Lista matemática para economia

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4a Lista de Exerc´ıcios
Matema´tica para Economia II - GAN 00146
1. Ache a a´rea da regia˜o limitada pelas curvas dadas.
a) y = 2x2, y = 2
√
x
c) y = 2x2 + 3, y = 2x + 3
e) y = 2− x2, y = −x
g) y = x2, x2 = 18− y
i) x = y2 − 2, x = 6− y2
k) y = x3, x = y2
b) y = x3, y =
√
x
d) x2 = −y, y = −4
f) y = x2, y = x4
h) y = 4− y2, x = 4− 4y
j) x = y2 − y, x = y − y2
l) y2 = 4x, y2 = 5− x
2. Suponha que durante os 5 primeiros anos nos quais um novo produto esteja no mercado,
sa˜o vendidas y unidades por ano quando se passaram x anos do lanc¸amento, e
y = 2.000
√
x + 1.000, 0 ≤ x ≤ 5 . Ache o total de vendas (a) do primeiro ano,
(b) do quarto ano, (c) dos 5 primeiros anos.
3. O administrador de uma empresa estima que a compra de um certo equipamento ira´
resultar em uma economia de custos operacionais. A economia dos custos operacionais
e´ f(x) unidades moneta´rias por ano, quando o equipamento estiver em uso por x anos,
e f(x) = 4.000x + 1.000, 0 ≤ x ≤ 10 . (a) Qual e´ a economia de custos operacionais
para o primeiro ano.? (b) Para o quinto ano ? (c) Se o prec¸o de compra e´ 36.000, apo´s
de quantos anos de uso o equipamento estara´ pago por si mesmo ?
4. Suponha que para um per´ıodo de 5 minutos, uma secreta´ria possa datilografar a uma
taxa de f(x) palavras por minuto, x minutos apo´s de comec¸ar a trabalhar, onnde
f(x) = 75 + 10x − 3x2, 0 ≤ x ≤ 5. Quantas palavras ela datilografa durante os
primeiros 4 minutos ?
5. Com a compra de uma maquinaria nova espera-se uma economia nos custos operacio-
nais, de tal forma que decorridos x anos da compra a economia seja
f(x) = 1.000 + 5.000x, ao ano. (a) Quanto e´ economizado em custos operacionais du-
rante os seis primeiros anos ? (b) Se a maquinaria custa 67.500, quanto tempo levaria
para que ela pagasse a si mesma ?
6. Numa certa comunidade, t dias apo´s o in´ıcio de uma epidemia, sua taxa de crscimento
e´ f(t) = 2t · (50− 3t) pessoas por dia. (a) Quantas pessoas sa˜o infectadas durante a
primeira semana ? (b) No oitavo dia da epidemia ?
7. Numa pequena cidade um boato se espalha a uma taxa de f(t) pessoas por hora desde
seu comec¸o, e f(t) = 40t − 3t2 . (a) Quantas pessoas ouviram o boato durante as 5
primeiras horas ? (b) Quantas novas pessoas ouviram o boato durante a sexta hora ?
8. O gerente de um parque de diverso˜es espera que durante o primeiro meˆs de operac¸o˜es
o nu´mero dia´rio de visitantes cresc¸a de tal forma que f(t) visitantes sejam esperados t
dias apo´s sua abertura, onde f(t) = 9.800 + 40t . Em que dia e´ esperado o 100.000o
visitante ?
9. Durante a manha˜, tendo chegado a`s 8 horas, um empregado pode completar f(x) unida-
des por hora apo´s estar x horas trabalhando, onde f(x) = 50x.e−0,4x. Quantas unidades
o empregado completa a`s 11 horas da manha˜ ?
10. A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial (∗) dy
dt
= ky.(A−y) e´ y = A
1 + B.e−Akt
, onde A,
B e k sa˜o constantes positivas. Mostre que
dy
dt
atinge um ma´ximo em y = A/2, assim
o gra´fico de y tem um ponto de inflexa˜o em y = A/2.
11. Em uma certa cidade ha´ 4.800 pessoas suscet´ıveis a uma determinada doenc¸a. A
taxa de crescimento de uma epidemia desta doenc¸a e´ conjuntamente proporcional ao
nu´mero de pessoas infectadas e ao nu´mero de pessoas suscet´ıveisque ainda na˜o foram
infectadas (da forma (*)). Inicialmente 300 pessoas esta˜o infectadas e apo´s de 10 dias
o nu´mero de infectados e´ 1.200. (a) Quantas pessoas esta˜o infectadas apo´s de 20 dias
? (b) Quando a doenc¸a se espalhara´ mais rapidamente ? isto e´, quando 2.400 pessoas
estara˜o infectadas ?
12. Certo ambiente pode suportar ate´ 2.000.000 bacte´rias, de modo que a taxa de cresci-
mento das bacte´rias seja conjuntamente proporcional ao nu´mero de bacte´rias presentes
e a` diferenc¸a entre 2.000.000 e o nu´mero presente ( da forma (*)). Ha´ vinte minutos
havia 1.000 bacte´rias presentes no ambiente e agora ha´ 2.000. (a) Quantas bacte´rias
estara˜o presentes daqui a 1 hora ? (b) Quando sera´ maior o crescimento das bacte´rias
? isto e´, quando havera´ 1.000.000 bacte´rias presentes ?
13. Numa comunidade de 7.500 pessoas, a taxa segundo a qual um boato se espalha e´
conjuntamente proporcional ao nu´mero de passoas que o ouviram e ao nu´mero das que
na˜o o ouviram. Inicialmente 300 pessoas ouviram o boato e, apo´s de 2 horas, 1.500 ja´
o tinham ouvido. (a) Quantas pessoas ouviram o boato apo´s de 3 horas ? (b) Quando
estara´ se espalhando mais rapidamente o boato ? isto e´, quando 3.750 pessoas tera˜o
ouvido o boato ?
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