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?? A A naturezanatureza da da luz:luz:
? Aproximação corpuscular
? Aproximação ondulatória
? Natureza quântica da luz: conceito de dualidade partícula - onda
O conceito de dualidade partícula-onda foi introduzido pela mecânica quântica. Nesta teoria tornou-se 
evidente que os conceitos de partícula e onda, os quais a nível macroscópico parecia óbvio serem 
mutuamente exclusivos, deveriam ser “fundidos” ao nível submicroscópico. A imagem de uma partícula 
atómica (como electrões, neutrões,etc) como uma concentração localizada de matéria não era suficiente: na 
verdade, estas “partículas” originavam fenómenos de interferência e difracção idênticos aos observados em 
ondas luminosas. Assim, introduziu-se o conceito de dualidade partícula-onda, consubstanciado na famosa 
relação entre massa e energia E=mc2 da teoria da relatividade.
A mecânica quântica associa a uma partícula (fotão, electrão, protão, etc) uma equação de ondas. No caso de 
partículas materiais, os aspectos ondulatórios são introduzidos através de uma equação de campo, a famosa 
equação de Schrödinger. Para os fotões, a sua natureza ondulatória é descrita pelas equações clássicas do 
electromagnetismo, as conhecidas equações de Maxwell.
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? Aproximação corpuscular
? Newton, Descartes
? A luz é um feixe de partículas: fotões
? A luz consiste de raios luminosos
? Em um meio homogéneo, a luz propaga-se 
em linha recta
? A intensidade luminosa (ou potência) é 
inversamente proporcional ao quadrado da 
distância da fonte óptica
Na aproximação corpuscular, a radiação luminosa consiste de ínfimas partículas, invisíveis ao olho humano, 
viajando em linha recta. Esta teoria descreve adequadamente certos efeitos ópticos macroscópicos tais como 
a reflexão e refracção da luz, falhando todavia em fenómenos de menor escala como a interferência e 
difracção da luz.
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? Aproximação ondulatória
? Huygens, Maxwell
? A luz é representada por um campo 
electromagnético
? Velocidade de propagação é uma 
característica do meio:
? No vazio: c ≈ 300 000 km/s
1ν εµ=
Na aproximação ondulatória, a radiação luminosa é interpretada como uma onda electromagnética, e 
representada como um trem de frentes de onda esféricas; define-se frente de onda esférica como a união de 
todos os pontos do trem de ondas que estão em fase.
A propagação de uma onda primária pode ser descrita como uma sucessão de ondas esféricas secundárias, 
que se sobrepõem e interferem, reconstituindo assim, em instante posterior, uma onda idêntica à primária.
Maxwell prdouziu um conjunto único de equações matemáticas, as quais são uma síntese brilhante sobre os 
fenómenos eléctricos e magnéticos. Com base nestas equações, ele foi capaz de mostrar que a luz é uma 
perturbação electromagnética, que sob a forma de ondas, se propaga no vazio.
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?? Corpuscular vs. OndulatórioCorpuscular vs. Ondulatório
? Consequências do carácter corpuscular:
? Emissão da luz
? Absorção da luz
? Efeito fotoeléctrico
? Trocas de energia
? Consequências do carácter ondulatório:
? Interferência
? Difracção
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?? Natureza quântica da luz Natureza quântica da luz →→ fotões (ou fotões (ou quantaquanta de energia)de energia)
? Planck: Emissão de luz de modo descontínuo
? Fotões
? Energia de um fotão: E = hν (com h = 6,626 x 10-34 J.s)
? Einstein: energia de um fotão: E = mc2
? Comprimento de onda de De Broglie:
? Os fotões podem sobrepor-se: não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli
? Em consequência:
? dois feixes luminosos cruzam-se sem interagir → ao contrário, dois feixes de electrões ao 
cruzarem-se interactuam entre si!!!
0
c h
mc
λ ν= =
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?? Aproximação da óptica geométricaAproximação da óptica geométrica
? A luz é representada por raios luminosos
? Válida quando o comprimento de onda da luz é muito inferior aos valores 
geométricos associados ao fenómeno óptico em estudo (e.g., reflexão, lentes)
? Frequentemente usada para o tratamento de problemas de óptica
Quando o comprimento de onda da luz é muito inferior às dimensões dos objectos ou obstáculos sobre que 
incide, a frente de onda aparece como linhas rectas (ondas planas); nestas condições, a luz pode-se 
representar por raios luminosos, os quais indicam a sua direcção de propagação e são perpendiculares à 
frente de onda. De notar que, apesar de um conceito útil, o raio luminoso representa uma abstracção sem 
realidade física. Com base neste conceito, fenómenos ópticos à escala macroscópica podem ser analisados 
apenas por processos geométricos de traçado de raios. Tal constitui a chamada aproximação da óptica 
geométrica.
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?? Leis básicas da ópticaLeis básicas da óptica
? Reflexão: θi = θr = θ1
? Refracção: n1 senϕ1 = n2 senϕ2 (lei de Snell-Descartes) 
Os conceitos de reflexão e refracção podem ser interpretados considerando raios luminosos associados a 
ondas planas viajando em meios dieléctricos.
A figura mostra o que acontece quando um raio luminoso incide na interface de separação de dois meios 
diferentes: parte é reflectido para o meio inicial, enquanto o restante sofre uma curvatura (ou refracção) ao 
entrar no segundo meio. Esta curvatura resulta da diferença da velocidade da luz nos dois meios, os quais 
apresentam índices de refracção diferentes. A lei de Snell-Descartes traduz matematicamente o fenómeno da 
refracção, relacionando os índices de refracção dos meios com os ângulos dos raios relativamente à normal.
Define-se índice de refracção de um meio como a razão da velocidade da luz no vazio c ( c ≈ 3.108 m/s) em 
relação à velocidade da luz nesse meio vi
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?? Leis básicas da óptica (cont.):Leis básicas da óptica (cont.):
? a) Reflexão para um interface ar – vidro
? b) Reflexão e refracção de um feixe de luz incidente numa lâmina de vidro 
(a) (b)
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?? Índice de refracção de um meio:Índice de refracção de um meio:
? É a razão da velocidade da luz no vazio c ( c ≈ 2,9979 x 108 m/s) em relação à velocidade da 
luz nessemeio vi
? Índices de refracção para vários meios:
1≥=
i
i
v
cn
1i
i
cn
v
= ≥
201 607201 6071,4871,487Núcleo típico da fibra (MM)Núcleo típico da fibra (MM)
123 880123 8802,422,42DiamanteDiamante
126 494126 4942,372,37Cloreto de sódio (sal)Cloreto de sódio (sal)
185 055185 0551,621,62CristalCristal
200 528200 5281,4951,495Acrílico (Perspex)Acrílico (Perspex)
224 900224 9001,3331,333ÁguaÁgua
228 847228 8471,3101,310GeloGelo
299 706 299 706 1,000281,00028ArAr
Velocidade da luz (km/s)Velocidade da luz (km/s)Índice de refracçãoÍndice de refracçãoMaterialMaterial
