Determinação da aceleração da gravidade em plano inclinado

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2018/01
Experimento 3: Movimento de um corpo em um plano inclinado – Determinação da aceleração da gravidade
Integrantes: Larissa Bral e Ana Clara Marques
Turma: 422/ EP2
Resumo
O experimento III teve por objetivo determinar a aceleração da gravidade (g) a partir do movimento de um carrinho em um plano inclinado. Foram utilizados: um trilho de ar, com atrito desprezível, blocos de madeira, um sistema de vídeo que consistiu na gravação de um filme com uma câmera digital, e o programa ImageJ para auxiliar no levantamento de dados. Cada dupla realizou o experimento com duas inclinações diferentes; no experimento que segue, foram utilizados 3 blocos de madeira no vídeo 1 e 4 blocos de madeira no vídeo 2.
Introdução
Neste experimento determinamos a aceleração da gravidade (g) a partir do movimento de um corpo em um plano inclinado. O método utilizado foi:
Um trilho de ar de 2m de comprimento para tornar o atrito do carrinho desprezível,
Um carrinho para deslizar sobre o plano com a faixa branca para frente para facilitar na análise dos vídeos,
Blocos de madeira para fazer a inclinação do trilho, 3 e 4 blocos,
Tripé e câmera digital para filmar, estando o trilho alinhado com a parede e a câmera alinhada com o trilho para facilitar a análise dos vídeos.
A partir das Leis de Newton, para um corpo em um plano inclinado com atrito desprezível, o qual se espera que realize um movimento retilíneo uniformemente acelerado, a aceleração da gravidade pode ser determinada pela Equação 1 abaixo:
 a = g sin(θ) » g = a/ sin(θ) (1)
O seno do ângulo foi obtido por meio de duas medições diretas de altura (h) e duas medições de posição (x) em cada inclinação e calculado a partir da Equação 2 abaixo:
 sin(θ) = (h2 – h1)/(x2 – x1) (2)
E a incerteza do seno foi obtida considerando α = x2 – x1 e β = h2 – h1, e suas incertezas, respectivamente, δα = e δβ = . Resultando na Equação 2.1 da incerteza do seno de θ abaixo:
 sin(θ) = sin(θ) (2.1)
A principal motivação para esse experimento é medir a aceleração da gravidade e comparar com o valor estabelecido para a cidade do Rio de Janeiro, assim como discutir se o método é preciso e as possíveis influências de erros sistemáticos.
Procedimento experimental
O trilho de ar é um sistema que permite estudar movimentos unidimensionais reduzindo drasticamente as forças de atrito habitualmente presente. Durante o uso do equipamento, tanto o trilho quanto o carrinho devem ser devidamente tratados, evitando choques mecânicos fortes e colocando um dispositivo com elástico ao final do trilho para parar o movimento do carrinho, afim de evitar que eles sofram marcas ou deformações que comprometam a redução do atrito.
O tripé com a câmera digital deve estar adequadamente posicionado de forma que todo o trilho esteja compreendido no campo de visão e a câmera alinhada com a horizontal. Para isso, antes de colocar os blocos de madeira para inclinação do trilho, analisamos se o trilho estava bem posicionado de acordo com as linhas de enquadramento da câmera.
Os blocos de madeira, 3 e 4, foram colocados embaixo da haste de suporte do trilho que fica em uma das suas extremidades. Após a colocação dos blocos foram medidas alturas com finalidade de encontrar o seno do ângulo (θ) de inclinação como segue na Tabela 1.
Para manter o carrinho em repouso, uma das integrantes da dupla ficou segurando o carrinho até a outra iniciar a gravação e o carrinho ser solto. 
Tabela 1
	Inclinação
	h1 (cm)
	h2 (cm)
	L (cm)
	sin(θ)
	a
	3 blocos
	14,6 ± 0,1 
	16,5 ± 0,1
	70
	0,027 ± 0,002
	27 ± 3
	4 blocos
	14,7 ± 0,1
	17,4 ± 0,1
	70
	0,039 ± 0,002
	35 ± 2
Após a gravação dos filmes, os arquivos de vídeo foram salvos pelas integrantes e deu-se início ao processamento do mesmo pelo programa ImageJ. A análise do filme permitiu a obtenção de outras medidas necessárias à determinação da aceleração da gravidade.
