VE1B1 2012.1

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Nome: Turma: B1 (11h)
P1 de Equações Diferenciais e Métodos Matemáticos (23/3/2012)
Questão 1 2 3 Total
Pontuação
Máximo 100 40 40 180
1) Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
a)
1X
n=1
sin
�
1
n
�
+ 1
cos
�
1
n
� b) 1X
n=2
(n� 2)!
n!
c)
1X
n=0
en
(2n)!
d)
1X
n=1
lnnp
n
2) Encontre a série de Taylor da função f (x) = x3 � 2x2 + 3x� 4 em torno de x = 1. Qual é o seu raio de convergência?
3) Considere a função J0 (x) de…nida pela série
J0 (x) =
1X
k=0
(�1)k
22k (k!)
2x
2k = 1� 1
4
x2 +
1
64
x4 � 1
2304
x6 +
1
147 456
x8 � 1
14 745 600
x10 + :::
a) Encontre o raio de convergência desta série.
b) Encontre as séries de J 00, J
00
0 e mostre que
xJ 000 + J
0
0 = �xJ0
-30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
Grá…co de J0 (x) –puramente ilustrativo!
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