exercicios cap.7 8

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Exercícios caps. 7-8 
Teoria dos Jogos 
Economia UFF 
1º semestre de 2014 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 2 
Exercício 7.1 
Jogo do cartel 
como jogo simultâneo 
Empresa 1 
Coopera Não coopera 
Empresa 2 Coopera 1.152, 1.152 960, 1.280 
Não coopera 1.280, 960 1.024, 1.024 
 Suponha que o jogo acima seja o jogo-base (stage 
game) de um jogo repetido em dois estágios 
a. Representar os subjogos desse jogo repetido finito 
na forma estratégica. 
b. Resolver o jogo, encontrando o equilíbrio perfeito. 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 3 
Exercício 7.1: “representação 
informal” 
Jogo do cartel 
como jogo simultâneo 
 
Empresa 1 
Coopera Não coopera 
Empresa 2 Coopera 1.152, 1.152 960, 1.280 
Não 
coopera 
1.280, 960 1.024, 1.024 
Jogo do cartel 
como jogo simultâneo 
 
Empresa 1 
Coopera Não coopera 
Empresa 2 Coopera 1.152, 1.152 960, 1.280 
Não 
coopera 
1.280, 960 1.024, 1.024 
Jogo do cartel 
como jogo simultâneo 
 
Empresa 1 
Coopera Não coopera 
Empresa 2 Coopera 1.152, 1.152 960, 1.280 
Não 
coopera 
1.280, 960 1.024, 1.024 
Jogo do cartel 
como jogo simultâneo 
 
Empresa 1 
Coopera Não coopera 
Empresa 2 Coopera 1.152, 1.152 960, 1.280 
Não 
coopera 
1.280, 960 1.024, 1.024 
Jogo do cartel 
como jogo simultâneo 
 
Empresa 1 
Coopera Não coopera 
Empresa 2 Coopera 1.152, 1.152 960, 1.280 
Não 
coopera 
1.280, 960 1.024, 1.024 
C, C 
NC, NC 
C, NC 
NC, C 
1ª etapa 
2ª etapa 
4 
Exercício 7.1 
Resultado da 
primeira etapa 
Empresa 1 Empresa 2 
Coopera Não coopera 
Subjogo 1, a partir de 
(Coopera, Coopera) 
Coopera 2304, 2304 2112, 2432 
Não coopera 2432, 2112 2176, 2176 
Subjogo 2, a partir de 
(Não Coopera, Coopera) 
 
Coopera 2112, 2432 1920, 2560 
Não coopera 2240, 2240 1984, 2304 
Subjogo 3, a partir de 
(Coopera, Não Coopera) 
 
Coopera 2432, 2112 2240, 2240 
Não coopera 2560, 1920 2304, 1984 
Subjogo 4, a partir de 
(Não Coopera, Não Coopera) 
 
Coopera 2176, 2176 1984, 2304 
Não coopera 2304, 1984 2048, 2048 
b. O equilíbrio perfeito 
consiste em ausência 
de cooperação 
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Exercício 7.4 
 DP indicado acima: infinitamente repetido 
 Suponha que os jogadores adotem uma estratégia: 
 Alternam (Coopera, Coopera) com (Não coopera, Não coopera) 
 Não cooperam nunca mais se o outro rompe o combinado 
 Calcular fator de desconto para o qual esta combinação de 
estratégias constitua EN perfeito 
Dilema 
dos prisioneiros 
Jogador 2 
Coopera Não coopera 
Jogador 1 Coopera 1, 1 -1, 2 
Não coopera 2, -1 0, 0 
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Exercício 7.4 
 Caso o jogador adote a estratégia 
de iniciar cooperando e depois 
seguir alternando, sua 
recompensa será: 
 
 Caso o jogador abandone a 
estratégia no primeiro período, 
então sua recompensa será: 
 
 Portanto, estratégia será EN 
sempre que: 
 