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?? Reflexão interna totalReflexão interna total
Quando n1 ≥ n2, à medida que o ângulo de incidência aumenta também aumenta o ângulo de refracção. 
Verifica-se que para um determinado ângulo de incidência ϕc,, designado por ângulo crítico, o raio emerge 
paralelo à interface, isto é, ϕ2 = 90o. Nesta condição
(1)
Para raios incidentes segundo ângulos maiores que ϕc verifica-se que o raio é praticamente todo reflectido 
para o meio original (eficiência de ~ 99,1%). A este fenómeno dá-se a designação de reflexão interna total.
A figura acima ilustra este fenómeno de reflexão interna total: à medida que o ângulo de incidênica é 
aumentado, o ângulo de refracção também vai aumentando, até que para o ângulo crítico de incidência o 
ângulo de refracção apresenta o valor de 90º. Acima deste limite, não existe raio refractado.
2
1
c
nsen
n
ϕ =
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?? Variações de fase na reflexãoVariações de fase na reflexão
componente normal (2)
componente paralela (3)
1
1
22
1
1
22
1.cos.
2
.
1.cos.
2
θ
θδ
θ
θδ
sen
nn
tg
senn
n
tg
P
N
−=
−=
δN e δP são as variações de fase das componentes normal e paralela, respectivamente, ao plano de incidência 
na fronteira entre dois meios.
A figura mostra as variações de fase para uma interface vidro-ar: n = 1,5 e θc = 48o (onde n = n1 / n2).
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?? Estrutura da fibra Estrutura da fibra ópticaóptica
? A fibra consiste de um núcleo rodeado por uma baínha
? O material mais comum é o vidro (silica)
? Diâmetros do núcleo variam desde 7 µm até 1 mm
Baínha
Núcleo
A Fibra Óptica básica
A estrutura do guia de onda , designado por fibra óptica, é a de um cilindro sólido. É constituída pelo núcleo, 
de índice de refracção n1 , o qual é rodeado pela bainha, de índice de refracção n2 ( n1 > n2 ). Apesar de não 
ser necessário, em princípio, uma camada adicional de protecção encapsula a fibra óptica, sendo em geral de 
material plástico com alguma elasticidade e resistente à abrasão.
A figura acima mostra a fibra óptica em perspectiva.
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?? Raios e modos de propagaçãoRaios e modos de propagação
? A aproximação do traçado de raios no interior da fibra é válida apenas no limite 
de pequeno comprimento de onda.
? Na aproximação modal (ou electromagnética), a radiação electromagnética que 
viaja ao longo da fibra é representada pela sobreposição de modos guiados.
? Para luz monocromática, viajando ao longo do eixo da fibra (direcção positiva do 
eixo dos zz), a sua dependência temporal e espacial pode ser representada por
(4)
β - componente segundo z da constante de propagação k, ¦ k ¦ = 2 π / λ
ω - frequência angular
)zt(je βω −
Para modos guiados, β assume certos valores discretos, os quais são determinados a partir das equações de 
Maxwell e das condições fronteira dos campos eléctrico e magnético na interface núcleo-bainha.
O traçado de raios (ou aproximação da óptica geométrica) para descrever a propagação de luz nas fibras 
apenas é válido no limite de pequeno comprimento de onda, isto é, quando a razão do raio em relação ao 
comprimento de onda da radiação é grande. Do ponto de vista formal, a aproximação do traçado de raios só é 
válida no limite de comprimento de onda nulo (λ=0); todavia, para λs pequenos relativamente às dimensões 
do núcleo da fibra e quando o número de modos guiados é elevado (fibras multimodo), os resultados obtidos 
são relativamente precisos. A vantagem desta aproximação reside na sua simplicidade e na interpretação 
física das características de propagação numa fibra óptica.
Apesar da sua utilidade, a aproximação da óptica geométrica exibe um certo número de limitações e 
discrepâncias quando comparada com a análise modal ou electromagnética, baseada na propagação de 
radiação electromagnética no interior da fibra. Um caso importante é a análise de fibras monomodo, 
correctamente explicada apenas pela teoria electromagnética. Problemas envolvendo fenómenos de coerência 
ou interferência são outros fenómenos apenas descritos correctamente pela análise modal. Outra discrepância 
ocorre quando a fibra óptica é uniformemente dobrada com um raio de curvatura constante: a análise modal 
prevê, acertadamente, que cada modo guiado sofre alguma perda por radiação; ao invés, a análise geométrica 
prevê que alguns raios continuam a propagar-se sem sofrerem perdas.
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?? Aproximação da óptica geométrica em fibras “Aproximação da óptica geométrica em fibras “stepstep--index”index”
? O raio de luz a cheio propaga-se no 
interior da fibra porque na fronteira 
núcleo-baínha sofre reflexão interna 
total (RIT), sendo reenviado novamente 
para o núcleo
? O raio de luz a tracejado não sofre RIT 
pelo que se perde na baínha
? O ângulo φ deve ser maior que o ângulo 
crítico da fibra para haver RIT
? Através da trigonometria é possível 
definir um valor máximo para θ0 , 
chamado de ângulo de aceitação 
máximo (θ0,max)
? Somente os raios que entram no núcleo 
com um ângulo inferior a θ0,max se 
propagarão na fibra
A figura representa a propagação de um raio meridional numa fibra “step-index” ideal: perfeitamente 
homogénea e cilíndrica, sem descontinuidades ou imperfeições na fronteira núcleo-bainha.
Raios meridionais são aqueles confinados aos meridianos da fibra, que são os planos que contêm o eixo de 
simetria da fibra (o eixo do núcleo). Podem ser guiados (que são confinados ao núcleo e se propagam ao 
longo da fibra) e não-guiados, que são refractados para fora do núcleo.
Da análise da figura e da lei de Snell-Descartes, o ângulo mínimo ϕmin que permite reflexão interna total para 
o raio meridional é
(5)
É possível escrever esta relação em função do ângulo de aceitação máximo θo,max como
(6)
Tal obtém-se sabendo que ϕ = π / 2 e usando a relação fundamental da trigonometria.
1
2min
n
nsen =ϕ
( )2122211max,. nnsennsenn co −== θθ
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?? Ângulo de aceitação máximoÂngulo de aceitação máximo
O ângulo de aceitação máximo θ0,max é metade do ângulo do cone visualizado na entrada da fibra óptica (a 
amarelo).
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?? Abertura numérica NAAbertura numérica NA
? Para fibras “step-index” e raios meridionais define-se como
(7)
Definindo-se a diferença relativa do índice de refracção núcleo-baínha ∆
(8)
para ∆ << 1
a expressão da abertura numérica NA escreve-se como
(9)
,max
2 2
1 2.= = −oNA n sen n nθ
2
1
2
2
2
1
2n
nn −=∆
1
21
n
nn −≈
∆≅ 21nNA
Dado que a abertura numérica está relacionada com o ângulo de aceitação máximo, é um parâmetro útil para 
descrever a capacidade de colectar luz de uma fibra óptica e para calcular eficiências no acoplamento de 
potência óptica fonte de luz → fibra óptica.
É um parâmetro adimensional, inferior à unidade, com valores variando entre 0,14 e 0,50, dependendo das 
dimensões e características das fibras.
