Experimento 3: Movimento de um corpo em um plano inclinado. Determinação da aceleração da gravidade

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Experimento 3: Movimento de um corpo 
em um plano inclinado. Determinação da 
aceleração da gravidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Integrantes: 
Lucas Fernandes - DRE: 115186537 
Richardson Linhares - DRE: 116022265 
Rayssa Soares – DRE: 117221618 
 
Bancada: 14 
Turma: BCMT08 
Horário: 15h às 17h 
Resumo do Experimento 
 
 Neste experimento determinamos a aceleração da gravidade(g). O resultado foi obtido 
após diversas etapas como o cálculo do senθ, filmagem do movimento do carrinho em um plano 
inclinado, rotação do vídeo, marcação de vários pontos de posições do carrinho, conversão dos 
resultados de pixel para centímetro, cálculo da velocidade instantânea do carrinho e por final, sua 
aceleração. Todos os valores tiveram suas incertezas devidamente calculadas. 
Ao final do processo experimental, concluímos que o carrinho executa um movimento 
retilíneo uniformemente variado (MRUV) e que o valor da aceleração da gravidade(g) encontrado 
não é compatível com o valor de referência para a cidade do Rio de Janeiro. 
 
Introdução 
 
O Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) pode ser definido como um 
movimento de um objeto, no caso o carrinho, em relação a uma referência ao longo de uma reta, 
no caso o trilho de ar, na qual sua aceleração é sempre constante. Além disso, no MRUV a 
aceleração média assim como sua aceleração instantânea, são iguais. 
Resolvendo a equação do movimento de um corpo em um plano inclinado, e desprezando o 
atrito, podemos observar que a aceleração que ele adquire não depende de sua massa e que fica 
definido com a fórmula a = gsenθ, onde senθ é a inclinação do plano. 
Podemos observar se um movimento é MRUV pelo seu gráfico de posição em função do 
tempo e pelo gráfico de velocidade em função do Tempo, que deve ser uma reta. 
 
 
 L 
 Θ Δh 
 
 h1 h2 
 
 
 
Com isso, iremos medir a aceleração da gravidade(g) utilizando o movimento do carrinho 
em um plano inclinado com atrito desprezível, causado pelo uso do trilho de ar. A aceleração será 
determinada através do gráfico de Velocidade(cm/s) x Tempo(s) utilizando o ajuste linear por 
Mínimos Quadrados, no QtiPlot. 
 
 
 
 
Procedimento Experimental 
 
Inicialmente, posicionamos o primeiro conjunto de blocos de madeira (3 blocos) embaixo 
do trilho, achamos um h1 de (14,0 ± 0,1) cm e um h2 de (17,0 ± 0,1) cm totalizando um Δh de (3,0 
± 0,1) cm. Ligamos o trilho do ar que estava na velocidade 3, enquanto isso a câmera foi 
configurada com 30 frames/s, em seguida foi ajustada no tripé, garantindo que todo o trilho 
estivesse dentro do campo de visão da câmera e alinhada com a horizontal. 
 
Após a adição desses blocos, fizemos uns testes “no olho” com o carrinho para garantir 
que o trilho de ar estava na velocidade correta e para preservar o equipamento. E então, 
gravamos o primeiro vídeo da descida do carrinho. Fez-se o mesmo procedimento com o 
segundo conjunto de blocos de madeira (11 blocos), achamos um h1 de (14,4 ± 0,1) cm e um h2 
de (24,4 ± 0,1) cm totalizando um Δh de (10,0 ± 0,1) cm. Como a câmera não foi alterada, foi 
realizado a gravação da descida do carrinho pelo trilho de ar. 
 
O valor do senθ pode ser obtido indiretamente a partir de uma relação trigonométrica 
envolvendo as grandezas h1, h2 e L que podem ser medidas diretamente no trilho de ar. Os 
valores encontrados para os senos e suas respectivas incertezas estão listados na tabela 1. 
 
 
Tabela 1 – Valores encontrados para o seno nas diferentes inclinações 
Inclinação h1 h2 L opcional (150cm-50cm) senθ 
3 Blocos (14,0 ± 0,1) cm (17,0 ± 0,1) cm (100,0 ± 0,1) cm (0,030 ± 0,001) 
11 Blocos (14,4 ± 0,1) cm (24,4 ± 0,1) cm (100,0 ± 0,1) cm (0,100 ± 0,001) 
 
Depois da gravação, passamos os vídeos para o computador e com o programa “ImageJ” 
editamos os mesmos. No mesmo programa, cortamos o vídeo até ficar o tempo ideal de descida 
e rotacionamos o vídeo de acordo com as instruções do apêndice E, da apostila. 
Sendo Δx = x2 – x1, os valores de x encontrados em dois diferentes pontos em pixel 
marcados no trilho. O mesmo vale para Δy. 
 