O primeiro procedimento feito foi a rotação de ambos os vídeos, utilizando o método de rotação manual determinando o ângulo de inclinação do trilho de ar durante o experimento. Isso deve ser feito, pois, para realizar a análise de dados, é necessário que a medida do deslocamento do carrinho seja apenas em uma dimensão, no caso, na horizontal. Por meio de coordenadas x e y, o ângulo foi obtido a partir da Equação 3 abaixo:
 arctan (y2 - y1)/(x2 – x1) (3)
Após feita a rotação dos vídeos, fizemos 20 medições da posição p em pixels do ponto de referência no carrinho, o início da parte branca da etiqueta para instantes de tempo de 0,1 segundo ao longo do percurso, de três em três quadros. A incerteza dos pixels foi medida olhando a quantidade que quadrados borrados, aproximando da estimativa da posição exata do ponto de referência. Esses valores de encontram nas Tabela 2(vídeo 1) e Tabela 3(vídeo 2) abaixo:
Tabela 2
	Video 1 (3 blocos)
	Quadro
	t (s)
	p
	δp
	x (cm)
	δx (cm)
	v (cm/s)
	δv (cm/s)
	78
	0
	549
	2
	0
	0,7
	-
	-
	81
	0,1
	546
	3
	1,1
	1,1
	10,6
	6,5
	84
	0,2
	543
	3
	2,1
	1,1
	10,6
	7,8
	87
	0,3
	540
	3
	3,2
	1,1
	15,9
	7,8
	90
	0,4
	534
	3
	5,3
	1,1
	17,7
	7,8
	93
	0,5
	530
	3
	6,7
	1,1
	17,7
	7,8
	96
	0,6
	524
	3
	8,9
	1,1
	23,0
	7,8
	99
	0,7
	517
	3
	11,3
	1,1
	26,6
	7,8
	102
	0,8
	509
	3
	14,2
	1,1
	28,3
	7,8
	105
	0,9
	501
	3
	17,0
	1,1
	30,1
	7,8
	108
	1
	492
	3
	20,2
	1,1
	33,7
	7,8
	111
	1,1
	482
	3
	23,7
	1,1
	37,2
	7,8
	114
	1,2
	471
	3
	27,6
	1,1
	40,7
	7,8
	117
	1,3
	459
	3
	31,9
	1,1
	44,3
	7,8
	120
	1,4
	446
	3
	36,5
	1,1
	44,3
	7,8
	123
	1,5
	434
	3
	40,7
	1,1
	46,1
	7,8
	126
	1,6
	420
	3
	45,7
	1,1
	49,6
	7,8
	129
	1,7
	406
	3
	50,6
	1,1
	51,3
	7,8
	132
	1,8
	391
	3
	55,9
	1,1
	53,1
	7,8
	135
	1,9
	376
	3
	61,2
	1,1
	-
	-
Tabela 3
	Video 2 (4 blocos)
	Quadro
	t (s)
	p
	δp
	x (cm)
	δx (cm)
	v (cm/s)
	δv (cm/s)
	76
	0
	545
	2
	0
	0,7
	-
	-
	79
	0,1
	542
	2
	1,1
	0,7
	14,1
	4,9
	82
	0,2
	537
	2
	2,8
	0,7
	17,7
	4,9
	85
	0,3
	532
	2
	4,6
	0,7
	19,4
	4,9
	88
	0,4
	526
	2
	6,7
	0,7
	22,9
	4,9
	91
	0,5
	519
	2
	9,2
	0,7
	26,5
	6,5
	94
	0,6
	511
	3
	12,0
	1,1
	30,0
	6,5
	97
	0,7
	502
	3
	15,2
	1,1
	33,6
	7,8
	100
	0,8
	492
	3
	18,7
	1,1
	38,8
	7,8
	103
	0,9
	480
	3
	22,9
	1,1
	42,3
	7,8
	106
	1
	468
	3
	27,2
	1,1
	44,1
	7,8
	109
	1,1
	455
	3
	31,8
	1,1
	49,4
	7,8
	112
	1,2
	440
	3
	37,0
	1,1
	51,2
	7,8
	115
	1,3
	426
	3
	42,0
	1,1
	54,7
	7,8
	118
	1,4
	409
	3
	48,0
	1,1
	60,0
	7,8
	121
	1,5
	392
	3
	54,0
	1,1
	61,8
	7,8
	124
	1,6
	374
	3
	60,3
	1,1
	65,3
	7,8
	127
	1,7
	355
	3
	67,0
	1,1
	68,8
	7,8
	130
	1,8
	335
	3
	74,1
	1,1
	70,6
	7,8
	133
	1,9
	315
	3
	81,1
	1,1
	-
	-
Análise de dados
Os resultados obtidos para a posição do carrinho foram calculados por meio da transformação das medidas em pixels p para medidas em centímetros x, através da determinação da constante de calibração ou fator de conversão. Essa constante é obtida a partir de uma distância conhecida (distância de referência em cm) na imagem, o comprimento de 2m (200 cm), seu valor em pixels, as posições das extremidades no eixo das abscissas, e realizando Regra de três.
