ESTI010_Comunicacoes_Opticas_Aula04

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ESTI010 - Comunicações Ópticas
Propagação de Ondas
Universidade Federal do ABC – UFABC
Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências Sociais Aplicadas – CECS
Prof. Dr. Anderson Leonardo Sanches
anderson.sanches@ufabc.edu.br
2020 Santo André - SP 1
Agenda
Propagação de Ondas
 Equação Básica de Propagação;
 Pulsos Gaussianos com Chirp;
 Limitações sobre a Taxa de Bits:
Fontes Ópticas com Grande Largura Espectral;
Fontes Ópticas com Pequena Largura Espectral;
 Efeitos do Chirp de Frequência.
2020 Santo André - SP 2
Agenda
Propagação de Ondas
 Equação Básica de Propagação;
 Pulsos Gaussianos com Chirp;
 Limitações sobre a Taxa de Bits:
Fontes Ópticas com Grande Largura Espectral;
Fontes Ópticas com Pequena Largura Espectral;
 Efeitos do Chirp de Frequência.
2020 Santo André - SP 3
Equação Básica de Propagação
A equação básica que governa a propagação dos pulsos no interior de uma fibra monomodo
pode ser expressa por
Essa é a equação básica que governa a evolução de pulsos no interior de uma fibra monomodo;
Na ausência de dispersão (𝛽2 = 𝛽3 = 0), o pulso óptico se propaga sem que sua forma seja
alterada, de modo que 𝐴 (𝑧, 𝑡) = 𝐴(0, 𝑡 − 𝛽1𝑧);
Usemos, agora, um sistema de referência que se move junto com o pulso; assim,
introduzamos as novas coordenadas;
2020 Santo André - SP 4
𝜕𝐴
𝜕𝑧
+ 𝛽1
𝜕𝐴
𝜕𝑡
+
𝑖𝛽2
2
𝜕2𝐴
𝜕𝑡2
−
𝛽3
6
𝜕3𝐴
𝜕𝑡3
= 0
(1)
𝑡′ = 𝑡 − 𝛽1𝑧 𝑧
′ = 𝑧, (2)
Equação Básica de Propagação
Com isso, o termo que envolve 𝛽1 pode ser eliminado da Eq. 1, resultando em:
Por simplicidade de notação, deixaremos de usar a linha em 𝑧′ e 𝑡′ neste e nos seguintes slides,
sempre que isso não der margem a confusão.
2020 Santo André - SP 5
𝜕𝐴
𝜕𝑧
+
𝑖𝛽2
2
𝜕2𝐴
𝜕𝑡2
−
𝛽3
6
𝜕3𝐴
𝜕𝑡3
= 0
(3)
Agenda
Propagação de Ondas
 Equação Básica de Propagação;
 Pulsos Gaussianos com Chirp;
 Limitações sobre a Taxa de Bits:
Fontes Ópticas com Grande Largura Espectral;
Fontes Ópticas com Pequena Largura Espectral;
 Efeitos do Chirp de Frequência.
2020 Santo André - SP 6
Pulsos Gaussianos com Chirp
Como uma simples aplicação da Eq. (3), consideremos a propagação de pulsos gaussianos com
chirp em fibras ópticas; para isso, escolhamos o campo inicial como
em que 𝐴0 é a amplitude de pico. O parâmetro 𝑇0 representa a meia largura entre pontos de
intensidade 1/𝑒, e está relacionado à largura completa à meia altura (FWHM − Full-Width at
Half-Maximum) do pulso por:
O parâmetro C governa o chirp de frequência imposto ao pulso;
Dizemos que um pulso contém chirp se sua frequência portadora variar com o tempo.