(Resposta errada no Fiani, p. 380) 
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Exercício 7.6 
 DP indicado acima: infinitamente repetido 
 Calcular fator de desconto que induza a 
cooperação, supondo que o outro jogador adote 
estratégia severa 
Jogador 1 Jogador 2 
Coopera Não coopera 
Coopera 3, 3 0, 5 
Não coopera 5, 0 1, 1 
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Exercício 7.6 
 Vejamos ganhos do jogador i: 
 (ii) ao cooperar desde o período inicial. 
 (i) ao não cooperar no período inicial. 
 Ganho de cooperar sempre (“não desviar”): 
 VPND = 3 + 3.d + 3.d² + 3.d3 … = 3 + (3d)/(1-d) 
 Ganho de não cooperar (“desviar”): 
 VPD = 5 + 1.d + 1.d² + 1.d3 … = 5 + (1d)/(1-d) 
 Condição para haver cooperação: VPND > VPD 
 3 + (3d)/(1-d) ≥ 5 + (1d)/(1-d) 
 d >½ 
 (Resposta errada no Fiani, p. 380) 
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Exercício 7.7 
 Mesmo jogo do exercício 7.6 
 Calcular fator de desconto que induza a 
cooperação, supondo que o outro jogador adote 
olho-por-olho 
Jogador 1 Jogador 2 
Coopera Não coopera 
Coopera 3, 3 0, 5 
Não coopera 5, 0 1, 1 
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Exercício 7.7 
 Vejamos ganhos do jogador i: 
 (ii) ao cooperar sempre, desde o período inicial. 
 (i) ao não cooperar no período inicial: neste caso, terá que voltar 
a cooperar no período 2, para que o outro jogador volte a 
cooperar no período 3. 
 Ganho de cooperar sempre (“não desviar”): 
 VPND = 3 + 3.d + 3.d² + 3.d3 … 
 Ganho de não cooperar (“desviar”): 
 VPD = 5 + 0.d + 3.d² + 3.d3 … 
 Condição para haver cooperação: VPND > VPD 
 3 + 3.d + 3.d² + 3.d3 … ≥ 5 + 0.d + 3.d² + 3.d3 … 
 3 + 3.d > 5 
 d > 2/3 
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Exercício 7.8 
Jogo do cartel 
como jogo simultâneo 
Empresa 1 
Coopera Não coopera 
Empresa 2 Coopera 1.152, 1.152 960, 1.280 
Não coopera 1.280, 960 1.024, 1.024 
 Suponha que o jogo acima seja o jogo-base (stage 
game) de um jogo infinitamente repetido 
 Calcular fator de desconto que induza a 
cooperação, supondo que o outro jogador adote 
estratégia severa 
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Exercício 7.8 
 Vejamos ganhos do jogador i: 
 (ii) ao cooperar desde o período inicial. 
 (i) ao não cooperar no período inicial; 
 Ganho de cooperar sempre (“não desviar”): 
 VPND = 1152 + 1152.d + 1152.d² + … = 1152/(1-d) 
 Ganho de não cooperar (“desviar”): 
 VPD = 1280 + 1024.d + 1024.d² + … = 1280 + (1024d)/(1-d) 
 Condição para haver cooperação: VPND > VPD 
 d > ½ 
 (Resposta errada no Fiani, p. 381) 
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Exercício 7.10 
 Desenhar 
gráfico como 
o da Figura 
7.12 para o 
jogo-base do 
exercício 7.6, 
infinitamente 
repetido 
Jogador 1 Jogador 2 
Coopera Não 
coopera 
Coopera 3, 3 0, 5 
Não coopera 5, 0 1, 1 
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Exercício 7.10 
• Área limitada pelo 
paralelogramo: trata-se 
de vetores factíveis 
• Mais informações no 
próximo slide… 
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Exercício 7.10 
1. Limites definidos pelo 
teorema popular: em 
vermelho e amarelo 
• Trata-se de equilíbrios 
possíveis e plausíveis 
2. Conjunto de ótimos de 
Pareto: em vermelho 
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Para ex. 8.1: breve revisão 
Jogo da subcontratação, 
variante 1 
Multinacional 
Contrata Não contrata 
Fornecedor Age responsavelmente 2, 2 0, -1 
Age irresponsavelmente -1, -2 -1, 0 
Jogo da subcontratação, 
variante 2 
Multinacional 
Contrata Não contrata 