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?? Propagação de luz numa fibra ópticaPropagação de luz numa fibra óptica
Os dois parâmetros fundamentais de uma fibra óptica “step-index”, de um ponto de vista óptico, são o seu 
núcleo e a sua baínha. A luz é guiada no interior do núcleo através do fenómeno de reflexão interna total na 
fronteira núcleo-baínha. Para tal se verificar, é necessário que o índice de refracção do núcleo seja superior 
àquele da baínha. Os raios luminosos, no interior do núcleo, têm uma propagação em “zigue-zag” ao longo da 
fibra, desde que as condições para reflexão interna total se verifiquem; caso contrário, são refractados para a 
baínha – ver figura acima. 
Na prática, o índice de refracção do núcleo é cerca de 1% superior ao da baínha. Para esta pequena diferença, 
mostra-se que o ângulo crítico é de cerca de 82º. Assim, apenas os raios luminosos que incidem na interface 
núcleo-baínha com um ângulo de 8º ou inferior a essa mesma superfície fronteira são confinados e 
propagados no interior do núcleo.
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?? ExemploExemplo
? i) Mostre que o ângulo sólido de aceitação no ar é dado por
? ii) Mostre que o ângulo sólido (no ar) para um único modo de radiação electromagnético 
entrando ou saindo do núcleo é
? iii) Um valor típico para a diferença do índice de refracção relativo é de 1 % para fibras 
projectadas para uso em sistemas de longa distância. Assumindo que a aproximação da 
óptica geométrica é válida, estime:
a) a abertura numérica da fibra;
b) o ângulo sólido de aceitação no ar quando o índice de refracção do núcleo é 1,46;
c) o ângulo crítico na interface núcleo-baínha da fibra.
( ) ( )22 21 2n n NAπ πΩ = − =
2
2modo a
λ
πΩ =
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?? Solução:Solução:
? i) O ângulo sólido de aceitação é:
Mas,
dS=r2.senθ.dθ.dφ
Donde,
Para θ0 pequenos, tem-se
Mas como NA=senθ0 vem que
( )
3
2
1
S
S
r d S
r
dS r d S
r
Ω =
=
∫∫
∫∫
G JGi
G JG∵ &
( )
02
0 0
02 1 cos
sen d d
π θ
φ θ θ θ φ
π θ
= =Ω =
= −
∫ ∫
( )1 22 20 0 01cos 1 1 2sen senθ θ θ= − −�
2 2
0 0
12 1 1
2
sen senπ θ π θ  Ω − − =    �
( ) ( )22 2 20 1 2sen NA n nπ θ π πΩ = = −�
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? ii) Para um modo de radiação 
electromagnética entrando ou saindo da 
abertura do núcleo, o ângulo externo é 
dado pelo ângulo de difracção do 
campo distante (“far-field”) de um feixe 
gaussiano.
Ângulo de campo distante:
De acordo com a alínea anterior,
? iii) Usando a eq. (9) com ∆=0,01 tem-se para a abertura numérica:
NA=n1(2∆)1/2=1,46.(2.0,01)=0,21
Para ângulos pequenos, o ângulo de aceitação no ar é dado por:
Ω=πsen2θa=π(NA)2=π.0,04=0,13 rad
Usando a eq. (8) para a diferença do índice de refracção relativo
1
0 tg a a
λ λθ π π
−  =    �
2 2
2 2
0 0 2modo sen a a
λ λπ θ πθ π π π
 Ω = =  � �
1 2 2 2
1 1 1
1 1 1 0,01 0,99n n n n
n n n
−∆ = − ⇒ = − ∆ = − =�
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Da eq. (5) vem que o ângulo crítico na interface núcleo-baínha é
Φχ=sen-1(n2 / n1)=sen-10,99=81,9º
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?? ““SkewSkew--raysrays””
São raios que não são confinados a um único plano, mas seguem um percurso helicoidal na sua propagação 
no interior da fibra, atravessando assim diferentes planos. São, por isso, mais difíceis de traçar.
Apesar dos “skew rays” constituírem uma parcela significativa do número total de raios guiados, a sua 
análise, bastante complexa, não é necessária para se obter uma ideia geral da propagação de raios no interior 
de uma fibra óptica. Assim, para a maior parte dos casos, a análise de raios meridionais é considerada 
adequada.
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?? Modos electromagnéticos numa fibra ópticaModos electromagnéticos numa fibra óptica
? A aproximação geométrica é útil para visualizar a propagação da luz na fibra
? Para se obter um modelo preciso para a propagação da luz na fibra, a teoria 
electromagnética deve ser usada
? A base da análise electromagnética são as equações de Maxwell e condições 
fronteira adequadas ao caso da fibra óptica
? Para simplificar a análise inicial, é frequente usar-se uma guia de onda plana 
dieléctrica, designada por “symmetrical-slab waveguide”
n2
n2
n1
Guia de onda dieléctrica planar
Um “symmetrical-slab waveguide” é composto de material dieléctrico com índice de refracção n1
ensanduichado por material dieléctrico com índice de refracção n2 < n1 . Tal estrutura representa a forma 
mais simples de guia de onda óptico, servindo de modelo para a compreensão da propagação das ondas 
electromagnéticas no interior da fibra óptica – ver figura acima.
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?? Representação de onda associada a raios de luzRepresentação de onda associada a raios de luz
? Cada raio indica a direcção de propagação da luz, sendo perpendicular à frente de onda 
(linha a tracejado)
? Para ondas planas todos os pontos ao longo da mesma frente de onda estão em fase
? Interferência destructiva ocorre quando a diferença de fase entre dois pontos não é um 
múltiplo inteiro de 2π ; quando tal se verifica, o raio luminoso não se propaga
? O percurso do raio entre A e C envolve uma variação de fase devida à distância entre AB 
e BC bem como uma outra variação de fase devida às reflexões em A e B
? Combinando estas variações de fase e igualando o resultado a um múltiplo de 2π
(interferência construtiva), obtém-se uma condição para a propagação dos “raios” 
luminosos, cuja designação mais adequada agora é de “ modos de propagação”
A
B
C
n1
n2 < n1
n2 < n1
d
θ1 θ1
A teoria da óptica geométrica parece permitir que qualquer raio de luz incidente segundo um ângulo θ1
inferior ao ângulo crítico θc possa propagar-se ao longo da fibra. Todavia, quandoo efeito de interferência 
devido à fase da onda plana associada ao raio é considerado, apenas raios incidentes segundo certos ângulos 
iguais ou inferiores a θc, isto é, para valores discretos de θ1 , são permitidos propagarem-se na fibra. 
Consideremos a figura acima esquematizada. À medida que o raio se propaga sofre uma variação de fase 
dada por
(10)
k1 é a constante de propagação no meio n1; k=k1/n1 é a constante de propagação no vácuo; s é a distância 
percorrida pelo raio.
Ora, a fase da onda plana, associada ao raio, que é duplamente reflectida na interface núcleo-bainha, deve ser 
a mesma da onda incidente, ou seja, a onda deve interferir construtivamente consigo própria. Da figura, a 
variação total de fase de A → B → C, com duas reflexões em A e B, deve ser um múltiplo inteiro de 2π. Da 
eq. (10) tem-se que 
(11)
e da eq. (2) - assumindo por simplicidade que a onda é polarizada normal ao plano de incidência
(12)
com n = n1/n2. Então, a seguinte condição deve ser satisfeita
(13)
onde M é um inteiro que determina quais os ângulos de incidência permitidos aos raios que se propagam nas 
fibras.
λ
πδ snsknsk .2.... 111 ===