2020 Santo André - SP 7
𝐴 0, 𝑡 = 𝐴0exp −
1 + 𝑖𝐶
2
𝑡
𝑇0
2
(4)
𝑇𝐹𝑊𝐻𝑀 = 2 𝑙𝑛2
 1 2𝑇0 ≈ 1.665𝑇0 (5)
Pulsos Gaussianos com Chirp
A variação de frequência está relacionada à derivada da fase e é fornecida por
sendo ∅ a fase de 𝐴(0, 𝑡). O deslocamento de frequência dependente do tempo 𝜹𝝎 é chamado
de chirp;
O espectro de um pulso com chirp é maior do que o de um pulso sem chirp. Isso pode ser
visto tomando a transformada de Fourier da Eq. (4):
A meia largura espectral (entre pontos de intensidade 1/e) é dada por
2020 Santo André - SP 8
𝛿𝜔 𝑡 = −
𝑑∅
𝑑𝑡
=
𝐶
𝑇0
2 𝑡 (6)
∆𝜔0 = 1 + 𝐶
2 1 2𝑇0
−1 (8)
 𝐴 0, 𝜔 = 𝐴0
2𝜋𝑇0
2
1 + 𝑖𝐶
 1 2
exp −
𝜔2𝑇0
2
2 1 + 𝑖𝐶
(7)
Pulsos Gaussianos com Chirp
Na ausência de chirp de frequência (𝐶 = 0), a largura espectral satisfaz a relação ∆𝝎𝟎𝑻𝟎 = 𝟏;
Um pulso desse tipo possui a menor largura espectral e dizemos que é limitado por
transformada;
Na presença de chirp linear, a largura espectral é aumentada por um fator de 𝟏 + 𝑪𝟐
 𝟏 𝟐
,
como visto na Eq. (8).
A equação de propagação de pulsos Eq. (2.4.9) pode ser resolvida com facilidade no domínio da
transformada de Fourier. Sua solução é fornecida por:
em que, para o pulso gaussiano de entrada, 𝐴 0, 𝜔 é dado pela Eq. (4).
2020 Santo André - SP 9
𝐴 𝑧, 𝑡 =
1
2𝜋
 
−∞
∞
 𝐴 0,𝜔 exp
𝑖
2
𝛽2𝑧𝜔
2 +
𝑖
6
𝛽3𝑧𝜔
3 − 𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔
(9)
Pulsos Gaussianos com Chirp
Primeiro, consideremos o caso em que o comprimento de onda da portadora está distante
do comprimento de onda de dispersão zero, e a contribuição do termo em 𝛽3 é desprezível;
A integral na Eq. (9) pode ser efetuada analiticamente, resultando em:
em que 𝑄 (𝑧) = 1 + (𝐶 − 𝑖)𝛽2𝑧/𝑇0
2.
Essa equação mostra que o pulso gaussiano permanece gaussiano na propagação, mas suas
largura, chirp e amplitude são alteradas, como ditado pelo fator 𝑄 𝑧 ;
A largura muda com 𝒛 na forma 𝑻𝟏 𝒛 = 𝑸 𝒛 𝑻𝟎 e o chirp passa do valor inicial 𝐶 para
𝐶1(𝑧) = 𝐶 + (1 + 𝐶
2)𝛽2𝑧/𝑇0
2.
2020 Santo André - SP 10
𝐴 𝑧, 𝑡 =
𝐴0
𝑄 𝑧
exp −
1 + 𝑖𝐶 𝑡2
2𝑇0
2𝑄 𝑧 (10)
Pulsos Gaussianos com Chirp
Variações na largura do pulso são quantificadas pelo fator de alargamento
A Figura 1 mostra (a) o fator de alargamento 𝑇1/𝑇0 e (b) o parâmetro de chirp 𝐶1 em função de
𝜉 = 𝑧/𝐿𝐷, no caso de dispersão anômala (𝜷𝟐 < 𝟎);
Aqui, 𝑳𝑫 = 𝑻𝟎
𝟐/|𝜷𝟐| é o chamado comprimento de dispersão. Um pulso sem chirp (𝐶 = 0)
se alarga monotonamente por um fator (1 + 𝜉2) 1 2 e desenvolve um chirp negativo 𝐶1 =
− 𝜉 (curvas tracejadas);
Um pulso com chirp, por sua vez, pode sofrer alargamento ou compressão, dependendo se
𝜷𝟐 e 𝑪 têm omesmo sinal ou sinais opostos;
Quando 𝜷𝟐𝑪 > 𝟎, um pulso gaussiano com chirp se alarga monotonamente a uma taxa
maior do que o pulso sem chirp (curvas tracejadas).
