Física Moderna Exercícios resolvidos 3

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Universidade Federal do Piauí
Centro de Ciências da Natureza
Departamento de Física
Física Moderna I
Coordenadores: Ildemir Santos/ Jonathan Martins
Problemas Resolvidos A teoria de Schrödinger da mecância Quântica e 
 Solução da Equação de Schrodinger para potenciais Simples
Problema 1) Mostre que se 1 e2 são soluções da equação de Schrödinger independente do 
tempo, então 3=12 é também uma solução. Este resultado é também conhecido como 
princípio da superposição, aplica-se às soluções de todas as equações lineares.
Resposta:
A equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita como:
Escrevemos agora esta equação para as partículas 1 e 2, gerando assim duas equações:
Somando as duas últimas equações teremos:
 
 (A) d 
Se derivarmos a função 3=12 obteremos:
 e 
Substituindo isso do lado direito da equação (A) ficamos com:
 ou seja 3=12 também satisfaz a 
equação de Schrödinger.
Problema 2) Encontre o valor da reflectância para o 
problema de uma partícula que atinge um potencial do 
tipo degrau, em uma dimensão, exatamente como sugere 
a figura do problema:
Resposta:
Para este tipo de problema o ideal é considerar cada região, com uma função de onda específica do 
tipo:
Observe atentamente que para cada região temos uma função de onda, cujos coeficientes (A e B, 
para x<0 e C e D, para x>0) são diferentes e os valores de k também são diferentes. Na primeira 
região é k e na segunda é k'. Primeiro temos que saber quanto vale k e k' em cada região.
Em geral a equação de Schrödinger nos fornece para este problema:
 
 , aqui aparece o potencial que a partícula encontra 
(segundo termo do lado esquerdo) e o termo cinético 
( primeiro termo do lado esquerdo). Do outro lado temos a energia total do sistema. Podemos 
reescrever a equação acima de modo que:
 onde 
Pronto então para cada região basta olharmos para a diferença V 0−E para determinarmos o valor 
de k. Na primeira região temos que V 0=0 então: . No entanto a segunda região 
temos V 0−E e que resulta em um número negativo pois a energia é maior que o valor do 
potencial( isso faz muita diferença, pois determina se as funções serão oscilatórias, imaginárias, ou 
não). Neste caso a diferença é um número negativo o que resulta em um número imaginário (raiz 
de número negativo) este i complexo se transforma em i2 logo as exponenciais serão reais para a 
região x>0. Podemos escrever as equações corretas agora par a cada região( uma vez que 
especificamos quem é exatamente o valor de k para cada região e onde as exponenciais serão reais 
ou complexas): 
 
 Para a função de onda x>0, não temos o termo de propagação 
( termo com exponencial positiva) pois neste caso a função de onda 
cresceria indefinidamente e não seria de quadrado somável não tendo 
significado físico. Então:
A função de onda e sua derivada devem ser contínuas no ponto que divide as duas regiões( ou seja 
em x=0 as funções de cada região e duas derivadas são iguais). Então:
 
 igualando as duas funções em x=0. Mas 
E podemos igualar as derivadas em x=0, logo: 
Temos então duas equações: 
Resolvendo:
o modulo ao quadrado de B/A é a 
reflectância. 
Inicialmente a onda antes de entrar na barreira era oscilante( solução com exponenciais 
imaginárias), depois a função de onda vai decaindo( solução com exponenciais reais)
Problema 3) Qual seria a transmitância e a 
reflectância para o caso de uma barreira do 
tipo degrau onde a energia da partícula é 
maior que o potencial?
Resposta:
Para este caso( análogo ao problema 2) as duas soluções para as duas regiões serão complexas:
 com 
 com 
Neste caso não teremos onda refletida, então D=0 para a equação de x>0
 condição de continuidade da função em x=0
 condição de continuidade da derivada em x=0
Resolvendo as equações obtemos:
 o quadrado deste termo é a reflectância (razão entre o que foi refletido e o que 
entrou)
 