=
1sen
2d..1 θδ knAC



 −=
1
1
22
1 .
1cos
2 θ
θδ
senn
n
arctg
M
sen
dkn .22..2 1
1
1 πδθ =+
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Fibras Ópticas: Estruturas e Teoria de PropagaçãoFibras Ópticas: Estruturas e Teoria de PropagaçãoFibras Ópticas: Estruturas e Teoria de Propagação
?? Distribuições de Distribuições de EE para vários modos guiados num “para vários modos guiados num “symmetricalsymmetrical--slabslab””
Como outras guias de onda, a fibra óptica guia ondas luminosas de padrões distintos chamadas de modos, os 
quais descrevem a distribuição da energia óptica através da guia de onda. O comprimento de onda da 
radiação e as dimensões, forma e natureza do guia de onda determinam que modos se propagam. 
Para a fibra, e numa análise simplificada, o diâmetro do núcleo e o comprimento de onda da luz especificam 
o número de modos possíveis: em termos simples, quanto maior a guia de onda, medida em termos de 
comprimentos de onda, mais modos pode esta suportar.
Em essência, as dimensões da guia estabelecem as condições fronteira para os campos eléctrico e magnético 
que constituem o campo electromagnético. Tendo em conta estas condições fronteira nas equações de onda, 
pode-se então calcular as propriedades teóricas da guia de onda em questão. As soluções destas equações 
diferenciais representam os modos de propagação.
A figura acima ilustra os padrões de campo de vários modos de ordem inferior, os quais representam soluções 
das equações de Maxwell para o “slab-waveguide”. A ordem de um modo é igual ao número de zeros 
através do guia de onda (a intensidade nula é representada pela linha tracejada).
Da figura pode-se observar que o campo eléctrico dos modos guiados não está completamente confinado à 
parte central do “slab”, ou seja, não se anulam na fronteira entre os dois meios; ao invés, estendem-se 
parcialmente na região correspondente ao segundo meio. Conclui-se também que o campo varia 
harmonicamente na parte central do guia de onda, enquanto fora desta região apresenta um decaimento 
exponencial. Para modos de ordem inferior, a maioria da energia está concentrada na zona central da “slab”, 
ao contrário do que acontece para modos elevados, em que a distribuição do campo penetra mais 
profundamente no segundo meio. 
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?? Tipos de fibra ópticaTipos de fibra óptica
Variações na composição material do núcleo originam os dois tipos de fibra mais vulgares esquematizados na 
figura. 
No primeiro caso, o índice de refracção do núcleo é uniforme em toda a sua extensão, sofrendo uma variação 
abrupta (“degrau”, ou em inglês “step”); esta fibra designa-se por fibra de índice em degrau (ou fibra 
“step-index” ).
No segundo caso, o índice de refracção do núcleo não é homogéneo mas varia com a distância radial ao 
centro da fibra; esta é a fibra de índice gradual ( ou fibra “graded-index” ).
Quer as fibras tipo “step-index” ou “graded-index” podem ainda ser subdivididas em monomodo
(“singlemode”) ou multimodo (“multimode”).
Como o nome indica, fibras monomodo suportam apenas um único modo de propagação. Ao invés, as fibras 
multimodo suportam a propagação de centenas de modos.
De reparar que na figura estão indicadas as dimensões típicas das diferentes fibras, o que dá uma ideia da sua 
escala dimensional.
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?? Fibras multimodo de índice em degrau (“stepFibras multimodo de índice em degrau (“step--index”)index”)
? Tipo de fibra mais simples e antiga
? N1 é o índice de refracção do núcleo; N2 é o índice de refracção da baínha
? A designação “índice em degrau” resulta da variação abrupta do índice de refracção ao 
passar da baínha para o núcleo 
0 N2 N1
Perfil do índice de refracção
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?? Teoria electromagnética de propagação de modos em fibras ópticasTeoria electromagnética de propagação de modos em fibras ópticas
? Equações de Maxwell
(14a)
(14b)
(14c)
(14d)
E - campo eléctrico
H - campo magnético
D - densidade de fluxo eléctrico
B - densidade de fluxo magnético
0B.
0D.
DH
BE
=∇
=∇
∂
∂=×∇
∂
∂−=×∇
→
→
→→
→→
t
t
Nas equações de Maxwell, acima escritas, supõe-se que o meio é dieléctrico , isotrópico e linear, sem 
correntes nem cargas livres. Os quatro vectores de campo estão relacionados por
(15)
onde ε é a permitividade dieléctrica e µ é a permeabilidade magnética. De relembrar que no vazio
Nota: Um meio diz-se dieléctrico quando a sua condutividade σ é desprezável, ou seja, as suas propriedades 
eléctricas e magnéticas são completamente determinadas por ε e µ.; por outro lado, dado a fibra ser um 
meio não-magnético µ é aproximado por µ0.
→→
→→
=
=
HB
ED
µ
ε
1-1-7
0
2-1-29
0
88
0
.mWb.A104
.m.NC10
36
1
m/s1031099792458,21
0
−
−
×=
⋅=
×≈×==
πµ
πε
εµc
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? Equações de onda
(16)
(17)2
2
2
2
2
2
HH
EE
t
t
∂
∂=∇
∂
∂=∇
→→
→→
εµ
εµ
A partir das equações de Maxwell pode-se derivar uma relação definindo a propagação das ondas do campo
electromagnético, que se designam por equações de onda.
Método:
Aplicando o rotacional à eq. (14a), usando a identidade vectorial ∇x(∇xE) = ∇(∇. E) - ∇2E e recorrendo à 
eq. (14c) obtém-se a equação de onda para o campo eléctrico E.
Por um raciocínio análogo, obtém-se a segunda equação de onda para o campo magnético.
Para coordenadas rectangulares cartesianas e cilíndricas polares, as equações de onda acima escritas são 
válidas para uma das três componentes de cada campo vectorial, isto é, satisfazem a equação de onda escalar
(18)
onde ψ representa qualquer uma das componentes de E ou H, e vP é a velocidade de fase no meio dieléctrico:
(19)
De notar que a velocidade de fase é a velocidade de propagação de um ponto de fase constante na onda 
electromagnética.
2
2
2
P
2
v
1
t∂
∂=∇ ψψ
µε
1vP =
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? Soluções das equações de onda
(20)
(21))(0
)(
0
).,(HH
).,(EE
ztj
ztj
er
er
βω
βω
φ
φ
−→→
−→→
=
=
Considerando a fibra óptica cilíndrica e o sistema de coordenadas polares da figura (onde se assume que a 
propagação dos modos é ao longo do eixo dos zz), verifica-se que a solução básica da equação de onda é uma 
sinusóide, sendo a mais importante a onda plana uniforme que apresenta uma dependência funcional dada 
pelas expressões das eqs. (20) e (21).
Substituindo as eqs. (20) e (21) em (14a) e (14b), respectivamente, e por manipulação adicional obtém-se
(22a)
(22b)
(22c)
(22d)
onde q2 = εµ ω2 - β2. De notar que uma vez conhecidas as componentes Ez e Hz todas as outras componentes 
podem ser determinadas.




