Capitulo 7 - Séries de pagamentos/recebimentos
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Capitulo 7 - Séries de pagamentos/recebimentos

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Disciplina: Matemática Financeira 
Capítulo 7 - Séries uniformes de pagamento \u2013 Anuidades - Parcelamentos 
Professora: Magda Leyser \u2013 magda.leyser@gmail.com 
 
 
 
7. Anuidades \u2013 Séries uniformes de pagamento ou recebimentos 
 
Iniciamos apresentando a ideia de representar o pagamento realizado na forma de um Diagrama de 
fluxo de caixa associado a uma linha de tempo. 
 
Definimos fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou recebimentos que ocorre num determinado 
intervalo de tempo, assim trata-se da movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao 
longo de um período de tempo. Isto é, as entradas e saídas de dinheiro do caixa servem para apresentar 
graficamente as transações financeiras num período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal 
dividida pelo número de períodos em análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais 
apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. 
 
 
Até o momento estudamos situações onde foi realizado um pagamento, agora verificaremos o que 
ocorre quando é efetuado mais de um pagamento/ recebimentos. Chamaremos de anuidades, rendas certas, 
prestações ou séries de pagamentos são sucessões de pagamentos ou recebimentos exigíveis em épocas 
predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital. Trataremos como séries de 
pagamentos todas as operações financeiras que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados, os quais 
chamaremos de PMT1, PMT2, PMT3, ... e que poderão ocorrer em datas pré-estabelecidas n1, n2, n3, ... em um 
fluxo de caixa. 
 
Exemplo 1: Para ilustrar o raciocínio que envolve o cálculo do juros nesta modalidade de pagamento de um 
empréstimo em mais de um momento sugerimos analisar como se forma o VP (valor presente ou valor 
financiado) que se constitui da descapitalização de cada uma das parcelas pagas ao longo de um período de 
tempo. E também analisar como ficariam corrigidas no futuro, que chamaremos de FV (valor futuro) do 
acumulado de todas as parcelas pagas. Assim considerando os valores das parcelas de cada exemplo abaixo, a 
taxa indicada no exemplo e o número de parcelas, calcule o PV e FV do acumulado de cada exemplo. 
 
a) 4 pagamentos mensais de iguais de R$100,00 a taxa de juros efetiva de 5%am. 
 
Determine o valor do financiamento (PV) que é retirar das parcelas o juros referente ao momento de pagamento, 
ou seja: 
 
 
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Determine o valor futuro do acumulado das parcelas (FV) que é calcular o valor futuro de cada parcelas 
capitalizando o juros conforme o momento de pagamento, ou seja: 
 
 
b) 4 pagamentos mensais iguais de R$100,00 a taxa de juros efetiva de 5%am. 
 
 
Determine o valor do financiamento (PV) que é retirar das parcelas o juros referente ao momento de pagamento, 
ou seja: 
 
Determine o valor futuro do acumulado das parcelas (FV) que é calcular o valor futuro de cada parcelas 
capitalizando o juros conforme o momento de pagamento, ou seja: 
 
 
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c) 4 pagamentos bimestrais iguais de R$100,00 a taxa de juros efetiva de 10,25%ab 
 
Determine o valor do financiamento (PV) que é retirar das parcelas o juro referente ao momento de pagamento, 
ou seja: 
 
 
 
 
Determine o valor futuro do acumulado das parcelas (FV) que é calcular o valor futuro de cada parcelas 
capitalizando o juros conforme o momento de pagamento, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quando estudamos um sequencia de pagamentos devemos considerar as seguintes situações: 
 
Séries de pagamentos certas ou determinísticas 
São aquelas cuja duração e pagamentos são pré-
determinados, não dependendo de condições 
externas. 
Os diversos parâmetros, como o valor dos termos 
(parcelas), prazos de duração, taxas de juros são fixos 
e imutáveis. Esse tipo de situação é estudado na 
matemática financeira. 
Séries de pagamentos aleatórios ou 
probabilísticos 
Os valores e/ou as datas de pagamentos ou de 
recebimentos podem ser variáveis aleatórias. É o que 
ocorre, por exemplo, no seguro de vida. 
Os valores dos pagamentos (mensalidades) são 
certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e 
a data do recebimento. Esse tipo de situação é 
estudado na matemática atuarial. 
 