A partir dos valores de rotação encontrados, rotacionamos o vídeo em 4,25° e 5,44°, 
respectivamente. 
 
 Com isso, começamos a anotar os pontos em ambos os vídeos, para o primeiro conjunto 
(3 blocos) anotamos de 8 em 8 frames, para o vídeo do segundo conjunto (11 blocos) anotamos 
de 4 em 4 frames. No total, foram listados 13 pontos para cada conjunto. 
 
Ambos medidos na borda superior esquerda do carrinho onde tivemos menor dificuldade 
de visualização da resolução do pixel e sua incerteza. Esta última, calculada quadro a quadro 
para cada um dos pontos. 
 
 
Análise de Dados 
 
Para fazer a conversão das velocidades de Pixel para Centímetro foi utilizada a Constante 
de Calibração (K). Com L de (200,0 ± 0,1) cm e P de (526 ± 1) pxl, foi obtido o resultado de K de 
(0,38022 ± 0,00075) cm/pxl para os 2 conjuntos de blocos (3 e 11). 
 
A Constante de Calibração encontrada para os 2 conjuntos foi a mesma pois em nenhum 
momento a câmera e o tripé foram movimentados ou alterados durante as 2 filmagens, apenas 
alterado com o máximo de cuidado a quantidade de blocos para cada filmagem e o procedimento 
utilizado para rotacionar o vídeo foi o mesmo para os 2 conjuntos. 
 
Com a constante definida, começamos a calcular a posição em centímetro e sua respectiva 
incerteza para cada ponto medido. Utilizamos a ferramenta de inserir fórmula do Excel para 
realizar a conversão. 
 
 
Além disso, calculamos a velocidade instantânea em cada ponto e sua respectiva 
incerteza. Este cálculo não se aplica para o primeiro e o último ponto de cada conjunto, pois não 
temos um ponto anterior e posterior, respectivamente. 
 
Com isso, todos os valores obtidos até o momento, para cada conjunto de blocos, 
adequando os algarismos significativos foram organizados nas tabelas 2 e 3 para o conjunto de 3 
blocos e o de 11 blocos, respectivamente. 
 
Tabela 2 – Valores encontrados para o conjunto de 3 blocos. 
Pontos Quadro T(s) Pixel(pxl) δ Pixel X(cm) δ X V (cm/s) δ V 
1 8 3,83 475 1 180,608 0,521 --- --- 
2 16 4,10 460 2 174,905 0,835 -21,124 1,816 
3 24 4,37 445 2 169,202 0,830 -26,544 2,213 
4 32 4,63 423 2 160,837 0,824 -34,436 2,198 
5 40 4,90 397 2 150,951 0,817 -40,135 2,655 
6 48 5,17 366 3 139,163 1,173 -48,067 2,688 
7 56 5,43 330 3 125,475 1,167 -54,523 3,115 
8 64 5,70 290 3 110,266 1,161 -60,555 3,041 
9 72 5,97 244 3 92,776 1,155 -68,872 3,621 
10 80 6,23 194 4 73,764 1,528 -74,611 4,202 
11 88 6,50 140 5 53,232 1,904 -78,862 4,518 
12 96 6,77 82 5 31,179 1,902 -83,220 5,607 
13 104 7,03 24 6 9,125 2,281 --- --- 
 
 
 
 
 
Tabela 3 – Valores encontrados para o conjunto de 11 blocos. 
Pontos Quadro T(s) Pixel(pxl) δ Pixel X(cm) δ X V (cm/s) δ V 
1 4 1,27 476 1 180,989 0,522 --- --- 
2 8 1,40 467 2 177,567 0,837 -30,711 3,782 
3 12 1,53 455 2 173,004 0,834 -39,431 5,381 
4 16 1,67 439 3 166,920 1,187 -56,330 6,526 
5 20 1,80 415 4 157,795 1,552 -71,658 7,506 
6 24 1,93 390 4 148,289 1,549 -81,679 9,145 
7 28 2,07 357 5 135,741 1,920 -94,353 9,126 
8 32 2,20 323 5 122,814 1,917 -106,756 11,497 
9 36 2,33 284 6 107,985 2,291 -122,518 12,165 
10 40 2,47 236 7 89,734 2,667 -132,376 14,114 
11 44 2,60 190 8 72,243 3,045 -137,467 16,693 
12 48 2,73 142 9 53,992 3,424 -146,458 16,967 
13 52 2,87 86 9 32,700 3,423 --- --- 
 
Com os dados já lançados no Qtiplot, plotamos o gráfico da Posição(cm) x Tempo(s) e 
também da Velocidade(cm/s)x Tempo(s), com suas respectivas incertezas, para os dois 
conjuntos de blocos, como mostram as imagens a seguir. A partir dos dados obtidos foram feitos 
os gráficos com o papel milimetrado em anexo. 
 