∂
∂+∂
∂−=




∂
∂−∂
∂−=




∂
∂−∂
∂−=




∂
∂+∂
∂−=
rrq
j
rrq
j
rrq
j
rrq
j
zz
zz
r
zz
zz
r
EHH
EHH
HEE
HEE
2
2
2
2
εωφ
β
φ
εωβ
µωφ
β
φ
µωβ
φ
φ
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? Equações de onda em coordenadas cilíndricas
(23)
(24)0HH1H1H
0EE1E1E
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
=+∂
∂+∂
∂+∂
∂
=+∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
zzz
z
zzz
q
rrrr
q
rrrr
φ
φ
Se as condições fronteira não conduzirem ao acoplamento entre as componentes do campo electromagnético, 
soluções de modos podem ser obtidas para as quais Ez = 0 ou Hz = 0.
Quando Ez = 0 os modos são designados por transversos eléctricos, abreviando-se para modos TE. Quando 
Hz = 0 os modos designam-se por transversos magnéticos, ou recorrendo a siglas, modos TM. 
Modos híbridos existem se Ez ou Hz são não-nulos. Designam-se neste caso por modos HE ou EH, 
dependendo de Hz ou Ez , respectivamente, terem a maior contribuição para o campo transverso.
No caso de fibras ópticas, estão presentes modos híbridos, o que torna a sua análise bastante mais complexa 
do que no caso em que apenas existam modos TE ou TM (caso, por exemplo, de guias de onda metálicas 
ocas).
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?? Fibras de índice em degrau (“Fibras de índice em degrau (“stepstep--indexindex”)”)
? Usando o método de separação de variáveis, a solução da eq. (23) é da forma
(25)
Como já pressuposto (ver eq. 4):
(26)
e supondo F2 periódica em φ
(27)
Substituindo na eq.(25) e usando a eq. (23) obtém-se
(28)
( ) ( ) ( ) ( )tFzFFrFAz 4321 ....E φ=
( ) ( ) )(43 . ztjetFzF βω −=
( ) νφφ jeF =2
01 12
2
21
2
1
2
=


 −+∂
∂+∂
∂ F
r
q
r
F
rr
F ν
De notar que a dependência em φ é periódica devido à simetria cilíndrica da fibra, o que se traduz no facto de 
a componente F2 dever ser a mesma quando φ varia de 2π.
De referir que uma equação idêntica a (28) pode ser obtida para Hz.
A eq. (28) é uma equação diferencial conhecida, tendo como solução a função de Bessel.
Na derivação, assume-se uma fibra “step-index”, com núcleo homogéneo de índice de refracção n1 e raio a, o 
qual é rodeado por uma bainha de dimensão infinita e índice de refracção n2 . A razão de a bainha ser infinita 
resulta de os modos guiados no núcleo terem um decaimento exponencial fora do mesmo, devendo ser 
desprezáveis (i. e., nulos) na fronteira externa da bainha - na prática, a bainha tem uma espessura suficiente 
para o campo dos modos guiados ser desprezável na fronteira da mesma.
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As expressões para Ez e Hz no núcleo são
(29)
(30)
As expressões para Ez e Hz na baínha são
(31)
(32)
( ) ( )
( ) ( ) )(
)(
...H
...E
ztjj
z
ztjj
z
eeurJBar
eeurJAar
βωνφν
βωνφν
−
−
=<
=<
( ) ( )
( ) ( ) )(
)(
...H
...E
ztjj
z
ztjj
z
eerKDar
eerKCar
βωνφν
βωνφν
ϖ
ϖ
−
−
=>
=>
A, B, C e D são constantes arbitrárias.
Jν (ur) representam as funções de Bessel do 10 género de ordem ν , com
u2 = k12 - β2 e k1 = 2π n1 / λ (33)
Kν (ϖr) representam as funções de Bessel modificadas do 20 género de ordem ν , com
ϖ2 = β2 - k22 e k2 = 2π n2 / λ (34)
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De reparar que, do gráfico, as funções de Bessel Jν (r) são funções oscilatórias gradualmente amortecidas 
com respeito a r. Pode-se também notar que o campo é finito para r =0, sendo representado pela função de 
Bessel J0 de ordem zero. Todavia, o campo anula-se quando r → ∞ . Assim, as soluções na bainha são 
funções de Bessel modificadas Kν .Estas funções decaem exponencialmente com r, como pode ser observado 
na parte inferior (b) da figura.
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Valores de β possíveis que representam soluções de modos guiados
n2 k = k2 ≤ β ≤ k1 = n1 k (35)
com k = 2π /λ constante de propagação do vazio.
A condição acima para os valores de β resulta de duas condições de corte (“cutoff conditions”):
i) da definição da função de Bessel modificada: Kν (ϖr) → e-ϖr se ϖr → ∞ ; mas como Kν (ϖr) → 0 se r → ∞ , então ϖ > 0 ⇒ β ≥ k2 ;
ii) deriva da função Jν (ur): dentro do núcleo o parâmetro u deve ser real para que F1 seja real, o que implica 
que k1 ≥ β .
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Para um guia de onda cilíndrico (a fibra) todos os modos de propagação são híbridos, excepto aqueles para os 
quais ν =0 (não existe dependência angular): neste caso, duas equações de valores próprios resultam, cujas 
soluções correspondem a modos TE0m (Ez = 0) e TM0m (Hz = 0).
Quando ν ≠ 0 a situação é bastante complexa, sendo necessário recorrer a métodos numéricos para se 
determinar os modos de propagação, que correspondem a soluções da equação transcendental
(36)
Nota: Para uma dedução exaustiva da eq.(36) ver “Optical Electronics in Modern Communications”, 
capítulo 3, 5ª edição, de Amnon Yariv, Oxford University Press (1997).
( )( )
)(
)(
11...
'
'
2
22
2
2
2
2
1
aK
K
uauJ
J
ua
kk
ν
ν
ν
ν
ν
ν
νννν
ϖϖ
ϖ
βν
=
=