Fornecedor Age responsavelmente -1, 2 0, -1 
Age irresponsavelmente 2, -2 1, 0 
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Para ex. 8.1: breve revisão 
 Para analisar jogo com informação incompleta, 
como o da multinacional, seguimos procedimento 
de Harsanyi, que envolve duas etapas: 
1. Transformar jogo de informação incompleta em 
jogo de informação imperfeita 
 Relembrando: transformar jogo em que características 
dos jogadores não são de conhecimento comum em… 
 … jogo no qual algum jogador, em algum momento do 
jogo, tem de fazer suas escolhas sem conhecer 
exatamente a história do jogo até ali 
2. Procurar ENs na versão reformulada do jogo 
18 
Para ex. 8.1: breve revisão 
2, 2 
Natureza 
Tipo A 
(p) 
Age resp. 
Multinacional 
Fornecedor 
Fornecedor 
Contrata 
Tipo B 
(1-p) 
Age resp. 
Age irresp. 
Age irresp. 
Multinacional 
Multinacional 
Multinacional 
0, -1-1, -2 
-1, 0 
0, -1 
-1, 2 
2, -2 
1, 0 
Contrata 
Contrata 
Contrata 
NC 
NC 
NC 
NC 
Notem que nó do 
pseudojogador é 
vazado 
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Para ex. 8.1: breve revisão 
Ação 
do 
fornecedor 
Recompensas esperadas 
do fornecedor caso 
multinacional contrate 
Recompensas esperadas 
do fornecedor caso 
multinacional não contrate 
C NC 
AR, AR 2p + (–1)(1 – p)  3p – 1 0p + 0(1 – p)  0 
AR, AI 2p + 2(1 – p)  2 0p + 1(1 – p)  1 – p 
AI, AR –1p + (–1)(1 – p)  –1 –1p + 0(1 – p)  –p 
AI, AI –1p + 2(1 – p)  –3p + 2 –1p + 1(1 – p)  –2p + 1 
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Para ex. 8.1: breve revisão 
Ação 
do 
fornecedor 
Recompensas esperadas 
da multinacional caso 
contrate 
Recompensas esperadas 
da multinacional caso não 
contrate 
C NC 
AR, AR 2p + 2(1 – p) 2 –1p + [–1(1 – p)]  –1 
AR, AI 2p + [–2(1 – p)]  4p – 2 –1p + 0(1 – p) –p 
AI, AR –2p + 2(1 – p)  –4p + 2 0p + (–1) (1 – p)  p – 1 
AI, AI –2p + [(– 2)(1 – p)]  –2 0p + 0(1 – p)  0 
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Para ex. 8.1: breve revisão 
Fornecedor Multinacional 
C NC 
AR, AR (3p – 1), 2 0, –1 
AR, AI 2, (4p – 2) (1 – p), –p 
AI, AR –1, (–4p – 2) –p, (p – 1) 
AI, AI (–3p + 2), –2 (–2p + 1), 0 
Forma estratégica usual 
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Para ex. 8.1: breve revisão 
Fornecedor Multinacional 
C NC 
AR, AR ½, 2 (c) 0, -1 
AR, AI (l) 2, 0 (c) (l) ½, -½ 
AI, AR -1, 0 -½, ½ (c) 
AI, AI ½, –2 0, 0 (c) 
 Sendo p = ½, teríamos, como equilíbrio de Nash bayesiano… 
 … a combinação de estratégias {(AR, AI), C} 
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Exercício 8.1 
Fornecedor Multinacional 
C NC 
AR, AR (3p – 1), 2 0, –1 
AR, AI 2, (4p – 2) (1 – p), –p 
AI, AR –1, (–4p – 2) –p, (p – 1) 
AI, AI (–3p + 2), –2 (–2p + 1), 0 
 Para o jogo acima, calcule p mínimo que garanta que será 
vantajoso para a Multinacional contratar o fornecedor. 
 A linha em verde é a relevante, pois comporta melhores 
respostas para o fornecedor (cf. árvore do jogo, nos próximos 
slides...) 
 Calculemos então o valor de p tal que a recompensa associada 
a contratar seja maior que aquela associada a não contratar… 
24 
Exercício 8.1 
2, 2 
Natureza 
Tipo A 
(p) 
Age resp. 
Multinacional 
Fornecedor 
Fornecedor 
Contrata 
Tipo B 
(1-p) 
Age resp. 
Age irresp. 
Age irresp. 
Multinacional 
Multinacional 
Multinacional 
0, -1 
-1, -2 
-1, 0 
0, -1 
-1, 2 
2, -2 
1, 0 
Contrata 
Contrata 
Contrata 
NC 
NC 
NC 
NC 
Notem que nó do 
pseudojogador é 
vazado 
Caso a 
multinacional 
garantisse que 
contrataria o 
fornecedor, a 
melhor resposta 
do fornecedor: 
 