 
Imagem 1 - Gráfico do primeiro conjunto (3 blocos): Posição (cm) x Tempo (s) no Qtiplot. 
 
 
Imagem 2 - Gráfico do segundo conjunto (11 blocos): Posição (cm) x Tempo (s) no Qtiplot. 
 
Imagem 3 - Gráfico do primeiro conjunto (3 blocos): Velocidade (cm/s) x Tempo (s) no Qtiplot 
 
Usamos a janela “Plot details” do Qtiplot para ter o detalhamento do ajuste linear por 
Mínimos Quadrados realizado no gráfico de velocidade(cm) x Tempo(s) do primeiro conjunto de 
blocos (3 blocos), como mostra a imagem 4. Então podemos perceber que o primeiro e último 
ponto não entraram no ajuste, encontrando uma aceleração no coeficiente angular (parâmetro A) 
de (25 ± 1) cm/s². 
 
Imagem 4 – Janela Plot details para o conjunto de 3 blocos. 
 
Imagem 5 - Gráfico do segundo conjunto (11 blocos): Velocidade (cm/s) x Tempo (s) no Qtiplot 
 
Usamos a janela “Plot details” do Qtiplot para ter o detalhamento do ajuste linear por 
Mínimos Quadrados realizado no gráfico de velocidade(cm) x Tempo(s) do segundo conjunto de 
blocos (11 blocos) como mostra a imagem 6. Então podemos perceber que o primeiro e último 
ponto não entraram no ajuste, encontrando uma aceleração no coeficiente angular (parâmetro A) 
de (94 ± 6) cm/s². 
 
Imagem 6 – Janela Plot details para o conjunto de 11 blocos. 
 Após estes procedimentos os valores encontrados para os senos, acelerações e suas 
respectivas incertezas foram organizados na tabela 4. 
 
Tabela 4 – Valores dos senos, acelerações e suas incertezas para os dois conjuntos de blocos. 
Blocos senθ δsenθ Aceleração (cm/s²) δa (cm/s²) 
3 0,030 0,001 25 1 
11 0,100 0,001 94 6 
 
Para o cálculo do valor da gravidade, primeiramente juntamos todos os dados dos grupos 
da turma conforme a tabela 5. 
 
Tabela 5 – Valores da aceleração, seno e suas incertezas para os diversos blocos da turma. 
Blocos aceleração (cm/s²) δa (cm/s²) senθ δsenθ 
2 24 2 0,012 0,001 
9 95 12 0,0810 0,0001 
2 18 1 0,02 0,001 
5 44 2 0,04 0,001 
3 25 1 0,030 0,001 
11 94 6 0,100 0,001 
4 32 1 0,036 0,001 
7 59 2 0,065 0,001 
5 42 8 0,042 0,001 
10 92 12 0,092 0,001 
3 23 2 0,03 0,01 
6 51 1 0,065 0,001 
 
Conforme a imagem 7, utilizando o Qtiplot, plotamos os dados da aceleração e sua 
incerteza no eixo Y por ter uma incerteza relativa maior e os dados do seno com sua incerteza no 
eixo X. Com isso, realizamos um ajuste linear por Mínimos Quadrados para chegar a aceleração 
da gravidade(g) da Turma. 
 
Imagem 7 – Dados para encontrar o valor da aceleração da gravidade(g) da Turma. 
 Com isso, adequando os algarismos significativos, achamos a aceleração da gravidade(g) 
da Turma de (753 ± 25) cm/s². Convertendo a unidade de medida para metros, ficamos com o 
valor final da aceleração da gravidade(g) de (7,5 ± 0,3) m/s². 
 Para encontrar a resposta do objetivo deste experimento, aplicamos a fórmula da 
compatibilidade para determinar se o valor encontrado para a aceleração da gravidade(g) da 
Turma, é compatível com o valor de referência para a cidade do Rio de Janeiro. Como a apostila 
não nos fornece este valor de referência com sua incerteza, pesquisamos em documentos 
acadêmicos relatados na bibliografia e encontramos o valor da gravidade com sua respectiva 
incerteza: (9,8 ± 0,2) m/s². 
 O resultado encontrado na fórmula da compatibilidade deu muito maior que 3, logo, não é 
compatível. 
 
OBS: Todas as fórmulas utilizadas nos cálculos estão descritas no Apêndice A. 
 