 +

=++
K
J
KJKJ
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? Frequência normalizada V
(37)
? Constante de propagação normalizada b
(38)
( ) ( )222122222 .2. nnauaV −=+= λπϖ
2
2
2
1
2
2
2
2
22
nn
nk
V
ab −
−


==
βϖ
De notar que a frequência normalizada V , também designada por constante estrutural, é um parâmetro 
adimensional, donde algumas vezes se designar por número V ; com base nesta variável, pode-se determinar 
quantos modos uma fibra óptica pode suportar.
Relembrando as eqs. (7) e (8), pode-se rescrever eq. (37) como
V = 2π / λ . a . NA
= 2π / λ . a . n1 . √2∆ (39)
De notar que V combina informação sobre trêsparâmetros importantes no desenho de uma fibra óptica: a, 
raio do núcleo; ∆, diferença relativa do índice de refracção núcleo-bainha; λ, comprimento de onda da 
radiação luminosa.
Da expressão para os modos guiados dada pela eq. (35), que define os limites para β (n2k e n1k, 
respectivamente), tem-se que 0 ≤ b ≤ 1.
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Só existe um modo quando V<2,405!!
Da figura conclui-se que cada modo apenas pode existir para valores de V que excedam um certo valor limite. 
Os modos deixam de existir (“cutoff”) quando β / k = n2.
De notar que o modo HE11 não tem “cutoff” e só se anula quando o diâmetro do núcleo é zero. Este é o 
princípio no qual a fibra monomodo se baseia - um único modo de propagação. Por uma escolha apropriada 
do raio do núcleo a , n1 e n2 de maneira que
(40)
que representa o valor para o qual a função de Bessel J0 , de ordem inferior, é zero; quando a expressão (40) é 
válida, verifica-se que todos os modos excepto HE11 se anulam.
No caso de uma fibra multimodo, com um valor de M (número total de modos) elevado, uma relação 
aproximada entre o parâmetro V e M pode ser derivada para o caso de uma fibra “step-index”
(41)
( ) 405.22 212221 ≤−= nnaV λπ
( )
2
2 22
2
2
12
22 VnnaM =−≅ λ
π
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?? ““WeaklyWeakly guidingguiding fiber fiber approximationapproximation””
∆ << 1 (42)
donde a eq. (36) poder ser escrita como
(43)
com
1 para os modos TE e TM
j= ν + 1 para os modos EH
ν − 1 para os modos HE
( )
)(
)(
)(
11
aK
a
ua
uau
j
j
j
j K
J
J
ϖ
ϖϖ −− −=
As equações acima representadas indicam que, na aproximação ∆ << 1, todos os modos caracterizados por 
um conjunto comum de j e ν satisfazem a mesma equação característica. Tal significa que estes modos são 
degenerados, comportando-se como ondas TEM.
A resolução da eq. (43), tendo em contas as eqs.(33) e (34), permite calcular o valor próprio u, e portanto β, 
em função da frequência normalizada. Assim, as características de propagação dos vários modos, a sua 
dependência do comprimento de onda e parâmetros da fibra podem ser determinadas.
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Nota: Comparar a figura com a figura de dois quadros atrás. 
Qualquer combinação de um modo HEν+1,m com um modo EHν-1,m constituirá, igualmente, um modo guiado. 
Tais modos, obtidos da combinação de modos degenerados, designam-se por modos linearmente 
polarizados, representando-se pela notação LPjm ; de notar que só faz sentido falar de modos LP na “weakly
guiding fiber approximation”. Em geral, tem-se
1. Cada modo LP0m é derivado de um modo HE1m ;
2. Cada modo LP1m resulta dos modos TE0m , TM0m e HE2m ;
3. Cada modo LPνm (ν ≥ 2) deriva dos modos HEν+1 e EHν-1 .
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A figura ilustra as quatro possíveis direcções dos campos eléctrico e magnético e as correspondentes 
distribuições de intensidade para o modo LP11 .
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Na figura é esquematizada a composição dos dois modos LP11 a partir dos modos exactos e seus campos 
eléctricos e magnéticos transversos, e respectivas distribuições de intensidade.
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A figura mostra os perfis de intensidade do campo eléctrico para os 3 modos LP (a) de ordem mais baixa, em 
conjunto com a distribuição do campo eléctrico dos modos exactos (b e c), que são seus constituintes.
Observar, a partir das configurações dos modos exactos, que a intensidade do campo na direcção transversa 
(Ex ou Ey) (parte d para Ex) é idêntica para os modos exactos que pertencem ao mesmo modo LP - daqui 
resulta a designação linearmente polarizado.
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?? Fluxo de potência em fibras “Fluxo de potência em fibras “stepstep--indexindex””
? Fracção do fluxo de potência no núcleo para o modo ν
(44)
e na baínha
(45)



