Equações Fracionárias, Literais, Biquadradas e Irracionais

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EQUAÇÃO FRACIONÁRIA DO 2º GRAU
Nessas equações (há incógnita no denominador) devemos garantir que nenhum dos denominadores se anule
Exemplo:
Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações fracionárias.
exemplo 1
Resolver em R a equação x + 1/(x -3) = 5 sendo x diferente 3
Solução:
substituindo na fórmula
exemplo 2
EXERCÍCIOS
1) Resolva a equação do 2º grau em R:
EQUAÇÕES LITERAIS 
Nessas equações, além da incógnita x , aparecem outras letras (a,b,c,m,n ....), que são chamadas de parâmetros, vamos resolver a equação:
EXERCÍCIOS
EQUAÇÃO LITERALDO 2º GRAU 
1. DEFINIÇÃO:
⇒ Se uma equação de 2º grau na variável x apresentar um ou mais coeficientes indicados por letras, a equação é chamada equação literal. Vejamos o exemplo.
Exemplo: Resolver a equação , sendo .
Solução:
⇒ Temos: 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. (FRANCO) Resolva as equações literais:
a) Resp: 
b) Resp: 
c) Resp: 
d) Resp: 
e) Resp: 
f) Resp: 
g) Resp: 
h) Resp: 
T E S T E S 
1. (FRANCO) O conjunto solução em da equação é:
a) b) c) d) 
2. (FRANCO) A equação , em R, é verdadeira, se for igual a:
a) 0 b) 1 c) 4 d) 1 ou 4
3. (FRANCO) Se , então vale:
a) 1 b) c) 2 d) 
4. (FRANCO) Resolva a equação :
a) b) c) d) 
5. (FRANCO) O conjunto solução da equação é
a) b) c) d) 
6. (FRANCO) Se então :
a) b) 
c) d) 
7 (FRANCO) Quais valores de x satisfazem à equação: 
a) b) 
c) d) 
8. (FRANCO) A equação 
a) não tem raiz real.
b) tem duas raízes reais.
c) tem apenas uma raiz real.
d) admite 10 como raiz.
9. (FRANCO) A equação tem
a) uma única raiz.
b) infinitas raízes
c) exatamente duas raízes.
d) conjunto solução vazio.
10. (FRANCO) O conjunto solução da equação é:
a) b) 
c) d) 
G A B A R I T O
	