Conclusão 
 
 Por fim, podemos concluir que o carrinho fez o movimento pretendido, que era o 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, como podemos observar principalmente na reta 
apresentada nos gráficos de velocidade (imagens 3 e 5). 
Mas comparando o valor final da gravidade da Turma obtida utilizando o método dos 
mínimos quadrados, com o valor de referência, podemos concluir que os valores mesmo 
aparentemente sendo próximos, ao aplicar o método da compatibilidade, podemos afirmar que 
eles não são compatíveis. 
Este grupo constatou um erro sistemático de grande relevância, que influenciou nessa 
diferença de gravidade. A resolução do pixel da câmera utilizada no processo experimental é 
muito limitada, gerando grande dificuldade ao contar o número de incertezas associada a cada 
ponto. 
 
 
Bibliografia 
 
• Apostila Fisexp - https://fisexp1.if.ufrj.br/ 
• Tutorial Qtiplot - http://www.if.ufrj.br/~amgomes/tutorialqtiplot-pag3.html 
• Observatório UFMG - http://www.observatorio.ufmg.br/pas46.htm 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apêndice 1 – Fórmulas utilizadas na Análise de Dados 
 
Em ordem dos valores citados acima na Análise de dados, temos: 
 
Medição dos Frames (𝑓𝑓) = 3𝑓𝑓30 
Fórmula para Rotacionar o Vídeo = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡−1 ( Δ𝑦𝑦
Δ𝑥𝑥
 ) 
Fórmula da Constante de Calibração (K) 
𝐾𝐾 = 𝐿𝐿
𝑃𝑃
 
E sua incerteza 
𝛿𝛿𝐾𝐾 = �� 1
𝑃𝑃
 . 𝛿𝛿𝐿𝐿�2 + �− 𝐿𝐿
𝑃𝑃² . 𝛿𝛿𝑃𝑃 � ² 
 
Transformação x(pxl) para x(cm) 
𝑥𝑥(𝑐𝑐𝑐𝑐) = 𝐾𝐾 ∗ 𝑥𝑥(𝑝𝑝𝑥𝑥𝑝𝑝) 
Sua Incerteza 
𝛿𝛿𝑥𝑥(𝑐𝑐𝑐𝑐) = �(𝐾𝐾. 𝛿𝛿𝑝𝑝)2 + (𝑝𝑝. 𝛿𝛿𝛿𝛿)² 
 
Fórmula do Δh 
∆ℎ = ℎ2 − ℎ1 
 
Fórmula para acharmos o senθ 
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠 = ℎ2 − ℎ1
𝐿𝐿
 
 
O nosso L opcional escolhido vale (100,0 ± 0,1) cm, pois começamos em (150,0±0,1) cm e 
terminamos em (50,0±0,1) cm. Os valores estão na mesma vertical para os pontos utilizados para 
h2 e h1 respectivamente. 
 
E sua incerteza 
𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠 = ��1
𝐿𝐿
�
2 . (𝛿𝛿ℎ2)2 + �−1
𝐿𝐿
�
2 . (𝛿𝛿ℎ1)2 + �− (ℎ2 − ℎ1)(𝐿𝐿)2 � ². (𝛿𝛿𝐿𝐿)2 
Fórmula para calcularmos a velocidade relativa de cada ponto 
 
𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 − 𝑥𝑥𝑖𝑖−1𝑡𝑡𝑖𝑖+1 − 𝑡𝑡𝑖𝑖−1 
E sua incerteza 
 
𝛿𝛿𝑣𝑣𝑖𝑖
2 = 𝛿𝛿𝑥𝑥𝑖𝑖+12 + 𝛿𝛿𝑥𝑥𝑖𝑖−12(𝑡𝑡𝑖𝑖+1 − 𝑡𝑡𝑖𝑖−1)² 
 
 
Aceleração e sua incerteza 
 
A aceleração e sua incerteza é calculada diretamente no Qtiplot com um ajuste linear por 
Mínimos Quadrados, realizado no gráfico de velocidade(cm) x Tempo(s) e apresentada pelo valor 
de coeficiente angular (parâmetro A). 
 
Fórmula da Gravidade: 
𝑔𝑔 = 𝑡𝑡
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠
 
E sua incerteza: 
𝛿𝛿𝑔𝑔 = �� 𝛿𝛿𝑡𝑡
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠
� ² + �𝑡𝑡. 𝛿𝛿𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠)² � ² 
OBS: Utilizando o QtiPlot, com a função do Ajuste Linear, encontramos diretamente o valor da 
gravidade da turma. 
 
Fórmula da Compatibilidade: 
 | 𝑔𝑔T − 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑠𝑠𝑓𝑓 |
�(𝛿𝛿𝑔𝑔𝛿𝛿)2 + (𝛿𝛿𝑔𝑔𝑔𝑔𝑠𝑠𝑓𝑓)² < 3 
	Experimento 3 18.1
	Gráficos Papel Milimetrado