• Se ele fosse do 
tipo A, seria AR (2 
> -1). 
 
• Se ele fosse do 
tipo B, seria AI (2 
> -1). 
 
Portanto: AR, AI 
25 
Exercício 8.1 
2, 2 
Natureza 
Responsável 
(p) 
Age resp. 
Multinacional 
Fornecedor 
Fornecedor 
Contrata 
Irresponsável 
(1-p) 
Age resp. 
Age irresp. 
Age irresp. 
Multinacional 
Multinacional 
Multinacional 
0, -1 
-1, -2 
-1, 0 
0, -1 
-1, 2 
2, -2 
1, 0 
Contrata 
Contrata 
Contrata 
NC 
NC 
NC 
NC 
Notem que nó do 
pseudojogador é 
vazado 
Caso a 
multinacional 
garantisse que 
não contrataria o 
fornecedor, a 
melhor resposta 
do fornecedor: 
 
• Se ele fosse do 
tipo A, seria AR (0 
> -1). 
 
• Se ele fosse do 
tipo B, seria AI (1 
> 0). 
 
Portanto: AR, AI 
Exercício 8.1 
 O valor de p tal que a recompensa associada a contratar seja 
maior que aquela associada a não contratar é dada por 
 4p – 2 > – p 
 p > 2/5 
 Na tabela abaixo, indicam-se recompensas com p = 2/5 
 Há dois Eqs. Nash: multinacional é indiferente entre contratar ou não 
 Com p =0,41, vale a pena contratar 
 Com p = 0,39, não vale a pena 
 