 −


 −=
−+ )().(
)(11
11
2
2
2
uaua
uaJ
V
u
P JJ
Pcore
νν
ν
PP
PP coreclad −=1
Como já anteriormente discutido (ver figura do quadro da página 23), o campo electromagnético para um 
dado modo não tende para zero na fronteira núcleo-bainha, mas varia de um comportamento oscilatório 
(núcleo) para um decaimento exponencial (bainha). Assim, a energia electromagnética de um modo guiado é 
transportada parte no núcleo e parte na bainha: tanto mais distante um modo está do seu “cutoff” mais 
concentrada a sua energia no núcleo; ao invés, à medida que o “cutoff” se aproxima, maior é a percentagem 
da energia que viaja na bainha; na zona de “cutoff”, o campo não mais decai fora do núcleo e o modo torna-
se um modo radiativo.
No caso de fibras ópticas que suportam a propagação de muitos modos, a fracção da potência total na bainha 
é aproximada por
(46) 12
4 4 2
3 3
clad
P V
P M −≅ =
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?? Fibras monomodo (“singleFibras monomodo (“single--mode fibers”)mode fibers”)
? Apresentam diâmetros do núcleo de alguns comprimentos de onda (tipicamente, 
entre 8-12 µm)
? Diferença relativa do índice de refracção núcleo baínha ∆ pequena (entre 0,2 e 1%)
? Apenas suportam um único modo de propagação, o modo fundamental LP01, o que 
para fibras “step-index” só é possível para a gama de valores
0 ≤ V ≤ 2,405 (47)
0 N2 N1
Perfil do índice de refracção
Dado que apenas o modo LP01 existe, verifica-se que o limite para operação de um único modo depende do 
“cutoff” do modo guiado LP11 : este ocorre à frequência normalizada de Vc = 2,405 (ver figura do quadro da 
página 36).
Na prática, e dado a diferença do índice de refracção núcleo-bainha variar entre 0,2 e 1%, o diâmetro do 
núcleo deve ser ajustado ligeiramente abaixo do valor de “cutoff” do modo LP11, ou seja, V um tudo nada 
inferior a 2,4. A título exemplificativo, valores típicos para fibra monomodo são: diâmetro do núcleo de 8,5 
µm, diferença relativa de índices de ∆ ≈ 0,3% a um comprimento de onda de 1,3 µm, donde resulta que V ≅
2,355.
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?? Fibras Fibras monomodo (cont.)monomodo (cont.)
É o tipo de fibras mais corrente em telecomunicações. Principais razões:
? Exibem as maiores larguras de banda de transmissão e as menores perdas
? Dispõem de uma qualidade de transmissão superior a qualquer outro tipo de fibra
? Oferecem uma capacidade de evolução substancial para suportar futuros serviços 
de banda larga
? Apresentam compatibilidade com a tecnologia de óptica integrada em 
desenvolvimento
? Asseguram, em elevado grau,que a sua instalação é “ à prova do futuro” pois 
exibem tempos de vida médios superiores a 25 anos
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?? Distribuição de energia numa fibra monomodo e multimodoDistribuição de energia numa fibra monomodo e multimodo
7-9 µm
Núcleo
Baínha
Distribuição de energia em fibras monomodo: 
máximo ocorre no centro do núcleo 
(sombreado mais escuro = maior energia)
Núcleo
> 50 µm
Baínha
Distribuição de energia em fibras 
multimodo está confinada ao núcleo
A distribuição da intensidade da energia óptica numa fibra monomodo não é uniforme, nem está confinada 
totalmente ao núcleo (cerca de 20% propaga-se na baínha).
Em fibras multimodo, assumindo-se a aproximação modal em vez da óptica geométrica (ou traçado de raios), 
verifica-se que uma pequeníssima percentagem da energia está confinada à baínha, na região imediatamente a 
seguir ao núcleo; tipicamente, tal energia representa < 1% da energia total. Assim, a aproximação da óptica 
geométrica mantém-se válida.
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? “Mode-field diameter (MFD)” e “spot size” (I)
Muitas propriedades do modo fundamental LP01 são caracterizadas pela extensão radial do seu campo 
electromagnético, donde a distribuição espacial da radiação é que importa conhecer e não o diâmetro do 
núcleo e a abertura numérica da fibra. Assim, o “mode-field diameter- MDF” é um parâmetro fundamental 
para a caracterização da fibra monomodo: inclui a dependência da penetração do campo em função do 
comprimento de onda (por outras palavras, nem toda a radiação luminosa é transportada no núcleo, conforme 
esquematizado na parte esquerda da figura).
Para fibras monomodo do tipo “step-index” ou “graded-index”, operando perto do comprimento de onda de 
“cutoff”, o campo é bem aproximado por uma distribuição gaussiana (parte direita da figura): neste caso, o 
MDF define-se como a distância entre os pontos para os quais a amplitude do campo decaiu de 1/e (0,37) do 
seu valor máximo.
Um outro parâmetro, directamente relacionado com o “mode-field diameter”, é o denominado “spot size” ou 
“mode-field radius” ω0 : MFD = 2 ω0.
Todavia, para fibras reais e com perfis de índice arbitrários, a distribuição do campo não é estritamente 
gaussiana. Vários modelos foram propostos para caracterizar e medir o MDF, sendo que o designado por 
“definição de Petermann II” é bastante aceite, sendo recomendado pelo ITU-T (ex-CCITT). 
Para os interessados em aprofundar este tópico, recomenda-se o artigo: K. Petermann, Electron. Lett., vol. 19, 
pp. 712-714, 1983.
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? “Mode-field diameter (MFD)” e “spot size”(II)
? Quando V → 2,4 então “spot size w” → raio do núcleo da fibra a
? Para V < 2, o “spot size” é bastante 
superior às dimensões do núcleo
? Para V < 2, o feixe de luz é 
parcialmente contido na baínha, 
aumentando assim as perdas
? Por este motivo, o valor da constante 
estrutural deve ser: 2 < V < 2,4
? MFD ou o “spot size” são parâmetros 
frequentemente especificados bem 
como o diâmetro ou o raio do núcleo 
da fibra
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? A aproximação gaussiana
A figura mostra o perfil do campo electromagnético do modo fundamental no interior de uma fibra 
monomodo “step-index” para dois valores da frequência normalizada. Dependendo do valor de V, uma 
porção significativa da energia do modo propaga-se na região da bainha; mesmo para o valor de “cutoff” Vc
somente 80% da energia viaja no interior do núcleo.
Pode-se observar da figura que a forma do modo fundamental LP01 é semelhante a uma curva gaussiana, o 
que permite aproximar a distribuição exacta do campo por uma distribuição gaussiana. A razão da 
aproximação gaussiana para a distribuição transversa do campo reside na sua simplicidade em relação à 
solução exacta, sendo muito útil nos cálculos envolvendo eficiências de acoplamento na entrada da fibra bem 
como perdas em juntas e conectores. Neste contexto, descreve com bastante precisão o campo no interior do 
núcleo, originando valores para a constante de propagação β do modo guiado bastante aproximados aos 
valores correctos.
Nesta aproximação apenas um parâmetro, o “mode-field raius” ω0 , é necessário para definir a distribuição 
radial da amplitude do campo. Este é aproximado pela seguinte fórmula empírica, com uma precisão melhor 
que 1%
(48)
r - raio do núcleo
λc - comprimento de onda de “cutoff”
λ - comprimento de onda da radiação luminosa
Nota: Para uma explicação mais detalhada ver Senior, págs. 67 - 73.