2020 Santo André - SP 11
𝑇1
𝑇0
= 1 +
𝐶𝛽2𝑧
𝑇0
2
2
+
𝛽2𝑧
𝑇0
2
2 1 2
(11)
Pulsos Gaussianos com Chirp
Figura 1. Fator de alargamento (a) e parâmetro de chirp (b) em função da distância, para pulso gaussiano que se
propaga na região de dispersão anômala de uma fibra. As curvas tracejadas correspondem ao caso de um pulso
gaussiano sem chirp. As mesmas curvas são obtidas no regime de dispersão normal 𝛽2 > 0) se o sinal de 𝐶 for
invertido.
2020 Santo André - SP 12
Pulsos Gaussianos com Chirp
A razão para isso se relaciona ao fato de, para 𝛽2𝐶 < 0, a largura do pulso inicialmente diminuir
e se tornar mínima à distância
O valor mínimo depende do parâmetro de chirp na forma:
Fisicamente, quando 𝜷𝟐𝑪 < 0, o chirp induzido por GVD compensa o chirp inicial, e o chirp
líquido diminui até se anular em 𝑧 = 𝑧𝑚𝑖𝑛;
A Eq. (11) pode ser generalizada para incluir dispersão de ordem superior governada por
𝜷
𝟑
na Eq. (9);
Entretanto, o pulso não permanece gaussiano durante a propagação e desenvolve uma
cauda com estrutura oscilatória.
2020 Santo André - SP 13
𝑧𝑚𝑖𝑛 = 𝐶 1 + 𝐶
2 𝐿𝐷 (12)
𝑇1
𝑚𝑖𝑛 = 𝑇0 1 + 𝐶
2 1 2 (13)
Pulsos Gaussianos com Chirp
O fator de alargamento − definido como 𝝈/𝝈𝟎, sendo 𝜎0 a largura RMS do pulso gaussiano de
entrada (𝜎0 = 𝑇0/ 2 ) − pode ser calculado por
em que L é o comprimento da fibra.
A discussão anterior assume que a fonte óptica usada para produzir os pulsos de entrada
é quase monocromática, de modo que, em condições de onda contínua, sua largura espectral
satisfaça ∆𝝎𝑳 ≪ ∆𝝎𝟎. Essa condição nem sempre é satisfeita na prática;
Para levar em consideração a largura espectral da fonte, devemos tratar o campo óptico
como um processo estocástico, e considerar as propriedades de coerência da fonte por meio
da função de coerência mútua;
2020 Santo André - SP 14
𝜎2
𝜎0
2 = 1 +
𝐶𝛽2𝐿
2𝜎0
2
2
+
𝛽2𝐿
2𝜎0
2
2
+ 1 + 𝐶2 2
𝛽3𝐿
4 2𝜎0
3
2
(14)
Pulsos Gaussianos com Chirp
Quando o espectro da fonte é gaussiano, com largura RMS 𝜎𝜔 , o fator de alongamento é
obtido de
sendo 𝑉𝜔 = 2𝜎𝜔𝜎0um parâmetro adimensional.
2020 Santo André - SP 15
𝜎2
𝜎0
2 = 1 +
𝐶𝛽2𝐿
2𝜎0
2
2
+ 1 + 𝑉𝜔
2
𝛽2𝐿
2𝜎0
2
2
+ 1 + 𝐶2 + 𝑉𝜔
2 2
𝛽3𝐿
4 2𝜎0
3
2
(15)
Agenda
Propagação de Ondas
 Equação Básica de Propagação;
 Pulsos Gaussianos com Chirp;
 Limitações sobre a Taxa de Bits:
Fontes Ópticas com Grande Largura Espectral;
Fontes Ópticas com Pequena Largura Espectral;
 Efeitos do Chirp de Frequência.2020 Santo André - SP 16
Limitações sobre a Taxa de Bits
 Fontes Ópticas com Grande Largura Espectral
Este caso corresponde a 𝑽𝝎 ≫ 𝟏 na Eq. (14). Consideremos, primeiro, o caso de um sistema de
onda luminosa que opere longe do comprimento de onda de dispersão zero, de modo que
o termo em 𝜷𝟑 seja desprezado;
Os efeitos do chirp de frequência são desprezíveis para fontes com grande largura
espectral. Fazendo 𝐶 = 0 na Eq. (14), obtemos
sendo 𝜎𝜆 a largura espectral RMS da fonte em unidades de comprimento de onda.