Fornecedor Multinacional 
C NC 
AR, AR 1/5, 2 (c) 0, –1 
AR, AI (l) 2, -2/5 (c) (l) 3/5, -2/5 (c) 
AI, AR –1, 2/5 (c) –2/5, -3/5 
AI, AI 4/5, –2 1/5, 0 (c) 
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Exercício 8.2 - Harsanyi 
Jogo da subcontratação, 
variante 1 
Multinacional 
Contrata Não contrata 
Fornecedor Age reponsavelmente 2, 1 0, -1 
Age irresponsavelmente -1, -5 -1, 0 
Jogo da subcontratação, 
variante 2 
Multinacional 
Contrata Não contrata 
Fornecedor Age reponsavelmente -2, 1 0, -1 
Age irresponsavelmente -1, -5 1, 0 
 Em grupo: executem a primeira etapa da transformação de 
Harsanyi (transformar jogo de informação incompleta em 
jogo de informação imperfeita) 
28 
Exercício 8.2 - árvore 
2, 1 
Natureza 
Tipo 1 
(p) 
Age resp. 
Multinacional 
Fornecedor 
Fornecedor 
Contrata 
Tipo 2 
 (1-p) 
Age resp. 
Age irresp. 
Age irresp. 
Multinacional 
Multinacional 
Multinacional 
0, -1 
-1, -5 
-1, 0 
0, -1 
-2, 1 
-1, -5 
1, 0 
Contrata 
Contrata 
Contrata 
NC 
NC 
NC 
NC 
Notem que nó do 
pseudojogador é 
vazado 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 29 
Exercício 8.2 – modelo de 
tabela (fornecedor) 
Ação 
do 
fornecedor 
Recompensas esperadas 
do fornecedor caso 
multinacional contrate 
Recompensas esperadas 
do fornecedor caso 
multinacional não contrate 
C NC 
AR, AR (p)(_) + (1-p)(_) (p)(_) + (1-p)(_) 
AR, AI (p)(_) + (1-p)(_) (p)(_) + (1-p)(_) 
AI, AR (p)(_) + (1-p)(_) (p)(_) + (1-p)(_) 
AI, AI (p)(_) + (1-p)(_) (p)(_) + (1-p)(_) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 30 
Exercício 8.2 – tabela 
preenchida (fornecedor) 
Ação 
do 
fornecedor 
Recompensas esperadas 
do fornecedor caso 
multinacional contrate 
Recompensas esperadas 
do fornecedor caso 
multinacional não contrate 
C NC 
AR, AR (p)(2) + (1-p)(-2)  4p – 2 (p)(0) + (1-p)(0)  0 
AR, AI (p)(2) + (1-p)(-1)  3p – 1 (p)(0) + (1-p)(1)  1 – p 
AI, AR (p)(-1) + (1-p)(-2)  p – 2 (p)(-1) + (1-p)(0)  – p 
AI, AI (p)(-1) + (1-p)(-1)  – 1 (p)(-1) + (1-p)(1)  1 – 2p 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 31 
Exercício 8.2 – modelo de 
tabela (multinacional) 
Ação 
do 
fornecedor 
Recompensas esperadas 
da multinacional caso 
multinacional contrate 
Recompensas esperadas 
da multinacional caso 
multinacional não contrate 
C NC 
AR, AR (p)(_) + (1-p)(_) (p)(_) + (1-p)(_) 
AR, AI (p)(_) + (1-p)(_) (p)(_) + (1-p)(_) 
AI, AR (p)(_) + (1-p)(_) (p)(_) + (1-p)(_) 
AI, AI (p)(_) + (1-p)(_) (p)(_) + (1-p)(_) 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 32 
Exercício 8.2 – tabela 
preenchida (multinacional) 
Ação 
do 
fornecedor 
Recompensas esperadas 
da multinacional caso 
multinacional contrate 
Recompensas esperadas 
da multinacional caso 
multinacional não contrate 
C NC 
AR, AR (p)(1) + (1-p)(1)  1 (p)(-1) + (1-p)(-1)  –1 
AR, AI (p)(1) + (1-p)(-5)  6p – 5 (p)(-1) + (1-p)(0)  –p 
AI, AR (p)(-5) + (1-p)(1)  1 – 6p (p)(0) + (1-p)(-1)  p–1 
AI, AI (p)(-5) + (1-p)(-5)  5 (p)(0) + (1-p)(0)  0 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 33 
Exercício 8.2 
Fornecedor Multinacional 
C NC 
AR, AR (4p-2), 1 0, (-1) 
AR, AI (3p-1), (6p-5) (1-p), (-p) 
AI, AR (p-2),(1-6p) (-p), (p-1) 
AI, AI -1, 5 (1-2p), 0 
Forma estratégica usual 
 Em grupo: sendo p = ½, 
qual é o EN bayesiano? 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 34 
