espaço associado a 6 é: 
 
 xxS /)2,5({6 � } = [(5,2)], 
 
que representa uma reta que passa pela origem. 
 
Matrizes Quadradas Duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se existir uma matriz invertível P tal 
que B = P-1AP. 
 
Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por isso, os mesmos valores próprios. 
De fato: 
Sejam VVT o: um operador linear e A e B bases de V. Sabe-se que a relação entre matrizes semelhantes é > @ > @AB TMT 1� M, sendo M a matriz-mudança de base de B para A. Então: 
 > @� � > @� � > @� �IMMMTMIMTMIT AAB 111 detdetdet ��� � � � OOO > @� � > @� �� � > @� � MITMMITMIT AAB detdetdetdetdet 11 OOO � � � �� > @� � > @� � � � > @� �ITMMITMMIT AAB OOO � � � �� detdetdetdetdetdet 11 > @� � > @� �ITIT AB OO � � detdet 
 
3.2. - Diagonalização de operadores 
 
Sabe-se que, dado um operador linear VVT o: , a cada base ȕ de V corresponde uma matriz [ ]T E que 
representa T na base ȕ. Nosso propósito é obter uma base do espaço V de modo que a matriz de T nessa base 
seja a mais simples representante de T. 
 
3.2.1. - Outra propriedade dos valores e vetores próprios 
 
Vetores próprios associados a valores próprios distintos de um operador linear VVT o: são linearmente 
independentes. 
 
 47
Faremos a demonstração para o caso de dois valores próprios, 1O e 2O , distintos. A prova para o caso de 
n valores próprios distintos é análoga. 
Sejam � � 111 vvT O e � � 222 vvT O , com 21 OO z . 
Consideremos a igualdade: 
02211 � vava . (1) 
Pela linearidade de T, temos � � � � 02211 � vTavTa 
ou: 
 0222111 � vava OO . (2) 
 
 Multiplicando ambos os membros da igualdade de (1) por 1O , vem: 
 
0212111 � vava OO . (3) 
 Subtraindo (3) de (2): � � 02122 � va OO , 
 
mas, 012 z� OO e 02 zv logo 02 a . 
 Substituindo 2a na equação (1), e, tendo em vista que 01 zv , temos que 01 a . Portanto, ao 
considerarmos a combinação linear (1), a única solução é a nula, 1 2 0a a . Daí, o conjunto ^ `21,vv é LI. 
 
3.2.2. – Corolário Sejam 21 OO e com 1 2O Oz , valores próprios do operador l inear 
2 2:T o� � associados ao vetores próprios .21 vev O conjunto ^ `21 ,vv é uma base do 2� . Este 
fato vale em geral, isto é, se VVT o: é l inear, nV dim e T possui n valores próprios 
distintos, o conjunto ^ `nvvv ,,, 21 ! , formado pelos correspondentes vetores próprios, é uma 
base de V. 
Exemplo Seja o operador linear 2 2:T o� � , definido por )2,53(),( yyxyxT �� . 
 A matriz canônica de T é definida por, 
3 5
[ ]
0 2
A T D
ª º« »¬ ¼
� � , onde Į é a base canônicado 2� , e o 
polinômio característico de T é dada por 
0
20
53
)det( �
��� � O
OOIA , 
ou ainda, 
0)2)(3( ��� OO 
Daí, 21 O e 32 � O são os valores próprios de T, pois são as raízes da última equação. Como 21 OO z , os 
correspondentes vetores próprios formam uma base de 2� . 
 Calculando os vetores próprios por meio do sistema homogêneo 
 
»¼
º«¬
ª »¼
º«¬
ª»¼
º«¬
ª
�
���
0
0
20
53
y
x
O
O
 
obteremos: 
Para 21 O os vetores )1,1(1 � xv ; 
Para 32 � O os vetores )0,1(2 � xv . 
Logo, o conjunto ȕ =^ `)0,1(),1,1( �� é uma base do 2� , constituída de vetores próprios do operador 
linear T , e, a matriz de T em relação a ȕ é da forma 
 48
[T]ȕ = »¼
º«¬
ª
� 30
02
, 
Ou seja, uma matriz diagonal cujos elementos são os valores próprios de T, Ȝ1 = 2 e Ȝ2 = – 3.
 
 
 Por outro lado, sempre que tivermos uma base de um espaço formada por vetores próprios e 
conhecermos os valores próprios associados, poderemos determinar o respectivo operador nesse espaço. É o que 
faremos no próximo problema. 
 
No Moodle. . . 
 
 
 
 
3.2.3. - Exercícios Resolvidos 
 
1. Os valores próprios de um operador linear 2 2:T o� � são 21 O e 32 � O , sendo )1,1(1 � v e 
)0,1(2 � v os respectivos vetores associados. Determinar ),( yxT . 
Solução: Expressemos, inicialmente, ),( yx em relação à base ^ `)0,1(),1,1( �� : 
 
)0,1()1,1(),( ��� bayx 
ou seja, 
®¯­ �
 �
ya
xba
 
de onde, ya � e yxb �� . 
 Logo, )0,1)(()1,1(),( ������ yxyyx e, aplicando o operador T e usando sua linearidade, temos 
 
)0,1()()1,1(),( ������ TyxyTyxT 
 
Por outro lado, )2,2()1,1(2)1,1( � � �T e )0,3()0,1(3)0,1( �� �T , 
 logo, 
)0,3)(()2,2(),( yxyyxT ����� 
ou seja, 
)2,53(),( yyxyxT �� . 
 