1. B
	
4. B
	
7. C
	
10. D
	
2. D
	
5. D
	
8. C
	
	
3. A
	
6. D
	
9. D
	
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
EQUAÇÕES BIQUADRADAS
Definição
Chama-se equações biquadradas toda equação que pode ser coclocada na forma:
EXERCÍCIOS
1) Quais são equeções biquadradas?
RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA EM R
As equações biquadradas podem ser transformadas em equações do 2º grau mediante mudança de variável. A seguir, mostraremos a resolução de equações biquadradas no conjunto R
EXERCÍCIOS
1) Resolva as equações biquadradas em R
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Definição:
Chama-se equação irracional a equação cuja, incógnita está sob radical.
Exemplos:
EXERCÍCIOS
1) Quais são as equações irracionais.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES IRRACIONAIS
Na resolução da equações irracionais em R, procedemos do seguinte modo:
1º - Isolamos um dos radicais em um dos membros da equação dada.
2º - Elevamos os dois bembros da equação a um expoente adequado.
3º - Se ainda restar um ou mais radicais, repetimos as operações anteriores.
4º - Verificar as soluções encontradas.
RAÍZES ESTRANHAS
Quando se elevam os dois membros de uma equação a um mesmo expoente par, a equação obtida tem, raízes estranhas à equação original. 
veja:
A equação x = 5 tem como conjunto V = {5}
Elevando ambos os membros ao quadrado, vamos ter x² = 25
cujo o conjunto verdade é V - {5, -5}
Concluindo:
Na resolução de uma equação irracional com radical de indice par, devemos fazer uma verificação da validade da raizes encontradas na equação original e eliminar as raízes estranhas.
Mostraremos a resolução de equações irracionais no conjunto R.
exemplo 2
EXERCÍCIOS 
1) Resolva as equações irracionais em R:
2) Resolva as equações irracionais em R.
3) Resolva as equações irracionais em R
Exemplos 3
exercícios 
1) Resolva as equações em R:
Exemplo 4
EXERCÍCIOS
1) Resolva as equações irracionais em R:
EXERCICIOS
TESTE
Listas de Exercicios com GABARITO
1) Resolva as seguintes Equações Irracionais sendo U = R
a) √x+5 = 2
b) √x-5 = 2
c) √-3x+5 = √7
d) √4x-1 = √3x+2
e) √x+7 = √5x-3
f) √5x-2 = 2 
g) √x²-14 = √2
h) √x-1 = √3-x 
i) 4 - x = √x+2
j) √7x-3  -  1 = x
l) √3x+4 = √2x+7
m) √3-2x  +  2 = x
n) √x-1  +  x = x + 3
o) √x+9  +  x = 11
p) √x = 8
q) √x+3  +  3 = x
*Gabarito:
a) {-1}   b) {9}   c) {-4}   d) {3}   e) {10/4}   f) {6/3}   g) {-4/4}   h) {2}   i){2}   j) {1,4}   l) {3}   m) Ø   n) {2}   o) {7}    p) {64}   q) {6}
2) Resolva as seguintes Equações Biquadradas:
Obs: Sinal " ^ " significa elevado
a) x^4 - 8x² + 15 = 0
b) x^4 - 3x² - 4 = 0
c) x^4 + 10x² + 9 = 0
d) x^4 - 8x² - 9 = 0
e) x^4 - 4 = 3x²
f) x^4 - 16x² = 0
g) x^4 - 8x² + 16 = 0
h) x^4 - 26x² + 25 = 0
*Gabarito:
a) {√-5,-√3,√3,√5}       b) {-2,-√2,√2,2}     c) Ø      d) {-3,3}       e) {-2,2}      f) {-4,0,4}     g) {-2,2}     h) {1,5} 
3) Encontre as raizes reais das equações a seguir atravéz de soma e produto.
a) x² - 5x + 6 = 0
b) x² - 10x + 24 = 0
c) x² - 7x² + 12 = 0
d) x² + 7x + 12 = 0
e) x² - 20x + 36 = 0
f) x² + 20x + 36 = 0
g) x² - x - 12 = 0
h) x² + x - 12 = 0
i) x² - 4x - 12 = 0
j) x² + 10x + 24 = 0
l) x² + 4x - 12 = 0
* Gabarito:
a) {2,3}       b) {4,6}       c) {3,4}       d) {-3,-4}       e) {2,18}       f) {2,-18}       g) {-3,4}       h) {-4,3}       i) {-2,6}       j) {-6,4}       l) {-6,2}
4) Escreva as equações do 2º grau de acordo com as raizes abaixo:
a) -3 e 5
b) 5 e 3
c) 2 e 5
d) -1 e -4
e) 1 e -5
f) -7 e -6
g) -5 e 7
h) 1 e -6
i) -4 e 2
j) 10 e 5
*Gabarito:
a) x² - 2x - 15 = 0      b) x² - 8x + 15 = 0       c) x² - 7x + 10 = 0       d) x² + 5x + 4 = 0       e) x² + 4x - 5 = 0       f) x² + 13x + 42 = 0       g) x² - 2x - 30 = 0        h) x² + 5x -6 = 0  i) x² + 2x - 8 = 0       j) x² - 15 + 50 = 0
