Capitulo 7 - Séries de pagamentos/recebimentos

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Disciplina: Matemática Financeira 
Capítulo 7 - Séries uniformes de pagamento – Anuidades - Parcelamentos 
Professora: Magda Leyser – magda.leyser@gmail.com 
 
 
 
7. Anuidades – Séries uniformes de pagamento ou recebimentos 
 
Iniciamos apresentando a ideia de representar o pagamento realizado na forma de um Diagrama de 
fluxo de caixa associado a uma linha de tempo. 
 
Definimos fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou recebimentos que ocorre num determinado 
intervalo de tempo, assim trata-se da movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de caixa) ao 
longo de um período de tempo. Isto é, as entradas e saídas de dinheiro do caixa servem para apresentar 
graficamente as transações financeiras num período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal 
dividida pelo número de períodos em análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais 
apontadas para cima, e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. 
 
 
Até o momento estudamos situações onde foi realizado um pagamento, agora verificaremos o que 
ocorre quando é efetuado mais de um pagamento/ recebimentos. Chamaremos de anuidades, rendas certas, 
prestações ou séries de pagamentos são sucessões de pagamentos ou recebimentos exigíveis em épocas 
predeterminadas, destinadas a extinguir uma dívida ou construir um capital. Trataremos como séries de 
pagamentos todas as operações financeiras que envolvem pagamentos ou recebimentos parcelados, os quais 
chamaremos de PMT1, PMT2, PMT3, ... e que poderão ocorrer em datas pré-estabelecidas n1, n2, n3, ... em um 
fluxo de caixa. 
 
Exemplo 1: Para ilustrar o raciocínio que envolve o cálculo do juros nesta modalidade de pagamento de um 
empréstimo em mais de um momento sugerimos analisar como se forma o VP (valor presente ou valor 
financiado) que se constitui da descapitalização de cada uma das parcelas pagas ao longo de um período de 
tempo. E também analisar como ficariam corrigidas no futuro, que chamaremos de FV (valor futuro) do 
acumulado de todas as parcelas pagas. Assim considerando os valores das parcelas de cada exemplo abaixo, a 
taxa indicada no exemplo e o número de parcelas, calcule o PV e FV do acumulado de cada exemplo. 
 
a) 4 pagamentos mensais de iguais de R$100,00 a taxa de juros efetiva de 5%am. 
 
Determine o valor do financiamento (PV) que é retirar das parcelas o juros referente ao momento de pagamento, 
ou seja: 
 
 
 2 
 
Determine o valor futuro do acumulado das parcelas (FV) que é calcular o valor futuro de cada parcelas 
capitalizando o juros conforme o momento de pagamento, ou seja: 
 
 
b) 4 pagamentos mensais iguais de R$100,00 a taxa de juros efetiva de 5%am. 
 
 
Determine o valor do financiamento (PV) que é retirar das parcelas o juros referente ao momento de pagamento, 
ou seja: 
 
Determine o valor futuro do acumulado das parcelas (FV) que é calcular o valor futuro de cada parcelas 
capitalizando o juros conforme o momento de pagamento, ou seja: 
 
 
 3 
 
c) 4 pagamentos bimestrais iguais de R$100,00 a taxa de juros efetiva de 10,25%ab 
 
Determine o valor do financiamento (PV) que é retirar das parcelas o juro referente ao momento de pagamento, 
ou seja: 
 
 
 
 
Determine o valor futuro do acumulado das parcelas (FV) que é calcular o valor futuro de cada parcelas 
capitalizando o juros conforme o momento de pagamento, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
Quando estudamos um sequencia de pagamentos devemos considerar as seguintes situações: 
 
Séries de pagamentos certas ou determinísticas 
São aquelas cuja duração e pagamentos são pré-
determinados, não dependendo de condições 
externas. 
Os diversos parâmetros, como o valor dos termos 
(parcelas), prazos de duração, taxas de juros são fixos 
e imutáveis. Esse tipo de situação é estudado na 
matemática financeira. 
Séries de pagamentos aleatórios ou 
probabilísticos 
Os valores e/ou as datas de pagamentos ou de 
recebimentos podem ser variáveis aleatórias. É o que 
ocorre, por exemplo, no seguro de vida. 
Os valores dos pagamentos (mensalidades) são 
certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e 
a data do recebimento. Esse tipo de situação é 
estudado na matemática atuarial. 
 