Durante nosso estudo abordaremos somente as séries certas ou anuidades, sob o regime de juros 
compostos, a menos que indicação ao contrário. As anuidades podem ser classificadas da seguinte maneira: 
 
 
Quanto a 
Periodicidade 
Periódicas (uniformes): quando o intervalo de tempo entre as parcelas é igual. 
não-periódicas: quando o intervalo entre as parcelas não é igual. 
ao prazo (tempo) 
temporárias: com duração limitada; tem um número finito de 
pagamentos/recebimentos 
Perpétuas (infinitas): com duração ilimitada, um número infinito de 
pagamentos/recebimentos 
Valor 
Constante (fixo ou uniforme): com todas as parcelas iguais. 
Variáveis:com parcelas de valores diferentes. 
forma de pagamento 
imediatas: primeiro pagamento no 
primeiro período 
 
postecipadas: quando as parcelas ocorrem no 
final do intervalo (sem entrada) 
antecipadas: quando as parcelas ocorrem no 
início do intervalo, no momento zero da série de 
parcelas (com entrada) 
diferidas: primeiro pagamento após 
o primeiro período (quando ocorre 
um prazo de carência) 
postecipadas: desprezada a carência, a 
prestação ocorre no final do intervalo. 
antecipadas: desprezada a carência, a 
prestação ocorre no início do intervalo. 
 
 
 
 
 
Legenda: 
PMT é a parcela, a prestação, o depósito ou qualquer outra expressão que possa ser utilizada para significar o 
valor pago ou recebido em cada momento. 
i é a taxa de juros paga ou cobrada. 
n é o número de prestações que compõe uma série. Quando temos período em que há pagamentos ou 
recebimentos, conhecido como carência, também representa este tempo. 
PV é o valor presente na primeira data considerada, data zero, no início da série, representa a soma de todas as 
parcelas descontando o juros pago. 
FV é o valor na última data considerada, no final da série futura do valor corrigido de todas as parcelas pelo juro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Podemos representar graficamente as séries periódicas (uniformes) de pagamentos da seguinte forma: 
 
a) do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos (PMT = pagamentos ou prestações) 
 
 
b) do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos ( PMT = pagamentos ou prestações) 
 
 
INFORMAÇÔES SOBRE AS TECLAS DE FUNCIONAMENTO DA HP-12C 
 
Tecla Característica 
N Calcula o prazo 
I Calcula a taxa 
PV Calcula o valor presente 
PMT Calcula a prestação 
FV Calcula o valor futuro 
CHS Troca um sinal de um número 
g <END> Calculo de séries uniformes de pagamento postecipadas 
g <BEG> Calculo de séries uniformes de pagamento antecipadas 
f <FIN> Limpa as funções financeiras 
f <REG> Limpa todas as funções 
Para efetuarmos os cálculos na calculadora HP 12-C de uma série uniforme de pagamentos postecipadas será 
necessário introduzir no visor da calculadora a função END, para isso deve-se pressionar as teclas g <END>. 
Para o calculo antecipado será necessário pressionar as teclas g <BEG>. Observe no visor se aparecem essas 
funções. 
 
 
 
7.1 Anuidades postecipadas (g end): série de pagamentos imediatos, certos, 
periódicos, limitados constantes. 
São os pagamentos parcelados (financiamentos) cujos pagamentos (PMT) ocorrem no final de cada período. 
Como exemplo, temos os empréstimos e financiamentos em pagamentos mensais. É normalmente a sistemática 
adotada pelo mercado (crediário sem entrada).