++= 







cc
r λ
λ
λ
λω
6
2
3
0 0149,0434,065,0
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? Propagação de modos em fibras “single-mode”
? Existem dois modos de propagação degenerados, que apesar de análogos são 
independentes;
? Apresentam planos de polarização ortogonais;
? Propagam-se com diferentes velocidades de fase;
? Têm índices de refracção efectivos distintos, sendo a sua diferença chamada de 
birefringência da fibra Bf : Bf = ¦ nx - ny ¦ = ¦ βx - βy ¦ .
O facto de termos dois modos de propagação degenerados resulta de o modo fundamental LP01 ser na 
realidade a combinação de dois modos HE11 (ver tabela do quadro da página 36). Apresentam planos de 
polarização ortogonais, os quais podem ser arbitrariamente escolhidos como polarizações horizontal (H) ou 
vertical (V), conforme ilustrado na figura. Em geral, o campo eléctrico da radiação é uma sobreposição linear 
destes dois modos de polarização, dependendo também da polarização da luz na entrada da fibra.
Em fibras ideais, perfeitamente cilíndricas, os dois modos são degenerados com constantes de propagação 
iguais (kx = ky) donde um modo excitado com o seu estado de polarização na direcção dos xx não interagirá 
com o modo com o estado ortogonal segundo yy, isto é, a luz injectada na fibra manterá o seu estado de 
polarização inicial ao longo da fibra. Todavia, as fibras reais apresentam imperfeições (núcleos não 
circulares, não-concentricidade núcleo-bainha, tensões laterais assimétricas, variações nos índices de 
refracção, etc) que quebram a simetria circular, levantando a degenerescência dos dois modos (kx ≠ ky). Daí 
propagarem-se com velocidades de fase ligeiramente diferentes, de que resulta a birefringência da fibra Bf , 
a qual também se pode definir pela seguinte expressão
β = k0 ¦nx - ny¦ (49)
Se ambos os modos são excitados, então verifica-se, devido à birefringência, um atraso de fase entre eles. 
Quando esta diferença de fase é um múltiplo inteiro de 2π, os dois modos estarão em fase donde o seu estado 
de polarização inicial à entrada da fibra será reproduzido. O comprimento da fibra sobre o qual ocorre este 
batimento designa-se por “fiber beat length - LP”
LP = 2π / β (50)
Em fibras monomodo convencionais Bf não é constante ao longo da fibra mas varia aleatoriamente devido a 
flutuações na secção do núcleo e não-homogeneidade do seu índice de refracção. Em consequência, luz 
injectada na fibra com polarização linear rapidamente alcança um estado de polarização arbitrário. 
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Fibras Ópticas: Estruturas e Teoria de PropagaçãoFibras Ópticas: Estruturas e Teoria de PropagaçãoFibras Ópticas: Estruturas e Teoria de Propagação?? Fibras multimodo de índice gradual (“gradedFibras multimodo de índice gradual (“graded--index”)index”)
? Diâmetros do núcleo típicos para esta fibra: 50 a 120 µm
? Diferentes perfis do índice de refracção foram desenvolvidos
? A designação “índice gradual” resulta da variação gradual do índice de refracção no 
núcleo, desde um máximo no eixo do núcleo até um mínimo na interface núcleo-baínha 
Perfil do índice de refracção
0 N2 N1
variação
parabólica
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?? Fibras de índice gradual (“Fibras de índice gradual (“gradedgraded--indexindex fibersfibers”)”)
Não têm um índice de refracção constante no núcleo, mas sim um decréscimo gradual desde um valor 
máximo n1 no eixo da fibra até ao valor n2 - constante - na bainha. Matematicamente,
(51)
A equação expressa de modo conveniente o perfil do índice de refracção do núcleo da fibra em função do 
parâmetro α : para α = ∞ representa um perfil “step-index”; para α = 2 um perfil parabólico; para α =1 um 
perfil triangular.
Hoje em dia, o perfil do índice de refracção que produz os melhores resultados em termos das características 
das fibras multimodo é o aproximadamente parabólico com α ≈ 2. É tal a difusão de tais fibras que o termo 
“índice gradual” usado sem mais especificação adicional refere-se a fibras com perfil aproximadamente 
parabólico. Daqui em diante, quando nada for dito em contrário, o termo “fibras multimodo de índice 
gradual” representa este tipo de perfil.
[ ]
( ) ( ) )(,121
)(0,)/(21)(
212
1
1
2
1
1
baínhaarnnn
núcleoararnrn
≥=∆−≅∆−=
≤≤∆−= α
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Usando a aproximação da óptica geométrica, o decréscimo gradual do índice de refracção do centro do 
núcleo origina uma multitude de refracções dos raios, uma vez que eles efectivamente incidem sobre um 
grande número de interfaces sucessivas, passando de regiões de índice de refracção elevado para outras de 
índice inferior.
Este mecanismo é ilustrado na figura, onde se pode observar a curvatura gradual do raio, com um ângulo de 
incidência cada vez maior, até que as condições de reflexão interna total se concretizam; nesse instante, o 
percurso do raio altera-se, propagando-se agora em direcção ao eixo do núcleo.
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A figura esquematiza uma fibra multimodo com perfil de índice de refracção parabólico. Como se pode ver, 
os raios meridionais parecem percorrer caminhos curvos na sua propagação ao longo da fibra
Apesar de muitos modos distintos serem excitados na fibra “graded-index”, as diferentes velocidades de 
grupo dos modos tendem a ser normalizadas pelo perfil do índice. Recorrendo novamente ao traçado de raios, 
verifica-se que os raios que viajam mais perto do eixo da fibra percorrem distâncias menores que aqueles que 
se propagam na zona mais externa do núcleo. Todavia, a zona central da fibra corresponde a uma região de 
índice de refracção elevado donde os raios que viajam nesta zona fazem-no a uma velocidade inferior à dos
raios externos. Existe, assim, uma compensação dos percursos mais longos, que se traduz numa redução da 
dispersão da fibra - os diferentes raios, apesar de se propagarem ao longo de percursos distintos, demoram 
aproximadamente o mesmo tempo a efectuar a sua propagação no interior da fibra.
Uma situação análoga existe para os “skew rays”.
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? Abertura numérica NA de fibras multimodo “graded-index”
A determinação da abertura numérica para este tipo de fibras é bem mais complexa que no caso de fibras 
“step-index”.
Considerações de óptica geométrica mostram que a luz incidente no núcleo da fibra na posição r propagar-se-
á como modo guiado somente se estivar dentro da abertura numérica local NA(r) nesse ponto, definindo-se 
como
(52)
onde NA(0) representa a abertura numérica no eixo da fibra
(53)
A figura mostra as aberturas numéricas para fibras multimodo com diferentes perfis do índice de refracção α
.
( )[ ] ( ) ( )
ar
ara
rNAnrnrNA
<=
≤−≅−=
0
,10)( 2
1
2
2
2 α
( ) ( )[ ] ( ) ∆≅−=−= 200 121222121222 nnnnnNA
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? Modos em fibras multimodo “graded-index”
? A análise de modos usa métodos aproximados; o mais usado é o método WKB, de 
Wenzel, Kramers e Brillouin
? De maneira idêntica à fibra “step-index”, a seguinte equação de onda escalar deve 
ser resolvida
(54)
Pelo método WKB, as soluções dos modos guiados são obtidas assumindo Ex a forma
(55) 
( )[ ] 011 22222222 =−+∂∂+∂∂+∂∂ ψβφψψψ krnrrrr
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ } ( )zj
senl
lrjSrGrjSrG βφ
φ exp.cos.expexp
2
1E 21x 

−+=
Nota: Para uma dedução da expressão do número total de modos guiados usando o método WKB ver 
Senior, págs. 50-55.
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O número de modos guiados suportados por uma fibra multimodo “graded-index” é
(56)
Usando a eq. (39) vem
(57)
( ) ∆


+= ..2
2
1 aknM α
α






+≅ 2.2
2VM α
α
No caso do núcleo da fibra ter um perfil de índice de refracção parabólico tem-se que
(58)
o que representa metade do número de modos guiados suportados por uma fibra multimodo “step-index” -
ver eq. (41).
4
2VM ≈
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