Durante nosso estudo abordaremos somente as séries certas ou anuidades, sob o regime de juros 
compostos, a menos que indicação ao contrário. As anuidades podem ser classificadas da seguinte maneira: 
 
 
Quanto a 
Periodicidade 
Periódicas (uniformes): quando o intervalo de tempo entre as parcelas é igual. 
não-periódicas: quando o intervalo entre as parcelas não é igual. 
ao prazo (tempo) 
temporárias: com duração limitada; tem um número finito de 
pagamentos/recebimentos 
Perpétuas (infinitas): com duração ilimitada, um número infinito de 
pagamentos/recebimentos 
Valor 
Constante (fixo ou uniforme): com todas as parcelas iguais. 
Variáveis:com parcelas de valores diferentes. 
forma de pagamento 
imediatas: primeiro pagamento no 
primeiro período 
 
postecipadas: quando as parcelas ocorrem no 
final do intervalo (sem entrada) 
antecipadas: quando as parcelas ocorrem no 
início do intervalo, no momento zero da série de 
parcelas (com entrada) 
diferidas: primeiro pagamento após 
o primeiro período (quando ocorre 
um prazo de carência) 
postecipadas: desprezada a carência, a 
prestação ocorre no final do intervalo. 
antecipadas: desprezada a carência, a 
prestação ocorre no início do intervalo. 
 
 
 
 
 
Legenda: 
PMT é a parcela, a prestação, o depósito ou qualquer outra expressão que possa ser utilizada para significar o 
valor pago ou recebido em cada momento. 
i é a taxa de juros paga ou cobrada. 
n é o número de prestações que compõe uma série. Quando temos período em que há pagamentos ou 
recebimentos, conhecido como carência, também representa este tempo. 
PV é o valor presente na primeira data considerada, data zero, no início da série, representa a soma de todas as 
parcelas descontando o juros pago. 
FV é o valor na última data considerada, no final da série futura do valor corrigido de todas as parcelas pelo juro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
Podemos representar graficamente as séries periódicas (uniformes) de pagamentos da seguinte forma: 
 
a) do ponto de vista de quem vai receber os pagamentos (PMT = pagamentos ou prestações) 
 
 
b) do ponto de vista de quem vai fazer os pagamentos ( PMT = pagamentos ou prestações) 
 
 
INFORMAÇÔES SOBRE AS TECLAS DE FUNCIONAMENTO DA HP-12C 
 
Tecla Característica 
N Calcula o prazo 
I Calcula a taxa 
PV Calcula o valor presente 
PMT Calcula a prestação 
FV Calcula o valor futuro 
CHS Troca um sinal de um número 
g <END> Calculo de séries uniformes de pagamento postecipadas 
g <BEG> Calculo de séries uniformes de pagamento antecipadas 
f <FIN> Limpa as funções financeiras 
f <REG> Limpa todas as funções 
Para efetuarmos os cálculos na calculadora HP 12-C de uma série uniforme de pagamentos postecipadas será 
necessário introduzir no visor da calculadora a função END, para isso deve-se pressionar as teclas g <END>. 
Para o calculo antecipado será necessário pressionar as teclas g <BEG>. Observe no visor se aparecem essas 
funções. 
 
 
 
7.1 Anuidades postecipadas (g end): série de pagamentos imediatos, certos, 
periódicos, limitados constantes. 
São os pagamentos parcelados (financiamentos) cujos pagamentos (PMT) ocorrem no final de cada período. 
Como exemplo, temos os empréstimos e financiamentos em pagamentos mensais. É normalmente a sistemática 
adotada pelo mercado (crediário sem entrada).Cálculo do principal (PV) 
Neste caso as prestações (PMT) estão relacionadas com o valor do financiamento (PV). 
 
 
 
 6 
 
Exemplo 2: Seja um financiamento em 4 parcelas iguais e mensais de $300,00 sendo a primeira prestação 
paga 1 mês após a compra (postecipado). Sabendo que a taxa de juros do financiamento é de 4,5%a.m. 
Determine: 
a) o valor a vista de uma mercadoria. 
 