Observação: Chamando de P a base acima, isto é, ^ `)0,1(),1,1( �� P e observando que: 
 
)0,1(0)1,1(2)1,1(2)1,1( ��� � �T 
)0,1(3)1,1(0)0,1(3)0,1( ��� �� �T 
concluímos que a matriz 
> @ »¼
º«¬
ª
� 30
02
PT
 
 
representa o operador T na base dos vetores próprios e é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal 
principal são 1O e 2O . 
 
Observe os problemas resolvidos a seguir. Eles o ajudarão a compreender os exercícios propostos na 
plataforma moodle. 
 49
2. Seja 2 2:T o� � um operador linear definido por T(x,y) = (-3x + 4y,-x + 2y), cuja matriz em relação à base 
canônica é .
21
43
»¼
º«¬
ª
�
� A
 
Encontraremos uma base Ȗ constituída de vetores próprios de T. 
O polinômio característico de T é 
,0
21
43
)det( ��
�� � O
OOIA
 
ou 
(-3 – Ȝ) (2 – Ȝ) + 4 = 0, 
ou ainda, Ȝ2+ Ȝ – 2 = 0, e, Ȝ1 = 1 e Ȝ2 = – 2 são os valores próprios de T. 
Sendo estes valores próprios distintos, os vetores próprios correspondentes constituem uma base do 3� , 
De fato. Através do sistema homogêneo 
 
»¼
º«¬
ª »¼
º«¬
ª»¼
º«¬
ª
��
��
0
0
21
43
y
x
O
O
 
obteremos os vetores próprios: 
Para Ȝ1 = 1 os vetores v1 = x(1,1); 
Para Ȝ2 = – 2 os vetores v2 = y(4,1). 
Logo, o conjunto ȕ = {(1,1),(4,1)} é uma base do 3� , 
Calculando [T]ȕ. 
T(1,1) = (1,1) = 1(1,1) + 0(4,1) e T(4,1) = (-8,-2) = -2(4,1), daí, 
.
20
01
][ »¼
º«¬
ª
� ET 
 
Observe que a matriz de T em relação à base de vetores próprios é uma matriz diagonal. 
É claro que a matriz diagonal [T]ȕ obtida neste exercício não foi por acaso. 
 
Dada uma aplicação linear qualquer T:VĺV, se conseguirmos uma base E ={v1,v2,...,vn} formada por vetores 
próprios de T, então a matriz E][T será uma matriz diagonal. 
De fato, como 
nnn
n
n
vvvvT
vvvvT
vvvvT
O
O
O
��� 
��� 
��� 
"
#
"
"
21
2212
2111
00)(
00)(
00)(
 , 
 
a matriz E][T será uma matriz diagonal onde os elementos da diagonal principal são os valores próprios iO , isto 
é, 
.
00
00
00
][ 2
1
»»
»»
¼
º
««
««
¬
ª
 
n
T
O
O
O
E
"
###
"
"
 
 
Não precisamos ter necessariamente os iO distintos. Na verdade, um valor próprio aparecerá na diagonal tantas 
vezes quantos forem os vetores próprios LI a ele associados. 
 
 50
3.2.4. – Definição Seja T:VĺV um operador l inear. Dizemos que T é um operador 
diagonalizável se ex iste uma base de V cujos elementos são vetores próprios de T. 
 
No Moodle... 
 
 
 
 
3.2.5. - Exercício Resolvido 
 
Seja 3 3:T o� � o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é 
 
.
100
530
403
][
»»
»
¼
º
««
«
¬
ª
�
�
 ET
 
 
Logo o polinômio característico é da forma: det( E][T - O I) = (3 - O )2(-1 - O ). 
Os valores próprios são 13 21 � OO e . E os vetores próprios associados são soluções do seguinte sistema 
homogêneo 
.
0
0
0
100
531
403
»»
»
¼
º
««
«
¬
ª
 
»»
»
¼
º
««
«
¬
ª
»»
»
¼
º
««
«
¬
ª
��
��
��
z
y
x
O
O
O
 
 
 Para Ȝ1 = 3, temos os vetores v1 = y(0,1,0); 
Para Ȝ2 = -1 teremos os vetores v2 = x(1,-1,1). 
Neste caso, temos apenas dois vetores próprios LI para T e, portanto, não existe uma base do 3� , constituída só 
de vetores próprios, ou seja, pela Definição 3.2.4, T não é diagonalizável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caro aluno, você deve visitar a plataforma moodle para verificar se os operadores lineares são 
diagonalizáveis ou não.