Fator de conversão do vídeo 1: 2,825
Fator de conversão do vídeo 2: 2,835
Ao analisarmos o gráfico de Posiçãox Tempo para cada vídeo, podemos observar que o carrinho está realizando um movimento retilíneo uniformemente acelerado, como se esperava. Os gráficos 1 e 2 a seguir, referentes ao vídeo 1 e vídeo 2, respectivamente, demonstram a afirmação acima a partir dos dados das tabelas 2 e 3.
Gráfico 1: 
Gráfico 2: 
Para obtenção das velocidades em ambos os vídeos, foi usada a Equação 4 a seguir, que é o cálculo da velocidade média entre os instantes x(t + ∆t) e x(t - ∆t) com ∆t constante. (Note que o valor da última velocidade não pode ser encontrado).
 V(t) = [x(t + ∆t) - x(t - ∆t)] / 2∆t (4)
A incerteza da velocidade foi calculada pela Equação 5 abaixo:
 δV = (5)
Os valores encontrados das velocidades e suas incertezas dos vídeos 1 e 2 estão na Tabela 2, para o vídeo 1, e na Tabela 3, para o vídeo 2.
Os gráficos a seguir são de Velocidade x Tempo e fornecem informações acerca da aceleração do carrinho por dois métodos: o método gráfico, feito manualmente em folha milimetrada, e o método de mínimos quadrados, usando ajuste linear através do QtiPlot. O gráfico 3 é referente ao vídeo 1 e o gráfico 4, referente ao vídeo 2.
Gráfico 3 :
Ajuste linear do gráfico 3:
[2018-05-08 13:59:33 Gráfico: ''Gráfico1'']
Regressão linear do conjunto de dados: Tabela1_2, usando função: A*x+B
Ordenar: Não
Método de ponderação: Instrumental, usando barras de erro: Tabela1_3
De x = 1,0000000000000e-01 a x = 1,8000000000000e+00 (18 pontos de dados)
--------------------------------------------------------------------------------------
B (y-intercept) = 7,0431372549020e+00 +/- 3,1964543265058e+00
A (slope) = 2,6551083591331e+01 +/- 2,9530205277577e+00
--------------------------------------------------------------------------------------
Chi^2/doF = 4,3237584040156e-02
R^2 = 9,9151505277257e-01
R^2 ajustado = 9,9038372647558e-01
RMSE (Raiz do erro quadrado médio) = 2,0793649040069e-01
RSS (Soma residual dos quadrados) = 6,9180134464250e-01
Traduzindo...
B = V inicial = 7 ± 3 cm/s 
A = a = 27 ± 3 cm/s²
Qualidade do ajuste (Chi^2/doF) = 0,04
Alta correlação linear entre y e x (R^2) = 1
Gráfico 4: 
Ajuste linear do gráfico 4:
[2018-05-08 14:05:56 Gráfico: ''Gráfico2'']
Regressão linear do conjunto de dados: Tabela1_2, usando função: A*x+B
Ordenar: Não
Método de ponderação: Instrumental, usando barras de erro: Tabela1_3
De x = 1,0000000000000e-01 a x = 1,8000000000000e+00 (18 pontos de dados)
--------------------------------------------------------------------------------------
B (y-intercept) = 1,0024836601307e+01 +/- 2,4096347999813e+00
A (slope) = 3,4546955624355e+01 +/- 2,2261231670788e+00
--------------------------------------------------------------------------------------
Chi^2/doF = 3,7835828925197e-02
R^2 = 9,9749266846710e-01
R^2 ajustado = 9,9715835759605e-01
RMSE (Raiz do erro quadrado médio) = 1,9451434118130e-01
RSS (Soma residual dos quadrados) = 6,0537326280315e-01
Traduzindo...