PV=PV1+PV2+PV3+PV4 
4321 )1(
4
)1(
3
)1(
2
)1(
1
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
PV








 
4321 )045,01(
300
)045,01(
300
)045,01(
300
)045,01(
300







PV
 
4321 )045,01(
300
)045,01(
300
)045,01(
300
)045,01(
300







PV
 
26,076.1257,1076
567,251...888,262...718,274...08,287


PV
PV
 
A partir dos resultados acima podemos generalizar uma fórmula que resumo a progressão 
geométrica que as equações que determinam o PV e FV através das seguintes fórmulas: 
 
 
 









n
n
ii
i
PMTPV
1
11
 
 
 









11
1
n
n
i
ii
PVPMT
 
 
Observe que o desenvolvimento desse problema trata de uma progressão geométrica, assim o cálculo acima 
pode ser resolvido pela fórmula da soma das parcelas de uma progressão geométrica que é determinado por: 
 
  







n
n
ii
i
PMTPV
1
11 
 
  







4
4
045,01
1045,01
300
i
PV
 
 
  







4
4
045,1045,0
1045,1
300PV
 









...19251,1045,0
1...19251,1
300PV
 
2577,1076...587525,3300
..0536633,0
...19251,0
300 





PV
 
b) O valor futuro (corrigido) das prestações no momento do pagamento da última prestação que liquida o 
parcelamento. 
 
FV=FV1+FV2+FV3+FV4 
4)1(3)1(2)1(1 123 PMTiPMTiPMTiPMTFV 
 
300)045,01(300)045,01(300)045,01(300 123 FV
 
 
 
 7 
300045,1300092025,1300...141166,1300 FV
 
3005,3136075,3273498375,342 FV
 
FV= 1.283,457≈≈R$1.283,46 
 
A partir dos resultados acima podemos generalizar uma fórmula que resumo a progressão 
geométrica que as equações que determinam o PV e FV através das seguintes fórmulas: 
 





 

i
i
PMTFV
n
11
 
 








11
n
i
i
FVPMT
 
 
No exemplo acima teremos o mesmo resultado calculando 
 





 

i
i
PMTFV
n
11 
 





 

045,0
1045,01
300
4
FV
 
 





 

045,0
1045,1
300
4
FV
 





 

045,0
1...1925186,1
300FV
 







045,0
...1925186,0
300FV
 
...27819,4300FV
 
FV= 1.283,457≈≈R$1.283,46 
 
Quando a prestação é paga no final do período, estamos diante de uma série de pagamentos postecipados. A 
HP-12 possui recurso para calcular nessas condições. O módulo de pagamento antecipado é representado pelas 
teclas g END (END=final=fim). O módulo de pagamento antecipado, g END pode ser acionado a qualquer 
momento. Antes da digitação das variáveis conhecidas, entre os dados ou no final. 
 
Cálculo do prazo (n) 
Lembrete Como estudado no cálculo do prazo do juro composto precisaremos efetuar o cálculo usando logaritmo 
neperiano, na calculadora HP12-C <g> LN. 



























)1(
1
iLN
i
PMT
PV
LN
n
 
)1(
1
iLN
PMT
iFV
LN
n












 

 
Essas fórmulas são obtidas pela interpretação da equação equivalente onde isolamos a variável n a partir de: 
 
 









n
n
ii
i
PMTPV
1
11
 
 
 
 8 
 
  







n
n
ii
i
PMT
PV
1
11 
 
  







n
n
i
i
i
PMT
PV
1
11 
 
    









nn
n
ii
i
i
PMT
PV
1
1
1
1 
  






n
i
i
PMT
PV
1
1
1
 
  












i
PMT
PV
i
n
1
1
1
 
  













i
PMT
PV
i
n
11
 
  













i
PMT
PV
i
n
1ln1ln
 
  











 i
PMT
PV
in 1ln1ln
 
 i
i
PMT
PV
n















1ln
1ln
 
 



























i
i
PMT
PV
n
1ln
1ln
 
Exemplo 3: calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de 
$1.500,00, vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos recursos, sendo de 3,5%a.m. a taxa de juros 
negociada na operação. 
 
