Lista2_álgebra

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UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul-INMA
A´lgebra Linear
7a¯ Lista de Exerc´ıcios
1. Mostre que se < u, v >= 0, para todo vetor v, enta˜o u = 0.
2. No espac¸o V = P3(R) consideremos o produto interno < f(t), g(t) >=
∫ 1
0
f(t)g(t)dt. Calcule
< f(t), g(t) >, ‖f(t)‖, ‖g(t)‖ e ‖f(t) + g(t)‖ quando:
(a) f(t) = t3 − t− 1 e g(t) = t2 + 1;
(b) f(t) = 2 e g(t) = t3 + t+ 1.
3. Seja T um isomorfismo de um espac¸o vetorial V . Prove que se < u, v > e´ um produto
interno sobre V , enta˜o o mesmo acontece com a func¸a˜o PT : V × V → R definida por
PT(u, v) =< T(u), T(v) >.
4. No espac¸o vetorial V =M2(R) considere o produto interno definido por < A,B >= tr(BtA),
onde tr(X) e´ a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X ∈M2(R), chamado de
trac¸o de X. Sendo
A =
(
1 1
0 1
)
e B =
(
1 0
0 0
)
,
calcule < A,B >, ‖A‖, ‖B‖ e d(A,B).
5. No espac¸o vetorial euclidiano R4 sejam u = (1, 2, 0, 1) e v = (3, 1, 4, 2). Determine < u, v >,
‖u‖, ‖v‖, d(u, v), u+ v‖u+ v‖ e o co-seno do aˆngulo entre u e v.
6. Sejam u e v dois vetores na˜o nulos de um espac¸o vetorial euclidiano. Sendo θ o aˆngulo entre
u e v, mostre que ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2‖u‖‖v‖ cos θ. (Lei dos co-senos)
7. Sejam u e v dois vetores de um espac¸o vetorial euclidiano. Determine o co-seno do aˆngulo
entre u e v, dados ‖u‖ = 5, ‖v‖ = 8 e ‖u+ v‖ = √129.
8. Verifique a lei do paralelogramo num espac¸o euclidiano V :
‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2,
para todos u e v em V .
9. Sejam u e v vetores de um espac¸o euclidiano.
(a) Mostre que ‖u+ v‖2 − ‖u− v‖2 = 4 < u, v >.
(b) Calcule < u, v >, sabendo-se que ‖u+ v‖ = 1 e ‖u− v‖ = 1.
10. Com relac¸a˜o ao produto interno < f(t), g(t) >=
∫ 2pi
0
f(t)g(t)dt, calcule a distaˆncia entre as
func¸o˜es sen x e cos x de C([0, 2pi];R).
11. Sejam u e v vetores de um espac¸o euclidiano. Mostre que {u, v} e´ L.D. se, e somente se,
| < u, v > | = ‖u‖‖v‖.
12. Sejam u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 2) no espac¸o euclidiano R3. Determine os vetores w ∈ R3 tais
que ‖w‖ = 1 e < u,w > = < v,w > = 0.
13. Determine todos os vetores do R3 de norma igual a 2 que sejam ortogonais simultaneamente
a (2,1,2) e (-1,3,4).
14. Determine uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespac¸os do R4 utilizando o
processo de Gram-Schmidt.
(a) W1 = [(1, 1, 0, 0), (0, 1, 2, 0), (0, 0, 3, 4)];
(b) W2 = [(2, 0, 0, 0), (1, 3, 3, 0), (3,−3,−3, 0)].
15. Determine uma base ortonormal de W e uma base ortonormal de W⊥, onde W e´ o subespac¸o
de R4 dado por
W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x+ y = 0 e 2x+ z = y}.
16. Em cada caso, encontre os auto-valores e os auto-vetores do operador T do R2, os subespac¸os
pro´prios, a multiplicidade geome´trica e a multiplicidade alge´brica associados a cada auto-valor
de T .
(a) T(x, y) = (x+ y, x− y) (b) T(x, y) = (−x,−y)
17. Em cada caso, encontre os auto-valores e os auto-vetores do operador T do R3, os subespac¸os
pro´prios, a multiplicidade geome´trica e a multiplicidade alge´brica associados a cada auto-valor
de T .
(a) T(1, 0, 0) = (2, 0, 0), T(0, 1, 0) = (2, 1, 2), T(0, 0, 1) = (3, 2, 1).
(b) T(1, 0, 0) = (0, 0, 0), T(0, 1, 0) = (0, 0, 0), T(0, 0, 1) = (5,−1, 2).
18. Calcule o polinoˆmio caracter´ıstico e os auto-valores de cada uma das seguintes matrizes:[
2 0
1 1
]
,
[
−1 −1
−3 1
]
,
[
2 1
0 1
]
,
[
−1 −3
−1 1
]
.
19. Determine, se poss´ıvel, uma matriz M ∈ M2(R) de maneira que M−1AM seja diagonal, nos
seguintes casos:
(a) A =
[
2 4
3 13
]
(b) A =
[
3 −2
2 −1
]
20. Determine M ∈M3(R), invers´ıvel, tal que M−1AM seja diagonal onde
A =
2 0 43 −4 12
1 −2 5
 .
21. Seja T : R2 → R2 um operador linear e suponha que λ1 6= λ2 sa˜o ambos auto-valores de T . Se
v1 e´ auto-vetor associado a λ1 e v2 e´ auto-vetor associado a λ2, prove que o conjunto {v1, v2}
e´ L.I.
22. Mostre que o operador T : R2 → R2 definido por T(x, y) = (4x+ 4y, x+ 4y) e´ diagonaliza´vel.
Encontre uma base B de R2 tal que (T)B e´ uma matriz diagonal. Escreva (T)B.
23. Sendo A =
[
2 4
3 13
]
, calcule A10.
24. (a) Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita sobre R. Defina Produto Interno sobre V .
(b) Seja T : V → V um operador linear. Defina os conceitos de Auto-valor e Auto-Vetor.
(c) Defina o conceito de Subespac¸o Pro´prio.
(d) Qual a diferenc¸a entre Multiplicidade Geome´trica e Multiplicidade Alge´brica?
(e) Descreva o Processo de Ortonormalizac¸a˜o de Gram-Schmidt.
(f) O que e´ Complemento Ortogonal?
(g) Quando um operador T : V → V se diz diagonaliza´vel?