B = V inicial = 10 ± 2 cm/s 
A = a = 35 ± 2 cm/s²
Qualidade do ajuste (Chi^2/doF) = 0,04
Alta correlação linear entre y e x (R^2) = 1
Conforme a Equação 1, a aceleração da gravidade é proporcional à aceleração do carrinho dividida pelo seno do ângulo. Assim, foram reunidos os valores de toda a turma, com diferentes quantidades de blocos, e foi feito um gráfico Seno x Aceleração e realizado um ajuste linear no QtiPlot para encontrar a aceleração da gravidade e sua incerteza. A Tabela 4 abaixo reúne os dados da turma (enviados até 8h30min do dia da entrega do relatório, 09/05/2018).
Tabela 4
	Inclinação
	sin(θ)
	δsin(θ)
	a
	δa
	3 blocos
	0,027
	0,002
	27
	3
	4 blocos
	0,039
	0,002
	35
	2
	5 blocos 
	0,05
	0,001
	48,3
	1,7
	7 blocos
	0,067
	0,001
	61
	5
	8 blocos
	0,077
	0,001
	69
	4
	11 blocos
	0,1
	0,003
	89,9
	0,02
	12 blocos
	0,11
	0,003
	108,3
	0,02
	13 blocos
	0,12
	0,01
	111
	4
	14 blocos
	0,125
	0,004
	115
	2
Fazendo o Gráfico 5 e o ajuste linear da tabela 4, obtemos:
Gráfico 5:
[2018-05-09 08:43:28 Gráfico: ''Seno x Aceleração'']
Regressão linear do conjunto de dados: Tabela 4, usando função: A*x+B
Ordenar: Não
Método de ponderação: Instrumental, usando barras de erro: Tabela1_3
De x = 2,7000000000000e-02 a x = 1,2500000000000e-01 (9 pontos de dados)
--------------------------------------------------------------------------------------
B (y-intercept) = 2,5095856458923e-01 +/- 1,6885010764784e-02
A (slope) = 9,2621171037580e+02 +/- 1,9527095557609e-01
--------------------------------------------------------------------------------------
Chi^2/doF = 2,2968804775119e+04
R^2 = 9,9290424565122e-01
R^2 ajustado = 9,9053899420163e-01
RMSE (Raiz do erro quadrado médio) = 1,5155462637320e+02
RSS (Soma residual dos quadrados) = 1,6078163342584e+05
Traduzindo...
B = V inicial = 0,25 ± 0,02 cm/s 
A = g = 926,2 ± 0,2 cm/s²
Qualidade do ajuste (Chi^2/doF) = 22969 (ruim)
Alta correlação linear entre y e x (R^2) = 1
Conclusões
Esse experimento foi essencial ter sido finalizado em grupo com a turma, pois observamos que os valores da aceleração da gravidade flutuam de acordo com os dados de cada dupla.
Alguns possíveis erros sistemáticos podem ser considerados para o valor da gravidade encontrado ser menor do que esperado para a cidade do Rio de Janeiro (g = 987,7 ± 0,1 cm/s²), como: o atrito do carrinho no trilho de ar não é exatamente nulo, erros nos cálculos envolvendo ângulo, posição, velocidade ou outros dados do experimento, erros na análise dos vídeos, entre outros. Comparando os valores, observamos que o valor encontrado é considerado muito incompatível, pois a discrepância entre eles é muito maior que 3 (61,5 > 0,7). O cálculo da discrepância se dá pela Equação 6 abaixo:
 < 3 × (6)
Portanto, os resultados obtidos com o experimento não foram satisfatórios para obtenção da aceleração da gravidade através do movimento, retilíneo uniformemente acelerado, de um carrinho em um plano inclinado, com atrito consideravelmente desprezível. Provavelmente, se o experimento for refeito com mais atenção e cuidado de todas as duplas, o resultado se dará diferente.
Referências
Apostila Física Experimental I, IF-UFRJ, 02/2016
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