 
 9 
PV=? 
PMT=1.500,00 MENSAIS 
i=3,5%ao mês 
n= 6 prestações 
 
 









n
n
ii
i
PMTPV
1
11
 
 
 









6
6
035,01035,0
1035,01
00,500.1PV
 
 
 









6
6
035,1035,0
1035,1
00,500.1PV
 











229255,1035,0
1229255,1
00,500.1PV
 









043023936,0
229255,0
00,500.1PV
32855301,500,500.1 PV
 
83,992.7PV
 
<f > REG 
<g > END 
1500 <CHS> <PMT> 
6 <n> 
3,5 < i > 
<PV> 
7.992,83 
Exemplo 4: Um produto é comercializado à vista por $500,00. Qual deve ser o valor da prestação se o 
comprador resolver financiar em cinco prestações mensais iguais e sem entrada, considerando que a taxa de 
juros cobrada pelo comerciante é de 5%ao mês? 
PV=500,00 
PMT=? 
MENSAL 
i=5%ao mês 
n= 5 prestações 
MENSAIS 
 
 
 









11
1
n
n
i
ii
PVPMT
 
 
 









105,01
05,0105,0
500
5
5
PMT
 
 
 









105,1
05,105,0
500
5
5
PMT
 









127628,1
27628,105,0
500


PMT
 









27628,0
06381407,0
500PMT
 
2309747,0500PMT
 
49,115PMT
 
<f > REG 
<g > END 
500 <PV> 
5 <n> 
5 < i > 
<PMT> 
115,49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
0 
 
Exemplo 5: Calcular o valor dos pagamentos realizados durante 7 meses a uma taxa de 4%ao mês que produz 
o montante de $5.000,00 pelo regime de juros compostos. 
FV=5.000,00 
PMT=? 
i=4%ao mês 
n= 7 prestações 
 
 








11
n
i
i
FVPMT
 
  






104,01
04,0
00,000.5
7
PMT
 
  






104,1
04,0
00,000.5
7
PMT
 








13159317,1
04,0
00,000.5

PMT
 







3159317,0
04,0
00,000.5PMT
 
126689,000,000.5 PMT
 
05,633PMT
 
 
<f > REG 
<g > END 
5000 <PF> 
7 <n> 
4 < i > 
<PMT> 
633,05Exemplo 6: Um produto é comercializado à vista por $1.750,00. Alternativa, seria financiar esse produto a uma 
taxa de 3%ao mês gerando uma prestação de $175,81. Considerando que o comprador escolha a segunda 
alternativa, determinar a quantidade de prestações deste financiamento sabendo que a 1ª parcela vence após 30 
dias da compra. Resposta: 12 meses 
PV=$1.750,00 
PMT=$175,81 
i=3%ao mês 
n=? 
 



























)1(
1
iLN
i
PMT
PV
LN
n
 





























)03,01(
03,0
8,175
00,1750
1
LN
LN
n 
  









)03,01(
03,0...954493,91
LN
LN
n
 
 









)03,01(
...29863481,01
LN
LN
n
 
 







)03,1(
7137013651887,0
LN
LN
n
 





 

2410295588002,0
...3547265,0
n
 
 30007008695,12n
 
12n
 
 
<f > REG 
1750 <PV> 
3 < i > 
175,81 <CHS> <PMT> 
n 
 
Exemplo 7: Um poupador deposita $150,00 por mês numa caderneta de poupança, após um determinado tempo 
observa-se que o saldo da conta era de $ 30.032,62. Considerando que a taxa média da poupança de 0,8%ao 
mês, determine a quantidade de depósitos efetuados pelo poupador. 
 
 
 1
1 
FV= 
PMT= 
i= 
n=? 
 
)1(
1
iLN
PMT
iFV
LN
n












 

 
30.032,62 <enter> 
0,008 x 150 / 1+ <enter> 
g <LN> 0,008 + g <LN> / 
Outra opção : 
<f > REG 
30.032,62 <FV> 
0,8 < i > 
150,00 <PMT> 
n 
 120 meses 
 
Somatório das prestações 
Observe que em finanças a soma das parcelas não tem significado, uma vez que esses valores se alteram ao 
longo do tempo, assim só fazem sentido quando a taxa de juros é zero ou quando os valores coincidirem numa 
mesma data. 
 