A largura do pulso de saída é, então, dada por
em que 𝜎𝐷 ≡ 𝐷 / 𝐿𝜎𝜆 fornece uma medida do alargamento induzido por dispersão.
2020 Santo André - SP 17
𝜎2 = 𝜎0
2 + 𝛽2𝐿𝜎𝜔
2 ≡ 𝜎0
2 + 𝐷𝐿𝜎𝜆
2 (16)
𝜎 = 𝜎0
2 + 𝜎𝐷
2 1 2 (17)
Limitações sobre a Taxa de Bits
Podemos relacionar 𝜎 à taxa de bits usando o critério de que o pulso alargado deve
permanecer no alocado bit slot, 𝑇𝐵 = 1/𝐵, sendo 𝐵 a taxa de bits;
Um critério comumente aplicado é 𝝈 ≤ 𝑻𝑩/𝟒; portanto, para pulsos gaussianos, pelo menos
95% da energia do pulso permanecem contidos no bit slot;
O limite de taxa de bits é fornecido por 𝟒𝑩𝝈 ≤ 𝟏.
No limite 𝝈𝑫 ≫ 𝝈𝟎, 𝝈 ≈ 𝝈𝑫 = |𝑫|𝑳𝝈𝝀, e a condição para o limite da taxa de bits se torna
2020 Santo André - SP 18
𝐵𝐿 𝐷 𝜎𝜆 ≤
1
4
(18)
Limitações sobre a Taxa de Bits
Para um sistema de onda luminosa que opere exatamente no comprimento de onda de
dispersão zero, 𝜷
𝟐
= 𝟎 na Eq. (15);
Fazendo, mais uma vez, 𝐶 = 0 e assumindo que 𝑉𝜔 ≫ 1, a Eq. (2.4.23) pode ser aproximada por
A largura do pulso de saída é, então, determinada pela Eq. (17), mas, agora, 𝜎𝐷 ≡ 𝑆 𝐿𝜎𝜆
2 2.
Como antes, podemos relacionar 𝜎 ao limite de taxa de bits por meio da condição 4𝐵𝜎 ≤ 1.
Quando 𝝈𝑫 ≫ 𝝈𝟎, a limitação sobre a taxa de bits é governada por
2020 Santo André - SP 19
𝜎2 = 𝜎0
2 + 𝛽3𝐿𝜎𝜔
2 2 ≡ 𝜎0
2 + 𝑆𝐿𝜎𝜆
2 2 (19)
𝐵𝐿 𝑆 𝜎𝜆
2 ≤
1
8
(20)
Limitações sobre a Taxa de Bits
 Fontes Ópticas com Pequena Largura Espectral
Este caso corresponde a 𝑽𝝎 ≪ 𝟏 na Eq. (14). Como antes, se desprezarmos o termo em 𝜷𝟑
e fizermos 𝑪 = 𝟎, a Eq. (15) pode ser aproximada por
No caso de uma fonte de pequena largura espectral, o alargamento induzido por
dispersão depende da largura inicial 𝜎0; quando a largura espectral da fonte domina, o
alargamento independe de 𝜎0;
2020 Santo André - SP 20
𝜎2 = 𝜎0
2 + 𝛽2𝐿 2𝜎0
2 ≡ 𝜎0
2 + 𝜎𝐷
2 (21)
Limitações sobre a Taxa de Bits
Na verdade, 𝜎 pode ser minimizado com a escolha de um valor ótimo de 𝜎0;
O valor mínimo de 𝝈 ocorre para 𝝈𝟎 = 𝝈𝑫 = 𝜷𝟐 𝑳 𝟐
 𝟏 𝟐
, sendo fornecido por 𝝈 =
( 𝜷
𝟐
𝑳)
 𝟏 𝟐
. O limite da taxa de bits é obtido de 4𝐵𝜎 ≤ 1, resultando na condição
Para um sistema de onda luminosa que opere próximo ao comprimento de onda de
dispersão zero, 𝜷𝟐 ≈ 𝟎 na Eq. (15);
Usando 𝑽𝝎 ≪ 𝟏 e 𝑪 = 𝟎, a largura do pulso é dada por
2020 Santo André - SP 21
𝐵 𝛽2 𝐿 ≤
1
4
(22)
𝜎2 = 𝜎0
2 + 𝛽3𝐿 4𝜎0
2 2 2 ≡ 𝜎0
2 + 𝜎𝐷
2 (23)
Limitações sobre a Taxa de Bits
