4ª Listas de Calculo N1

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Departamento de Matemática
Professor Deibsom Silva
4a Lista de Exercícios de Cálculo NI
Exercício 1. Nos exercícios (a)− (d) abaixo:
i) Encontre y′ derivando implicitamente.
ii) Resolva a equação explicitamente isolando y e derive para obter y′ em termos de x.
iii) Verifique que suas soluções para as partes i) e ii) são iguais substituindo a expressão
encontrada ao isolar y na sua solução encontrada na parte i).
(a) xy + 2x+ 3x2 = 4
(b) 4x2 + 9y2 = 36
(c)
1
x
+
1
y
= 1
(d) cosx+√y = 5
Exercício 2. Nos exercícios abaixo encontre y′ derivando implicitamente.
(a) x2 + y3 = 1
(b) x3 + x2y + 4y2 = 6
(c) x4(x+ y) = y2(3x− y)
(d) x2y2 + x sin y = 4
(e) 4 cosx sin y = 1
(f) e(x/y) = x− y
(g) √xy = 1 + x2y
(h) xy = cotg(xy)
Exercício 3. Encontre f ′(1) e g′(0) se:
(a) f(x) + x2[f(x)]3 = 10 e f(1) = 2.
(b) g(x) + x sin (g(x)) = x2 e g(0) = 0.
Exercício 4. Sabendo que se P0 = (x0, y0) é um ponto do gráfico da função y = f(x), então a
equação da reta tangente ao gráfico de f em P0 é dada por
y = f ′(x0)(x− x0) + y0.
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente a curva no ponto dado.
(a) x2 + xy + y2 = 3 em P0 = (1, 1).
(b) x2 + 2xy − y2 + x = 2 em P0 = (1, 2).
(c) x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2 em P0 = (0, 1
2
).
Exercício 5. Econtre os pontos críticos das funções abaixo e, usando o teste conveniente(Teste
da primeira ou da Segunda derivada), classifique-os com ponto de Máximo local, Mínimo local
ou nenhun dos dois.
(a) f(x) = x3 − 12x+ 1
(b) f(x) = x4 − 2x2 + 3
(c) f(x) = x2ex
(d) f(x) =
lnx√
x
(e) f(x) = x5 − 5x+ 3
(f) f(x) =
1 + x2
1− x2
RESPOSTAS
1. (a)
i) y′ = −(y + 6x+ 2)
x
ii) y =
4
x
− 3x− 2, y′ = − 4
x2
− 3.
(c)
i) y′ = −x
2
y2
ii) y =
x
x− 1 − 3x− 2, y
′ = − 1
(x− 1)2 .
2. (a) y′ = −x
2
y2
(b) y′ =
−x(3x+ 2y)
(x2 + 8y)
(c) y′ =
3y2 − 5x4 − 4x3y
x4 + 3y2 − 6xy
(d) y′ =
−2xy2 − sin y
2x2y + x cos y
(e) y′ = tanxtany
(f) y′ =
y(y − e(x/y))
y2 − xe(x/y)
(g) y′ =
4xy
√
xy − y
x− 2x2√xy
(h) y′ = −y
x
3. (a) −16
13
(b) 0
4. (a) y = −x+ 2
(b) y =
7
2
x− 3
2
(c) y = x+
1
2
5. (a) Máx. Loal em x0 = −2 e Min. Local em x0 = 2.
(b) Máx. Loal em x0 = 0 e Min. Local em x0 = 1 e −1.
(c) Máx. Loal em x0 = 0 e Min. Local em x0 = 2.
(d) Máx. Loal em x0 = e2.
(e) Máx. Loal em x0 = −1 e Min. Local em x0 = 1.
(f) Min. Local em x0 = 0.
2