7.2 Anuidades antecipadas (g BEG) (constantes imediatas antecipadas, parcelamento sem 
entrada) 
São aquelas cujos pagamentos (PMT) ocorrem no início de cada período. É o caso de sucessivos 
depósitos mensais de mesmo valor em uma caderneta de poupança, por exemplo. Anuidades antecipadas são 
conhecidas no comércio como sistema de prestações com entrada, ou seja, a primeira prestação é paga no ato 
do empréstimo. 
 
Exemplo 8: Seja um financiamento em 4 parcelas iguais e mensais de $300,00 sendo a primeira prestação 
paga no ato da compra (antecipado). Sabendo que a taxa de juros do financiamento é de 4,5%a.m. Determine: 
a) o valor a vista de uma mercadoria. 
 
PV=PV1+PV2+PV3+PV4 
321 )1(
4
)1(
3
)1(
2
1
i
PMT
i
PMT
i
PMT
PMTPV






 
321 )045,01(
300
)045,01(
300
)045,01(
300
300





PV
 
141166125,1
300
092025,1
300
045,1
300
300 PV
 
69,124.1...6893,124.1
...888,262...718,274...08,28700,300


PV
PV
 
Esse valor pode ser substituído por: 
Cálculo do principal (PV) 
 
 
 1
2 
 
 
)1(
1
11
i
ii
i
PMTPV
n
n









 que pode ser representado por 
 
 









1
1
11
n
n
ii
i
PMTPV
 
 
 
 
 
 
 
 
  
































...141166,1045,0
1..192518,1
300
045,1045,0
1045,1
300
045,01045,0
1045,01
300
1
11
3
4
14
4
1n
n
ii
i
PMTPV
 
 
....689,1124...748964,3300
...05135247,0
..192518,0
300 





PV
 
 
No caso de calcularmos o montante (valor futuro) dessas parcelas teremos: 
 
4)1(3)1(2)1(1 123 PMTiPMTiPMTiPMTFV 
 
300)045,01(300)045,01(300)045,01(300 123 FV
 
300045,1300092025,1300...141166,1300 FV
 
46,283.14573375,283.13005,3136075,3273498375,342 FV
 
 
Cálculo do montante (FV) pode ser obtido interpretando o raciocínio acima como o somatório de uma progressão 
geométrica, assim, obtemos que: 
 





 

i
i
PMTFV
n
11 
Aplicando ao exemplo acima teremos: 
   











 





 





 

045,0
...1925186,0
300
045,0
1...1925186,1
300
045,0
1045,1
300
045,0
1045,01
300
44
FV
 
46,283.1...457,1283...2781911,4300 FV
 
 
Cálculo da prestação PMT 
  
  








11
1
1
n
n
i
ii
PVPMT
 
  







)1(1)1( ii
iFV
PMT
n
 
 
Cálculo do prazo n temos que isolar a variável n da expressão: 
 
 

























)1(
)1(
1
iLN
iPMT
iPV
LN
n
 























)1(
1
)1(
iLN
iPMT
iFV
LN
n 
 
 
 
 1
3 
 
Quando uma prestação é paga no ato da compra, estamos diante de uma série de pagamentos 
antecipados. A HP-12 possui recurso para calcular nessas condições. O módulo de pagamento antecipado é 
representado pelas teclas g BEG ( Begin= início=começo). Neste caso não vamos descontar a primeira 
prestação do PV e vamos considerar todas as prestações. O módulo de pagamento antecipado, g BEG pode ser 
acionado a qualquer momento. Antes da digitação das variáveis conhecidas, entre os dados ou no final. 
 
Exemplo 9: Uma mercadoria que custa $5.000,00 à vista será vendida em 8 prestações mensais, iguais, sendo 
que a primeira no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de 15%a.m, qual o valor de cada prestação? 
Resposta $968,91 
Antecipado (com entrada) 
PV=$5.000,00 
N=8 prestações mensais 
I=15%am 
PMT=? 
   