Exercício 8.2 
Fornecedor Multinacional 
C NC 
AR, AR 0, 1 (c) (l)0, -1 
AR, AI (l) ½, -2 (l) 0, -½ (c) 
AI, AR - 3/2, -2 -½, -½ (c) 
AI, AI -1, 5 (c) (l) 0, 0 
 EN bayesiano é {(AR, AI), NC} 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 35 
Exercício 8.3 
 Possibilidade de joint-venture entre empresas 1 e 2 
 Custos da Empresa 1 para participar da empreitada: 
 Elevados (c=3): com 90% de probabilidade 
 Reduzidos (c=1): com 10% de probabilidade 
 Calcule EN bayesiano. Joint-venture vale a pena? 
Joint-venture Empresa 2 
Investe Pega carona 
Empresa 1 Investe 4 - c, 5/2 4 - c, 4 
Pega carona 4, 5/2 0, 0 
Exercício 8.3 
Empresa 1 Empresa 2 
I PC 
I, I 1.2, 2.5 (l) 1.2, 4 (c) 
I, PC 1.3, 2.5 0.9, 3.6 (c) 
PC, I 3.9, 2.5 (c) 0.3, 0.4 
PC, PC (l) 4, 2.5 (c) 0, 0 
 I = Investe; PC = Pega carona 
 Em verde: EN bayesianos 
 Equilíbrio {(PC, PC), I}: Empresa 2 investe, enquanto Empresa 1, 
qualquer que seja seu tipo, pega carona 
 Equilíbrio {(I, I), PC}: Empresa 1 investe, qualquer que seja seu tipo, 
enquanto Empresa 2 pega carona 
 Diante da perspectiva de haver uma empresa free-rider, é 
pouco provável que joint-venture seja formalizada 
36 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 37 
Exercício 8.4 
DP com informação 
incompleta 
Jogador 2 “conciliador” 
Coopera Não coopera 
Jogador 1 Coopera 0, 0 4, -2 
Não coopera -2, 7 5, 5 
a. Calcular EN bayesiano para uma probabilidade p=90% de que 
Jogador 2 seja do tipo “conciliador”. 
b. Idem para p=20% 
DP com informação 
incompleta 
Jogador 2 “agressivo” 
Coopera Não coopera 
Jogador 1 Coopera 0, -2 4, 0 
Não coopera -2, 5 5, 7 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 38 
Exercício 8.4 
 Respostas do Fiani: 
a. Com p=90%,no EN bayesiano, o Jogador 1 
cooperará, enquanto o Jogador 2 cooperará se for 
do tipo “conciliador”, mas não se for do tipo 
“agressivo”. 
b. Com p=20%,no EN bayesiano, o Jogador 1 não 
cooperará, enquanto o Jogador 2 cooperará se for 
do tipo “conciliador”, mas não se for do tipo 
“agressivo”. 
 Concluímos que a probabilidade de o Jogador 2 
ser de um tipo ou de outro tem efeito sobre a 
estratégia do Jogador 1 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 39 
Exercício 8.5 
 Comparação de modelo de Cournot com 
informação incompleta com: 
a. Empresa 2 possui custo C2 = 2q2. 
b. Empresa 2 possui custo C2 = 4q2. 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 40 
Exercício 8.5 
 Cournot com info. incompleta (aula recente): 
 q1 = 33 
 q2
A = 31,5 
 q2
B = 32,5 
a. Se a empresa 2 possui custo C2 = 2q2, as 
empresas serão iguais e teremos EN-Cournot 
simétrico: 
 q1 = q2 = 32,7. 
b. Se a empresa 2 possui custo C2 = 4q2, não 
teremos EN-Cournot simétrico: 
 q1 = 33,33 
 q2 = 31,3 
Exercício 8.9 
 Suponha que dois jogadores tenham valores 
independentes privados de um objeto de leilão. 
 Suponha ainda que as avaliações dos dois 
jogadores, representadas por v1 e v2, possuam 
distribuição uniforme idêntica entre 0 e 1. 
 Responda quais serão as ofertas dos jogadores: 
a) Num leilão de primeiro preço  v1/2 e v2/2 
b) Num leilão holandês  Idem 
 (Leilões são ditos estrategicamente equivalentes 
 Jogadores comportam-se da mesma forma 
 Resultado final é o mesmo) 
 
Teoria dos Jogos - Prof. Waltenberg 41