Similar ao caso da Eq. (21), 𝜎 pode ser minimizado com a otimização da largura do pulso de
entrada 𝜎0. O mínimo valor de σ ocorre para 𝝈𝟎 = 𝜷𝟑 𝑳 𝟒
 𝟏 𝟑
, sendo fornecido por
O limite da taxa de bits é obtido da condição 4𝐵𝜎 ≤ 1, ou
Os efeitos dispersivos são mais suaves nesse caso;
Fica claro que o desempenho de um sistema de onda luminosa pode ser consideravelmente
melhorado por operação nas proximidades do comprimento de onda de dispersão zero da
fibra e o uso de fontes ópticas com largura espectral relativamente pequena.
2020 Santo André - SP 22
𝜎 =
3
2
 1 2
𝛽3 𝐿 4
 1 3
(24)
𝐵 𝛽3 𝐿
 1 3 ≤ 0,324 (25)
Agenda
Propagação de Ondas
 Equação Básica de Propagação;
 Pulsos Gaussianos com Chirp;
 Limitações sobre a Taxa de Bits:
Fontes Ópticas com Grande Largura Espectral;
Fontes Ópticas com Pequena Largura Espectral;
 Efeitos do Chirp de Frequência.
2020 Santo André - SP 23
Efeitos do Chirp de Frequência
O pulso de entrada em todos os casos anteriores foi tomado como um pulso gaussiano sem
chirp;
Na prática, pulsos ópticos são, muitas vezes, não gaussianos e podem exibir considerável
chirp;
Um modelo supergaussiano foi usado para estudar a limitação imposta à taxa de bits pela
dispersão na fibra, considerando uma sequência de bits NRZ. Neste modelo, a Eq. (4) é
substituída por
em que o parâmetro𝒎 controla a forma do pulso;
Pulsos gaussianos com chirp correspondem a 𝑚 = 1.
2020 Santo André - SP 24
𝐴 0, 𝑡 = 𝐴0exp −
1 + 𝑖𝐶
2
𝑡
𝑇0
2𝑚
(26)
Efeitos do Chirp de Frequência
Para maiores valores de 𝒎, o pulso se torna quase retangular, com abruptas bordas frontal
e posterior;
O limite do produto taxa de bits-distância 𝐵𝐿 é obtido exigindo que a largura RMS do pulso não
aumente além de um valor tolerável;
A Figura 2.13 mostra o produto BL em função do parâmetro de chirp C para pulsos de entrada
gaussiano (m = 1) e supergaussiano (m = 3);
Nos dois casos, o comprimento de fibra L em que o pulso se alarga de 20% foi obtido para T0 =
125 os e b2 = −20 ps2/km;
Como esperado, o produto 𝑩𝑳 é menor para pulsos supergaussianos, pois tais pulsos se
alargam commais rapidez do que pulsos gaussianos.
2020 Santo André - SP 25
Efeitos do Chirp de Frequência
Figura 2. Produto BL limitado por dispersão em função do parâmetro de chirp, para pulsos
de entrada gaussiano (linha cheia) e não gaussiano (linha tracejada).
2020 Santo André - SP 26