 O quadrado deste termo é a transmitância(razão entre o que passou pela barreira e 
o que entrou nela)
Problema 4) Para as funções de onda n x =Asen  n x /L com n=1,2,3... que correspondem as 
funções de onda para uma partícula em um poço de potencial quadrado infinito de 0 a L, mostre 
que ∫0
L
mx nx dx=0 para todo inteiro n e m onde m≠n , ou seja as funções são ortogonais:
Resposta: 
Temos que mostrar que: 
Usando a identidade trigonométrica :
podemos agora escrever:
Substituindo esta expressão na integral:
 que se anula nos dois limites, logo está 
mostrado.
Problema 5) Para uma partícula em uma caixa unidimensional infinita com comprimento L e que 
está centrada na origem. a) Quais são os valores de 10 e20  ? b) Quais os valores de 〈x 〉 
para os estados n=1 e n=2? c) calcule o valor de 〈x2〉
Resposta:
a) Podemos escrever as funções de onda como:
 
b) como nós temos uma função ímpar no intervalo par, a integral é nula
 para os dois casos
c) para n=1
mas: usando isso em 
Para n=2 
 temos então que calcular 
Problema 6) Uma partícula em um poço quadrado infinitamente profundo tem uma função de onda 
que é dada por 2x= 2L sen 2xL  quando a partícula está dentro da caixa e é nula fora dela.
a) Determine o valor esperado de x:
b)Determine a probabilidade da partícula estar próxima a L/2, calculando a probabilidade de que a 
partícula esteja no intervalo 0,490L e 0,510L
 PROBABILIDADE
problema 7) Para uma partícula confinada a função de onda pode ser escrita como:
n x =Asen 
n x
L
 a) Encontre a constante e normalização b) para n=2 encontre a probabilidade 
da partícula ser encontrada entre 0 e L/4
Resposta: a) 
 pela condição de normalização
 ou simplesmente 
b)
problema 8) Uma partícula de massa m desloca-se em um poço de potencial de largura 2L. Sua 
energia potencial é infinita para x<-L e para x>L, dentro da região -L<x<+L sua energia potencial 
é dada por U x = ℏ
2x 2
mL2L2−x2
, além disso a partícula está em um estado estacionário descrito pela 
função de onda x =A 1−x 2/L2 para -L<x<+L. a) Determine a energia da partícula b) 
Encontre o valor da constante A. c) Determine a probabilidade de que a partícula esteja localizada 
entre x=-L/3 e x=+L/3.
Resposta:
a) Precisamos montar a equação de Schrödinger afim de identificarmos os termos que nela 
aparecem. Escrevemo a primeira e segunda derivadas:
 e 
Mas na equação de Schrödinger temos:
Substituindo o valor da função de onda e do 
potencial dado na equação de Schrödinger:
Esta equação será verdade( agrupando os termos quadráticos em x ) para qualquer x se:
b) Para resolver este problema basta usar a condição de normalização:
c)
Problema 9) A função de onda de uma partícula é:
 x = ax2a2 para a>0 e −∞x∞ . Determine a probabilidade de que a partícula esteja 
localizada em algum lugar entre x=-a e x=+a.
Resposta:
Problema 10) Um elétron livre tem uma função de onda x=Asen 5,00x1010 x  , onde x está em 
metros. Encontre a) o comprimento de onda de De Broglie, b) o momento linear e c) a energia 
cinética em elétron volt.
Respsta:
 a) 
b)
c)
Problema 11) Uma partícula tem uma função de onda :
 x =2
a
e−x /a se x0 e  x =0se x0
a) Encontre a densidade de probabilidade e faça seu gráfico. b) Defina a probabilidade de a 
partícula ser encontrada em qualquerponto onde x<0. c) Mostre que  está normalizada e, 
então, ache a probabilidade de que a partícula será encontrada entre x=0 e x=a.
Resposta:
a) 
b) 
c)
problema 12) Uma função de onda é tal que:
se 0<x<a
 se a<x<b
em qualquer outro lugar
a) Normalize a função de onda b) Esboce o gráfico da função de onda c) calcule o valor médio de 
x
Resposta:
a)
b)
 
c)