)1(11 ii
iPV
PMT
n
  























)1(
1
1
1 i
i
iPV
PMT
n
 
  























)1(
1
11
i
i
i
iPV
PMT
n
n 
 
   







)1(11
1
ii
iPVi
PMT
n
n  
 










11
1
1
n
n
i
iPVi
PMT
 
        





















 )15,1(...32690177,01
00,750
)15,1(15,11
00,750
)15,01(15,011
15,000,000.5
88
PMT
 
 
...913432,968
....7740629,0
00,750
)15,1(...673098227,0
00,750













PMT
 
 
Exemplo 10:Determine o valor presente de um empréstimo concedido por uma financeira, para ser liquidado em 
7 prestações antecipadas, mensais, iguais e consecutivas de $2.500,00, a uma taxa de 220,76%a.a. 
Devemos iniciar calculando a taxa mensal equivalente, pois o pagamento será realizado mensalmente, logo essa 
é a forma de capitalização das parcelas, assim: 
112 )1()1( am ii 
 
112 )2076,21()1(  mi
 
12 )2076,3()1(  mi
 
...1020002,0)( mi
 
Agora poderemos calcular o valor do empréstimo, ou seja, o valor presente. 
 
 
 
  















 17
7
1
102,01102,0
1102,01
00,500.21
11
n
n
ii
i
PMTPV
 
 
 

















...79097738,1102,0
1...97365,1
00,500.2
102,1102,0
1102,1
00,500.2
6
7
PV
 
 
 1
4 
62446,13324...3298497,500,500.2
...18268009,0
...973657,0
00,500.2 





PV
 
Conclusão: o valor do empréstimo será de R$13.324,62. 
Exemplo 11: Para a taxa mensal de 7,2% , calcule o montante produzido pela aplicação de 5 parcelas mensais, 
iguais e consecutivas de $2.300,00, sendo a primeira feita no início do período (antecipado). 
 





 

i
i
iPMTFV
n
11
)1(
 
 





 

072,0
1072,01
)072,01(00,300.2
5
FV
 
 
...7737333,560,465.2
072,0
1...415708,1
60,465.2
072,0
1072,1
)072,1(00,300.2
5





 





 
FV
 
FV=14.235,7163656.... 
 
 
7.3 Série de pagamentos periódicos temporários constantes com carência - 
Anuidades diferidas 
 
São aquelas situações onde ocorre um período de carência K. A carência é um prazo diferente do 
intervalo existente entre as parcelas, antes da primeira prestação quando a anuidade (prestação ou parcela) 
estiver relacionada com o valor atual e após a última parcela (depósito) quando a anuidade estiver relacionada 
com um valor futuro. Consideramos que as anuidades serão diferidas postecipadas, logo com pagamento no 
fim do período. 
Cálculo do principal PV 
 
k
aspostecipad
i
PV
PV
)1(

 
 
 









kn
n
ii
i
PMTPV
1
11
 
 
 










11
1
n
kn
i
ii
PVPMT
 
 
Cálculo do montante (FV) 
 
 k
n
i
i
i
PMTFV 




 
 1
11
 
   kn ii
iFV
PMT



111
 
 
 
Exemplo 12 : Calcule o valor da prestação de um cobertor de $700,00, financiado em 6 prestações mensais e 
iguais, a primeira vencendo 4 meses após a compra, a taxa de juros de 3,9 %ao mês. Resposta $149,29. 
Na HP 12-C pode ser resolvido em duas etapas: F FIN/700 CHS PV/3 n/ 3,9 i/ FV e depois F FIN CHS PV/ 
6n/ 3,9 i/ PMT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
5 
Exemplo 13: Um refrigerador no valor de $12.000,00 adquirido em fevereiro/87, pode ser financiado em 8 
prestações mensais iguais, a primeira a ser paga em agosto/87. Sabendo-se que a taxa utilizada é de 21,3%ao 
mês, calcule o valor da prestação. $8.532,75. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 14: Calcule o valor da prestação de um relógio de $8.000,00 financiado em 8 pagamentos mensais 
iguais, o primeiro vencendo 7 meses após a compra, a uma taxa de juros de 19,5% ao mês. Resposta $5.981,17