5) Determine os zeros de cada uma das funções a seguir, e verifique se a parábola corta ou não as abscissas com a concavidade para cima ou para baixo:
a) y = x² - 25
b) y = x² - 2x + 3
c) y = -x² + 6x
d) y = x² + 4x + 8
e) y = -x² + x + 6
f) y = -4x² + 4x - 1
g) y = 6x² + 6x
h) y = x² - 2x - 24
i) y = x² - 6x + 9
j) y = -x² + 9x - 14
l) y = x² - 7x + 13
*Gabarito:
a) -5 e 5, corta dois pontos, concavidade para cima    
b) -1 e 3, corta dois pontos, concavidade para cima    
c) 0 e 6, corta dois pontos, concavidade pra baixo   
d) Não existem raizes reais, não corta nenhum ponto, concavidade para cima   
e) -2 e 3, corta dois pontos, concavidade para baixo  
f) 1/2, um ponto, para bra baixo  
g) 0 e -1, corta dois pontos, concavidade para cima    
h) 6 e -4, corta 2 pontos, concavidade para cima   
i) 3, corta apenas um ponto, concavidade para cima
j) 2 e 7, corta 2 pontos, concavidade para baixo
l) Não existem raizes reais, não corta nenhum ponto, concavidade para cima
6) Dê as coordenadas do vértice das funções a seguir e verifique se é ponto mínimo ou ponto máximo:
a) y = x² - 8x + 6
b) y = -x² + 4x + 5
c) y = -6x² + 6x
d) y = x² - 16
e) y = x² - 4x - 45
f) y = 3x² + 6x
g) y = -x² + 9
h) y = 5x² - 8x + 3
*Gabarito:
a) ponto mínimo; (4,-10)    b) ponto máximo; (2,9)    c) ponto máximo; (1/2,3/2)    d) ponto mínimo; (0,-16)    e) ponto mínimo; (2,-49)    f) ponto mínimo; (-1,-3)    g) ponto máximo; (0,9)    h) ponto mínimo; (94/5,-1/5)
Sistema de Equações do 2º Grau
Publicado por: Marcos Noé Pedro da Silva em Equação78 comentários
Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir: 
Exemplo 1Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: 
x + y = 6 
x = 6 – y 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
x² + y² = 20 
(6 – y)² + y² = 20 
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0 
16 – 12y + 2y² = 0 
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2) 
y² – 6y + 8 = 0 
∆ = b² – 4ac 
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8 
∆ = 36 – 32 
∆ = 4 
a = 1, b = –6 e c = 8
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
Para y = 4, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 4 
x = 2 
Par ordenado (2; 4) 
Para y = 2, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 2 
x = 4 
Par ordenado (4; 2) 
S = {(2: 4) e (4; 2)} 
Exemplo 2
Isolando x ou y na 2ª equação: 
x – y = –3 
x = y – 3 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
x² + 2y² = 18 
(y – 3)² + 2y² = 18 
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0 
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3) 
y² – 2y – 3 = 0 
∆ = b² – 4ac 
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 
a = 1, b = –2 e c = –3 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
Para y = 3, temos: 
x = y – 3 
x = 3 – 3 
x = 0 
Par ordenado (0; 3) 
Para y = –1, temos: 
x = y – 3 
x = –1 –3 
x = –4 
Par ordenado (–4; –1) 
S = {(0; 3) e (–4; –1)} 
Problemas sobre equações de 2º grau e sistemas de equações de 2º grau.
1. O quadrado da quantia que Vitor possui, aumentado do dobro da mesma quantia, é igual a R$ 35,00. Quanto Vitor possui?
1. (Unicamp – SP) Ache dois números inteiros positivos e consecutivos, sabendo que a soma de seus quadrados é 481.
1. A área de um retângulo é de 84 m2. A medida do comprimento supera em 5 m a medida da largura. Quais são as dimensões desse retângulo?
1. Se um quadrado de lado 5 cm tiver seu lado aumentado de x, passará a ter uma área de 48 cm2. Quanto vale x?
1. A soma das idades de dois irmãos é 12 anos, e o produto delas é 35. Calcule essas idades.
1. Calcule o número de gols dos dois primeiros artilheiros de um campeonato, sabendo que sua diferença é 2 e seu produto, 120.
1. Quais são as dimensões de um terreno retangular que tem 70 m de perímetro e 250 m2 de área.
1. Resolva os sistemas de equações abaixo:
		Teorema de Pitágoras
	Exercícios resolvidos
	
	
Na página "Demonstração do Teorema de Pitágoras", observas-te como se enuncia o teorema. Agora vais ver vários exemplos de aplicações do mesmo e em seguida, irás resolver alguns exercícios propostos numa ficha.
Exemplo 1:
Sendo a,b e c as medidas dos comprimentos dos lados de um triângulo, indica, justificando, aqueles que são rectângulos:
a) a = 6; b = 7 e c = 13;
b) a = 6; b = 10 e c = 8.
Resolução:
"Se num triângulo as medidas dos seus lados verificarem o Teorema de Pitágoras então pode-se concluir que o triângulo é rectângulo".
Então teremos que verificar para cada alínea se as medidas dos lados dos triângulos satisfazem ou não o Teorema de Pitágoras.
a)
           
logo o triângulo não é rectângulo porque não satisfaz o Teorema de Pitágoras.
 
b)
          
logo o triângulo é rectângulo porque satisfaz o Teorema de Pitágoras.
 
Exemplo 2:
Calcula o valor de x em cada um dos triângulos rectângulos:
a)          
b)
                    
Resolução:
a) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
          
 
b) Aplicando o Teorema de Pitágoras temos:
           
Exemplo 3:
Calcula as áreas das seguintes figuras.
a)
          
b)
                   
Resolução:
a)
	
	
 b)
                               
 
Exemplo 4:
a) Qual era a altura do poste?
Resolução:
                     
h = 4 + 5 = 9
Resposta: A altura do poste era de 9 m.
 
b) Qual é a distância percorrida pelo berlinde.
   
Resolução:
                        
Resposta: A distância percorrida pelo berlinde é de: 
                            265 cm = 2,65 m.
 
	
		Exercício 5:
O Pedro e o João estão a «andar» de balancé, como indica a figura:
 
A altura máxima a que pode subir cada um dos amigos é de 60 cm.
Qual o comprimento do balancé?
Resolução do exercício 5:
Pode-se aplicar o Teorema de Pitágoras, pois a linha a tracejado forma um ângulo de 90 graus com a "linha" do chão.
Então vem:
1,8 m = 180 cm
 
Resposta: O comprimento do balancé é de aproximadamente 190 cm, isto é, 1,9 m.
 
 
Exercício 6:
A figura representa um barco à vela.
6.1.) Determina, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.
 
Resolução do exercício 6:
6.1.) Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
Exercício _01
Exercício _02
Exercício _03
Exercício _04
Exercício _05
Exercício _06
Exercício _07
Exercício _08
Exercício _09
Exercícios de Trigonometria
1) Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60.
2) Quando o ângulo de elevação do sol é de 65 , a sombra de um edifício mede 18 m. Calcule a altura do edifício. 
(sen 65 = 0,9063, cos 65 = 0,4226 e tg 65 = 2,1445)
3) Quando o ângulo de elevação do sol é de 60, a sombra de uma árvore mede 15m. Calcule a altura da árvore, considerando 3 = 1,7.
4) Uma escada encostada em um edifício tem seus pés afastados a 50 m do edifício, formando assim, com o plano horizontal, um ângulo de 32. A altura do edifício é aproximadamente: (sen 32 = 05299, cos 32 = 0,8480 e tg 32 = 0,6249)
a) 28,41m b) 29,87m c) 31,24 m d) 34,65 m
5) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30.Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de:
a)2 km b)3 km c)4 km d)5 km
6) Um foguete é lançado sob um ângulo de 30. A que altura se encontra depois de percorrer 12 km em linha reta?
7) Do alto de um farol, cuja altura é de 20 m, avista-se um navio sob um ângulo de depressão de 30. A que distância, aproximadamente, o navio se acha do farol? (Use 3 = 1,73)
8 ) Num exercício de tiro, o alvo está a 30 m de altura e, na horizontal, a 82 m de distância do atirador. Qual deve ser o ângulo (aproximadamente) de lançamento do projétil? (sen 20 = 0,3420, cos 20 = 0,9397 e tg 20 = 0,3640)
9) Se cada ângulo de um triângulo equilátero mede 60 , calcule a medida da altura de um triângulo equilátero de lado 20 cm.
10) Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente, 80 m do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55 com o plano horizontal. Calcule a altura da encosta. (Dados: sem 55 = 0,81, cos 55 = 0,57 e tg 55= 1,42)
Gabarito:
1) 33 e 3  6) 6 km
 2) 38,6m  7) 34,6m 
3) 25,Sm  8 ) 20         
4) 31,24m  9) 103       
 5) 4 km  1O) 113,6m
Exercício _01
Exercício _02
Exercício _03
Exercício _04
Exercício _05
Exercício _06
Exercício _07
Exercício _08
Exercício _09
Exercício _10
Exercício _11
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+
-
n
m
mx
x
{
}
n
m
n
m
S
-
+
=
,
(
)
0
2
=
-
-
-
ab
x
b
a
x
{
}
a
b
S
,
-
=
*
R
1
12
=
-
x
x
{
}
4
,
3
{
}
4
,
3
-
{
}
4
,
3
-
{
}
4
,
3
-
-
3
1
2
3
-
=
+
-
x
x
2
x
0
4
4
1
2
=
+
-
x
x
x
2
2
1
4
1
6
2
5
2
1
2
3
2
+
=
-
+
-
x
x
x
x
{
}
3
,1
-
{
}
4
,
1
-
{
}
4
,
1
-